福建省福州高级中学2025届高三第一次适应性测试数学试题（含答案及解析）

这是一份福建省福州高级中学2025届高三第一次适应性测试数学试题（含答案及解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合，，则（ ）
2. 若，则（ ）
3. 已知，则“”是“”的（ ）
4. 函数 的部分图象大致是（ ）
5. 展开式中，项的系数为（ ）
6. 已知函数的部分图象如图所示．若，，，四点在同一个圆上，则（ ）
7. 在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述.视星等是在地球上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响.绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距（10秒差距≈32.6光年）时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度.视星等和绝对星等M满足，其中是与地球的距离，单位为秒差距.若恒星A距离地球约32.6光年，恒星B距离地球约326光年，恒星A，B的视星等满足，则（ ）
8. 点M、N为正四面体的内切球球面上的两个动点，T为棱上的一动点，则当取最大值时，（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 下列说法正确的是（ ）
10. 等差数列中，，则下列命题正确的是（ ）
11. 已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为_____________.
13. 如图所示，已知双曲线的焦点分别是是等边三角形，若的中点在双曲线上，则双曲线的离心率等于______．
14. 我们称（为正整数）元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则___________________
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 11 分，共 55 分)
15. 已知数列满足．设．
(1)求证：数列是等比数列，并求数列通项公式；
(2)设数列，且对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
16. 某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下:
(1)经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间 内的概率;
(2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望;
(3)在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零件的次品率为0.2， 现从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率.
参考数据: 若随机变量，则，，.
17. 在中，，为的中点，.
(1)若，求的长；
(2)若，求的长.
18. 已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，求证：是上的单调递减函数；
(3)求证：当时，.
19. 如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面截该圆柱所得的截面为椭圆面，得到的几何体称之为“斜截圆柱”.图一与图二是完全相同的“斜截圆柱”，是底面圆的直径，，椭圆所在平面垂直于平面，且与底面所成的二面角的大小为.在图一中，是椭圆上的动点，点在底面上的投影为点.在图二中，椭圆上的点在底面上的投影分别为点，且点均在直径的同一侧.
(1)当时，求的长度；当时，试将的长度表示成关于的表达式；
(2)（i）在图二中，当时，若点将半圆均分成5等份，求；
（ii）证明：.
福建省福州高级中学2025届高三第一次适应性测试数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、复数、三角函数与解三角形、计数原理与概率统计、空间向量与立体几何、数列、平面向量、平面解析几何
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
A．
B．
C．
D．
A．5
B．-5
C．15
D．-15
A．1
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．1
B．
C．
D．
A．一组数5，7，9，11，3，13，15的第60百分位数是11
B．若随机变量，满足，，则
C．一组数据的线性回归方程为，若，则
D．某学校要从12名候选人（其中7名男生，5名女生）中，随机选取5名候选人组成学生会，记选取的男生人数为，则服从超几何分布
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，则，
A．的图象关于点对称
B．是以8为周期的周期函数
C．
D．
零件直径 (单位: 厘米)
[1.8，2.0]
零件个数
10
25
30
25
10
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
6
适中
8
较难
3
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.65
并集的概念及运算；由指数函数的单调性解不等式
2
0.85
复数的除法运算
3
0.85
判断命题的必要不充分条件
4
0.85
函数图像的识别；求正弦（型）函数的奇偶性；函数奇偶性的定义与判断
5
0.65
求指定项的系数；三项展开式的系数问题
6
0.85
由图象确定正（余）弦型函数解析式
7
0.65
对数的运算性质的应用
8
0.15
多面体与球体内切外接问题；二倍角的正切公式；锥体体积的有关计算
二、多选题
9
0.85
方差的性质；根据样本中心点求参数；超几何分布的分布列；总体百分位数的估计
10
0.65
等差数列通项公式的基本量计算；利用等差数列的性质计算；求等差数列前n项和；等差数列前n项和的基本量计算
11
0.65
函数基本性质的综合应用；函数奇偶性的应用；函数的周期性的定义与求解；判断或证明函数的对称性
三、填空题
12
0.94
求投影向量
13
0.85
双曲线定义的理解；求双曲线的离心率或离心率的取值范围
14
0.4
二项式定理与数列求和；向量新定义；代数中的计数问题
四、解答题
15
0.65
由递推关系证明等比数列；根据数列的单调性求参数；写出等比数列的通项公式；数列不等式恒成立问题
16
0.65
建立二项分布模型解决实际问题；利用全概率公式求概率；计算条件概率；3δ原则
17
0.65
余弦定理解三角形；几何图形中的计算；数量积的运算律
18
0.4
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；用导数判断或证明已知函数的单调性；利用导数证明不等式
19
0.4
圆柱表面积的有关计算；证明线面垂直；求二面角；椭圆的其他应用
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,3
2
函数与导数
1,4,7,11,18
3
复数
2
4
三角函数与解三角形
4,6,8,17
5
计数原理与概率统计
5,9,14,16
6
空间向量与立体几何
8,19
7
数列
10,15
8
平面向量
12,14,17
9
平面解析几何
13,19