福建省福州第一中学2023届高三毕业班适应性练习数学试题

福州一中2023届高三毕业班适应性练习

数学试题

满分150分 考试时间120分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，与在本试卷上无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.已知为等差数列，，则（    ）

A.1    B.2    C.3    D.4

3.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则（    ）

A.    B.    C.    D.

4.粮食是关系国计民生的重要战略物资.如图为某储备水稻的粮仓，中间部分可近似看作是圆柱，圆柱的底面直径为8米，上､下两部分可以近似看作是完全相同的圆锥，圆柱的高是圆锥高的6倍，且这两个圆锥的顶点相距10米，每立方米的空间大约可装0.6吨的水稻，则该粮仓可装水稻（    ）

A.251吨    B.276吨    C.301吨    D.377吨

5.在边长为2的菱形中，，则的最小值为（    ）

A.-2    B.    C.    D.

6.已知双曲线为的左焦点.经过原点的直线与的左､右两支分别交于，两点，且，则的一条渐近线的倾斜角可以是（    ）

A.    B.    C.    D.

7.，则（    ）

A.    B.

C.    D.

8.在矩形中，，将沿对角线翻折至的位置，使得平面平面，则在三棱锥的外接球中，以为直径的截面到球心的距离为（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.某市场供应多种品牌的N95口罩，相应的市场占有率和优质率的信息如下表：

在该市场中随机买一种品牌的口罩，记表示买到的口罩分别为甲品牌､乙品牌､其他品牌，记表示买到的口罩是优质品，则（    ）

A.    B.

C.    D.

10.如图，在各棱长均为2的正三棱柱中，分别是的中点，设，则（    ）

A.当时，

B.，使得平面

C.，使得平面

D.当时，与平面所成角为

11.抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后，必过抛物线的焦点.已知平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射，再经过上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（    ）

A.若的方程为，则

B.若的方程为，且，则

C.分别延长交于点，则点在的准线上

D.抛物线在点处的切线分别与直线所成角相等

12.已知函数的定义域为为奇函数，则（    ）

A.函数的图象关于对称

B.函数是周期函数

C.

D.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在复平面内，复数对应的点为，则__________.

14.若，则__________.

15.已知函数，且在区间上单调递增，则的取值范围为__________.

16.已知定义在上函数满足：，写出一个满足上述条件的函数__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（10分）

在中，角的对边分别是，且.

（1）求角；

（2）若的中线长为，求面积的最大值.

18.（12分）

已知数列的前项和为，且.

（1）求证：数列是等差数列；

（2）求数列的前项和.

19.（12分）

如图，在底面为正方形的四棱台中，已知到平面的距离为.

（1）求到平面的距离；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

20.（12分）

相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到以上.某健身连锁机构对其会员的年龄等级和一个月内到健身房健身次数进行了统计，制作成如下两个统计图.图1为会员年龄分布图（年龄为整数），其中将会员按年龄分为“年轻人”（20岁—39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或40岁及以上）两类；图2为会员一个月内到健身房次数分布扇形图，其中将一个月内到健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有是“年轻人”.

（1）现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100的样本，根据图表数据，补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，是否可以认为“健身达人”与年龄有关？

（2）该健身机构在今年年底将针对全部的150名会员举办消费返利活动，预设有如下两种方案.

方案1：按分层抽样从健身爱好者和健身达人中总共抽取20位“幸运之星”给予奖励.其中，健身爱好者和健身达人中的“幸运之星”每人分别奖励500元和800元.

方案2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球､2个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球.若摸到红球的总数为2，则可获得100元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励.

如果每位健身爱好者均可参加1次摸奖游戏；每位健身达人均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）.以方案的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由.

附：.

21.（12分）

已知椭圆离心率为，焦距为.

（1）求的方程；

（2）过点分别作斜率和为1的两条直线与，设交于两点，交于两点，AB，CD的中点分别为.求证：直线过定点.

22.（12分）

已知函数.

（1）已知过点的直线与曲线相切于，求的值；

（2）已知，证明：.

福州一中2023届高三毕业班适应性练习

数学参考答案

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1~4CACA    5~8CDB

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.AC    10.AC    11.BCD    12.ABD

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.    14.-448    15.    16.（答案不唯一）

四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（1）在中，由正弦定理得：，

，

化简得，

因为，所以，

即，所以，

又因为，所以即.

（2）由是的中线，，

所以，即，

所以，所以，当且仅当时，等号成立，

所以三角形面积，即的面积的最大值为.

18.解：（1）当时，，

即，

即，

由，得

得.

即数列是以1为首项，为公差的等差数列.

（2）由，

得..

19.（1）在正方形中，，则，

在中，，即，.

所以，.

因为到平面的距离为，所以，

因为，记到平面的距离为，

所以由，得，即到平面的距离为.

（2）在四棱台中，I平面，则到平面的距离即为到平面的距离，

假设不垂直于平面，则，与矛盾，所以平面，

因为平面平面，所以平面，

由平面，所以在中，，

以为原点，方向为轴的正方向，如图建立直角坐标系，

则，，

设是平面的一个法向量，由，

取，所以.

则.

20.（1）根据年轻人标准结合图1可得年轻人占比为，则年轻人人数为，

非年轻人为20人，

根据图2表格得健身达人所占比，所以其人数为，

根据其中年轻人占比，所以健身达人中年轻人人数为，非年轻人为10人；

健身爱好者人数为，再通过总共年轻人合计为80人，则健身爱好者中年轻人人数为，

根据非年轻人总共为20人，健身爱好者中非年轻人人数为，所以列联表为：

零假设为：“健身达人”与年龄无关联，

根据列联表中的数据，可得，.

并依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即“健身达人”与年龄无关.

（2）方案1按分层抽样从健身爱好者和健身达人中总共抽取20位“幸运之星”，则“幸运之星”中的健身爱好者和健身达人的人数分别为

，按照方案1奖励的总金额为（元）.

方案2设表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，全部的150名会员中的健身爱好者和健身达人的人数分别为，则的可能取值为.

由题意，每摸球1次，摸到红球的概率为，

所以，

，

.

所以的分布列为：

数学期望为（元），

按照方案2奖励的总金额为（元），

因为由，所以施行方案1投资较少.

21.解法1：（1），解得：.

.

（2）设直线，直线，则.

联立，

所以中点.同理可得，中点

所以直线斜率

.

所以直线方程为：

即，因此直线恒过定点

21.解法2：

设，则，作差得，.

即，整理得.

同理，点也满足.即在椭圆上

由题意可知，斜率一定存在，故设直线，

联立，得.

则.

则

.

移项得，即.

所以，直线必过定点

22.（1）依题意得，，则切线的斜率，

又因为切点为，则，得，

所以的值为.

（2）当时，在上单调递减，

若，则，所以，即，.

若证，即，等价于，即，

设，则，令，解得，

所以当时，单调递减；

当时，单调递增，

所以，故.

当时，若，则，

所以，同理，故..

令，得，设，则，

当时，单调递减，，

当时，在上单调递减，

且由，得，即.

当时，存在唯一的，使得，即，

当时，单调递减；当时，单调递增，

，设，

当时，单调递增，所以，.

又因为，且，所以，故.

综上，若，则.

解析2：（1）依题意得，，则切线的斜率，

又因为切点为，则，得，

所以的值为.

（2）求导，.

令，得，设，则，

当时，单调递减，，

当单调递减.

若，则，所以，即.

要证，等价于证，又因为单调递减，所以，消元，

得，即，得.

若，不等式显然成立.

若.

当，有，使得.

当时，单调递减；当时，单调递增，

时，单调递减.

，设，

当时，单调递减，所以，

又因为，且，所以，故.

综上，若，则..