浙江省杭州市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

这是一份浙江省杭州市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，六；二倍角的余弦公式等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合，，则（ ）
2. 已知椭圆，则椭圆C的焦距为（ ）
3. 从甲、乙、丙、丁、戊五名同学中选2人参加普法知识竞赛，则甲被选中的概率为（ ）
4. “”是“直线与直线平行”的（ ）
5. 已知，则（ ）
6. 在平行六面体中，，，，，，则（ ）
7. 在平面直角坐标系中，点，直线，圆，点P为直线l上一点，点Q为圆C上一点，则的最小值为（ ）
8. 设F是双曲线的右焦点，O为坐标原点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若的内切圆的半径，则双曲线C的离心率为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（ ）
10. 已知圆，圆，则下列说法正确的是（ ）
11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，离心率为，M，N为C上关于原点对称的两点(与C的顶点不重合)，则下列说法正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 直线的倾斜角为__________
13. 如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,平面.若,则直线与平面所成的角的大小为________
14. 设，是平面直角坐标系xOy上的两点，O为坐标原点，定义点P到点Q的一种折线距离已知，Q是曲线上一点，则的最小值为_________.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 11 分，共 55 分)
15. 在三角形中，内角所对边分别为，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，三角形的面积为，求三角形的周长.
16. 已知定义在上的函数是偶函数.
(1)求a的值；
(2)当时，函数的最小值为，求的值.
17. 在三棱锥中，平面ABC，，，

(1)求证：平面平面
(2)若二面角的余弦值为，求PA的长度.
18. 已知抛物线的准线方程为，直线交抛物线于，两点.
(1)求抛物线的方程;
(2)若，求的值;
(3)若抛物线上存在两点，关于直线对称，求的取值范围.
19. 17世纪80年代，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卵形线，我们称之为卡西尼卵形线.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知两定点，，动点满足，动点P的轨迹为曲线E，直线与曲线E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线OM的斜率为
(1)求曲线E的方程;
(2)求的取值范围;
(3)求证：
浙江省杭州市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、平面解析几何、计数原理与概率统计、三角函数与解三角形、空间向量与立体几何、平面向量、函数与导数
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．10
C．3
D．6
A．
B．
C．
D．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．
A．1
B．2
C．3
D．
A．
B．
C．9
D．10
A．
B．
C．
D．
A．
B．A，B，C三点共线
C．
D．在上的投影向量为
A．圆，恒有公共点
B．圆，至多有三条公切线
C．若圆平分圆的周长，则
D．若圆平分圆的周长，则的最小值为9
A．椭圆C的方程为
B．
C．直线BM与BN的斜率乘积为
D．的面积随周长变大而变大
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
7
适中
7
较难
3
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
并集的概念及运算
2
0.94
求椭圆的焦点、焦距
3
0.85
计算古典概型问题的概率
4
0.85
充要条件的证明；已知直线平行求参数
5
0.85
诱导公式五、六；二倍角的余弦公式
6
0.85
求空间向量的数量积；空间向量数量积的应用；用空间基底表示向量
7
0.65
求平面两点间的距离；求点关于直线的对称点；由标准方程确定圆心和半径
8
0.65
求点到直线的距离；求双曲线的离心率或离心率的取值范围；已知方程求双曲线的渐近线
二、多选题
9
0.85
空间向量的坐标运算；求投影向量；空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示
10
0.65
圆过定点问题；由圆的位置关系确定参数或范围；相交圆的公共弦方程；圆的公切线条数
11
0.4
根据离心率求椭圆的标准方程；椭圆中三角形（四边形）的面积；求直线与椭圆的交点坐标
三、填空题
12
0.85
直线的倾斜角；直线的一般式方程及辨析；直线斜率的定义
13
0.4
求线面角
14
0.65
用导数判断或证明已知函数的单调性；由导数求函数的最值（不含参）；双曲线的对称性；距离新定义
四、解答题
15
0.85
正弦定理解三角形；余弦定理解三角形；正弦定理边角互化的应用；三角形面积公式及其应用
16
0.65
根据指数函数的最值求参数；由奇偶性求参数
17
0.65
证明面面垂直；已知面面角求其他量
18
0.4
抛物线中的参数范围问题；由弦长求参数；根据焦点或准线写出抛物线的标准方程；直线与抛物线交点相关问题
19
0.65
用两点间的距离公式求函数最值；由方程研究曲线的性质；求平面轨迹方程；根据韦达定理求参数
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,4
2
平面解析几何
2,4,7,8,10,11,12,14,18,19
3
计数原理与概率统计
3
4
三角函数与解三角形
5,15
5
空间向量与立体几何
6,9,13,17
6
平面向量
9
7
函数与导数
14,16