河南省洛阳市新安县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题+

这是一份河南省洛阳市新安县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题+，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）对于非零实数a，下列运算一定正确的是（ ）
A．a3•a2＝a5B．（a3）2＝a9C．a6÷a2＝a3D．（3a）2＝6a2
2．（3分）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，第一步先假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于60°
B．三角形中有一个内角大于60°
C．三角形中每个内角都大于60°
D．三角形中没有一个内角小于60°
3．（3分）如图，已知∠C＝∠D，AC＝AD
①AB＝AE；②BC＝ED；③∠1＝∠2
其中能使△ABC≌△AED的条件有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
4．（3分）在△ABC中，a、b、c分别是三边的长，下列说法：①∠B＝∠C﹣∠A2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝5：4：32：b2：c2＝1：2：3．其中，能判断△ABC为直角三角形的条件有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
5．（3分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
6．（3分）公元前500年，毕达哥拉斯学派中的一名成员希帕索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机．事实上，但是没有系统的理论．《九章算术》开方术中指出了存在有开不尽的情形：“若开方不尽者，为不可开”．《九章算术》的作者们给这种“不尽根数”起了一个专门名词—“面”．“面””．下列关于的说法错误的是（ ）
A．可以在数轴上找到唯一点与之对应
B．它是面积为2的正方形的边长
C．可以用两个整数的比表示
D．可以用反证法证明它不是有理数
7．（3分）已知直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，分别以a，b，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图1，均重叠部分的面积为S2，则（ ）
A．S1＞S2B．S1＜S2
C．S1＝S2D．S1，S2大小无法确定
8．（3分）若a，b是正整数，且满足（ ）
A．a+3＝8bB．3a＝8bC．a+3＝b8D．3a＝8+b
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，再分别以点M，N为圆心MN的长为半径画弧，两弧交于点P，则△ABD的面积是（ ）
A．8B．16C．12D．24
10．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的是（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．①②④
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）实数的平方根是 ．
12．（3分）为加强体育锻炼，增强学生体魄，九（1）班同学举办了足球、篮球、乒乓球、跳绳四个体育活动项目．该班同学全员参与各活动项目（每人仅参与一项）（柱的高度从高到低排列）如图所示．已知条形统计图不小心被撕了一块，则条形统计图中“（ ） ．
13．（3分）若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，则△ABC的周长为 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，D为边BC的中点，点E，AC上，AE＝CF ．
15．（3分）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 dm．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）计算：
（1）﹣﹣﹣|﹣6|；
（2）．
17．（9分）先化简，再求值：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（x+y），其中2023．
18．（8分）学校门口在学生上学、放学期间，经常出现拥堵现象．某数学学习小组为了解本校门口拥堵情况以及拥堵原因，随机抽取了部分家长（一名家长对应一名学生），并根据家长接送学生采用的交通工具调查结果绘制扇形统计图，如图所示：
请你根据以上信息解决下列问题：
（1）被调查的家长总人数为 ．
（2）表格中a＝ ，b＝ ．
（3）在扇形统计图中，选择自行车接送学生的家长占 %；选择私家车接送学生的家长所对应的扇形圆心角的度数为 ．
（4）针对此情况，对家长和学校各提一个合理的建议，以改善学校门口拥堵情况．
19．（10分）如图，△ABC是等边三角形，D是BC的中点．
（1）作图：
①过B作AC的平行线BH；
②过D作BH的垂线，分别交AC，BH，F，G．
（2）在图中找出一对全等的三角形，并证明你的结论．
20．（10分）问题背景：在△ABC中，AB，BC，，，求这个三角形的面积．佳佳同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求△ABC的高
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上： ；
（2）在图2中画△DEF，使DE，EF，，，判断这个三角形形状，并说明理由．
（3）在图3中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数
21．（8分）（1）计算：（a﹣b）（a2+ab+b2）；
（2）利用所学知识以及（1）所得等式，分解因式：m3﹣n3﹣3mn（m﹣n）．
22．（11分）我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的两条边叫直角边（如图①所示）．数学家还发现：在一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．即如果一个直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，那么a2+b2＝c2．
（1）直接填空：如图①，若a＝3，b＝4 ；若a+b＝4，c＝3，则直角三角形的面积是 ．
（2）观察图②，其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系2+b2＝c2．
（3）如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，BC＝10，利用上面的结论求EF的长？
23．（11分）（1）感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，易知DB，DC的数量关系为 ．
（2）应用：如图2，在四边形ABDC中，AD平分∠BAC，∠ABD＜90°，求证：DB＝DC．
（3）在（2）的条件下，如图3，试判断AB，AC，并说明理由．
2024-2025学年河南省洛阳市新安县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）对于非零实数a，下列运算一定正确的是（ ）
A．a3•a2＝a5B．（a3）2＝a9C．a6÷a2＝a3D．（3a）2＝6a2
【分析】根据同底数幂的乘法法则对A选项进行判断；根据幂的乘方运算对B选项进行判断；根据同底数幂的除法法则对C选项进行判断；根据积的乘方运算对D选项进行判断．
【解答】解：A．a3•a2＝a5，所以A选项符合题意；
B．（a3）2＝a3，所以B选项不符合题意；
C．a6÷a2＝a5，所以C选项不符合题意；
D．（3a）2＝6a2，所以D选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的除法：底数不变，指数相减，即am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）．也考查了同底数幂的乘法和幂的乘方．
2．（3分）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，第一步先假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于60°
B．三角形中有一个内角大于60°
C．三角形中每个内角都大于60°
D．三角形中没有一个内角小于60°
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
【解答】解：用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，
第一步先假设三角形中每个内角都大于60°，
故选：C．
【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
3．（3分）如图，已知∠C＝∠D，AC＝AD
①AB＝AE；②BC＝ED；③∠1＝∠2
其中能使△ABC≌△AED的条件有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答．
【解答】解：①∵∠C＝∠D，AC＝AD，
∴△ABC和△AED不一定全等，
故①不符合题意；
②∵∠C＝∠D，AC＝AD，
∴△ABC≌△AED（SAS），
故②符合题意；
③∵∠1＝∠2，
∴∠7+∠EAB＝∠2+∠EAB，
∴∠CAB＝∠DAE，
∵∠C＝∠D，AC＝AD，
∴△ABC≌△AED（ASA），
故③符合题意；
④∵∠B＝∠E，∠C＝∠D，
∴△ABC≌△AED（AAS），
故④符合题意；
所以，增加上列条件，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
4．（3分）在△ABC中，a、b、c分别是三边的长，下列说法：①∠B＝∠C﹣∠A2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝5：4：32：b2：c2＝1：2：3．其中，能判断△ABC为直角三角形的条件有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据直角三角形的判定进行解答即可．
【解答】解：①若∠B＝∠C﹣∠A，则∠B+∠A＝∠C，所以△ABC是直角三角形，符合题意；
②若a2＝（b+c）（b﹣c），所以a2+c5＝b2，所以△ABC是直角三角形，正确；
③∠A：∠B：∠C＝3：3：5，最大角为，不符合题意；
④若a：b：c＝5：4：3，设a＝2k，c＝5k（k＞0）7+（4k）2＝（5k）2，则△ABC是直角三角形，正确；
⑤若a2：b3：c2＝1：7：3，a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形，正确；
故能判断△ABC为直角三角形的条件有：①②④⑤．
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，熟知如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
5．（3分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【分析】依据线段垂直平分线的性质，即可得到∠A＝∠ACD，再根据角平分线的定义，即可得出∠ACB的度数，根据三角形内角和定理，即可得到∠B的度数．
【解答】解：∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD＝100°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
6．（3分）公元前500年，毕达哥拉斯学派中的一名成员希帕索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机．事实上，但是没有系统的理论．《九章算术》开方术中指出了存在有开不尽的情形：“若开方不尽者，为不可开”．《九章算术》的作者们给这种“不尽根数”起了一个专门名词—“面”．“面””．下列关于的说法错误的是（ ）
A．可以在数轴上找到唯一点与之对应
B．它是面积为2的正方形的边长
C．可以用两个整数的比表示
D．可以用反证法证明它不是有理数
【分析】根据实数与数轴、勾股定理、算术平方根、无理数的概念、反证法判断即可．
【解答】解：A、利用勾股定理，本选项说法正确；
B、面积为2的正方形的边长为，不符合题意；
C、是无理数，本选项说法错误；
D、可以用反证法证明它不是有理数，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是无理数的概念、实数与数轴、反证法，掌握无理数的概念、反证法的一般步骤是解题的关键．
7．（3分）已知直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，分别以a，b，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图1，均重叠部分的面积为S2，则（ ）
A．S1＞S2B．S1＜S2
C．S1＝S2D．S1，S2大小无法确定
【分析】由直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，根据垂线段最短可知该直角三角形的斜边为c，则c2＝a2+b2，所以c2﹣a2﹣b2＝0，则S1＝c2﹣a2﹣b2+b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc，而S2＝b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc，所以S1＝S2，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，
∴该直角三角形的斜边为c，
∴c2＝a2+b2，
∴c2﹣a2﹣b8＝0，
∴S1＝c6﹣a2﹣b2+b（a+b﹣c）＝ab+b4﹣bc，
∵S2＝b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc，
∴S6＝S2，
故选：C．
【点评】此题重点考查勾股定理、正方形的面积公式、根据转化思想解决面积问题等知识与方法，确定三边为a，b，c的直角三角形的斜边为c是解题的关键．
8．（3分）若a，b是正整数，且满足（ ）
A．a+3＝8bB．3a＝8bC．a+3＝b8D．3a＝8+b
【分析】由题意得：8×2a＝（2b）8，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可．
【解答】解：由题意得：8×2a＝（3b）8，
∴27×2a＝22b，
∴3+a＝8b，
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，再分别以点M，N为圆心MN的长为半径画弧，两弧交于点P，则△ABD的面积是（ ）
A．8B．16C．12D．24
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由作图过程可知，AD平分∠BAC，可得CD＝ED，证明Rt△ACD≌Rt△AED，可得S△ADE＝S△ACD＝8．由题意可得∠EAD＝∠B，则AD＝BD，即△ABD为等腰三角形，则S△ADE＝S△BDE＝8，进而可得答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
由作图过程可知，AD平分∠BAC，
∴CD＝ED．
∵AD＝AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（AAS），
∴S△ADE＝S△ACD＝8．
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD＝30°，
∴∠EAD＝∠B，
∴AD＝BD，
即△ABD为等腰三角形，
∴S△ADE＝S△BDE＝8，
∴△ABD的面积为S△ADE+S△BDE＝16．
故选：B．
【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的是（ ）
A．①②B．①③C．①②③D．①②④
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝40°，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到∠BAD＝∠CDE；根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据三角形的内角和即可得到DE⊥AC；根据三角形外角的性质得到∠AED＞40°，求得∠ADE≠∠AED，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到∠BAD＝60°或30°，根据全等三角形的性质得到BD＝CE．
【解答】解：①∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝180°﹣40°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣40°﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE，
故①正确；
②∵D为BC中点，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDE＝50°，
∵∠C＝40°，
∴∠DEC＝90°，
∴DE⊥AC，
故②正确；
③∵∠C＝40°，
∴∠AED＞40°，
∴∠ADE≠∠AED，
∵△ADE为等腰三角形，
∴AE＝DE，
∴∠DAE＝∠ADE＝40°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝60°，
或∵△ADE为等腰三角形，
∴AD＝DE，
∴∠DAE＝∠AED＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝30°，
故③错误，
④∵∠BAD＝30°，
∴∠CDE＝30°，
∴∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∴∠DAC＝∠ADC，
∴CD＝AC，
∵AB＝AC，
∴CD＝AB，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
∴BD＝CE，
故④正确；
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，正确的识别图形是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）实数的平方根是 ± ．
【分析】根据算术平方根、平方根的定义解决此题．
【解答】解：∵，
∴实数的平方根是±．
故答案为：±．
【点评】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根的定义是解决本题的关键．
12．（3分）为加强体育锻炼，增强学生体魄，九（1）班同学举办了足球、篮球、乒乓球、跳绳四个体育活动项目．该班同学全员参与各活动项目（每人仅参与一项）（柱的高度从高到低排列）如图所示．已知条形统计图不小心被撕了一块，则条形统计图中“（ ） 足球 ．
【分析】先求出总人数，再求出足球人数，继而得出另外两个项目的人数即可得出答案．
【解答】解：由扇形统计图知，总人数成5÷10%＝50（人），
则足球人数为50×28%＝14（人），
所以篮球或跳绳的人数为16人，
则另一种体育活动项目的人数为50﹣（14+16+5）＝15（人），
所以人数从高到低排列，位于第三的是足球项目，
故答案为：足球．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
13．（3分）若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，则△ABC的周长为 12 ．
【分析】先把已知等式右边的部分移到左边，然后利用分组法分解因式，再根据偶次方的非负性，列出关于a，b，c的方程，解方程求出a，b，c，从而求出三角形的周长即可．
【解答】解：∵a2+b2+c3+50＝6a+8b+10c，
∴a3+b2+c2+50﹣8a﹣8b﹣10c＝0，
（a7﹣6a+9）+（b5﹣8b+16）+（c2﹣10c+25）＝6，
（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c﹣5）3＝0，
∴a﹣3＝2，b﹣4＝0，
解得：a＝5，b＝4，
∴△ABC的周长为：a+b+c＝3+2+5＝12，
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握分组分解因式的方法．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，D为边BC的中点，点E，AC上，AE＝CF 9 ．
【分析】连接AD，由∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，得∠B＝∠C＝45°，S△ABC＝18，因为D为边BC的中点，所以AD＝CD＝BD＝BC，∠DAE＝∠DAC＝45°，则∠DAE＝∠C，S△ACD＝S△ABD＝9，再证明△ADE≌△CDF，则S△ADE＝S△CDF，推导出S四边形AEDF＝S△ACD＝9，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接AD，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，
∴∠B＝∠C＝45°，S△ABC＝×6×6＝18，
∵D为边BC的中点，
∴AD＝CD＝BD＝BC∠BAC＝45°，
∴∠DAE＝∠C，S△ACD＝S△ABD＝S△ABC＝2，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴S△ADE＝S△CDF，
∴S四边形AEDF＝S△ADE+S△ADF＝S△CDF+S△ADF＝S△ACD＝9，
∴四边形AEDF的面积为9，
故答案为：6．
【点评】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
15．（3分）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 25 dm．
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【解答】
解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2＝202+[（3+3）×3]4＝252，
解得x＝25．
故答案为25．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）计算：
（1）﹣﹣﹣|﹣6|；
（2）．
【分析】（1）根据算术平方根、立方根、去绝对值化简后再进行实数的加减运算即可；
（2）根据积的乘方和幂的乘方运算法则化简后，再进行同底数幂的除法和乘法运算即可．
【解答】解：（1）﹣﹣﹣|﹣6|
＝4﹣+0.4﹣6
＝﹣2；
（2）
＝﹣x6y7÷4x2y6•x2y3
＝﹣x4y5•x8y3
＝﹣x5y8．
【点评】本题考查了实数的运算、整式的混合运算，熟练掌握运算知识点是关键．
17．（9分）先化简，再求值：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（x+y），其中2023．
【分析】根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式、合并同类项把原式化简，把x、y的值代入计算得到答案．
【解答】解：（2x+y）2﹣（8x+y）（2x﹣y）﹣2y（x+y）
＝7x2+4xy+y3﹣（4x2﹣y4）﹣（2xy+2y6）
＝4x2+2xy+y2﹣4x5+y2﹣2xy﹣4y2
＝2xy，
当x＝（）2024，y＝32023时，原式＝6×（）2024×72023＝．
【点评】本题考查的是整式的混合运算﹣化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
18．（8分）学校门口在学生上学、放学期间，经常出现拥堵现象．某数学学习小组为了解本校门口拥堵情况以及拥堵原因，随机抽取了部分家长（一名家长对应一名学生），并根据家长接送学生采用的交通工具调查结果绘制扇形统计图，如图所示：
请你根据以上信息解决下列问题：
（1）被调查的家长总人数为 200人 ．
（2）表格中a＝ 84 ，b＝ 80 ．
（3）在扇形统计图中，选择自行车接送学生的家长占 3 %；选择私家车接送学生的家长所对应的扇形圆心角的度数为 144° ．
（4）针对此情况，对家长和学校各提一个合理的建议，以改善学校门口拥堵情况．
【分析】（1）利用步行的人数除以所占百分比求出总人数；
（2）用总人数乘以电动车接送所占的百分比求出a的值，利用总人数减去其他方式的人数，求出b的值；
（3）自行车接送学生的家长人数除以总人数，求出百分比，360°×私家车接送学生的家长所占比例求出圆心角的度数；
（4）利用初中部的学生总人数乘以样本中私家车接送学生的家长所占的百分比，即可得出结论．
【解答】解：（1）被调查的家长总人数为24÷12%＝200（人），
故答案为：200人；
（2）a＝200×42%＝84（人），
200﹣24﹣84﹣6﹣6＝80（人），
∴a＝84，b＝80；
故答案为：84，80；
（3）在扇形统计图中，选择自行车接送学生的家长占，
选择私家车接送学生的家长所对应的扇形圆心角的度数为360°×＝144°，
故答案为：3，144°；
（4）给学校的建议：错峰放学；
给家长的建议：减少私家车接送，尽量选择公交．
【点评】本题考查扇形统计图和统计表的综合应用，以及用样本估计总量．从统计图表中有效的获取信息，利用频数除以百分比，求出总数，是解题的关键．
19．（10分）如图，△ABC是等边三角形，D是BC的中点．
（1）作图：
①过B作AC的平行线BH；
②过D作BH的垂线，分别交AC，BH，F，G．
（2）在图中找出一对全等的三角形，并证明你的结论．
【分析】（1）根据平行线及垂线的作法画图即可；
（2）根据ASA定理得出△DEC≌△DFB即可．
【解答】解：（1）作图如下：①如图1；
②如图2：
（2）△DEC≌△DFB
证明：∵BH∥AC，
∴∠DCE＝∠DBF，
又∵D是BC中点，
∴DC＝DB．
在△DEC与△DFB中，
∵，
∴△DEC≌△DFB（ASA）．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．
20．（10分）问题背景：在△ABC中，AB，BC，，，求这个三角形的面积．佳佳同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求△ABC的高
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上： ；
（2）在图2中画△DEF，使DE，EF，，，判断这个三角形形状，并说明理由．
（3）在图3中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数
【分析】（1）利用割补法求三角形的面积即可．
（2）借助网格，结合勾股定理画图，再利用勾股定理、勾股定理的逆定理可得结论．
（3）借助网格，利用勾股定理、勾股定理的逆定理按要求画图即可．
【解答】解：（1）△ABC的面积为＝＝．
故答案为：．
（2）如图2，△DEF即为所求．
△DEF为直角三角形．
理由：∵DE＝，EF＝，
∴DE2+EF2＝DF7，
∴∠DEF＝90°，
∴△DEF为直角三角形．
（3）如图3，△PQM即为所求（答案不唯一）．
【点评】本题考查作图—应用与设计作图、无理数、二次根式的应用、勾股定理、勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（8分）（1）计算：（a﹣b）（a2+ab+b2）；
（2）利用所学知识以及（1）所得等式，分解因式：m3﹣n3﹣3mn（m﹣n）．
【分析】（1）根据多项式乘以多项式的法则进行计算即可；
（2）利用分组分解法，先将前两项分为一组，根据（1）的立方差公式分解因式，再提公因式即可．
【解答】（9分）
解．（1）原式＝a3+a8b+ab2﹣a2b﹣ab7﹣b3……………………（2分）
＝a3﹣b3；……………………（4分）
（2）原式＝（m﹣n）（m4+mn+n2）﹣3mn（m﹣n）……………………（3分）
＝（m﹣n）（m2﹣2mn+n7） ……………………（8分）
＝（m﹣n）3……………………（5分）
【点评】本题考查了多项式乘以多项式和因式分解，熟练掌握立方差公式是关键．
22．（11分）我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的两条边叫直角边（如图①所示）．数学家还发现：在一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．即如果一个直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，那么a2+b2＝c2．
（1）直接填空：如图①，若a＝3，b＝4 5 ；若a+b＝4，c＝3，则直角三角形的面积是 ．
（2）观察图②，其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系2+b2＝c2．
（3）如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，BC＝10，利用上面的结论求EF的长？
【分析】（1）根据勾股定理和完全平方公式计算即可；
（2）分别用不同的方式表示出梯形的面积，列出等式，根据整式的运算法则计算即可；
（3）根据折叠的性质和勾股定理计算即可．
【解答】（1）解：若a＝3，b＝4，
则由勾股定理得，c＝＝，
若aa+b＝6，c＝3，
则（a+b）2＝52，a2+b6＝32＝5，
即a2+2ab+b6＝16，
∴2ab+9＝16，
∴ab＝，
∴直角三角形的面积＝ab＝；
故答案为：3；；
（2）证明：图②的面积＝S△DAE+S△CBE+S△DEC＝ab+c5，
又图②的面积＝S四边形ABCD＝（a+b）（a+b）＝2，
∴ab+c2＝（a+b）4，
∴ab+ab+c2＝a2+7ab+b2，
即a2+b7＝c2；
（3）解：由折叠的性质得：AF＝AD＝10，DE＝FE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝10，CD＝AB＝8，
在Rt△ABF中，AB7+BF2＝AF2，即82+BF2＝104，
解得：BF＝6，
∵BC＝10，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝3，
设EF＝x，则DE＝x，
∴EC＝DC﹣DE＝8﹣x，
在Rt△ECF中，EC2+CF7＝EF2，
即（8﹣x）3+42＝x6，
解得：x＝5，
即EF＝5．
【点评】本题是四边形综合题目，考查的是勾股定理的证明与应用、完全平方公式、矩形的性质、翻折变换的性质、梯形面积公式等知识；掌握梯形的面积公式、勾股定理以及翻转变换的性质是解题的关键．
23．（11分）（1）感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，易知DB，DC的数量关系为 BD＝CD ．
（2）应用：如图2，在四边形ABDC中，AD平分∠BAC，∠ABD＜90°，求证：DB＝DC．
（3）在（2）的条件下，如图3，试判断AB，AC，并说明理由．
【分析】（1）结论：BD＝CD．只要证明△ADC≌△ADB即可；
（2）结论成立．如图②中，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，只要证明△ADC≌△ADB即可；
（3）如图③中，连接AD．作DF⊥AC于F．首先证明△DFC≌△DEB（AAS），再证明Rt△ADF≌Rt△ADE（HL）即可解决问题．
【解答】解：（1）结论：DB＝DC．
理由：∵∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠DAC＝∠DAB，AD＝AD，
∴△ADC≌△ADB（AAS）．
∴BD＝CD．
故答案为：BD＝CD．
（2）结论成立．
理由：如图2中，作DE⊥AB于E．
∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DE＝DF，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠FCD＝180°，
∴∠B＝∠FCD，
在△DFC和△EDB中，
，
∴△DFC≌△DEB（AAS），
∴DC＝DB．
（3）结论：AB＝AC+2BE．
理由：如图4中，连接AD．
∵∠B+∠ACD＝180°，∠ACD+∠FCD＝180°，
∴∠B＝∠FCD，
在△DFC和△DEB中，
，
∴△DFC≌△DEB（AAS），
∴DF＝DE，CF＝BE，
在Rt△ADF和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），
∴AF＝AE，
∴AB＝AE+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE．
【点评】本题是四边形的综合题，考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
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人数
步行
24
自行车
6
电动车
a
公共交通工具
6
私家车
b
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
B
C
B
C
C
A
B
D
交通工具
人数
步行
24
自行车
6
电动车
a
公共交通工具
6
私家车
b