湖北省2024~2025学年高二数学下学期期中测试试卷含解析

这是一份湖北省2024~2025学年高二数学下学期期中测试试卷含解析，共17页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
试卷满分：150 分
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写
在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 如果函数 在 处的导数为 1，那么 （ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数的定义即可.
【详解】由题意可知 ，
则 .
故选：D
2. 等比数列 的各项均为正数，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
第 1页/共 16页
【解析】
【分析】由等比数列的基本性质得出 ，再结合对数的运算性质可求得结果
.
【详解】因为等比数列 的各项均为正数，且 ，
由等比数列的性质得 ，
因此， .
故选：B.
3. 系统的登录密码由 个字符组成，其中前 位是大写字母 、 、 、 的某种排列，后
位是不相同的数字 ，则可能的密码总数是多少（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用倍缩法可得出前 个位置的排法种数，利用排列计数原理可得出后两位的排法种数，再利用
分步乘法计数原理可得结果.
【详解】由题意可知，前 个位置中有两个位置安排字母 ，有 种，
然后从 中选择两个不同的数字排最后两个位置，有 种，
由分步乘法计数原理可知，可能的密码种数为 .
故选：C.
4. 函数 在 上单调递增的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将问题转化为 在 上恒成立，然后分离参数，构造函数，利用导数求得其最大值，
即可得到结果.
第 2页/共 16页
【详解】由题意可得 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，则函数 单调递增，
当 时， ，则函数 单调递减，
所以 时， 有极大值，即最大值， ，
所以 .
故选：A
5. 设函数 的导函数 ，则数列 的前 100 项和是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数 的导函数可得 ，再利用裂项求和可求得结果.
【详解】由 可得其导函数为 ，
又 ，可得 ，所以 ，
所以 ，
因此数列 的前 100 项和为
.
故选：C
第 3页/共 16页
6. 已知 ，则曲线 在 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先对原函数求导并结合赋值法求解原函数，再利用导数求出切线方程，求出切线和坐标轴的交
点，最后得到三角形面积即可.
【详解】因为 ，所以 ，
令 ，得到 ，解得 ，
代回原函数得到 ，
而 ，故切点为 ，
而 ， ，
设曲线 在 处的切线斜率为 ，
由导数的几何意义得 ，
故切线方程为 ，化简得 ，
令 ，得到 ，所以与 轴交点为 ，
令 ，得到 ，所以与 轴交点为 ，
且设三角形面积为 ，故 ，故 B 正确.
故选：B
7. 已知 是定义在区间 上的函数，其导函数为 ，且不等式 恒成立，则下列
结论正确的是（ ）
第 4页/共 16页
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式可构造函数 ，判断出函数 在 上单调递减即可
得出结论.
【详解】由 可得 ，
令函数 ，
可得 即 在 上单调递减，
因此可得 ，即 ，所以 .
故选：B
8. 初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任
意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数 ．设
，其中 均为自然数，则满足条件的有序数组 的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】这道题考查的是排列的应用，首先找出小于等于 的自然数的平方有哪些，再列出 可由哪些
平方数（不超过四个）相加而成，最后算出这些数的排列数即可.
【详解】小于等于 的自然数的平方有： ，而
，
由 构成的有序数组的个数为： 个；
由 构成的有序数组的个数为： 个；
第 5页/共 16页
由 构成的有序数组的个数为： 个；
所以一共有： 个.
故选：C.
【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，局部元素相同法求排列数：
在对元素进行排列时，出现部分元素相同时，则要除以相同元素数量的全排列，以消除顺序，有多少就除
多少；
思路点睛：解题时先求出 可由哪些平方数（不超过四个）相加而成，再应用排列的相关知识求排列数，
最后相加即为最后的答案；
关键点点睛：这道题考查排列及排列数问题，列出三种情况后能否求出其排列数是关键，故应对局部元素
相同的排列数的求法加以巩固.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列函数求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则计算即可.
【详解】由基本初等函数的导数公式可知，A 正确；
，故 B 错误；
，故 C 正确；
令 ，则 ，则 ， ，
则 ，故 D 错误；
故选：AC
10. 2025 年某影院在春节档引入了 5 部电影，包含 3 部喜剧电影、2 部动画电影．其中《哪吒之魔童闹海》
票房超 150 亿，成为全球动画票房冠军．该影院某天预留了一个影厅用于放映这 5 部电影，这 5 部电影当
第 6页/共 16页
天全部放映，则下列选项正确的是（ ）
A. 《哪吒之魔童闹海》不排在第 1 场，共有 96 种排法
B. 两部动画片放映的先后顺序固定（不一定相邻），一定共有 60 种排法
C. 两部动画片相邻放映，共有 48 种排法
D. 3 部喜剧电影不相邻，共有 24 种排法
【答案】ABC
【解析】
【分析】由特殊元素优先法即可判断 A，由倍缩法即可判断 B，由捆绑法即可判断 C，由插空法即可判断
D.
【详解】对于 A，先从剩下的四场中选一场排《哪吒之魔童闹海》，然后另外的 4 部电影全排列，
则有 种排法，故 A 正确；
对于 B，5 部电影全排列有 种排法，因为两部动画片放映的先后顺序固定，
则有 种排法，故 B 正确；
对于 C，先将两部动画片捆绑，再与另外三部电影全排列，
则有 种排法，故 C 正确；
对于 D，先排两部动画片，刚好形成 3 个空，将三部喜剧电影插入这 3 个空，
则有 种排法；
故选：ABC
11. 烟花三月，莺飞草长，美丽的樱花开满园.将樱花抽象并按照一定的规律循环出下图：
图①将樱花抽象后，得樱花数 ，图②以樱花五片花瓣为蕊作五个缩小版樱花，得樱花数 ，以此
类推.假设第 n 个图的樱花数是 ，设数列 的前 n 项和为 .则下列说法正确的是（ ）
A. B.
第 7页/共 16页
C. 数列 是递增数列 D. 数列 的前 n 项和为
【答案】BCD
【解析】
【分析】写出前 3 项可判断 A；利用累加法求出 ，继而可求出 ，判断 B，利用作差法判断数列单调性
可判断 C；利用裂项相消求和可判断 D.
【详解】A，由题意可知 ，显然 ，A 错误；
B，由题意可得 ，
则
，
也适合，故 ，
所以
，B 正确；
C， ，则
，
当 时， ，
即 ，故数列 是递增数列，C 正确；
D， ，
第 8页/共 16页
故数列 的前 n 项和为
，D 正确，
故选：BCD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 用数字 、 、 、 、 组成的无重复数字的四位数的个数为_______．（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】首位不能排 ，有 种选择，然后在剩余 个数字中选择 个排在剩余的三个数位上，结合分步乘
法计数原理可得结果.
【详解】首位不能排 ，有 种选择，然后在剩余 个数字中选择 个排在剩余的三个数位上，
因此，满足条件的四位数的个数为 个.
故答案为： .
13. 已知 与 分别是等差数列 与等差数列 的前 n 项和，且 ，则
_______．
【答案】4
【解析】
【分析】由等差数列下标和的性质，结合等差数列前 项和的性质即可求解.
【详解】由题意知 ，
由 ，
所以 ，
故答案为：4
14. 已知定义在 R 上的偶函数 满足 ，且当 时， ．若
第 9页/共 16页
，则 在点 处的切线方程为_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用赋值法令 ，可得 ，结合 为偶函数可得 ，由
，令 可得 ，由 为偶函数可得 ，再由直线的点斜式方程可得结果.
【详解】因为 ，所以 ，即 ，
令 ，有 ，所以 ，
因为 为偶函数，所以 ，
由 ，令 得 ，所以 ，
因为 为偶函数，所以 ，
所以 在点 处的切线方程为 ，
即
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 数列 的前 项和为 ，已知 且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）在数学中，常用符号“ ”表示一系列数的连乘，求集合 中元素的个数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当 可求出 的值，当 时，由 可得 ，两式作差可得出
，结合 可知数列 为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列 的通
项公式；
第 10页/共 16页
（2）化简 的表达式，然后解不等式 ，即可得出所求集合元素的个数.
【小问 1 详解】
因为 ，即 ，
当 时，可得 ，则 ，
当 时，由 可得 ，
上述两个等式作差可得 ，整理可得 且 ，
所以，数列 为首项为 ，公比为 的等比数列，故 .
【小问 2 详解】
由题可知：
所以集合
故集合 中元素的个数为 .
16. 2025 武汉马拉松于 3 月 23 日鸣枪开跑，4 万名跑者踏上一条串联历史与诗意、自然与繁华的赛道，感
受这座“每天不一样”的城市的蓬勃心跳．本次赛事设置全程马拉松、半程马拉松和 13 公里跑 3 个项目，社
会各界踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等 5 名大学生志愿者拟安排在三个项目进行志愿者活动，求
（1）若将这 5 人分配到三个比赛项目，每个比赛项目至少安排 1 人，有多少种不同的分配方案？
（2）若全程马拉松项目安排 3 人，其余两项各安排 1 人，且甲乙不能安排在同一项目，则有多少种不同的
分配方案？
【答案】（1）150 （2）14
【解析】
【分析】（1）按照 1，1，3 或 1，2，2 两种方式，先分组再分配即可；
（2）先考虑 5 人中选 3 人安排到全程马拉松项目的所有情况，再计算甲乙两人在同一个项目的情况，利用
间接法即可.
【小问 1 详解】
第 11页/共 16页
将 5 个人分成 3 组，且每组至少 1 人，有两种分法，
若为 1，1，3，则有 种分组方式，
再将分好的组进行分配，则不同的分配方案有共有 种；
若为 1，2，2，则有 种分组方式，
再将分好的组进行分配，则不同的分配方案有共有 种，
所以由分类加法计数原理可知，共有 种不同的分配方案.
【小问 2 详解】
先从 5 人中选 3 人安排到全程马拉松项目，有 种方法，
然后剩下 2 人安排到其余两个项目，每个项目安排 1 人，有 种，
则共有 种分配方案，
若甲乙两人在同一个项目，则甲乙只能安排到全程马拉松项目，则剩下的 3 人每个项目安排 1 人即可，有
种分配方案，
最后共有 种分配方案.
17 已知 ．
（1）求函数 极值；
（2）过点 做曲线 的切线 l，求切线 l 的方程．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）对函数求导并对参数 的取值进行分类讨论，得出函数单调性即可求得极值；
（2）设切点为 ，求出切线方程代入点 可求得切点坐标，即可得切线方程.
【小问 1 详解】
函数 定义域为 ， ，
当 时， ，则 上单调递增，此时 无极值；
第 12页/共 16页
当 时，令 ，则 ，则 在 上单调递增；
令 ，则 ，则 在 上单调递减；
此时 的极小值为 ，无极大值.
综合上述，当 时， 无极值；
当 时， 的极小值为 ，无极大值.
【小问 2 详解】
设直线 与曲线 的切点坐标为 ，
由（1）知 ，则在点 处的切线斜率为 ，
故切线方程为 ，①
将点 代入得
解得 .
代回①得切线方程为 .
18. 等差数列 的前 n 项和为 ，数列 满足
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）若从数列 中依次剔除与数列 的公共项，剩下的项组成新的数列 ，求数列 的前 50
项和 ．
【答案】（1） ，
（2）4231
【解析】
【 分 析 】（ 1） 利 用 等 差 数 列 的 性 质 求 出 公 差 即 可 求 数 列 的 通 项 公 式 ； 利 用 降 标 作 差 求 得
，再代入检验 即可；
（2）计算 以及 至 ，即可观察得出数列 中的项，进而利用等差数列的前 项和公式计算.
第 13页/共 16页
【小问 1 详解】
因数列 是等差数列，则 ，得 ，
又 ，所以 ，所以等差数列 的公差 ，
则 ，
因 ，
则当 时， ，
两式作差得 ，即 ，
令 ，得 ，则 ，满足上式，则 ，
综上，数列 的通项公式为 ，
数列 的通项公式为 .
【小问 2 详解】
由（1）可得， ，且 ，
经验证数列 前 50 项中与数列 的公共项共有 4 项，分别为 ，
从而数列 中去掉的是 这 4 项，
所以 .
19. 已知函数
（1）求函数 的单调区间；
（2）若 有两个不相等的实数根 ，求证： .
【答案】（1）函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）通过对函数 求导，借助于导函数的正负，即可判断函数 的单调区间；
（2）由 是 的两个不等实数根，由（1）知 ，构造新函数，利用函数的单调性
分析证明即可.
第 14页/共 16页
【小问 1 详解】
函数 的定义域为 ，对函数求导得 ，
令 ，可得 ，此时，函数 在 上单调递减，
令 ，可得 ，此时，函数 在 上单调递增，
所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
【小问 2 详解】
由题知
不妨设 ，由（1）知 ，
要证 ，即证 ，即证 ，
又 ，即证 ，
令 ，其中 ，
则 ，
因为 ，则 ，
所以， ，故函数 在 上为减函数，
又因为 ，所以 对任意 恒成立，
则 ，即 ，故 成立.
接下来证明 ，
令 ，则 ，又 ，
即 ，所以 ，
要证 ，即证 ，
不等式 两边取对数，即证 ，
即证 ，即证 ，
第 15页/共 16页
令 ， ，则 ，
令 ，其中 ，则 ，
所以 在 上单调递减，
则当 时， ，
故当 时， ，
可得函数 在 上单调递减，可得 ，
即 ，所以 ，
综上， .
第 16页/共 16页