浙江省永嘉中学2026届高三上学期Z20开学考试数学试卷

这是一份浙江省永嘉中学2026届高三上学期Z20开学考试数学试卷，共10页。试卷主要包含了 则以下结论中，不正确的是，2 5等内容，欢迎下载使用。
本科目试卷共 1 张，4 页,19 道小题。满分 150 分，考试时间 120 分钟。答题前，请务必检查试题卷与答题卷印刷情况，并将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷，草稿纸上作答一律无效。同时考生请注意端正考试行为，把握考试时间，预祝考试顺利。
非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用 2B 铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效。
一．选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，每题有且仅有一个正确选项符合题意，共计 40 分。
对于命题、,若 ∨ ¬是假命题，下列说法正确的是
、都是真命题 B．、都是假命题C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题
将收集到的 6 组数据对(, )( = 1,2,3,4,5,6)制作如图所示的散点图
1
（点旁数据为该点坐标），由最小二乘法计算得回归直线1方程：^ = ^1 + ^1相关系数为1，相关指数为2；残差分析确定点对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的 5 组数据计算得回归直线2方程：^ = ^2 + ^2，相关系数为
2
2，相关指数为2. 则以下结论中，不正确的是
A．1 > 0，2 > 0B．^1 > 0，^2 > 0C．^1 > ^2D．2 > 2
12
空间直角坐标系中过点1,2, − 1的直线的一个方向向量为1,1,1，直线与轴之间的距离为
2
A．2B．
C． 2
2
D．1
2
运用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的
两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等．现将椭圆2 + 2 = 1 绕轴旋转一周后得一橄榄
49
状的几何体（如图③），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于
A．8πB．16πC．24πD．32π
高三数学 试题第 1页 （共 4页）
在△ ?中，内角 A，B，C 对边分别为 a，b，c，若2, 2, 22成等差数列，则 tan( − ?)的最小值为
A．1
3
B．1
2
C．− 2
3
D．− 3
3
已知函数 = − 22 + − + 1（a， ∈ 且 ≠ 2）在区间1,2上有零点，则2 + 2最小值为
A．3
4
B．1
2
C．1D．2
+1
已知递增正整数数列满足+2 = （ ∈ N∗），则 A． < −1 + 1 B．1，2，3可能成等比数列 C．3 ⋅ 4 < 5D．3，4，5可能成等比数列
如图，在正方体?? − ??中，在棱?上，? = ， 平行于??的直线在正方形??内，点到直线的距离记为，记二面角 − − 为，已知初始状态下 = 0， = 0，则
当增大时，先增大后减小 B．当增大时，先减小后增大 C．当增大时，先增大后减小 D．当增大时，先减小后增大
二．选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，每题至少有一个正确选项符合题意，共计 18 分。
9．关于非零复数1 = + i，2 = + i, , ∈ R 及其共轭复数1，2，下列说法正确的有
A．12 + 12 = 0B．11 = 22
C．2 = 2
D． 12 = 21
11
0122025
已知(1  x)2025  a  a x  a x2   ax2025 ，则
展开式的各二项式系数的和为 0B． a1  a2   a2025  1
22025 a
 22024 a  22023 a
  a1
1  1   1
 1
0122025
a1a2a2025
11．已知空间向量̅→，̅→，̅→两两的夹角均为60∘，且 ̅→ = ̅→ = 2， ̅→ = 4.若向量̅→，̅→满足̅→ ⋅ ̅→ + ̅→ = ̅→ ⋅ ̅→，
̅→ ⋅ ̅→ + ̅→ = ̅→ ⋅ ̅→，则 ̅→ − ̅→ 的可能值是
3
A．1 + 2
B．6C．9-2
D．5 − 3
2
3
三．填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分。
12.设集合 = 1,2,3，则的非空子集个数为 ▲ ．
如图，两个正方形 ABCD，CDEF 边长都是 2，且二面角 A  CD  E 为 60°，M，N 为对角线 AC 和 FD 上的动点，且满足 AM  FN ，则线段 MN 长的最小值为 ▲ ．
已知样本：1，2，3，4，5 N ，该样本的平均数为
7，样本的方差为 4，且样本的数据互．不．相．同．，则样本数据中的最大值是▲.
高三数学 试题第 2页 （共 4页）
四．解答题：本题共 5 小题，其中第 15，16，17，18 题一题 15 分，第 19 题 17 分，共计 77 分。
如图所示，一条直角走廊宽为? > 0。
若位于水平地面上的一根铁棒在此直角走廊内能水平地通过此直角走廊，求此铁棒最大长度；
现有一辆转动灵活的平板车，其平板面是矩形，它的宽?为? (0 < < )如图2.平板车若想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米？
16.在已知数列 n 中， 1n13n1
 2n1
a a  2, a  3n

 2n
an , n为偶数 an , n为奇数
求数列an 的通项公式.
npqr
数列a 中是否存在不同的三项a , a , a  p, q, r  N*  恰好成等差数列？若存在，求出 p, q, r 的关系；若不存在，请说明理由.
猜灯谜是我国元宵节传统的文化活动.
某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为?、两类，抽到较易的?类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的类并答对购物打七折优惠.抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有 8 张完全相同的卡片，其中 3 张写有字母，3 张写有?字母，2 张写有字母，顾客每次不放回从箱中随机取出 1 张卡片，若抽到写有的卡片，则再抽 1 次，直至取到写有?或卡片为止，问：已知该顾客最后一次取到的是写有的卡
片的条件下，求他共抽了 3 次的概率.
小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到条灯谜(不妨设每条灯谜的适合度各不相同)最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前(1 ≤ < )条灯谜，自第 + 1 条开始，只要发现比他前面见过的灯谜适合的，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条.设 = ，记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为.
（i）若 = 4, = 2，求；
+
>
取
（ii）当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值.（ 11 + ⋯ + 1 = ln
+1−1
高三数学 试题第 3页 （共 4页）
已知平面内一动圆过点2,0，且该圆被轴截得的弦长为 4，设其圆心的轨迹为曲线，点 A，B，C， D 为曲线 的四点。
(1)若梯形??的四个顶点均在曲线上，?//?，对角线与??交于点2,1.
求直线?的斜率；
证明：直线?与?交于定点.
(2)已知点(5, − 2)。过点 R 作直线1交曲线于 A，B 两点，M 为线段?的中点，点 Q 为曲线上的一点 且始终满足|?| = 2||，过点 Q 作直线2 ⊥ 1交曲线于点 D，N 为线段?的中点，F 为曲线的焦点，记△ ??的面积为1，△ ?的面积为2，求1 + 2的最小值．
​
.
Ⅰ 已知函数 = e + sin − cs − 1, ∈ 0, π ，
2
(1)当 = 1 时，求函数 的值域；
(2)若函数 ≥ 0 恒成立，求的取值范围.
Ⅱ. M 瓶酒中有 m 瓶毒酒，活着的老鼠可以无限量饮用并且会因为喝了毒酒在 d 日死亡，至少需要 A
只活着的老鼠才能于 t 日内检测出毒酒。请从下列三种情况中选出两种，试求出对应情况下的 A。
(1)M=1000, m=1, d=3, t=3 (2)M=10, m=7, d=1, t=3 (3)M=1000, m=7, d=1, t=2
高三数学 试题第 4页 （共 4页）
参考答案
13.2 5
5
12.714.10
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
D
B
B
D
C
C
C
题号
9
10
11
答案
ABD
BCD
AB
0,
15．（1）易知? = ?(sin?+cs?)，? ∈
sin?cs?
.令? = sin? + cs? = 2sin ? +
∈ (1, 2]，则sin?cs? = ?2―1
?(sin?+cs?)
2??
2?
12??
?
2
?
4
2? 2
( 2) ―1
2
2
即? ===1当? ∈ (1, 2]时，? ― 单调递增，? =1单调递减.则? = 2即? = 时?min =
sin?cs??2―1?―??―4
= 2 2?
??
若一根铁棒能水平地通过此直角走廊，则需此铁棒的最大长度为2 2? ?
???
（3）延长??分别交??，??于?，?，设∠??? = ?，则∠??? = 2 ― ?.，可知?? = ? = sin? +
，
cs?
在??????中，?? = ?
??
在??????中，?? = ?tan?则?? = ?? = ?? ― ?? ― ?? =+
― ?
― ?tan
= ?(sin?+????) ― ?
tan?
cs?
sin?
sin?
cs?
+
?
= ?(sin?+????) ― ?sin2?+cs2?
= ?(sin?+????) ―?
sin?
cs?
tan?
sin?cs?
sin?cs?
sin?cs?
sin?cs?
sin?cs?
?
4
令? = sin? + cs? = 2sin ? +，? ∈ (1, 2]则sin?cs? = ? ―1，即?? = 2??―2? = 2?(?―1)+2?―2? = 2? +
2
2?2―1
?2―1
?+1
2?―2?，? ∈ (1, 2]，(? > ? > 0).当? ∈ (1, 2]时?? = 2? + 2?―2?单调递减.则? = 2即? = ?时??
2?
2+1
=+
?2―1
?+1
?2―1
4min
2?―2?
( 2) ―1
2
= 2 2? ― 2?.
平板车若想顺利通过直角走廊，其长度?不能超过2 2? ― 2? ?
​
32  a2
32n
32n
22n1
由题意得a2  1  3
21
 9  0 ， a2n 
22n1
a2n1  22n1 
32n2
a2n2  9a2n2 ，
2n2n2
所以a  成等比数列，故a a  9n1  9n  32n ；
22n1
22n1
32n2
a  2  0
a2n1 
32n
a2n 
32n
 22n1 a2n1  2 a2n1  4a2n1 ，而 1
,
2n ,
n为奇数
所以a 成等比数列，故a a  4n1  2  4n1  22n1 ，故a  ；
2n1
2n11
n3n ,
n为偶数
npqr
设a 中存在不同的三项a , a , a  p, q, r  N*  恰好成等差数列，
①若 p, q, r 均为奇数，不妨设 p  q  r ，则ap  ar  2aq ，即2 p  2r  2  2q ，得
1 2r  p  2q p1 ，
因为1 2r  p 是奇数， 2q p1 是偶数，故1 2r  p  2q p1 不可能成立；
②若 p, q, r 二奇一偶，不妨设 p, q 为奇数， r 为偶数，
则ap , aq 为偶数， ar 为奇数，则ap  aq  2ar ，即2 p  2q  2  3r ，因为
pp
2 p  3 1p  3p  C1 3p1 1 L C p131p1 1 被 3 除余 2，同理2q 也被 3 除余 2，故
2 p  2q 被 3 除余 1，而2  3r 为 3 的倍数，故2 p  2q  2  3r 不可能成立；
③若 p, q, r 一奇二偶，不妨设 p, q 为偶数， r 为奇数，则ap , aq 为奇数， ar 为偶数，则
ap  aq  2ar ，即3p  3q  2  2r ，
因为3p  3q 为 3 的倍数， 2  2r 不是 3 的倍数（被 3 除余 1），故3p  3q  2  2r 不可能成立；
④若 p, q, r 均为偶数，不妨设 p  q  r ，则ap  ar  2aq ，即3p  3r  2  3q ，得
npqr
1 3r  p  2.3q p ，因为1 3r  p 被 3 除余1, 2  3q p 是 3 的倍数，故3p  3r  2  3q 不可能成立，综上a 中不存在不同的三项a , a , a  p, q, r  N*  恰好成等差数列.
​
设?表示共抽了 3 次，对应事件为{第一、二次都抽到?，第三次抽到?}，
3 2132
由题意，第一、二次抽到?的概率依次为、，第三次抽到?的概率为，所以?(?) = × ×
8 7387
1 = 1 ，
328
而最后一次抽到?的情况有{抽了 1 次}、{抽了 2 次}、{抽了 3 次}、{抽了 4 次}，
1323132121
除了最后一次，其它抽到?，故对应概率依次为、 × = 、、 × × × =，
48728288765140
所以该顾客最后一次取到的是写有?的卡片的条件下，求他共抽了 3 次的概率为1
4
1
28
+ 3 + 1 +
28 28
1
140
= 5 .
56
4
（2）（i）这4条灯谜的位置从第1个到第4个排序，有A4 = 24种情况，要摘到那条最适合灯谜，有以下两种情况：
3
①最适合灯谜是第3个，其它的随意在哪个位置，有A3 = 6种情况；
2
②最适合灯谜是最后一个，第二适合灯谜是第1个或第2个，其它的随意在哪个位置，有2A2
= 4种情况，
综上，所求概率为6+4 = 5 ；
2412
1
（ii）记事件?表示最适合灯谜被摘到，事件??表示最适合灯谜排在第?个，则?(??) = ?，由
全概率公式知：?(?) =
?
?=1
?(?|??)?(??) =
?
1
?
?=1
?(?|??)，当1 ≤ ? ≤ ?时，最适合灯谜在
前?条中，不会被摘到，此时?(?|??) = 0；
当? +1 ≤ ? ≤ ?时，最适合灯谜被摘到，当且仅当前? ― 1条灯谜中的最适合那条在前?个之中
时，此时?(?|? ) = ? ，
??―1
所以?(?) =
+ ?
+ ⋯ +
? ?? ?1 ?1
?
?―1
= ln，令?(?) = ln(? > 0)，则?′(?) = ln ― ，由?′(
1 ?
? ?
?+1
? ?
? ?
? ??
?
?) = 0，得? = e，
????
当? ∈ (0,e)时，?′(?) > 0，当? ∈ (e,?)时，?′(?) < 0，所以?(?)在(0,e)上单调递增，在(e,?)
?(?)
?1?
? ?1
上单调递减，故
max = ?(e) = e，当? = e时，?(?) = ?ln?取得最大值e，从而?的最大值
11
为，此时?的值为 .
ee
​
(1) 曲线?的方程为?2 = 4?.
（i）由题意可知：直线??的斜率不为 0，设??:? = ?? + ?(? ≠ 0),?(?1,?1),?(?2,?2),?(?3,?3)
,?(?4,?4)，
联立方程 ? = ?? + ? ，消去 x 可得?2 ― 4?? ― 4? = 0，则Δ = 16?2 +16? > 0，可得? + ?
?2 = 4?12
= 4?,?1?2 = ―4?，
?1―2
? = ?1―2 (? ― 1) + 2
? ―1
2 4(?1―2)
1
1
可知直线??:? = ? ―1(? ― 1) +2，联立方程
4(?1―2) ― 8 = 0，
1
?1―1
1，消去 x 可得? ―
?2 = 4?
? ―1 ? +
由题意可知：?1 + ?3 =
4(?1―2)? =
? ―1 ，即 3
1
4?1―8
?1―1
― ?1，且?2 = 4?1，可得?3 =
4?1―8
?1―1
?2―8
1
― ? = 1
?1―1
― ?1
?1―8，
=
?1―1
?2―8
?3―?4
?3―?44
44[?1?2―(?1+?2)+1]
同理可得：?4 =
，则??? = ? ―?
= ?2 ― ?2 =
= ?1―8 +?2―8 ==
4?+4?―1，
2?+9?―4
?2―1
34
3 444
?3+?4
? ―1 1
? ―1 2
2?1?2―9(?1+?2)+16
1
因为??//??，则??? = ???，即? =
4?+4?―1
，整理可得(2? ― 1)(? + ? ― 2)，由题意可
= 0
2?+9?―4
知：点?(2,1)不在直线??:? = ?? + ?上，则? + ? ≠ 2，即? + ? ― 2 ≠ 0，可得2? ― 1 = 0，
11
即? = 2，所以直线??的斜率??? = ? = 2；
4
（ii）由（i）可知：?1 + ?2 = 2，则??的中点?(?,1)，又因为??? = ? +?
= 2，即?3 + ?4
34
= 2，则??的中点?(?,1)，
即直线??:? = 1，由梯形的性质可知：直线??与??的交点即为直线??与??的交点，因为
?1―?4
直线??的斜率??? = ? ―?
?1―?4
= ?2 ― ?2 =
4
，则直线??:? =
?1+?4
(? ― ?1) + ?1，令? = 1可得
14
1 444
?1+?44
2? ―8 ? ? ―8
? ―1
? ―1
? = ?1+?4(1 ― ? ) + ?1 = ?1+?4―?1?4 = ?1+ 2 ― 1 2 = 7(?1+?2)―6?2―8 = 14―6?2―8 = ― 3，即直
414
422
4
4(?2―1)
4(?2―1)2
线??与直线??的交点为? ― 3 ,1 ，所以直线??与??交于定点? ― 3 ,1 .
22
当?1不经过点 Q 时，|??| = 2|??|等价于?? ⊥ ??，即??? ⋅ ??? = ―1．因为?1分别交 C 于 A，B 两点，所以?1不平行于 x 轴，设?1:? = ?? +2? +5，?(?1,?1)，?(?2,?2)，?(?0,?0)，联立?1与 C 方程，得?2 ― 4?? ― 8? ― 20 = 0，
且Δ = 16?2 +4(8? +20) = 16(?2 +2? +5) > 0，由韦达定理，得?1 + ?2 = 4?，?1?2 = ―8
? ― 20，
?1―?0
又??? = ? ―?
?1―?0
= ?2 ― ?2 =
―4
，同理??? =
4
，所以??? ⋅ ??? =
16
= ―1，所以
10
1 044
?1+?0
?2+?0
(?1+?0)(?2+?0)
?1?2 + ?0(? + ? ) + ?2 +16 = 0，代入整理得4?(? ― 2) + ?2 ― 4 = 0，要使该式恒成立，
12000
则 ?0 ― 2 = 0 ，解得? = 2,? = 1，又经检验，当? 经过点 Q 时，|??| = 2|??|仍然成立，
0
?2 ― 4 = 0001
所以存在定点?(1,2)使得|??| = 2|??|；因为?2分别交 C 于 A，B 两点，
所以?2不平行于 x 轴，且? ≠ 0，又因为?2 ⊥ ?1，设?2:? = ―
1
? +
+1，?(?3,?3)，联立?2与
2
??
C 方程，得?2 +
4
? ―
8 ― 4 = 0，
且Δ = 16( 1
?
2
+ 1)
?
> 0，所以? ≠ ―1；因为 N 为??中点，所以?? =
?0+?3 = ―
2
，且?? =
?1+?2
2
2
??
= 2?，所以? + ? = 1 ⋅ |??| ⋅ |? ― ? | = |? + 1 |，所以? = |? + 1 | = |?| + 1 ≥ 2，当
112
???
?|?|
? = 1时取到等号，所以折线? ― ? ― ? ― ? ― ?围成面积的最小值为 2，即?1 + ?2最小值为
2．
​
（1）因为?(?) = e? + sin? ― ?cs? ― 1，所以?′(?) = e? + cs? + ?sin? ― cs? = e? + ?
π
2
sin? > 0 ? ∈ 0,，
π
2
πππ
∴ ?(?)在? ∈ 0,
2
上单调递增又∵ ?(0) = 0,?
= e2， ∴ ?(?)的值域是 0,e2 .
（2）方法一：①当? ≤ 0时，
?(?) = e? + sin? ― ??cs? ― 1 ≥ sin? ― ??cs? ≥ 0在? ∈ 0, π 上恒成立，
2
②当0 < ? ≤ 1时，?′(?) = e? + cs? + ??sin? ― ?cs? = e? + ??sin? + (1 ― ?)cs? >
π
2
(1 ― ?)cs? > 0 ? ∈ 0,，
∴ ?(?)在? ∈ 0, π 上单调递增， ∴ ?(?) ≥ ?(0) = 0成立.
2
③当? > 2时，令?(?) = ?′(?) = e? + cs? + ??sin? ― ?cs?，则?′(?) = e? + (? ― 1)sin? + ?
(sin? + ?cs?) > 0，
π
2
所以?(?)在? ∈ 0, π 上单调递增，即?′(?)在? ∈ 0, π 上单调递增， ∵ ?′(0) = 2 ― ? < 0,?′
22
ππ
= e2 + 2? > 0，
π
2
∴ ∃?0 ∈ 0,使得当? ∈ (0,? )时?′(?) < 0，故?(?)在? ∈ (0,? )上单调递减，则?(? ) < ?(0)
000
= 0,不成立，
④当1 < ? ≤ 2时，令?(?) = ?′(?) = e? + cs? + ??sin? ― ?cs?，则?′(?) = e? + (? ― 1)sin?
+ ?(sin? + ?cs?) > 0，所以?(?)在? ∈ 0, π 上单调递增，即?′(?)在 0, π 上单调递增，∴ ?′(?)
22
≥ ?′(0) = 2 ― ? ≥ 0，即?(?)在 0, π 上递增，则?(?) ≥ ?(0) = 0成立.综上所述，若函数?(?)
2
≥ 0恒成立，则? ≤ 2.
π
2
π
2
方法二
π
当? = 0时，?(0) = 0成立，当? = 2时，?
π
= e2 ≥ 0成立，当? ∈ 0,
时，? ≤
e?+sin?―1恒
?cs?
成立，令?
= e?+sin?―1，则? ≤ ?(?)
，又 ∵ e? ― 1 > ? ∴ ?
= e?+sin?―1 > ?+sin?，令ℎ
(?)
?cs?
min
(?)
?cs?
?cs?
(?)
?+sin?
= ?cs? ,ℎ′(?) =
(1+cs?)⋅?cs?―(?+sin?)(cs?―?sin?)，
?2cs2?
π
2
∵ 当? ∈ 0,
时，? > sin?， ∴ ℎ′(?) >
sin?+?2sin?―sin?cs? =
?2cs2?
sin?(1―cs?)+?2sin? > 0， ∴ ℎ在
(?)
?2cs2?
π
2
0,
上单调递增.
?+sin?
lim= lim
1+cs?
= 2，，故ℎ
> 2， ∴ ?
= e?+sin?―1 > 2，又∵ lime?+sin?―1 = lim
?→0
?cs?
?→0
cs?―?sin?
(?)
(?)
?cs?
?→0
?cs?
?→0
e?+cs? cs?―?sin?
= 2，
∴ ?(?)min→2，故? ≤ 2.
（1）10（将 1000 瓶酒编号为 0 到 999。用 10 只老鼠，编号为 0 到 9）
（2）8
（3）46
解决方案：互斥组测试策略，采用互斥组测试（即酒瓶被划分为互不相交的组）：1.第一轮（第一天）：将 1000 瓶酒划分为 (m) 个互斥组（每组大小尽量均匀）。每只老鼠测试一个组：喝下该组所有酒瓶的混合液。
如果组内无毒酒，老鼠存活。
如果组内至少有一瓶毒酒，老鼠死亡（1 日内）。
第一轮结束（第一天结束时），观察老鼠生死状态，确定死亡组（至少有一瓶毒酒）和存活组（无毒酒）。2. 可疑酒瓶集合：毒酒一定位于死亡组中（存活组无毒酒）。设死亡组数为 d，可疑酒瓶总数记为 S。3. 第二轮（第二天）：使用第一轮存活的老鼠（数量为 k = m - d)测试可疑酒瓶集合 S。每只存活老鼠测试 S 的一个子集（喝混合液）。第二天结束时，根据老鼠生死状态确定毒酒子集。