（中考）2024年吉林省数学试卷[原卷+解析]

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注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1. 若的运算结果为正数，则内的数字可以为（ ）
A. 2B. 1C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则，分别计算出与四个选项中的数的乘积即可得到答案．
【详解】解：，，，，
四个算式的运算结果中，只有3是正数，
故选：D．
2. 长白山天池系由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达，数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：
故选B．
3. 葫芦在我国古代被看作吉祥之物．下图是—个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是（ ）
A. 主视图与左视图相同B. 主视图与俯视图相同
C. 左视图与俯视图相同D. 主视图、左视图与俯视图都相同
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据三视图的定义找到葫芦的三视图即可得到答案．
【详解】解：葫芦的俯视图是两个同心圆，且带有圆心，主视图和俯视图都是下面一个较大的圆，中间一个较小的圆，上面是一条线段，
故选：A．
4. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键．
分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断．
【详解】解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意；
B、，解得：，故本选项符合题意；
C、，，解得，故本选项不符合题意；
D、，，解得，故本选项不符合题意．
故选：B．
5. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到，再由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，，据此可得答案．
【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴，
∵四边形矩形，
∴，
∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，
∴，，
∴轴，
∴点的坐标为，
故选：C．
6. 如图，四边形内接于，过点B作，交于点E．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据得到，再由四边形内接于得到，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∴,
故选：C．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
7. 当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为______．
【答案】0（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，根据题意可得，则，据此可得答案．
【详解】解：∵分式的值为正数，
∴，
∴，
∴满足题意的x的值可以为0，
故答案为：0（答案不唯一）．
8. 因式分解：a2﹣3a=_______．
【答案】a（a﹣3）
【解析】
【分析】直接把公因式a提出来即可．
【详解】解：a2﹣3a=a（a﹣3）．
故答案为a（a﹣3）．
9. 不等式组的解集为______．
【答案】(或)
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
故答案为：．
10. 如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是______．

【答案】两点之间，线段最短
【解析】
【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟记相关结论即可．
【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近，
其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短
故答案为：两点之间，线段最短．
11. 正六边形的每个内角等于______________°．
【答案】120
【解析】
【详解】解：六边形的内角和为：（6-2）×180°=720°，
∴正六边形的每个内角为：，
故答案为：120
12. 如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到，，再证明，进而可证明，由相似三角形的性质可得，即．
【详解】解：∵正方形的对角线相交于点O，
∴，，
∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
故答案为：．
13. 图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键．
设的长度为x尺，则，在中，由勾股定理即可建立方程．
【详解】解：设的长度为x尺，则，
∵，
由勾股定理得：，
∴，
故答案为：．
14. 某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制铅球场地设计图如图所示，该场地由和扇形组成，分别与交于点A，D．，，，则阴影部分的面积为______（结果保留）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
利用阴影部分面积等于大扇形减去小扇形面积，结合扇形面积公式即可求解．
【详解】解：由题意得：，
故答案为：．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，6
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，平方差公式，先利用平方差公式化简，再进行合并同类项，最后代入求值即可．
【详解】解：原式
，
当时，
原式
．
16. 吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道靓丽的风景线，某滑雪场为吸引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩．若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法，求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．画出树状图，可知共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：将“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目分别记为事件A、B、C，可画树状图为：
由树状图可知共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种，
∴幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目概率．
17. 如图，在中，点O是的中点，连接并延长，交的延长线于点E，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行推出，再由线段中点的定义得到，据此可证明，进而可证明．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点O是的中点，
∴，
∴，
∴．
18. 钢琴素有“乐器之王”的美称，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．
【答案】白色琴键52个，黑色琴键36个
【解析】
【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意是解题的关键．
设黑色琴键x个，则白色琴键个，可得方程，再解方程即可．
【详解】解：设黑色琴键x个，则白色琴键个，
由题意得：，
解得：，
∴白色琴键：（个），
答：白色琴键52个，黑色琴键36个．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E，O均在格点上．图①中已画出四边形，图②中已画出以为半径的，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
（1）在图①中，面出四边形的一条对称轴．
（2）在图②中，画出经过点E的的切线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，切线的判定，画对称轴等等：
（1）如图所示，取格点E、F，作直线，则直线即为所求；
（2）如图所示，取格点，作直线，则直线即为所求．
【小问1详解】
解：如图所示，取格点E、F，作直线，则直线即为所求；
易证明四边形是矩形，且E、F分别为的中点；
【小问2详解】
解：如图所示，取格点，作直线，则直线即为所求；
易证明四边形是正方形，点E为正方形的中心，则．
20. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．
（2）当电阻R为时，求此时的电流I．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用：
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求求出当时I的值即可得到答案．
【小问1详解】
解：设这个反比例函数的解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴这个反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：在中，当时，，
∴此时的电流I为．
21. 中华人民共和国年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示．
根据以上信息回答下列问题：
（1）年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多多少元？
（2）直接写出年全国居民人均可支配收入的中位数．
（3）下列判断合理的是______（填序号）．
①年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势．
②年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．因此这5年中，2020年全国居民人均可支配收入最低．
【答案】（1）元
（2）元
（3）①
【解析】
【分析】本题主要考查了频数分布直方图，频数分布折线图，中位数：
（1）用2023年的全国居民人均可支配收入减去2019年全国居民人均可支配收入即可得到答案；
（2）根据中位数的定义求解即可；
（3）根据统计图的数据即可得到答案．
【小问1详解】
解：元，
答：年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多元．
【小问2详解】
解：年这五年的全国居民人均可支配收入分别为元，元，元，元，元，
∴年全国居民人均可支配收入的中位数为元；
【小问3详解】
解：由统计图可知年全国居民人均可支配收入里逐年上升趋势，故①正确；
由统计图可知年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年．但这5年中，2019年全国居民人均可支配收入最低，故②错误；
故答案为：①．
22. 图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角，看塔底D的俯角，求吉塔的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意和添加辅助线是解题的关键．
先解得到，再解，，即可求解．
【详解】解：延长交于点G，由题意得，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：吉塔的高度约为．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 综合与实践
某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．
【背景调查】
图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．
【收集数据】
小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为，凳面的宽度为，记录如下：
【分析数据】
如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．
【建立模型】
请你帮助小组解决下列问题：
（1）观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．
（2）当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？
【答案】（1）在同一条直线上，函数解析式为：
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）将代入函数解析式，解方程即可．
【小问1详解】
解：设函数解析式为：，
∵当，，
∴，
解得：，
∴函数解析式为：，
经检验其余点均在直线上，
∴函数解析式为，这些点在同一条直线上；
【小问2详解】
解：把代入得：
，
解得：，
∴当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为．
24. 小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：

【探究论证】
（1）如图①，在中，，，垂足为点D．若，，则______．
（2）如图②，在菱形中，，，则______．
（3）如图③，在四边形中，，垂足为点O．若，，则______；若，，猜想与a，b的关系，并证明你的猜想．
【理解运用】
（4）如图④，在中，，，，点P为边上一点．
小明利用直尺和圆规分四步作图：
（ⅰ）以点K圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点R，I；
（ⅱ）以点P为圆心，长为半径画弧，交线段于点；
（ⅲ）以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点，K在同侧；
（ⅳ）过点P画射线，在射线上截取，连接，，．
请你直接写出的值．
【答案】（1）2，（2）4，（3），，证明见详解，（4）10
【解析】
【分析】（1）根据三角形的面积公式计算即可；
（2）根据菱形的面积公式计算即可；
（3）结合图形有，，即可得，问题随之得解；
（4）先证明是直角三角形，由作图可知：，即可证明，再结合（3）的结论直接计算即可．
【详解】（1）∵在中，，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2；
（2）∵在菱形中，，，
∴，
故答案为：4；
（3）∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：，
猜想：，
证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（4）根据尺规作图可知：，
∵在中，，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴根据（3）的结论有：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的性质，作一个角等于已知角的尺规作图，勾股定理的逆定理等知识，难度不大，掌握作一个角等于已知角的尺规作图方法，是解答本题的关键．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 如图，在中，，，，是的角平分线．动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点B运动．过点P作，交于点Q，以为边作等边三角形，且点C，E在同侧，设点P的运动时间为，与重合部分图形的面积为．

（1）当点P在线段上运动时，判断的形状（不必证明），并直接写出的长（用含t的代数式表示）．
（2）当点E与点C重合时，求t的值．
（3）求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．
【答案】（1）等腰三角形，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）过点Q作于点H，根据“平行线+角平分线”即可得到，由，得到，解得到；
（2）由为等边三角形得到，而，则，故，解得；
（3）当点P在上，点E在上，重合部分为，过点P作于点G，，则，此时；当点P在上，点E在延长线上时，记与交于点F，此时重合部分为四边形，此时，因此，故可得，此时；当点P在上，重合部分为， 此时，，解直角三角形得，故，此时，再综上即可求解．
【小问1详解】
解：过点Q作于点H，由题意得：

∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
∴在中，；
【小问2详解】
解：如图，

∵为等边三角形，
∴，
由（1）得，
∴，
即，
∴；
【小问3详解】
解：当点P在上，点E在上，重合部分为，过点P作于点G，

∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
由（2）知当点E与点C重合时，，
∴；
当点P在上，点E在延长线上时，记与交于点F，此时重合部分为四边形，如图，

∵是等边三角形，
∴，
而，
∴，
∴，
∴，
当点P与点D重合时，在中，，
∴，
∴；
当点P在上，重合部分为，如图，

∵，
由上知，
∴，
∴此时，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当点P与点B重合时，，
解得：，
∴，
综上所述：．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．
26. 小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x的值为时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6．
（1）直接写出k，a，b的值．
（2）小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图像，如图（2）．
Ⅰ．当y随x的增大而增大时，求x的取值范围．
Ⅱ．若关于x的方程（t为实数），在时无解，求t的取值范围．
Ⅲ．若在函数图像上有点P，Q（P与Q不重合）．P的横坐标为m，Q的横坐标为．小明对P，Q之间（含P，Q两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）
（2）Ⅰ：或；Ⅱ：或；Ⅲ：或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，一元二次方程的解，正确理解题意，利用数形结合的思想是解决本题的额关键．
（1）先确定输入x值的范围，确定好之后将x，y的值代入所给的y关于x的函数解析式种解方程或方程组即可；
（2）Ⅰ：可知一次函数解析式为：，二次函数解析式为：，当时，，对称为直线，开口向上，故时，y随着x的增大而增大；当时，，，故时，y随着x的增大而增大；
Ⅱ：问题转化为抛物线与直线在时无交点，考虑两个临界状态，当时，抛物线与直线在时正好一个交点，因此当时，抛物线与直线在时没有交点；当，，故当时，抛物线与直线在时正好一个交点，因此当时，抛物线与直线在时没有交点，当或时，抛物线与直线在时没有交点，即方程无解；
Ⅲ： 可求点P、Q关于直线对称，当，，当时，，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当时，，时，，故①当，由题意得：，则；②当，由题意得：，则，综上：或．
【小问1详解】
解：∵，
∴将，代入，
得：，
解得：，
∵，
∴将，代入
得：，
解得：；
【小问2详解】
解：Ⅰ，∵，
∴一次函数解析式为：，二次函数解析式为：
当时，，对称为直线，开口向上，
∴时，y随着x的增大而增大；
当时，，，
∴时，y随着x的增大而增大，
综上，x的取值范围：或；
Ⅱ，∵，
∴，在时无解，
∴问题转化为抛物线与直线在时无交点，
∵对于，当时，
∴顶点为，如图：
∴当时，抛物线与直线在时正好一个交点，
∴当时，抛物线与直线在时没有交点；
当，，
∴当时，抛物线与直线在时正好一个交点，
∴当时，抛物线与直线在时没有交点，
∴当或时，抛物线与直线在时没有交点，
即：当或时，关于x的方程（t为实数），在时无解；
Ⅲ：∵，
∴，
∴点P、Q关于直线对称，
当，，当时，，
∵当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当时，，时，，
∴①当，如图：
由题意得：，
∴；
②当，如图：
由题意得：，
∴，
综上：或．以对称轴为基准向两边各取相同的长度
16.5
198
23.1
26.4
29.7
凳面的宽度
115.5
132
148.5
165
181.5