（中考）2024年四川省成都市数学试卷[原卷+解析]

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1．（4分）（2024•成都）的绝对值是
A．5B．C．D．
2．（4分）（2024•成都）如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是
A．B．C．D．
3．（4分）（2024•成都）下列计算正确的是
A．B．
C．D．
4．（4分）（2024•成都）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是
A．B．C．D．
5．（4分）（2024•成都）为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“村”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是
A．53B．55C．58D．64
6．（4分）（2024•成都）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是
A．B．C．D．
7．（4分）（2024•成都）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买进石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为
A．B．
C．D．
8．（4分）（2024•成都）在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是

A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）（2024•成都）若，为实数，且，则的值为 ．
10．（4分）（2024•成都）分式方程的解是 ．
11．（4分）（2024•成都）如图，在扇形中，，，则的长为
12．（4分）（2024•成都）盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 ．
13．（4分）（2024•成都）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）（2024•成都）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
15．（8分）（2024•成都）2024年成都世界园艺博览会以“公园城市美好人居”为主题，秉持“绿色低碳、节约持续、共享包容”的理念，以园艺为媒介，向世界人民传递绿色发展理念和诗意栖居的美好生活场景．在主会场有多条游园线路，某单位准备组织全体员工前往参观，每位员工从其中四条线路（国风古韵观赏线、世界公园打卡线、亲子互动慢游线、园艺小清新线）中选择一条．现随机选取部分员工进行了“线路选择意愿”的摸底调查，并根据调查结果绘制成如下统计图表．
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的员工共有 人，表中的值为 ；
（2）在扇形统计图中，求“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数；
（3）若该单位共有2200人，请你根据调查结果，估计选择“园艺小清新线”的员工人数．
16．（8分）（2024•成都）中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：，，，，，
17．（10分）（2024•成都）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作，交于，两点，连接，，．
（1）求证；；
（2）若，，，求的长和的直径．
18．（10分）（2024•成都）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上．
（1）求，，的值；
（2）若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值；
（3）过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得与相似，求的值．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）（2024•成都）如图，，若，，则的度数为 ．
20．（4分）（2024•成都）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
21．（4分）（2024•成都）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有，一种取法，即；当时，有，和，两种取法，即；当时，可得；．若，则的值为 ；若，则的值为 ．
22．（4分）（2024•成都）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ．
23．（4分）（2024•成都）在平面直角坐标系中，，，，，，是二次函数图象上三点．若，，则 （填“”或“” ；若对于，，，存在，则的取值范围是 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）（2024•成都）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进，两种水果共进行销售，其中种水果收购单价10元，种水果收购单价15元．
（1）求，两种水果各购进多少千克；
（2）已知种水果运输和仓储过程中质量损失，若合作社计划种水果至少要获得的利润，不计其他费用，求种水果的最低销售单价．
25．（10分）（2024•成都）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点．
（1）求线段的长；
（2）当时，若的面积与的面积相等，求的值；
（3）延长交轴于点，当时，将沿方向平移得到△．将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上．试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
26．（12分）（2024•成都）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，．
【初步感知】
（1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值．
【深入探究】
（2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长．
【拓展延伸】
（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由．
2024年四川省成都市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．（4分）（2024•成都）的绝对值是
A．5B．C．D．
【解答】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得．
故选：．
2．（4分）（2024•成都）如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的主视图是
A．B．C．D．
【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：．
3．（4分）（2024•成都）下列计算正确的是
A．B．
C．D．
【解答】解：．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
．，不是同类项，不能合并，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
．，此选项的计算正确，故此选项符合题意；
故选：．
4．（4分）（2024•成都）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是
A．B．C．D．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是．
故选：．
5．（4分）（2024•成都）为深入贯彻落实《中共中央、国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》精神，某镇组织开展“村”、村超、村晚等群众文化赛事活动，其中参赛的六个村得分分别为：55，64，51，50，61，55，则这组数据的中位数是
A．53B．55C．58D．64
【解答】解：把这组数据从小到大排序后为50，51，55，55，61，64，
所以这组数据的中位数为．
故选：．
6．（4分）（2024•成都）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：四边形是矩形，
，，，，，
，不一定成立，，一定成立，一定不成立，
故选：．
7．（4分）（2024•成都）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买进，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买进石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为
A．B．
C．D．
【解答】解：每人出钱，会多出4钱，
；
每人出钱，会差3钱，
．
根据题意可列方程组．
故选：．
8．（4分）（2024•成都）在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是

A．B．C．D．
【解答】解：由作法得平分，
，所以选项不符合题意；
四边形为平行四边形，
，，，，
，
，
，
，
，
，所以选项不符合题意；
，
，
，
，
，所以选项不符合题意；
，
，所以选项符合题意．
故选：．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）（2024•成都）若，为实数，且，则的值为 1 ．
【解答】解：，为实数，且，
，，
解得，，
．
故答案为：1．
10．（4分）（2024•成都）分式方程的解是 ．
【解答】解：去分母得：，
去括号得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故答案为：．
11．（4分）（2024•成都）如图，在扇形中，，，则的长为
【解答】解：的长为．
故答案为：．
12．（4分）（2024•成都）盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 ．
【解答】解：盒中有枚黑棋和枚白棋，共有个棋，
从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，
可得关系式，
，
即，
．
故答案为：．
13．（4分）（2024•成都）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 5 ．
【解答】解：取点，连接，，如图，
，过点作轴的垂线，
点与点关于直线对称，
，
，
即的最小值为的长，
在△中，
，，
由勾股定理，得，
的最小值为5．
故答案为：5．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（12分）（2024•成都）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1）原式
；
（2）解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是．
15．（8分）（2024•成都）2024年成都世界园艺博览会以“公园城市美好人居”为主题，秉持“绿色低碳、节约持续、共享包容”的理念，以园艺为媒介，向世界人民传递绿色发展理念和诗意栖居的美好生活场景．在主会场有多条游园线路，某单位准备组织全体员工前往参观，每位员工从其中四条线路（国风古韵观赏线、世界公园打卡线、亲子互动慢游线、园艺小清新线）中选择一条．现随机选取部分员工进行了“线路选择意愿”的摸底调查，并根据调查结果绘制成如下统计图表．
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的员工共有 160 人，表中的值为 ；
（2）在扇形统计图中，求“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数；
（3）若该单位共有2200人，请你根据调查结果，估计选择“园艺小清新线”的员工人数．
【解答】解：（1）本次调查的员工共有（人，
表中的值为；
故答案为：160，40；
（2），
答：在扇形统计图中，“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数为；
（3）（人，
答：估计选择“园艺小清新线”的员工人数为385人．
16．（8分）（2024•成都）中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：，，，，，
【解答】解：在中，尺，，
，
，
（尺；
在中，尺，，
，
，
（尺；
（尺，
观察可知，春分和秋分时日影顶端为的中点，
（尺，
春分和秋分时日影长度为9.2尺．
17．（10分）（2024•成都）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作，交于，两点，连接，，．
（1）求证；；
（2）若，，，求的长和的直径．
【解答】（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，过作于，如图：
，，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，，
，
由（1）知，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
是的直径，
，
，
，
，即，
，
，
的直径为．
答：的长为，的直径为．
18．（10分）（2024•成都）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上．
（1）求，，的值；
（2）若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值；
（3）过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得与相似，求的值．
【解答】解：（1）把代入得：，
，
把代入得：，
；
直线为，
把代入得：，
，
的值为4，的值为6，的值为6；
（2）设，
由（1）知，，而，
①当，为对角线时，，的中点重合，
，
解得，
经检验，，符合题意，
此时点的坐标为；
②当，为对角线时，，的中点重合，
，
解得，
经检验，，符合题意，
此时点的坐标为；
③当，为对角线时，，的中点重合，
，
解得，
，
这种情况不符合题意；
综上所述，的坐标为或，的值为；
（3）如图：
设直线解析式为，把代入得：，
，
直线解析式为，
在中，令得，
，，
与点关于轴对称，
，，
，
，，
与相似，
只能在左侧，
，
故与相似，只需即可，即，
，，
，
，
解得，
经检验，满足题意，
直线的解析式为，
有且只有一点，使得与相似，
直线与反比例函数图象只有一个交点，
只有一个解，
即有两个相等实数根，
△，即，
解得，
的值为．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）（2024•成都）如图，，若，，则的度数为 ．
【解答】解：，
，
，
，
故答案为：．
20．（4分）（2024•成都）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 7 ．
【解答】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，，
．
故答案为：7．
21．（4分）（2024•成都）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有，一种取法，即；当时，有，和，两种取法，即；当时，可得；．若，则的值为 9 ；若，则的值为 ．
【解答】解：当时，从1，2，3，4，5，6中，取两个数的和大于6，这两个数分别是，，，，，，，，，，，，，，，，，，
；
当时，从1，2，，23，24中，取两个数的和大于24，这两个数分别是：
，，，，，
，，，，
，，，，，
．
，，，，，，
，，
；
故答案为：9，144．
22．（4分）（2024•成都）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ．
【解答】解：连接，过作于，如图：
设，则，
，为中点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，，
，
为中点，
，
，
，
，
，
解得或（小于0，舍去），
．
故答案为：．
23．（4分）（2024•成都）在平面直角坐标系中，，，，，，是二次函数图象上三点．若，，则 （填“”或“” ；若对于，，，存在，则的取值范围是 ．
【解答】解：，
二次函数图象的对称轴为直线，开口向下，
，，
，即，比，离对称轴直线的水平距离近，
；
，，，
，
对于，，，存在，
，，且，离对称轴最远，，离对称轴最近，
，
，且 ，
，，
，且，
解得，
故答案为：，．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（8分）（2024•成都）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进，两种水果共进行销售，其中种水果收购单价10元，种水果收购单价15元．
（1）求，两种水果各购进多少千克；
（2）已知种水果运输和仓储过程中质量损失，若合作社计划种水果至少要获得的利润，不计其他费用，求种水果的最低销售单价．
【解答】解：（1）设种水果购进千克，种水果购进千克，
根据题意得：，
解得：．
答：种水果购进1000千克，种水果购进500千克；
（2）设种水果的销售单价为元千克，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为12.5．
答：种水果的最低销售单价为12.5元千克．
25．（10分）（2024•成都）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点．
（1）求线段的长；
（2）当时，若的面积与的面积相等，求的值；
（3）延长交轴于点，当时，将沿方向平移得到△．将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上．试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）在中，令得，
，
，
或，
，，
；
（2）当时，过作轴交轴于，轴交于，如图：
，
，
由，得直线解析式为，
设 ，，
在中，令得，
，，
，
；
的面积与的面积相等，
而，
，
解得（舍去）或，
，，
，，
；
的值为；
（3）抛物线与交于定点，理由如下：
过作轴于，如图：
设，则，，
，
，
将沿方向平移得到△，相当于将向右平移个单位，再向上平移个单位，
又，，
，，
设抛物线解析式为，
点，都落在抛物线上，
解得：，
抛物线解析式为，
由得：
，
解得：，
抛物线与交于定点．
26．（12分）（2024•成都）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，．
【初步感知】
（1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值．
【深入探究】
（2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长．
【拓展延伸】
（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1），，，
，，
，
即，
，
，
，
，，
；
（2）连接，延长交于点，连接交于，延长交于，如图：
同（1）得，
，
是中线，
，
，
，
，即，
，
，，
又，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形矩形，
，，，，
，
，
是的中位线，
，
设，则，，
，，，
，
，
，
，
解得：，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3），，三点能构成直角三角形，理由如下：
①当在上时，，此时是直角三角形，如图，
；
②当在的延长线上时，，此时是直角三角形，如图，
；
③当时，是直角三角形，过点作于点，如图，
，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
；
④当时，是直角三角形，过点作于点，交于点，如图，
，，
，
，，
，
是的中位线，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
，，
，
．
综上所述，直角三角形的面积为4或16或12或．游园线路
人数
国风古韵观赏线
44
世界公园打卡线
亲子互动慢游线
48
园艺小清新线
游园线路
人数
国风古韵观赏线
44
世界公园打卡线
亲子互动慢游线
48
园艺小清新线