（中考）2024年山东省滨州市数学试卷[原卷+解析]

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1．（3分）（2024•滨州）的绝对值是
A．2B．C．D．
2．（3分）（2024•滨州）如图，一个三棱柱无论怎么摆放，其主视图不可能是
A．B．
C．D．
3．（3分）（2024•滨州）数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
4．（3分）（2024•滨州）下列运算正确的是
A．B．C．D．
5．（3分）（2024•滨州）若点在第二象限，那么的取值范围是
A．B．C．D．
6．（3分）（2024•滨州）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：
某同学分析上表后得出如下结论：
①这些运动员成绩的平均数是1.65；
②这些运动员成绩的中位数是1.70；
③这些运动员成绩的众数是1.75．
上述结论中正确的是
A．②③B．①③C．①②D．①②③
7．（3分）（2024•滨州）点，和点，在反比例函数为常数）的图象上，若，则，，0的大小关系为
A．B．C．D．
8．（3分）（2024•滨州）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，中，，，，的长分别为，，．则可以用含，，的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是
A．B．
C．D．
二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分。
9．（3分）（2024•滨州）若函数的解析式在实数范围内有意义，则自变量的取值范围是 ．
10．（3分）（2024•滨州）写出一个比大且比小的整数 ．
11．（3分）（2024•滨州）将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为 ．
12．（3分）（2024•滨州）一副三角板如图1摆放，把三角板绕公共顶点顺时针旋转至图2，即时，的大小为 ．
13．（3分）（2024•滨州）如图，在中，点，分别在边，上．添加一个条件使，则这个条件可以是 ．（写出一种情况即可）
14．（3分）（2024•滨州）如图，四边形内接于，若四边形是菱形，则 ．
15．（3分）（2024•滨州）如图，四边形四个顶点的坐标分别是，，，，在该平面内找一点，使它到四个顶点的距离之和最小，则点坐标为 ．
16．（3分）（2024•滨州）如图，在边长为1的正方形网格中，点，均在格点上．
（1）的长为 ；
（2）请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以为边的矩形，使其面积为，并简要说明点，的位置是如何找到的（不用证明） ．
三、解答题：本大题共8个小题，满分72分.解答时请写出必要的演推过程。
17．（7分）（2024•滨州）计算：．
18．（7分）（2024•滨州）解方程：
（1）；
（2）．
19．（7分）（2024•滨州）欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹．设，，为两两不同的数，称为欧拉分式．
（1）写出对应的表达式；
（2）化简对应的表达式．
20．（9分）（2024•滨州）某校劳动实践基地共开设五门劳动实践课程，分别是：床铺整理，：衣物清洗，：手工制作，：简单烹任，：绿植栽培．课程开设一段时间后，李老师采用抽样调查的方式在全校学生中开展了“我最喜欢的劳动实践课程”为主题的问卷调查．根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，请回答下列问题：
（1）请将条形统计图补充完整，并直接写出“手工制作”对应的扇形圆心角度数；
（2）若该校共有1800名学生，请你估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数；
（3）小兰同学从，，三门课程中随机选择一门参加劳动实践，小亮同学从，，三门课程中随机选择一门参加劳动实践，求两位同学选择相同课程的概率．
21．（10分）（2024•滨州）【问题背景】
某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：
①如图，在中，若，，则有；
②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得，即知．若把①中的替换为，还能推出吗？
基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出，并分别提供了不同的证明方法．
【问题解决】
（1）完成①的证明；
（2）把②中小军、小民的证明过程补充完整．
22．（10分）（2024•滨州）春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元张）之间满足一次函数关系，且是整数），部分数据如下表所示：
（1）请求出与之间的函数关系式；
（2）设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为（单位：元），求与之间的函数关系式；
（3）该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？
23．（10分）（2024•滨州）（1）如图1，中，点，，分别在三边，，上，且满足，．
①求证：四边形为平行四边形；
②若，求证：四边形为菱形；
（2）把一块三角形余料（如图2所示）加工成菱形零件，使它的一个顶点与的顶点重合，另外三个顶点分别在三边，，上，请在图2上作出这个菱形．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
24．（12分）（2024•滨州）【教材呈现】
现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题：
【得出结论】
【基础应用】
在中，，，，利用以上结论求的长．
【推广证明】
进一步研究发现，不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足为外接圆的半径）．
请利用图1证明．
【拓展应用】
如图2，四边形中，，，，．求过，，三点的圆的半径．
2024年山东省滨州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分.每小题只有一个选项符合题目要求。
1．（3分）（2024•滨州）的绝对值是
A．2B．C．D．
【解答】解：．
故选：．
2．（3分）（2024•滨州）如图，一个三棱柱无论怎么摆放，其主视图不可能是
A．B．
C．D．
【解答】解：三棱柱三个面分别为三角形，正方形，长方形，
无论怎么摆放，主视图不可能是圆形，
故选：．
3．（3分）（2024•滨州）数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
【解答】解：、是轴对称图形；
、不是轴对称图形；
、是轴对称图形；
、是轴对称图形；
故选：．
4．（3分）（2024•滨州）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：、，故选项错误；
、，故选项错误；
、，故选项错误；
、，故选项正确；
故选：．
5．（3分）（2024•滨州）若点在第二象限，那么的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：点在第二象限，
，
解得：；
故选：．
6．（3分）（2024•滨州）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：
某同学分析上表后得出如下结论：
①这些运动员成绩的平均数是1.65；
②这些运动员成绩的中位数是1.70；
③这些运动员成绩的众数是1.75．
上述结论中正确的是
A．②③B．①③C．①②D．①②③
【解答】解：这些运动员成绩的平均数是，
第8位同学的成绩是1.70，故中位数是1.70；
数据1.75出现的次数最多，故众数是1.75．
上述结论中正确的是②③，
故选：．
7．（3分）（2024•滨州）点，和点，在反比例函数为常数）的图象上，若，则，，0的大小关系为
A．B．C．D．
【解答】解：反比例函数中，，反比例函数图象分布在第一、三象限，
，
点在第三象限的图象上，点在第一象限的图象上，
，
故选：．
8．（3分）（2024•滨州）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，中，，，，的长分别为，，．则可以用含，，的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是
A．B．
C．D．
【解答】本题作为选择题，用特殊值法则可快速定位答案．
三角形为直角三角形，令，，．
选项，
选项，
选项，
选项，
很明显，只有选项跟其他选项不一致，所以表达式错误的应是选项．
故答案选：．
另附选项的证明：
如图，作于点，于点，于点．
易证四边形是正方形，设，
则，
，，
，
，
，
．故选项正确．
，
，
，
，即．故选项正确．
故答案选：．
二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分。
9．（3分）（2024•滨州）若函数的解析式在实数范围内有意义，则自变量的取值范围是 ．
【解答】解：的解析式在实数范围内有意义，
，
，
故答案为：．
10．（3分）（2024•滨州）写出一个比大且比小的整数 2或3 ．
【解答】解：，
，
，
，
比大且比小的整数是2或3．
11．（3分）（2024•滨州）将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为 ．
【解答】解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，后抛物线解析式为，
顶点坐标为，
故答案为：．
12．（3分）（2024•滨州）一副三角板如图1摆放，把三角板绕公共顶点顺时针旋转至图2，即时，的大小为 75 ．
【解答】解：由已知可得，
，
，
，
由图可得，，
，
故答案为：75．
13．（3分）（2024•滨州）如图，在中，点，分别在边，上．添加一个条件使，则这个条件可以是 （答案不唯一） ．（写出一种情况即可）
【解答】解：，
添加条件：（答案不唯一），判定，
故答案为：（答案不唯一）．
14．（3分）（2024•滨州）如图，四边形内接于，若四边形是菱形，则 60 ．
【解答】解：四边形内接于，
，
四边形是菱形，
，
，
由圆周角定理得：，
，
故答案为：60．
15．（3分）（2024•滨州）如图，四边形四个顶点的坐标分别是，，，，在该平面内找一点，使它到四个顶点的距离之和最小，则点坐标为 ， ．
【解答】解：连接、，交于点，如图所示，
两点之间线段最短，
的最小值就是线段的长，的最小值就是线段的长，
到四个顶点的距离之和最小的点就是点，
设所在直线的解析式为，所在直线的解析式为，
点在直线上，点，在直线上，
，，
解得，，
直线的解析式为，直线的解析式为，
，
解得，
点的坐标为，，
故答案为：，．
16．（3分）（2024•滨州）如图，在边长为1的正方形网格中，点，均在格点上．
（1）的长为 ；
（2）请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以为边的矩形，使其面积为，并简要说明点，的位置是如何找到的（不用证明） ．
【解答】解：（1）由图可得，
，
故答案为：；
（2）如图所示，四边形即为所求，理由：根据相似三角形的性质和矩形的面积，可以得到与的乘积为，从而可以得到点和点，
具体的计算过程：由图可知：，
则，
即，
解得，
，
这样找到点，同理可以找到点，
即图中即为所求，
故答案为：根据相似三角形的性质和矩形的面积，可以得到与的乘积为，从而可以得到点和点．
三、解答题：本大题共8个小题，满分72分.解答时请写出必要的演推过程。
17．（7分）（2024•滨州）计算：．
【解答】解：
．
18．（7分）（2024•滨州）解方程：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：；
（2），
，
或，
，．
19．（7分）（2024•滨州）欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹．设，，为两两不同的数，称为欧拉分式．
（1）写出对应的表达式；
（2）化简对应的表达式．
【解答】解：（1）由题意可得，
；
（2）由题意可得，
．
20．（9分）（2024•滨州）某校劳动实践基地共开设五门劳动实践课程，分别是：床铺整理，：衣物清洗，：手工制作，：简单烹任，：绿植栽培．课程开设一段时间后，李老师采用抽样调查的方式在全校学生中开展了“我最喜欢的劳动实践课程”为主题的问卷调查．根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，请回答下列问题：
（1）请将条形统计图补充完整，并直接写出“手工制作”对应的扇形圆心角度数；
（2）若该校共有1800名学生，请你估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数；
（3）小兰同学从，，三门课程中随机选择一门参加劳动实践，小亮同学从，，三门课程中随机选择一门参加劳动实践，求两位同学选择相同课程的概率．
【解答】解：（1）调查的学生人数为：（人，
的学生人数为：（人，
的人数为：（人，
将条形统计图补充完整如下：
“手工制作”对应的扇形圆心角度数为；
（2）（人，
答：估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数为540人；
（3）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两位同学选择相同课程的结果有2种，即、，
两位同学选择相同课程的概率为．
21．（10分）（2024•滨州）【问题背景】
某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：
①如图，在中，若，，则有；
②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得，即知．若把①中的替换为，还能推出吗？
基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出，并分别提供了不同的证明方法．
【问题解决】
（1）完成①的证明；
（2）把②中小军、小民的证明过程补充完整．
【解答】证明：（1），
，
在和中，
，
，
；
（2）小军的证明过程：
分别延长，至，两点，使得，，如图所示，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，，
，，
；
小民的证明过程：
，
与均为直角三角形，
根据勾股定理，得：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
．
22．（10分）（2024•滨州）春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元张）之间满足一次函数关系，且是整数），部分数据如下表所示：
（1）请求出与之间的函数关系式；
（2）设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为（单位：元），求与之间的函数关系式；
（3）该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设与之间的函数关系式是，
由表格可得，，
解得，
即与之间的函数关系式是，且是整数）；
（2）由题意可得，
，
即与之间的函数关系式是；
（3）由（2）知：，
，且是整数，
当或41时，取得最大值，此时，
答：该影院将电影票售价定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元．
23．（10分）（2024•滨州）（1）如图1，中，点，，分别在三边，，上，且满足，．
①求证：四边形为平行四边形；
②若，求证：四边形为菱形；
（2）把一块三角形余料（如图2所示）加工成菱形零件，使它的一个顶点与的顶点重合，另外三个顶点分别在三边，，上，请在图2上作出这个菱形．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【解答】（1）①证明：，，点，，分别在三边，，上，
，，
四边形为平行四边形；
②证明：延长到，使得，如图1所示，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
四边形为菱形；
（2）解：作的角平分线，与交于点，再作线段的垂直平分线，分别交、于点，，如下图所示，
四边形即为所求．
24．（12分）（2024•滨州）【教材呈现】
现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题：
【得出结论】
【基础应用】
在中，，，，利用以上结论求的长．
【推广证明】
进一步研究发现，不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足为外接圆的半径）．
请利用图1证明．
【拓展应用】
如图2，四边形中，，，，．求过，，三点的圆的半径．
【解答】解：【基础应用】
，，
，
，，，
，
解得；
【推广证明】
作于点，作于点，连接并延长交于点，连接，如图所示，
，
，
，
同理可证，，
，
是直径，
，
，
，
，
；
【拓展应用】
连接，如图所示，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
作交于点，
则四边形是矩形，
，，
，
，
，
过，，三点的圆的半径为．
成绩
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.20
人数
2
3
2
3
4
1
小军
小民
证明：分别延长，至，两点，使得
证明：，
与均为直角三角形
根据勾股定理，得
电影票售价（元张）
40
50
售出电影票数量（张
164
124
14．如图，在锐角中，探究， 之间的关系．（提示：分别作和边上的高．
成绩
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.20
人数
2
3
2
3
4
1
小军
小民
证明：分别延长，至，两点，使得
证明：，
与均为直角三角形
根据勾股定理，得
电影票售价（元张）
40
50
售出电影票数量（张
164
124
14．如图，在锐角中，探究， 之间的关系．（提示：分别作和边上的高．