（中考）2024年四川省南充市数学试卷[原卷+解析]

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1．（4分）（2024•南充）如图，数轴上表示的点是
A．点B．点C．点D．点
2．（4分）（2024•南充）学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占，投球技能占计算选手的综合成绩（百分制）．选手李林控球技能得90分，投球技能得80分．李林综合成绩为
A．170分B．86分C．85分D．84分
3．（4分）（2024•南充）如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为
A．B．C．D．
4．（4分）（2024•南充）下列计算正确的是
A．B．C．D．
5．（4分）（2024•南充）如图，在中，，，，平分交于点，点为边上一点，则线段长度的最小值为
A．B．C．2D．3
6．（4分）（2024•南充）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房间，客人人，则可列方程组为
A．B．
C．D．
7．（4分）（2024•南充）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是
A．B．C．D．
8．（4分）（2024•南充）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点作，使，连接；②以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径画弧，交于点．若，则的值为
A．B．C．D．
9．（4分）（2024•南充）当时，一次函数有最大值6，则实数的值为
A．或0B．0或1C．或D．或1
10．（4分）（2024•南充）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形中，．下列三个结论：①若，则；②若的面积是正方形面积的3倍，则点是的三等分点；③将绕点逆时针旋转得到，则的最大值为．其中正确的结论是
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上．
11．（4分）（2024•南充）计算的结果为 ．
12．（4分）（2024•南充）若一组数据6，6，，7，7，8的众数为7，则这组数据的中位数为 ．
13．（4分）（2024•南充）如图，是的直径，位于两侧的点，均在上，，则 度．
14．（4分）（2024•南充）已知是方程的一个根，则的值为 ．
15．（4分）（2024•南充）如图，在矩形中，为边上一点，，将沿折叠得，连接，，若平分，，则的长为 ．
16．（4分）（2024•南充）已知抛物线与轴交于两点，在的左侧），抛物线与轴交于两点，在的左侧），且．下列四个结论：①与交点为；②；③；④，两点关于对称．其中正确的结论是 （填写序号）
三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）（2024•南充）先化简，再求值：，其中．
18．（8分）（2024•南充）如图，在中，点为边的中点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）若，求证：．
19．（8分）（2024•南充）某研学基地开设有，，，四类研学项目．为了解学生对四类研学项目的喜爱情况，随机抽取部分参加完研学项目的学生进行调查统计（每名学生必须选择一项，并且只能选择一项），并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）．根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加调查统计的学生中喜爱类研学项目有多少人？在扇形统计图中，求类研学项目所在扇形的圆心角的度数．
（2）从参加调查统计喜爱类研学项目的4名学生名男生2名女生）中随机选取2人接受访谈，求恰好选中一名男生一名女生的概率．
20．（10分）（2024•南充）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围．
（2）若，且，，都是整数，求的值．
21．（10分）（2024•南充）如图，直线经过，两点，与双曲线交于点．
（1）求直线和双曲线的解析式．
（2）过点作轴于点，点在轴上，若以，，为顶点的三角形与相似，直接写出点的坐标．
22．（10分）（2024•南充）如图，在中，是直径，是弦，点是上一点，，，交于点，点为延长线上一点，且．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的半径长．
23．（10分）（2024•南充）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售，两类特产．类特产进价50元件，类特产进价60元件．已知购买1件类特产和1件类特产需132元，购买3件类特产和5件类特产需540元．
（1）求类特产和类特产每件的售价各是多少元？
（2）类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件类特产降价元，每天的销售量为件，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）在（2）的条件下，由于类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为元，求与的函数关系式，并求出每件类特产降价多少元时总利润最大，最大利润是多少元？（利润售价进价）
24．（10分）（2024•南充）如图，正方形边长为，点为对角线上一点，，点在边上以的速度由点向点运动，同时点在边上以的速度由点向点运动，设运动时间为秒．
（1）求证：．
（2）当是直角三角形时，求的值．
（3）连接，当时，求的面积．
25．（12分）（2024•南充）已知抛物线与轴交于点，．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值．
（3）如图2，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值．
2024年四川省南充市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A，B，C，D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分．
1．（4分）（2024•南充）如图，数轴上表示的点是
A．点B．点C．点D．点
【解答】解：，
，
由数轴可知，只有点的取值范围在1和2之间，
故选：．
2．（4分）（2024•南充）学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占，投球技能占计算选手的综合成绩（百分制）．选手李林控球技能得90分，投球技能得80分．李林综合成绩为
A．170分B．86分C．85分D．84分
【解答】解：李林综合成绩为：（分，
故选：．
3．（4分）（2024•南充）如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为
A．B．C．D．
【解答】解：如图：，
，
两个平面镜平行放置，
经过两次反射后的光线与入射光线平行，
，
故选：．
4．（4分）（2024•南充）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：．，不是同类项，不能合并，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
．，此选项的计算正确，故此选项符合题意；
故选：．
5．（4分）（2024•南充）如图，在中，，，，平分交于点，点为边上一点，则线段长度的最小值为
A．B．C．2D．3
【解答】解：在中，
，
．
，，
，
平分，
．
在中，
，
．
平分，且，
点到边的距离等于线段的长，
即线段长度的最小值为2．
故选：．
6．（4分）（2024•南充）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房间，客人人，则可列方程组为
A．B．
C．D．
【解答】解：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住，
；
如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，
．
根据题意得可列方程组．
故选：．
7．（4分）（2024•南充）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：解不等式，得：，
关于的不等式组的解集为，
，
．
故选：．
8．（4分）（2024•南充）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点作，使，连接；②以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径画弧，交于点．若，则的值为
A．B．C．D．
【解答】解：令的长为，
则，
在中，
．
因为，，
所以，
则，
所以的值为．
故选：．
9．（4分）（2024•南充）当时，一次函数有最大值6，则实数的值为
A．或0B．0或1C．或D．或1
【解答】解：当，即时，随的增大而增大，
当时，一次函数有最大值6，
，
解得，（舍去），
当，即时，随的增大而减小，
当时，一次函数有最大值6，
，
解得，（舍去），
综上，当时，一次函数有最大值6，则实数的值为0或，
故选：．
10．（4分）（2024•南充）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形中，．下列三个结论：①若，则；②若的面积是正方形面积的3倍，则点是的三等分点；③将绕点逆时针旋转得到，则的最大值为．其中正确的结论是
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【解答】解：在中，
．
令，，
则，
解得（舍负），
所以，．
因为外部的四个直角三角形全等，
所以，
所以．
故①正确．
因为的面积是正方形面积的3倍，
所以．
因为，
所以，
整理得，
．
则，
解得（舍负），
则点是的三等分点．
故②正确．
由旋转可知，
，
所以点在以为直径的圆上．
在中，
．
当点，，共线时，取得最大值，
此时．
故③正确．
故选：．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上．
11．（4分）（2024•南充）计算的结果为 1 ．
【解答】解：原式
，
故答案为：1．
12．（4分）（2024•南充）若一组数据6，6，，7，7，8的众数为7，则这组数据的中位数为 7 ．
【解答】解：一组数据6，6，，7，7，8的众数为7，
，
这组数据从小到大排列顺序为：6，6，7，7，7，8，
这组数据的中位数是．
故答案为：7．
13．（4分）（2024•南充）如图，是的直径，位于两侧的点，均在上，，则 75 度．
【解答】解：，，
，
，
故答案为：75．
14．（4分）（2024•南充）已知是方程的一个根，则的值为 ．
【解答】解：把代入，
，
，
故答案为：．
15．（4分）（2024•南充）如图，在矩形中，为边上一点，，将沿折叠得，连接，，若平分，，则的长为 ．
【解答】解：过点作于点，于点．
平分，
．
四边形为矩形，
，．
由翻折得，，，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
16．（4分）（2024•南充）已知抛物线与轴交于两点，在的左侧），抛物线与轴交于两点，在的左侧），且．下列四个结论：①与交点为；②；③；④，两点关于对称．其中正确的结论是 ①②④ （填写序号）
【解答】解：令，解得，
把代入得，，
与交点为，故①正确；
抛物线与抛物线的开口方向和大小相同，且，
两抛物线的关于直线对称，
，两点关于对称，故④正确；
，
，故②正确；
由题意可知，，或，，
不一定成立，故③错误．
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）（2024•南充）先化简，再求值：，其中．
【解答】解：当时，
．
18．（8分）（2024•南充）如图，在中，点为边的中点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）若，求证：．
【解答】（1）证明：点为的中点，
，
，
，，
在和中，
，
；
（2）证明：点为的中点，，
直线为线段的垂直平分线，
，
由（1）可知：，
，
．
19．（8分）（2024•南充）某研学基地开设有，，，四类研学项目．为了解学生对四类研学项目的喜爱情况，随机抽取部分参加完研学项目的学生进行调查统计（每名学生必须选择一项，并且只能选择一项），并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）．根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加调查统计的学生中喜爱类研学项目有多少人？在扇形统计图中，求类研学项目所在扇形的圆心角的度数．
（2）从参加调查统计喜爱类研学项目的4名学生名男生2名女生）中随机选取2人接受访谈，求恰好选中一名男生一名女生的概率．
【解答】解：（1）样本容量为：，
参加调查统计的学生中喜爱类研学项目人数：（人；
在扇形统计图中，求类研学项目所在扇形的圆心角的度数为：．
答：喜爱类研学项目有8人，类研学项目所在扇形的圆心角的度数为；
（2）喜爱类研学项目的4名学生分别记为：男1，男2，女1，女2．列表如下：
由表可知，抽选2名学生共有12种等可能的结果，抽中一名男生和一名女生（记作事件共8种可能．
，
答：抽中一名男生和一名女生的概率为．
20．（10分）（2024•南充）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围．
（2）若，且，，都是整数，求的值．
【解答】解：（1）原方程有两个不相等的实数根，
△，
△，
解得．
（2），
整数的值为2，3，4，
当时，方程为，解得，，
当或4时，此时方程解不为整数．
综上所述，的值为2．
21．（10分）（2024•南充）如图，直线经过，两点，与双曲线交于点．
（1）求直线和双曲线的解析式．
（2）过点作轴于点，点在轴上，若以，，为顶点的三角形与相似，直接写出点的坐标．
【解答】解：（1）点，在直线上，
，
解得：，
直线解析式为：；
点在直线上，
，
，即点为；
双曲线 过点，
，
双曲线解析式为：；
（2）轴，，
，，
，
，
，
，
若以，，为顶点的三角形与相似，或4，
点在轴上，
点坐标为或或或．
22．（10分）（2024•南充）如图，在中，是直径，是弦，点是上一点，，，交于点，点为延长线上一点，且．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的半径长．
【解答】（1）证明：，
，
，且，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
（2）解：连接，
，，，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
的半径长为．
23．（10分）（2024•南充）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售，两类特产．类特产进价50元件，类特产进价60元件．已知购买1件类特产和1件类特产需132元，购买3件类特产和5件类特产需540元．
（1）求类特产和类特产每件的售价各是多少元？
（2）类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件类特产降价元，每天的销售量为件，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）在（2）的条件下，由于类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为元，求与的函数关系式，并求出每件类特产降价多少元时总利润最大，最大利润是多少元？（利润售价进价）
【解答】解：（1）由题意，设每件类特产的售价为元，则每件类特产的售价为元．
．
．
每件类特产的售价（元．
答：类特产的售价为60元件，类特产的售价为72元件．
（2）由题意，每件类特产降价元，
又每降价1元，每天可多售出10件，
．
答：．
（3）由题意，
．
，
当时，有最大值1840．
类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元．
24．（10分）（2024•南充）如图，正方形边长为，点为对角线上一点，，点在边上以的速度由点向点运动，同时点在边上以的速度由点向点运动，设运动时间为秒．
（1）求证：．
（2）当是直角三角形时，求的值．
（3）连接，当时，求的面积．
【解答】（1）证明：四边形是正方形，
，
，，，
，
；
（2）解：过点作于点，过点作于点．
由题意知，，，，
，，，，，
，即，
，即，
，即，
①当时，则，
即，
整理得．
解得，（不合题意，舍去），
②当时，则，
即，
整理得，
解得；
③当时，则，
即，
整理得，该方程无实数解，
综上所述，当是直角三角形时，的值为秒或2秒；
（3）解：过点作，交的延长线于点，连接交于点．如图2，
，，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，是等腰直角三角形，
，即，
，
．
25．（12分）（2024•南充）已知抛物线与轴交于点，．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值．
（3）如图2，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值．
【解答】解：（1）把，代入得：
解得，
抛物线的解析式为；
（2）设，直线解析式为，
把，代入得：
，
解得：
直线解析式为，
联立得，
解得或，
，
同理可得，，
，，
；
的值为；
（3）作点关于直线的对称点，连接，过点作于，如图：
抛物线的对称轴为直线，
，
设直线解析式为，
把代入得：，
，
直线解析式为，
设，，
联立，可得，
，，
，关于直线对称，
，
，
，
，，
在中，
，
当时，最小80，此时，
，
的最小值为．第2位第1位
男1
男2
女1
女2
男1
男1，男2
男1，女1
男1，女2
男2
男2，男1
男2，女1
男2，女2
女1
女1，男1
女1，男2
女1，女2
女2
女2，男1
女2，男2
女2，女1