（中考）2024年四川省遂宁市数学试卷[原卷+解析]

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1．（4分）（2024•遂宁）下列各数中，无理数是
A．B．C．D．0
2．（4分）（2024•遂宁）古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用．如图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是
A．B．
C．D．
3．（4分）（2024•遂宁）中国某汽车公司坚持“技术为王，创新为本”的发展理念，凭借研发实力和创新的发展模式在电池、电子、乘用车、商用车和轨道交通等多个领域发挥着举足轻重的作用．2024年第一季度，该公司以62万辆的销售成绩稳居新能源汽车销量榜榜首，市场占有率高达．将销售数据用科学记数法表示为
A．B．C．D．
4．（4分）（2024•遂宁）下列运算结果正确的是
A．B．
C．D．
5．（4分）（2024•遂宁）不等式组的解集在数轴上表示为
A．B．
C．D．
6．（4分）（2024•遂宁）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为
A．B．C．D．
7．（4分）（2024•遂宁）分式方程的解为正数，则的取值范围
A．B．且C．D．且
8．（4分）（2024•遂宁）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为1米，请计算出淤泥横截面的面积
A．B．C．D．
9．（4分）（2024•遂宁）如图1，与△满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在中，，点，在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”
A．1对B．2对C．3对D．4对
10．（4分）（2024•遂宁）如图，已知抛物线、、为常数，且的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个
①；
②；
③；
④若方程两根为，，则．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）（2024•遂宁）分解因式： ．
12．（4分）（2024•遂宁）反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第 象限．
13．（4分）（2024•遂宁）体育老师要在甲和乙两人中选择1人参加篮球投篮大赛，下表是两人5次训练成绩，从稳定的角度考虑，老师应该选 参加比赛．
14．（4分）（2024•遂宁）在等边三边上分别取点、、，使得，连结三点得到，易得，设，则．
如图①当时，；
如图②当时，；
如图③当时，；
直接写出，当时， ．
15．（4分）（2024•遂宁）如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连结并延长交于点．给出以下结论：①为等腰三角形；②为的中点；②；④．其中正确结论是 （填序号）．
三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（7分）（2024•遂宁）计算：．
17．（7分）（2024•遂宁）先化简：，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值．
18．（8分）（2024•遂宁）康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理．
（1）实践与操作
①任意作两条相交的直线，交点记为；
②以点为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段、、、；
③顺次连结所得的四点得到四边形．
于是可以直接判定四边形是平行四边形，则该则定定理是： ．
（2）猜想与证明
通过和同伴交流，他们一致认为四边形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程．
已知：如图，四边形是平行四边形，．
求证：四边形是矩形．
19．（8分）（2024•遂宁）小明的书桌上有一个型台灯，灯柱高，他发现当灯带与水平线夹角为时（图，灯带的直射宽为，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为时（图，直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点到桌面的距离．（结果保留1位小数），，
20．（9分）（2024•遂宁）某酒店有、两种客房，其中种24间，种20间．若全部入住，一天营业额为7200元；若、两种客房均有10间入住，一天营业额为3200元．
（1）求、两种客房每间定价分别是多少元？
（2）酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为多少元？
21．（9分）（2024•遂宁）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值．
22．（10分）（2024•遂宁）遂宁市作为全国旅游城市，有众多著名景点，为了解“五一”假期同学们的出游情况，某实践探究小组对部分同学假期旅游地做了调查，以下是调查报告的部分呢，请完善报告：
23．（10分）（2024•遂宁）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出时，的取值范围；
（3）过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积．
24．（10分）（2024•遂宁）如图，是的直径，是一条弦，点是的中点，于点，交于点，连结交于点．
（1）求证：；
（2）延长至点，使，连结．
①求证：是的切线；
②若，，求的半径．
25．（12分）（2024•遂宁）二次函数的图象与轴分别交于点，，与轴交于点，、为抛物线上的两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当、两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标；
（3）设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
2024年四川省遂宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）（2024•遂宁）下列各数中，无理数是
A．B．C．D．0
【解答】解：，，0是有理数，是无理数，
故选：．
2．（4分）（2024•遂宁）古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用．如图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是
A．B．
C．D．
【解答】解：如图所示的几何体的主视图如下：
．
故选：．
3．（4分）（2024•遂宁）中国某汽车公司坚持“技术为王，创新为本”的发展理念，凭借研发实力和创新的发展模式在电池、电子、乘用车、商用车和轨道交通等多个领域发挥着举足轻重的作用．2024年第一季度，该公司以62万辆的销售成绩稳居新能源汽车销量榜榜首，市场占有率高达．将销售数据用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【解答】解：62万．
故选：．
4．（4分）（2024•遂宁）下列运算结果正确的是
A．B．
C．D．
【解答】解：，故选项错误；
，故选项错误；
，故选项错误；
，故选项正确；
故选：．
5．（4分）（2024•遂宁）不等式组的解集在数轴上表示为
A．B．
C．D．
【解答】解：由，得，
所以不等式组的解集在数轴上表示为：
．
故选：．
6．（4分）（2024•遂宁）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为
A．B．C．D．
【解答】解：设这个正多边形的边数为，
由题意得：，
解得：，
则，
即这个正多边形的每个外角为，
故选：．
7．（4分）（2024•遂宁）分式方程的解为正数，则的取值范围
A．B．且C．D．且
【解答】解：去分母得：，
解得：，
由方程的解为正数，得到，且，
则的范围为且．
故选：．
8．（4分）（2024•遂宁）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为1米，请计算出淤泥横截面的面积
A．B．C．D．
【解答】解：如图，
由题意，，
，
是等边三角形，
．
故选：．
9．（4分）（2024•遂宁）如图1，与△满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在中，，点，在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”
A．1对B．2对C．3对D．4对
【解答】解：，
．
在和中，
，
，
．
，，，，
和是一对“伪全等三角形”．
同理可得，
和是一对“伪全等三角形”．
和是一对“伪全等三角形”．
和是一对“伪全等三角形”．
所以图中的“伪全等三角形”共有4对．
故选：．
10．（4分）（2024•遂宁）如图，已知抛物线、、为常数，且的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个
①；
②；
③；
④若方程两根为，，则．
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：抛物线开口向上，
，
对称轴为，、同号，
，
与轴的交点在和之间，
，
，
故①不正确；
对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，
与轴交于另一点，
，，
故②不正确；
由题意可得，方程的两个根为，，
又，即，
，
，
因此，
故③正确；
若方程两根为，，则直线与抛物线的交点的横坐标为，，
直线过一、二、三象限，且过点，
直线与抛物线的交点在第一、第三象限，
由图象可知．
故④正确；
综上所述，正确的结论有③④，
故选：．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）（2024•遂宁）分解因式： ．
【解答】解：，
故答案为：．
12．（4分）（2024•遂宁）反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第 四 象限．
【解答】解：因为反比例函数的图象在第一、三象限，
所以，
解得，
所以点在第四象限．
故答案为：四．
13．（4分）（2024•遂宁）体育老师要在甲和乙两人中选择1人参加篮球投篮大赛，下表是两人5次训练成绩，从稳定的角度考虑，老师应该选 甲 参加比赛．
【解答】解：甲的平均数是：，
甲的方差是：，
乙的平均数是：，
乙的方差是：，
，
老师应该选甲．
故答案为：甲．
14．（4分）（2024•遂宁）在等边三边上分别取点、、，使得，连结三点得到，易得，设，则．
如图①当时，；
如图②当时，；
如图③当时，；
直接写出，当时， ．
【解答】解：如图①当时，；
如图②当时，；
如图③当时，；
当时，；
故当时，．
15．（4分）（2024•遂宁）如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连结并延长交于点．给出以下结论：①为等腰三角形；②为的中点；②；④．其中正确结论是 ①②③ （填序号）．
【解答】解：是边的中点，
，
将正方形纸片沿折叠，点落在点处，
，
，
即为等腰三角形，故①正确；
，
，
将正方形纸片沿折叠，点落在点处，
，
，
，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
即为的中点，故②正确；
过点作于点，过点作于点，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，故③正确；
，，
，
，
正方形的边长为，
，，，
在中，
由勾股定理，得，
即，
解得，
，
，
．故④不正确．
故答案为：①②③．
三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（7分）（2024•遂宁）计算：．
【解答】解：原式．
17．（7分）（2024•遂宁）先化简：，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值．
【解答】解：
，
，，
，，
当时，原式．
18．（8分）（2024•遂宁）康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理．
（1）实践与操作
①任意作两条相交的直线，交点记为；
②以点为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段、、、；
③顺次连结所得的四点得到四边形．
于是可以直接判定四边形是平行四边形，则该则定定理是： 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ．
（2）猜想与证明
通过和同伴交流，他们一致认为四边形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程．
已知：如图，四边形是平行四边形，．
求证：四边形是矩形．
【解答】（1）解：，，
四边形的对角线互相平分，
四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
19．（8分）（2024•遂宁）小明的书桌上有一个型台灯，灯柱高，他发现当灯带与水平线夹角为时（图，灯带的直射宽为，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为时（图，直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点到桌面的距离．（结果保留1位小数），，
【解答】解：如图2中，过点作于点，交于点．
如图1中，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
如图2中，，，
，
，
，
，
．
答：台灯最高点到桌面的距离约为．
20．（9分）（2024•遂宁）某酒店有、两种客房，其中种24间，种20间．若全部入住，一天营业额为7200元；若、两种客房均有10间入住，一天营业额为3200元．
（1）求、两种客房每间定价分别是多少元？
（2）酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为多少元？
【解答】解：（1）设种客房每间定价是元，种客房每间定价是元，
．
．
答：、两种客房每间定价分别是200元、120元．
（2）由题意，设种客房每间定价为元，
．
，
当时，取最大值，最大值为4840．
答：当种客房每间定价为220元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为4840元．
21．（9分）（2024•遂宁）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值．
【解答】解：（1），
这里，，，
△
．
，
△．
无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根为，，
则，．
，即，
．
整理，得．
．
解得，．
的值为或1．
22．（10分）（2024•遂宁）遂宁市作为全国旅游城市，有众多著名景点，为了解“五一”假期同学们的出游情况，某实践探究小组对部分同学假期旅游地做了调查，以下是调查报告的部分呢，请完善报告：
【解答】解：（1）（人，
本次被抽样调查的学生总人数为100人；
出游景点的人数为：（人，
；
，
“：龙风古镇”对应圆心角的度数是，
故答案为：100，10，；
（2）由（1）知：出游景点的人数为10人，
补全条形统计图如下：
（3）（人，
答：估计该学校学生“五一”假期未出游的有144人；
（4）画树状图如下：
一共有16种等可能的结果，其中两人选择同一景点有4种可能的结果，
（选择同一景点）．
23．（10分）（2024•遂宁）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出时，的取值范围；
（3）过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积．
【解答】解：（1）将点坐标代入反比例函数解析式得，
，
所以反比例函数解析式为．
将点坐标代入反比例函数解析式得，
，
所以点的坐标为．
将，两点坐标代入一次函数解析式得，
，
解得，
所以一次函数解析式为．
（2）由函数图象可知，
当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即，
所以当，的取值范围是：或．
（3）连接，令直线与轴的交点为，
将代入得，
，
所以点的坐标为，
所以．
因为正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对称图形，且坐标原点是对称中心，
所以点和点关于点成中心对称，
所以，
所以．
24．（10分）（2024•遂宁）如图，是的直径，是一条弦，点是的中点，于点，交于点，连结交于点．
（1）求证：；
（2）延长至点，使，连结．
①求证：是的切线；
②若，，求的半径．
【解答】（1）证明：连接，设交于点，
，
，
点是的中点，
于点，
于点，
，
，
，
，
．
（2）①证明：是的直径，，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
②解：，，且，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
解得，
的半径长为．
25．（12分）（2024•遂宁）二次函数的图象与轴分别交于点，，与轴交于点，、为抛物线上的两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当、两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标；
（3）设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得：，
则，
则抛物线的表达式为：；
（2）是以点为直角顶点的直角三角形时，
抛物线的对称轴为直线，
则点、关于抛物线对称轴对称，
则点，
设，
，
，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
，
，；
（3）存在，理由：
设点，则点，，设直线交轴于点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
令，
则，
则，
则，
即存在最小值为．甲
8
8
7
9
8
乙
6
9
7
9
9
小组关于学校学生“五一”出游情况调查报告
数据收集
调查方式
抽样调查
调查对象
学校学生
数据的整理与描述
景点
：中国死海
：龙风古镇
：灵泉风景区
：金华山
：未出游
：其他

数据分析及运用
（1）本次被抽样调查的学生总人数为 ，扇形统计图中， ，“：龙风古镇”对应圆心角的度数是 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）该学校总人数为1800人，请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数；
（4）未出游中的甲、乙两位同学计划下次假期从、、、四个景点中任选一个景点旅游，请用树状图或列表的方法求出他们选择同一景点的概率．
甲
8
8
7
9
8
乙
6
9
7
9
9
小组关于学校学生“五一”出游情况调查报告
数据收集
调查方式
抽样调查
调查对象
学校学生
数据的整理与描述
景点
：中国死海
：龙风古镇
：灵泉风景区
：金华山
：未出游
：其他

数据分析及运用
（1）本次被抽样调查的学生总人数为 100 ，扇形统计图中， ，“：龙风古镇”对应圆心角的度数是 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）该学校总人数为1800人，请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数；
（4）未出游中的甲、乙两位同学计划下次假期从、、、四个景点中任选一个景点旅游，请用树状图或列表的方法求出他们选择同一景点的概率．