辽宁省大连市2024_2025学年高二数学下学期4月考试含解析

这是一份辽宁省大连市2024_2025学年高二数学下学期4月考试含解析，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【详解】解：因为，，
所以.
故选：D.
2. 在某项测量中，测量结果服从正态分布（），若在内取值的概率为0.8，则在内取值的概率为（ ）
A. 0.9B. 0.8C. 0.3D. 0.1
【答案】A
【详解】
因为服从正态分布（），
所以正态分布曲线关于对称；
又因为在内取值的概率为0.8，
所以在内取值的概率为0.4，
所以在内取值的概率为．
故选：A
3. 已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【详解】由题意知，
解得，
因为，所以，即，则，
解得，所以，
故选：C．
4. 在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为 其中 为显性基因， 为隐性基因，生物学中将 和 统一记为 )，且这三种基因型的比为 . 如果在子二代中任意选取 2 株豌豆进行杂交试验，那么子三代中基因为 的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】记事件子三代中基因型为，记事件选择的是、，记事件选择的是、，记事件选择的是、，
则，，.
在子二代中任取颗豌豆作为父本母本杂交，分以下三种情况讨论：
①若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为；
②若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为；
③若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为.
综上所述，
.
因此，子三代中基因型为是的概率是.
故选：D.
5. 已知某条线路上有两辆相邻班次的（快速公交车），若准点到站的概率为，在B准点到站的前提下准点到站的概率为，在准点到站的前提下B不准点到站的概率为，则B准点到站的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】设事件为“准点到站”，事件为“准点到站”，
依题意，，
而，解得，
而，
则，而，解得.
故选：B
6. 为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年1~6月的GDP的数据（单位：百亿元）建立了线性回归模型，得到的经验回归方程为，其中自变量指的是月的编号，其中部分数据如表所示：
参考数据：.则下列说法不正确的是（ ）
A. 经验回归直线经过点
B.
C. 根据该模型，该地2023年12月的GDP的预测值为14.4百亿元
D. 相应于点的残差为0.1
【答案】D
【详解】选项A：由题意得：，
因为，，所以，得，
因此该经验回归直线经过样本点的中心，故A正确；
选项B：由A知，，得，故B正确；
选项C：由B得，则当时，，
故该地2023年12月的GDP的预测值为百亿元，故C正确；
选项D：当时，，
相应于点的残差为，故D错误，
故选：D.
7. 公司选拔部门总监，根据投票数与业绩评分，甲、乙、丙、丁、戊人以并列第一的得分在选拔中脱颖而出. 现在人事部、财务部与科研部要分别选择人担任部门总监，其余人随机分别调到个部门中担任项目经理，设事件{甲、乙两人不在同一部门}，事件{甲担任财务部部门总监}，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由题知，，
所以，
故选：C.
8. 托马斯·贝叶斯（Thmas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有3个白球和2个红球，现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的是2个红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】设从甲袋中取出2个球，其中红球的个数为i个的事件为，
从乙袋中取出2个球，其中白球的个数为2个的事件为B，
由题意：①，；
②，；
③，.
根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个白球，
则从甲袋中取出的是2个红球的概率为：
.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但选不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为，乙每次命中概率为，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则（ ）
A. 两人都命中的概率为B. 恰好有一人命中的概率为
C. 两人都没有命中的概率为D. 至少有一人命中的概率为
【答案】ABD
【详解】设事件：甲投篮一次，命中；事件：乙投篮一次，命中.
则事件，独立.
对A选项：由，故A正确；
对B选项：由，故B正确；
对C选项：由，故C错误；
对D选项：由，故D正确.
故选：ABD
10. 已知随机事件、满足：，，则下列选项正确的是（ ）
A. 若，则与相互独立B. 若与相互独立，则
C. 若与互斥，则D. 若，则
【答案】ACD
【详解】对于A，，故与相互独立，即A正确；
对于B，若与相互独立，则与也相互独立，
则，故B错误；
对于C，若与互斥，则，
，故C正确；
对于D，由全概率公式可得，
所以，故D正确；
故选：ACD.
11. 泊松分布是一种离散型概率分布，常用于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数，其概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值.当二项分布的很大而很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，且取二项分布的期望.假设每个大肠杆菌基因组含有10000个核苷酸对，采用紫外线照射大肠杆菌时，每个核苷酸对产生嘧啶二体的概率均为0.0005，设大肠杆菌的基因组产生的嘧啶二体个数为表示经该种紫外线照射后产生个嘧啶二体的概率.已知近似服从泊松分布，当产生的嘧啶二体个数不小于1时，大肠杆菌就会死亡，则下列说法正确的有（ ）
A.
B.
C. 大肠杆菌经该种紫外线照射后，存活的概率为
D. 经该种紫外线照射后产生10个嘧啶二体的概率最大
【答案】AC
【详解】对于A，因为，所以此时泊松分布满足二项分布的近似的条件，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，
，
当时，，当时，；
当时，；故当或5时取最大值，D错误.
故选:AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量服从两点分布，其中，若，则______.
【答案】##
【详解】根据两点分布的特点得，
则，
根据方差的性质得，
故答案为：.
13. 一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：，，，，，．现从盒子中逐一抽取卡片并判函数的奇偶性，每次抽出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为X，则的概率为___________．
【答案】##0.8
【详解】易判断，，为偶函数，所以写有偶函数的卡片有3张，的取值范围是．
，，
所以．
故答案为：
14. 如图，电流通过元件的概率均为0.8，且各元件能否正常工作相互独立，则电流能在E，F之间通过的概率是_____.
【答案】0.7424
【详解】根据题意可知电流能通过的概率为，电流能通过的概率为，
所以电流不能通过，且也不能通过的概率为，
所以电流能通过的概率为，
因为电流能通过的概率为，
所以电流能在E，F之间通过的概率为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 袋中有6个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为．
（1）求的分布列；
（2）求；
（3）若摸出一个黑球得10分，摸出一个白球得5分，总分为分，求的值．
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）
【小问1详解】
由题意得，的可能取值为0，1，2，且，
，
，
，
所以的分布列如下．
【小问2详解】因为，所以．
【小问3详解】
由已知得，
因为，
所以，所以．
16. 某汽车公司研发了一款新能源汽车，并在出厂前对辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图：
（1）估计这辆汽车单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）由频率分布直方图计算得样本标准差的近似值为，根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似的服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差.
（i）利用该正态分布，求；
（ii）假设某企业从该汽车公司购买了辆该款新能源汽车，记表示这辆新能源汽车中单次最大续航里程的车辆数，求；
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）.
【小问1详解】
由频率分布直方图可得.
【小问2详解】
（i）由题意可得，，则，
所以，；
（ii）由题意可知，，故.
17. 经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度（单位：）和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量表.
表中，，.
（1）根据散点图判断，，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程；
（2）某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有5个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有3个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望.
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
【答案】（1）适宜作为与之间的回归方程模型，
（2）答案见解析，.
小问1详解】
根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，所以适宜作为与之间的回归方程模型.
令，则，
，
，
所以，
所以关于的回归方程为.
【小问2详解】
由题意设随机挑选一批，取出两个鱼卵，其中“死卵”个数为，则的可能取值为，，，
设“所取两个鱼卵来自第批”，
所以，
设“所取两个鱼卵有个‘死卵’”，
由全概率公式得
，
，
，
所以取出“死卵”个数的分布列为
所以，
所以取出“死卵”个数的数学期望为.
18. 中国男子篮球职业联赛“简称CBA”半决赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负.同时比赛采用主客场制，比赛先在A队的主场进行两场比赛，再移师B队主场进行两场比赛（有必要才进行第二场），如果需要第五场比赛，则回到A队的主场进行，已知A队在主场获胜的概率为，在客场获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立.
（1）第一场比赛B队在客场通过全队的努力先赢了一场，赛后B队的教练鼓励自己的队员说“胜利的天平已经向我们倾斜”，试从概率大小的角度判断B队教练的话是否客观正确；
（2）每一场比赛，会给主办方在门票，饮食，纪念品销售等方面带来综合收益300万元，设整个半决赛主办方综合收益为，求的分布列与期望，
【答案】（1）从概率大小的角度判断B队教练的话是客观正确的.
（2）分布列见解析，万元.
小问1详解】
由题知，B队获胜的情况有三种，
第一种情况，比赛三场获胜，其概率为；
第二种情况，比赛四场获胜，则第二场或第三场B队失败，故其概率为；
第三种情况，比赛五场获胜，则B队在第二场，第三场，第四场中赢得一场比赛，第五场比赛获胜，其概率为，
所以，B队在第一场比赛获胜的情况下，赢得比赛的概率为，
所以，从概率大小的角度判断B队教练的话是客观正确的.
【小问2详解】
由题知，至少举办3场球赛，至多举办5场球赛，
所以的可能取值为，
所以，当举办3场球赛时，A队获胜的概率为，B队获胜的概率为，
所以，；
当举办4场球赛时，A队获胜的概率为，
B队获胜的概率为，
，
所以，，
所以，的分布列为：
所以，万元
19. “分布式计算系统”是由多台计算机组成的用以提高计算效率的计算机系统．在一个分布式计算系统中，若一次计算中发生故障的计算机数不超过总计算机数的，则称这次计算是“优质计算”，某科技公司采购了一批共计台计算机用于搭建分布式计算系统，每台计算机的故障率均为．
（1）若，，记为一次计算中正常运行的计算机数量，求的分布列和数学期望；
（2）若，，请估计一次计算中正常运行的计算机数量最有可能是多少？
（3）该科技公司决定再购入台与（2）中完全相同的计算机组成新的分布式计算系统，请与（2）的分布式计算系统比较，判断新的分布式计算系统完成一次“优质计算”的概率是否有提升？
【答案】（1）分布列见解析，数学期望为
（2）台或台
（3）能得到提升
【小问1详解】
由题意可知，，所以，，
，，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，随机变量的数学期望为.
【小问2详解】
设由台计算机组成的分布式计算系统中正常运行的计算机数为，则．
且，
由得，其中，，
即，解得．
所以同时正常运行的计算机数最有可能是台或台．
【小问3详解】
当分布式计算系统中计算机数量为时，
若要完成一次“优质计算”，同时正常运行的计算机数应不小于，
即至少台计算机同时正常运行．
当分布式计算系统中计算机数量为时，
若要完成一次“优质计算”，同时正常运行的计算机数应不小于，
即至少台计算机同时正常运行．
记台计算机正常运行的个数为，设，，，，且有．
则由台计算机组成分布式计算系统完成“优质计算”的概率，
由台计算机组成的分布式计算系统完成“优质计算”的概率为，则：
，
于是，
而，0
2
时间
1月
2月
3月
4月
5月
6月
编号
1
2
3
4
5
6
百亿元
11.1
0
1
2
360
54.5
1360
44
384
3
588
32
6430
0
1
2