2024-2025学年北京市顺义区高一下学期期末数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市顺义区高一下学期期末数学试题（含答案），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）
1．在平面直角坐标系中，，，则向量（ ）
A．B．C．D．
2．在复平面内，与复数对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．在中，，，，则（ ）
A．4B．3C．D．2
4．已知为第二象限角，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．在直角中，斜边，直角边.若以该直角三角形的一条直角边AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体.则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．设m，n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，则
7．一艘海轮从港口A出发，沿着正东方向航行50n mile后到达海岛B，然后从海岛B出发，沿着北偏东30°方向航行70n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘海轮需要航行的距离大约是（ ）
A．62.4n mileB．85.0n mileC．104.4n mileD．116.0n mile
8．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增
9．设，为两个非零向量，则“”是“存在实数，使得”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
10．如图，在棱长为a的正方体中，E是棱上的一个动点，给出下列三个结论：

①存在点E使得平面平面；
②的面积为定值；
③的最小值为.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①B．②③C．①③D．①②③
二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分.）
11．已知复数，则z的共轭复数 .
12．已知，则 .
13．在中，点P，Q满足，.若，则 .
14．已知函数（，）部分图象如图所示.其中A，B是直线与曲线相邻的两个交点.若，则 ， .
15．如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，矩形ABCD的面积S的最大值为 .
三、解答题（本题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．已知向量，，，且向量与共线.
(1)证明：；
(2)求向量与的夹角；
(3)若，求实数m的值.
17．在中，，A为锐角，.
(1)求A.
(2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积.
条件①：；条件②：AB边上的高为；条件③：
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分
18．如图在四棱柱中，四边形ABCD为梯形，，，E为中点.
(1)求证：平面；
(2)若平面，，且，
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）写出二面角的正切值.（结论不要求证明）
19．已知函数（），且函数图象的一个对称中心为.
(1)求的值；
(2)求的单调递增区间；
(3)若在区间上的值域是，求m的取值范围.
20．如图，在几何体中，侧面是正方形，，，，，且与平面所成角为.
(1)求证：平面平面；
(2)求四棱锥的体积；
(3)若平面与棱交于点，求四边形的面积.
21．对于一个所有元素均为整数的非空集合A，和一个给定的正整数k，定义集合.
(1)若，直接写出集合和；
(2)若，其中，，直接写出使得集合中元素个数最少的一个k（用n表示）；
(3)若，p和k都是正整数，集合，求出使得成立的所有p和k的值，并说明理由.
参考答案
1．A
2．D
3．D
4．B
5．A
6．B
7．C
8．A
9．B
10．C
11．
12．
13．
14．2； .
15．
16．（1）由向量与共线，得，得，
得，，
则，
故．
（2），
设向量与的夹角为，
则，
由，得，
故向量与的夹角为：．
（3），
由得，，
解得．
17．（1）由，得，得，
由正弦定理得，，
得，得，
因为A为锐角，所以
（2）若选条件①：，由正弦定理得，，得，
得，则角不存在，则不存在，所以条件①不符合要求，
故不选择条件①；
若选条件②：AB边上的高为，如图：
当角为钝角时，由，
得，而，
则不合题意，
故当角为锐角时，得，，，
得，
则的面积为：.
若选条件③：，由，得，得，
由余弦定理得，，
得，
得，得，
则的面积为：.
18．（1）
如图，取的中点，连接，
因E为的中点，故，
又，，则，
故得，则，
因平面，平面，
故平面.
（2）（ⅰ）因平面，平面，则，
因，且平面，则平面，
因平面，故.
（ⅱ）如图，在平面内，过点作于点，连接，
因平面，平面，则，
又平面，则平面，
因平面，则，故即二面角的平面角.
设，则，，
在中，由面积相等，，可得，
在中，，
即二面角的正切值为.
19．（1）
，
因函数图象的一个对称中心为，则，
则，即，
因，则当时，.
（2）由（1）可知，，
令，得，
故的单调递增区间为；
（3），则，
因，结合函数图象可知，
欲使在区间上的值域是，
则，即，
故的取值范围为.
20．（1）由侧面是正方形有，又,
又平面，所以平面，又平面，
所以平面平面；
（2）由（1）有平面，又，所以平面，
所以为与平面所成角，即，
又，所以，即，
所以梯形的面积为，
所以四棱锥的体积为；
（3）由侧面是正方形，得，平面，平面，
所以平面，又，平面，平面，
所以平面，又，平面，所以平面平面，
连接，平面平面，平面平面，则，
由，所以，
又，，所以，，
由，，所以，
过点作交于，
由有，又，，，即，
所以，所以四边形为等腰梯形，
如图作，所以，
，所以，
所以等腰梯形的面积为：.
21．（1）由题意，集合，且，
当时，可得；
当时，可得.
（2）由题意，集合，
对于，其中，
当时，此时中的元素个数最少，
若时，中的元素个数最少；
（3）若时，可得，要使得且，
则，即.
若时，此时，显然中有很多自然数空缺，所以不成立.
综上可得： ，.