2024_2025学年上海市青浦区高三上学期期终学业质量调研数学模拟试卷[一模]含答案

这是一份2024_2025学年上海市青浦区高三上学期期终学业质量调研数学模拟试卷[一模]含答案，共10页。
本试卷包括试题纸和答题纸两部分．
在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．
可使用符合规定的计算器答题．
填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1．在复平面内，复数（是虚数单位）的共轭复数对应的点位于第________象限．
2．已知集合，，则 ．
3．不等式的解集为 ．
4．已知直线与直线平行，则 ．
5．两条渐近线互相垂直的双曲线的离心率为 ．
6．已知数列满足，则 ．
7．在△中，已知，，若，则△的面积为 ．
8．已知圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面直径和母线长相等．若圆柱和圆锥的体积相同，则圆锥的底面半径为 ．
9．的展开式中，项的系数为 ．
10．已知函数的定义域为，值域为，则满足条件的函数最多有 个．
11．若函数在区间上严格增，则实数的取值范围是 ．
12．已知是单位圆上任意不同三点，则的取值范围是 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13．已知且满足，则下列关系式恒成立的是 ．
A．B．
C．D．
14．若点关于平面的对称点为，关于轴的对称点为，则、
两点（ ）．
A．关于坐标原点对称B．关于轴对称
C．关于轴对称D．关于平面对称
15．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则关于函数在上的零点的说法正确的是（ ）．
A．有4个零点，其中只有一个零点在区间上
B．有4个零点，其中两个零点在区间上，另外两个零点在区间上
C．有5个零点，两个正零点中一个在区间上，一个在区间上
D．有5个零点，都不在区间上
16．对于数列，设数列的前项和为，给出下列两个命题：
①存在函数，使得；②存在函数，使得．
则①是②的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
三．解答题（本大题共有5题,满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤.
17.(本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分)
已知函数，其中．
（1）求函数的最小正周期及最大值；
（2）若，且，求的值．
18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，在三棱锥中，平面平面，，，，、分别为线段、上的点，且，，．
（1）求证：平面；
（2）求证： 平面；
19.(本题满分14分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分)
第七届中国国际进口博览会于2024年11月5日至10日在上海举办，某公司生产的、、三款产品在博览会上亮相，每一种产品均有普通装和精品装两种款式，该公司每天产量如下表：（单位：个）
现采用分层抽样的方法在某一天生产的产品中抽取100个，其中款产品有30个．
（1）求的值；
（2）用分层抽样的方法在款产品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取2个产品，求其中至少有一个精品装产品的概率；
（3）对抽取到的款产品样本中某种指标进行统计，普通装产品的平均数为，方差为，精品装产品的平均数为，方差为，试估计这天生产的款产品的某种指标的总体方差（精确到）．
20.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)
已知椭圆，为椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于、两点．
（1）若直线垂直于轴，求椭圆的弦的长度；
（2）设点，当时，求点的坐标；
（3）设点，记、的斜率分别为和，求的取值范围．

21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)
已知函数，其中．
（1）求函数的单调区间；
（2）设函数，问：函数的图像上是否存在三点，使得它们的横坐标成等差数列，且直线的斜率等于在点处的切线的斜率？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）证明：函数图像上任意一点都不落在函数图像的下方．
答案
一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.
1．四；2．；
3．；4．；
5．；6．；
7．；8．；
9. ；10. ；
11．；12. .
二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13. ；14. ； 15． ；16. .
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.
解：（1）因为
，函数的最大值为：．
（2），当，
即，，，
，又，．

18．（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.
证明：（1）在△中，已知，分别为线段，上的点，
且，，即，所以，
又平面，平面，
所以平面
（2）连接，由题意知，，
，，，
，
，，，
又平面平面，平面平面
平面，，
，
平面，平面
平面．
19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.
解：（1）根据题意，该工厂一天所生产的产品总数为．
现采用分层抽样的方法在这一天生产的产品中抽取100个，其中款产品有30个，
则有，解得；
（2）设所抽取的样本中有个精品装产品，则，解得，
所以，容量为5的样本中，有3个精品装产品，2个普通装产品．
则至少有一个精品装产品的概率为
（3）根据题意，在款产品30个数据的样本中，有21个精品装产品，9个普通装产品．其均值为，
．
20.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.
解：（1）因为为椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于、两点，直线垂直于轴，所以，代入椭圆的方程得，所以；
若直线垂直于轴，椭圆的弦的长度为.
（2）若点，当时，因为弦过右焦点，
则，即点在以为直径的圆上，则点的轨迹方程为；
又因为点在椭圆上，则
解得，即点的坐标为或.
（3）设，，由得，∴，
∴，
当时，；
当时，。
∴的取值范围是．
21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.
解：（1）定义域为，，显然在上严格增，且．
所以当时，；当时，．
∴的单调减区间为，单调增区间为．（说明：边界1的地方可开可闭）
（2），假设存在三点满足条件，设三点的横坐标分别为．则，即，即，令，则，当且仅当时等号成立．所以严格增，只有一个零点，矛盾．所以不存在满足条件的三点．
（3）令，只需证明当时，恒成立．
，，．
当时，显然严格增，∴．
当时，分两段．
①当时，，所以；
②当时，，因为，由（2）知，∴．
综上可知，，∴图像上任何点都不落在下方．．产品
产品
产品
普通装
180
400
精品装
300
420
600