2024_2025学年山东省德州市高三上学期12月月考数学试卷[附解析]

这是一份2024_2025学年山东省德州市高三上学期12月月考数学试卷[附解析]，共21页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x∈N*|x2﹣2x﹣3＜0}，则满足B⊆A的非空集合B的个数为（ ）
A．3B．4C．7D．8
2．（5分）已知P是抛物线C：x2＝8y上的一点，F为C的焦点，若|PF|＝11，则P的纵坐标为（ ）
A．8B．9C．10D．11
3．（5分）已知平面向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A．B．
C．D．
4．（5分）已知函数的图像关于原点中心对称，则ω的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）若z是方程x2+x+1＝0的一个虚数根，则z2﹣＝（ ）
A．0B．﹣1C．D．﹣1或
6．（5分）已知直线l：y＝kx+k﹣1和曲线C：x2+y2﹣2x﹣2|y|＝0 有公共点，则实数k的取值范围为（ ）
A．[2﹣，2+]B．[﹣2，1]C．[﹣1，2+]D．[﹣1，1]
7．（5分）已知双曲线C：的左右焦点分别是F1F2，点P是C的右支上的一点（异于顶点），过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则|MO|＝（ ）
A．随P点变化而变化B．5
C．4D．2
8．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝f（2﹣x），当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝3x，若函数g（x）＝f（x）﹣k（x﹣2）的所有零点为xi（i＝1，2，3，…，n），当时，＝（ ）
A．6B．8C．10D．12
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，则（ ）
A．是等差数列B．{an+1﹣an}是等差数列
C．{lg3an}等比数列D．{anan+1}是等比数列
（多选）10．（6分）已知P是双曲线C：上任意一点，A，B是双曲线的两个顶点，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0），若|k1|+|k2|≥t恒成立，且实数t的最大值为1，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的方程为
B．双曲线的离心率为
C．函数（a＞0，a≠1）的图象恒过双曲线C的一个焦点
D．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若△PF1F2的面积为，则∠PF1F2＝
（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝sinx﹣acsx（a∈R）的图象关于直线对称，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为2π
B．f（x）在上单调递增
C．f（x）的图象关于点对称
D．若f（x1）+f（x2）＝0，且f'（x）在（x1，x2）上无零点，则|x1+x2|的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知甲：x≥1，乙：关于x的不等式，若甲是乙的必要不充分条件，则a的取值范围是 ．
13．（5分）已知正项数列{an}的前n项积为Tn，且满足an（3Tn﹣1）＝Tn（n∈N*），则Tn＝ ．
14．（5分）已知等边△ABC的边长为，P为△ABC所在平面内的动点，且，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。
15．（13分）过椭圆内一点M（1，1）的弦AB．
（1）若点M恰为弦AB的中点，求直线AB的方程；
（2）求过点M的弦的中点的轨迹方程．
16．（15分）已知函数．
（1）当a＝0时，求f（x）的单调区间；
（2）当a＝1时，证明：f（x）≥e﹣1．
17．（15分）如图，长方形ABCD纸片的长AB为，将矩形ABCD沿折痕EF，GH翻折，使得A，B两点均落于DC边上的点P，若．
（1）当sin2θ＝﹣sinθ时，求长方形宽AD的长度；
（2）当时，求长方形宽AD的最大值．
18．（17分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，点在椭圆C上．A、B分别为椭圆C的上、下顶点，动直线l交椭圆C于P、Q两点，满足AP⊥AQ，AH⊥PQ，垂足为H．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求△ABH面积的最大值．
19．（17分）模糊数学普遍存在于自然界和数学模型中，比如天气预测、种群数量变化和天体运动等等．假设在一个模糊数学系统中，用xn来表示系统在第n（n∈N*）个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态xn+1满足xn+1＝f（xn），0＜x1＜1，其中f（x）＝﹣ax2+ax．
（1）当a＝3时，若满足对∀n∈N*，有xn＝f（xn+1），求xn；
（2）当a＝1时，判断{xn}中是否存在连续的三项构成等比数列；若存在，求出连续的三项；若不存在，说明理由．
（3）若，记，证明：．
答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x∈N*|x2﹣2x﹣3＜0}，则满足B⊆A的非空集合B的个数为（ ）
A．3B．4C．7D．8
【分析】先化简集合A，然后利用子集的定义进行求解即可．
解：A＝{x∈N*|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x∈N*|﹣1＜x＜3}＝{1，2}，
所以满足B⊆A的非空集合B有{1}，{2}，{1，2}，故个数为3．
故选：A．
【点评】本题考查解一元二次不等式，集合的包含关系，属于基础题．
2．（5分）已知P是抛物线C：x2＝8y上的一点，F为C的焦点，若|PF|＝11，则P的纵坐标为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【分析】根据抛物线的定义转化焦半径为点到准线的距离计算即可．
解：由题意得C的焦点F（0，2），准线为直线y＝﹣2．
因为|PF|＝11，所以P到直线y＝﹣2的距离为11，则P的纵坐标为11﹣2＝9．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的定义，属于基础题．
3．（5分）已知平面向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由投影向量的定义计算即可求得．
解：因为，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量是＝．
故选：D．
【点评】本题考查平面向量的投影向量，属于基础题．
4．（5分）已知函数的图像关于原点中心对称，则ω的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用余弦函数对称中心求出ω的表达式，再赋值求得结果．
解：函数的图像关于原点中心对称，
则，解得，k∈Z，
因为ω＞0，当k＝﹣1时，ω取得最小值．
故选：B．
【点评】本题主要考查了余弦函数对称性的应用，属于基础题．
5．（5分）若z是方程x2+x+1＝0的一个虚数根，则z2﹣＝（ ）
A．0B．﹣1C．D．﹣1或
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
解：，
z是方程x2+x+1＝0的一个虚数根，
则或，
，
z2+z+1＝0，
则z2＝﹣z﹣1，
故＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
6．（5分）已知直线l：y＝kx+k﹣1和曲线C：x2+y2﹣2x﹣2|y|＝0 有公共点，则实数k的取值范围为（ ）
A．[2﹣，2+]B．[﹣2，1]C．[﹣1，2+]D．[﹣1，1]
【分析】将曲线 C：x2+y2﹣2x﹣2|y|＝0化为，若直线与曲线有交点，则由图可求出直线与曲线相切时切线的斜率，其中用到圆心到直线的距离等于半径求解即可．
解：因为y＝kx+k﹣1＝k（x+1）﹣1，所以直线l恒过定点P（﹣1，﹣1），
曲线C：x2+y2﹣2x﹣2|y|＝0化简即为，如图所示：
由图可知，若直线l与曲线C有交点，则直线介于l1与l2之间即可，
由圆心（1，1）到直线kx﹣y+k﹣1＝0的距离等于半径得，
整理得：k2﹣4k+1＝0，解得或（舍），
同理，由圆心（1，﹣1）到直线kx﹣y+k﹣1＝0的距离等于半径得，
整理得k2＝1，解得k＝1（舍）或k＝﹣1，所以．
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查方程思想，考查学生的计算能力，属于中档题．
7．（5分）已知双曲线C：的左右焦点分别是F1F2，点P是C的右支上的一点（异于顶点），过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则|MO|＝（ ）
A．随P点变化而变化B．5
C．4D．2
【分析】由题设条件结合等腰三角形的性质可得|PH|＝|PF2|，由双曲线的定义推出PF1|﹣|PH|＝|F1H|＝2a，由中位线定理可得|OM|＝a，由双曲线的方程可得所求值．
解：双曲线C：的左右焦点分别是F1，F2，
延长F2M交PF1于H，
∵PM是∠F1PF2的角平分线，∴|PH|＝|PF2|，
∵P在双曲线上，∴|PF1|﹣|PF2|＝2a，
∴|PF1|﹣|PH|＝|F1H|＝2a，
∵O是F1F2的中点，M是F2H的中点，
∴OM是△F2F1H的中位线，∴|HF1|＝2|OM|，
即|OM|＝a，
双曲线C：的中a＝5，则|OM|＝5．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，注意运用等腰三角形的性质和中位线定理，考查推理能力，属于中档题．
8．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝f（2﹣x），当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝3x，若函数g（x）＝f（x）﹣k（x﹣2）的所有零点为xi（i＝1，2，3，…，n），当时，＝（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】根据函数的性质得到其大致图象，把零点转化为图象的交点，即可求得结论．
解：∵定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝f（2﹣x），故图象关于x＝1对称，
∴﹣f（﹣x）＝f（2﹣x），
故f（2+x）＝﹣f（x），
∴f（4+x）＝﹣f（2+x）＝f（x），
即周期为4，又因为当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝3x，
函数g（x）＝f（x）﹣k（x﹣2）的所有零点即为f（x）＝k（x﹣2）的交点，
因为时，对应图象如图，
故共有5个零点，一个为2，另两对都关于（2，0）对称，
∴＝2+2×2+2×2＝10，
故选：C．
【点评】本题考查了函数的零点，同时考查了学生的作图能力，属于中档题．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，则（ ）
A．是等差数列B．{an+1﹣an}是等差数列
C．{lg3an}等比数列D．{anan+1}是等比数列
【分析】由已知结合等比数列的通项公式先求出an，然后结合等差与等比数列的定义分别检验各选项即可判断．
解：因为数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，
所以an＝3n﹣1，
所以＝3，故{}是等差数列，A正确；
an+1﹣an＝3n﹣3n﹣1＝2×3n﹣1，则{an+1﹣an}是等比数列，B错误；
lg3an＝n﹣1，则{lg3an}是等差数列，C错误；
anan+1＝3n﹣1•3n＝32n﹣1，则{anan+1}是等比数列，D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查了等比数列与等差数列的定义及判断，属于基础题．
（多选）10．（6分）已知P是双曲线C：上任意一点，A，B是双曲线的两个顶点，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0），若|k1|+|k2|≥t恒成立，且实数t的最大值为1，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的方程为
B．双曲线的离心率为
C．函数（a＞0，a≠1）的图象恒过双曲线C的一个焦点
D．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若△PF1F2的面积为，则∠PF1F2＝
【分析】设P的坐标，代入双曲线的方程整理，结合不等式恒成立即均值不等式可得m的值，进而求出双曲线的方程，可得双曲线的离心率和焦点坐标，可判断A，B，C的真假，再由三角形的面积及双曲线的对称性可得D的真假．
解：设P（x，y），可得，所以＝＞0，
由题意可知A（﹣2，0），B（2，0），可得＞0，
k1•k2＝＝，
即k1•k2＝
若|k1|+|k2|≥t恒成立，且实数t的最大值为1，
由若|k1|+|k2|≥2＝2＝，当且仅当|k1|＝|k2|时取等号，
所以可得m＝1，
可得双曲线的方程为：﹣y2＝1；
则离心率e＝＝＝＝，
所以可得A正确，B不正确；
由双曲线的方程可得焦点坐标为（±，0），
C：函数（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（﹣，0），即函数（a＞0，a≠1）的图象恒过双曲线C的一个焦点，所以C正确；
D：△PF1F2的面积为即双曲线的对称性可得P可能在左支，也可能在右支，所以D不正确；
故选：AC．
【点评】本题考查双曲线的方程及性质库存不等式恒成立问题的解法，属于中档题．
（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝sinx﹣acsx（a∈R）的图象关于直线对称，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为2π
B．f（x）在上单调递增
C．f（x）的图象关于点对称
D．若f（x1）+f（x2）＝0，且f'（x）在（x1，x2）上无零点，则|x1+x2|的最小值为
【分析】由f（0）＝f（﹣），解得，从而f（x）＝sinx﹣csx＝2sin（x﹣），由此能求出结果．
解：函数f（x）＝sinx﹣acsx（a∈R）的图象关于直线对称，
∴f（0）＝f（﹣），∴sin0﹣acs0＝sin（﹣）﹣acs（﹣），
解得，
∴f（x）＝sinx﹣csx＝2sin（x﹣），
对于A，f（x）的最小正周期为2π，故A正确；
对于B，﹣，k∈Z，
整理得f（x）的增区间为[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z，故B错误；
对于C，f（x）的图象关于点对称，故C正确；
对于D，若f（x1）+f（x2）＝0，且f'（x）在（x1，x2）上无零点，
则当x1＝﹣，x2＝时，|x1+x2|的最小值为，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了正弦函数对称性的应用等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知甲：x≥1，乙：关于x的不等式，若甲是乙的必要不充分条件，则a的取值范围是 {a|a≥1} ．
【分析】先求出分式不等式的解集，然后结合充分必要条件与集合包含关系的转化即可求解．
解：由可得a＜x＜a+1，
若甲是乙的必要不充分条件，则{x|a＜x＜a+1}⫋{x|x≥1}，
所以a≥1．
故{a|a≥1}．
【点评】本题主要考查了充分必要条件的应用，属于基础题．
13．（5分）已知正项数列{an}的前n项积为Tn，且满足an（3Tn﹣1）＝Tn（n∈N*），则Tn＝ ．
【分析】构造等比数列即可求解．
解：∵an（3Tn﹣1）＝Tn，
∴，n≥2，
∴3Tn﹣1＝Tn﹣1，
∴，n≥2，
又a1（3a1﹣1）＝a1，又a1＞0，
解得，∴，
∴{}是以为首项，为公比的等比数列，
∴，
∴Tn＝．
故．
【点评】本题考查数列递推公式的应用，数列通项公式的求解，属中档题．
14．（5分）已知等边△ABC的边长为，P为△ABC所在平面内的动点，且，则的取值范围是 ．
【分析】先建立平面直角坐标系，求出对应点的坐标，然后结合平面向量数量积的坐标运算求解即可．
解：已知等边△ABC的边长为，P为△ABC所在平面内的动点，且，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则A（0，0），，，P（csθ，sinθ），其中θ∈[0，2π]，
则，，
则＝＝＝，
又，
则的取值范围是．
故．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量数量积的坐标运算，属基础题．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。
15．（13分）过椭圆内一点M（1，1）的弦AB．
（1）若点M恰为弦AB的中点，求直线AB的方程；
（2）求过点M的弦的中点的轨迹方程．
【分析】本题考查的知识点是直线的一般式方程及动点轨迹方程的求法，（1）由于弦AB过点M（1，1），故我们可设出直线AB的点斜式方程，联立直线与圆的方程后，根据韦达定理（根与系数的关系），我们结合点M恰为弦AB的中点，可得到一个关于斜率k的方程，解方程求出k值后，代入整理即可得到直线AB的方程．（2）设AB弦的中点为P，则由A，B，M，P四点共线，易得他们确定直线的斜率相等，由此可构造一个关于x，y的关系式，整理后即可得到过点M的弦的中点的轨迹方程．
解：（1）设直线AB的斜率为k，则AB的方程可设为y﹣1＝k（x﹣1）．
得x2+4（kx+1﹣k）2＝16
得（1+4k2）x2+8k（1﹣k）x+4（1﹣k2）﹣16＝0
，
．
．
∴．
（2）设弦AB的中点为P（x，y）
∵A，B，M，P四点共线，
∴kAB＝kMP
∴．
【点评】在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
16．（15分）已知函数．
（1）当a＝0时，求f（x）的单调区间；
（2）当a＝1时，证明：f（x）≥e﹣1．
【分析】（1）将a＝0代入f（x）中，对f（x）求导后，求出单调区间即可；
（2）方法一：将a＝1代入f（x）中，令，判断h（x）的单调性，再结合条件证明结论成立即可；
方法二：将a＝1代入f（x）中，对f（x）求导，判断f（x）的单调性，再证明结论成立即可．
解：（1）当a＝0时，f（x）＝lnx﹣x，则，
由f'（x）＞0，得0＜x＜1；由f'（x）＜0，得x＞1，
所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
（2）证明：方法一：当a＝1时，，
令，可知，
则h（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
因此（当且仅当x＝1时取得等号）．
令k（x）＝x﹣lnx（x2e），则由（1）知，k（x）在[e，+∞）单调递增，
因此k（x）≥e﹣1，所以．
方法二：当a＝1时，，则，
由（1）可知，lnx≤x﹣1＜x，即x＜ex，
所以f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
因此f（x）≥f（1）＝e﹣1（当且仅当x＝1时取得等号）．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用综合法证明不等式，考查了转化思想，属中档题．
17．（15分）如图，长方形ABCD纸片的长AB为，将矩形ABCD沿折痕EF，GH翻折，使得A，B两点均落于DC边上的点P，若．
（1）当sin2θ＝﹣sinθ时，求长方形宽AD的长度；
（2）当时，求长方形宽AD的最大值．
【分析】（1）利用二倍角公式化简sin2θ＝﹣sinθ，可得θ＝，设PE＝AE＝x，PG＝BG＝y，再在△PEG中，利用余弦定理，推出xy＝2，然后利用等面积法，即可得解；
（2）结合（1）中所得，推出xy＝，再利用等面积法，可得AD＝•，然后由二倍角公式将其化简为正切型函数，根据θ的取值范围，即可得解．
解：（1）当sin2θ＝﹣sinθ时，有2sinθcsθ＝﹣sinθ，即csθ＝﹣，所以θ＝，
设PE＝AE＝x，PG＝BG＝y，
因为AB＝，，所以x+y＝3①，
在△PEG中，由余弦定理知，EG2＝PE2+PG2﹣2PE•PGcs∠EPG，
所以7＝x2+y2﹣2xycs②，
由①②得，xy＝2，
因为△PEG的面积S△PEG＝PE•PGsin∠EPG＝EG•AD，即xysin＝•AD，
所以AD＝＝．
（2）由（1）可得，x+y＝3，7＝x2+y2﹣2xycsθ＝（x+y）2﹣2xy﹣2xycsθ＝9﹣2xy（1+csθ），
所以xy＝，
由S△PEG＝PE•PGsin∠EPG＝EG•AD，得xysinθ＝•AD，
所以AD＝xy＝•＝•＝•tan，
因为，所以，
所以当tan＝1，即θ＝时，．
【点评】本题考查解三角形，熟练掌握余弦定理，三角形的面积公式，二倍角公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18．（17分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，点在椭圆C上．A、B分别为椭圆C的上、下顶点，动直线l交椭圆C于P、Q两点，满足AP⊥AQ，AH⊥PQ，垂足为H．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求△ABH面积的最大值．
【分析】（1）由题意可知，解得即可求出；
（2）设直线PQ方程为y＝kx+m，根据韦达定理，以及AP⊥AQ，可求出m＝﹣，再根据△ABH的几何意义，根据面积公式即可求出．
解：（1）由题意可知，解得a＝，b＝2，c＝，
所以椭圆C的标准方程为+＝1；
（2）由题意知PQ的斜率存在，设直线PQ方程为y＝kx+m，其中m≠2，
由，消y得（3k2+2）x2+6kmx+3m2﹣12＝0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则x1+x2＝﹣，x1x2＝，
∵AP⊥AQ，
∴•＝x1x2+（y1﹣2）（y2﹣2）＝x1x2+（kx1+m﹣2）（kx2+m﹣2）＝（k2+1）x1x2+k（m﹣2）（x1+x2）+（m﹣2）2＝0，
即（k2+1）•﹣k（m﹣2）•+（m﹣2）2＝0，
即（k2+1）（3m+6）﹣6k2m+（m﹣2）（3k2+2）＝0，
∵m≠2，
∴（k2+1）（3m2﹣12）﹣6k2m（m﹣2）+（m﹣2）2（3k2+2）＝0，
∴3k2m+6k2+3m+6﹣6k2m+3k2m+2m﹣6k2﹣4＝0，
∴m＝﹣，满足Δ＞0，
设PQ所过定点D，∵AH⊥PQ，
∴点H在以AD为直径的圆上，
∴△ABH面积的最大值S＝|AB|×＝×4×＝．
【点评】本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到交点坐标、点在椭圆上与点的坐标与椭圆的方程得关系基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．
19．（17分）模糊数学普遍存在于自然界和数学模型中，比如天气预测、种群数量变化和天体运动等等．假设在一个模糊数学系统中，用xn来表示系统在第n（n∈N*）个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态xn+1满足xn+1＝f（xn），0＜x1＜1，其中f（x）＝﹣ax2+ax．
（1）当a＝3时，若满足对∀n∈N*，有xn＝f（xn+1），求xn；
（2）当a＝1时，判断{xn}中是否存在连续的三项构成等比数列；若存在，求出连续的三项；若不存在，说明理由．
（3）若，记，证明：．
【分析】（1）根据已知定义和等量关系可求得x1＝x2或，分别讨论两种情况可得，结合可知数列{xn}为常数列，由此可得xn；
（2）假设存在连续三项xn，xn+1，xn+2成等比数列，根据等比数列定义可推导得到xn＝0，与xn≠0矛盾，由此可得结论；
（3）首先确定0＜f（x）＜1，进而推导得到{xn}为递减数列，根据和可放缩证得结论．
解：（1）由xn+1＝f（xn），0＜x1＜1，其中f（x）＝﹣ax2+ax，
可得当a＝3时，f（x）＝﹣3x2+3x，
由满足对∀n∈N*，有xn＝f（xn+1），知，
又，
两式作差得：（x2﹣x1）[4﹣3（x1+x2）]＝0，∴x1＝x2或；
当x1＝x2时，，解得：x1＝0或，又0＜x1＜1，∴；
当时，，解得：；
∴恒成立，又，xn+1＝f（xn），
∴数列{xn}为常数列，即．
（2）{xn}中假设存在连续的三项构成等比数列，
当a＝1时，f（x）＝﹣x2+x，
设连续的三项xn，xn+1，xn+2成等比数列，则xn≠0，
由等比数列的定义，可得，，
即有﹣xn+1＝﹣xn+1+1，即xn＝xn+1，
又，∴，解得xn＝0，与xn≠0矛盾，
∴假设错误，即在{xn}中，不存在连续的三项成等比数列．
（3）当a＝1时，f（x）＝﹣x2+x，
当0＜x＜1时，f（x）＝x（1﹣x）＞0且f（x）＝﹣x2+x＜x＜1，∴0＜f（x）＜1；
∵0＜x1＜1，xn+1＝f（xn），∴0＜xn＜1，∴，
∴数列{xn}为递减数列，
∵，∴，
∴＝．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
D
B
A
C
B
C