江苏省南通中学2024-2025学年高一下学期5月阶段考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份江苏省南通中学2024-2025学年高一下学期5月阶段考试数学试卷（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，，，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（ ）
A．B．
C．D．
5．在中，角所对的边分别为，若，则为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
6．定义运算，若，则等于
A．B．C．D．
7．在中，点在边上，且满足，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在长方体中，，，，点P是长方体表面上的动点，若，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于（）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列结论错误的有（ ）
A．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．
B．两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．
C．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
D．没有公共点的两条直线是异面直线．
10．已知正方体的棱长为4，分别为棱和的中点，则下列说法正确的有（ ）
A．平面
B．平面
C．异面直线与所成角为
D．平面截正方体所得截面的面积为18
11．如图，的内角，所对的边分别为，，.若，且，是外一点，，，则下列说法正确的是（ ）

A．是等边三角形
B．若，则四点共圆
C．四边形面积最大值为
D．四边形面积最小值为
三、填空题
12．已知三棱锥中，、、两两垂直，则点在底面内的射影是的 心．
13．已知m，n是两条不同的直线，表示平面，则下列命题中正确的是： （填序号）
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，则．
14．在中，角，，所对的边分别为，，.已知向量，且，为边上一点，满足，.则 ，面积的最大值为 .
四、解答题
15．的内角，，的对边分别为，，，已知.
（i）求；
（ii）若的面积，，求.
16．如图所示，在三棱锥中，，，点O，M分别为线段，的中点．
(1)若平面平面，证明：；
(2)证明：平面；
(3)求与所成角的余弦值．
17．在中，内角所对的边分别为已知向量，且
（1）求角的大小；
（2）若，求的最大值及取得最大值时的值.
18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，E为棱的中点，F为内（含边界）的动点．
(1)若F为的中点，求证：平面；
(2)若点F在线段上运动，求的最小值；
(3)求直线与平面所成角的正弦值．
19．设是平面内相交成的两条射线，分别是与同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.
(1)在仿射坐标系中
①若，求；
②若且与的夹角为，求；
(2)如图所示，在仿射坐标系中，分别在轴、轴正半轴上，且，点分别为的中点，求的最大值.
江苏省南通中学2024-2025高一下学期5月阶段考试数学试卷参考答案
1．A
【详解】根据三角函数的诱导公式和两角和的正弦公式，
可得：
.
故选：A.
2．D
【详解】因为，，
所以，
因为，所以，解得：.
故选：D
3．C
【详解】因为，所以，则，
，
，
，
.
故选：C.
4．A
【详解】A选项：
如图所示，由中位线性质可知，且平面，则与平面不平行，A选项满足题意；
B选项：由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知B不满足题意；
C选项，由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知C不满足题意；
D选项，由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知D不满足题意，
故选：A．
5．C
【详解】因为，
由余弦定理可得，
所以，
即，所以，
所以为等腰三角形.
故选：C.
6．D
【详解】试题分析：由定义运算知，即，又
，又，，．
考点：同角三角函数基本关系式及两角差正弦公式的正用与逆用
7．C
【详解】设
因为，所以
因为，所以
由正弦定理可知，
即
化简得
又因为，所以有
解得，又因为，所以
故选：C.
8．C
【详解】连接相交于，取的中点，连接，
由于平面，平面，故，
又，故，平面，
故平面，平面，故，
由，，故，
在中，，
在中，，
故，进而得，
故，由于，故，
又平面，故平面
故点的轨迹为线段，其轨迹所围成的图形为三角形；
其中，
故三角形面积为.
故选：C.
9．BCD
【详解】对于A，当两两相交的三条直线不经过同一点，如图1，根据推论，这三条直线可以确定一个平面;
当两两相交的三条直线经过同一点且不共面，如图2，则确定一个平面，
确定一个平面，确定一个平面.共确定3个平面.
所以两两相交的三条直线最多可确定3个平面.故A正确；

对于B，由基本事实3，两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过A点的公共直线，而不是任意一条过点的直线都是两平面的交线，故B错误；
对于C，若这三个公共点共线，两平面可能相交，但不一定重合，故C错误；
对于D，没有公共点的两条直线可能平行也可能异面.故D错误
故选：BCD.
10．ACD
【详解】对于A，如图，由条件可知，，平面，平面，
所以平面，故A正确；

对于B，取的中点，连结，
因为，，，所以,
则 ，不满足勾股定理，
所以不垂直于，则不垂直于平面，
所以不垂直于平面，故B错误；

对于C，连结，是等边三角形，所以直线与所成角为，
所以异面直线与所成角为，故C正确；

D.连结，所以四点共面，
四边形是平面截正方体所得截面，
如图，四边形是等腰梯形，，
，
作于，则，
所以四边形的面积，故D正确.
故选：ACD.
11．AC
【详解】由正弦定理，
得，
，
，B是等腰的底角，，
是等边三角形，A正确；
对于B，若四点共圆，则四边形对角互补，
由A正确知，
但由于时，
，
∴B不正确.
对于C、D，设，则，
，
，
，
，
，
，
，∴C正确，D不正确；
故选：AC.
12．垂
【详解】设点在底面的射影点为，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接、，
，，，平面，
平面，，
平面，平面，，
，平面，
平面，，同理可知，，
因此，为的垂心.
故答案为：垂．
13．③
【详解】若，，则或，故①错误；
若，，则或或与相交，故②错误；
由线面垂直的性质定理可知，③正确；
若，，则或，故④错误．
故答案为：③
14．
【详解】（1）因为，所以
所以，
所以,
由正弦定理得,
所以，
所以，
因为，所以,
所以.
（2）设,
因为，
所以，
由得
所以.（当且仅当时等号成立）
所以面积的最大值.
故答案为： ；.
15．（i）（ii）4
【详解】（Ⅰ）∵，
由正弦定理得，
∴，
故，
整理得.
∵，
∴.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
∵，
∴.
∵，
∴. ①
∵，
∴，
即， ②
当时，.
由（Ⅰ）知，可得.
易知在中，，代入①得，，则；
当时，由②得，
由正弦定理得，与①联立得，
∴，.
由余弦定理得，可得.
综上，.
16．(1)证明见详解.
(2)证明见详解.
(3)
【详解】（1）由题：点O，M分别为线段AC，AB的中点，所以；
又因为平面，平面，所以平面；
而平面，平面平面，故,所以.
（2）因为，所以为边长为4的等边三角形，
O为线段AC的中点，所以；
又因为，，故；
在中，，所以；
而，平面ABC，所以平面.
（3）
取中点，连接，于是是中位线，则，
于是与所成角即为，由题知，，
又，由三线合一，，做完，
同理，在中，由余弦定理
故直线与所成角的余弦值为.
17．（1）；（2）最大值；.
【详解】（1）由题知，
解得，又，
则.
（2）由正弦定理知，
则，，且，
则
其中，
故当时，取最大值为，
此时，，，
则
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）因F为的中点，E为棱的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）将平面沿翻折至与平面共面，
连接（为翻折后），即为的最小值，
在中，，
因四棱锥为正四棱锥，则，
则，
则在中，.
故的最小值为.
（3）连接交于点，过作，垂足为，
因为正方形，则，则，
因为线段的中点，则为线段的中点，
因，则，，
因为四棱锥为正四棱锥，则底面，
又面，所以，
又，平面，所以平面，
故即为直线与平面所成角，
在中，在中，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为.
19．(1)①；②
(2).
【详解】（1）①由，得，
则，
所以；
②由，即，
得，
，
，
由与的夹角为，得，得，而，
所以.
（2）依题意，设，，
，在中，由余弦定理得，
由为中点，得，
由为中点，得，
则
，
在中，由正弦定理得，
设，则，
，其中锐角由确定，
由，得，则当时，，
所以的最大值为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
C
A
C
D
C
C
BCD
ACD
题号
11









答案
AC