河北省省级联测2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份河北省省级联测2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试卷（Word版附解析），共15页。
1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 函数（，且）的图象恒过点（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】根据题意，函数中，
令，得，
将代入函数可得，
即函数的图象恒过点.
故选：A
2. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ）
A. 0.14B. 0.36C. 0.64D. 0.86
【答案】D
【详解】因为随机变量X服从正态分布，
所以正态曲线关于直线对称，
则.
又因为，
所以.
故选：D.
3. 已知的展开式中的系数为20，则实数的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【详解】设的展开式中，通项为，，
由，所以.
由.
故选：D
4. 现有9个三好学生的名额分给甲、乙、丙、丁4个班级，若每个班级至少1个名额，则不同的分配方法有（ ）
A. 504种B. 126种C. 84种D. 56种
【答案】D
【详解】根据隔板法，9个名额，分给四个班级，每个班级至少1个名额，则有种.
故选：D
5. 已知，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【详解】设，.
所以当时，；
当时，；
当时，.
所以当时，的最小值为3，
故选：C
6. 方程的解所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】方程的解，即函数的零点，
因为在定义域上单调递增，所以在单调递增，
因为，因为，即，所以，
因为，因为，即，所以，
因为在单调递增，，所以在有零点，
故选：C.
7. 已知函数若关于的方程有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】∵，
当时， 在上为减函数，
当时，即在上为增函数，，
当时，在上为增函数，
作出函数的图象如图所示：
设，
当时，方程有1个解，
当时，方程有2个解，
当时，方程有2个解，
当时，方程有3个解，
当时，方程有2个解，
当时，方程有1个解，
当时，方程有0个解，
方程等价为，
要使关于的方程恰有4个不相等的实数根，
等价为方程有两个不同的根，且当时，方程有1个解，
所以时，方程有3个解，所以，即得.
故选：A．
8. 小张和小王两个小朋友玩游戏，已知小张手中有3张黑色牌和3张红色牌，小王手中有3张黑色牌和2张红色牌，游戏规则：两位小朋友同时出示一张牌，若两张牌同色，则小张胜，小张获得这两张牌，若两张牌异色，则小王胜，小王获得这两张牌，按上述玩法进行两次后，小王手中有7张牌的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】进行两次后，小王手中有7张牌意味着小王这两次都赢了，
第一次总事件数为种，小王赢的事件数是种，
则第一次小王赢的概率是，
第一次赢之后小张有5张牌，第一种情况是有2张黑色牌，3张红色牌，
小王有4张黑色牌，有2张红色牌，
第二次总事件数为种，小王赢的事件数是种，
则第二次小王赢的概率是：
第二种情况是有3张黑色牌，2张红色牌，小王有3张黑色牌，有3张红色牌，
第二次总事件数为种，小王赢的事件数是种，
则第二次小王赢的概率是：
出现第一种情况是第一次小王出红色牌，概率是，
出现第二种情况是第一次小王出黑色牌，概率是，
则两次均赢的概率为：.
故小王手中有7张牌的概率为.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列函数是奇函数的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【详解】对于A，，定义域为，关于原点对称，，所以为奇函数，故A正确；
对于B，，定义域为，关于原点对称，，所以为奇函数，故B正确；
对于C，，定义域为，关于原点对称，，所以为非奇非偶函数，故C错误；
对于D，，定义域为，关于原点对称，，所以为偶函数，故D错误，
故选：AB.
10. 已知事件满足，若，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【详解】对于：，所以，故正确；
对于：因为，所以，故错误；
对于：，
可得，即，
所以，故正确；
对于：，故正确.
故选：.
11. 已知函数的定义域为，若，且，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. 函数为奇函数D.
【答案】ABD
【详解】令，得，令，得，
则，而，则，
对于B，令，得，B正确；
对于A，由，得或，
若，则由，得，与矛盾，因此，A正确；
对于C，令，得，函数是偶函数，C错误；
对于D，，令，得，
则，即，于是，
函数是以为周期的周期函数，，
所以，D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的定义域为________.
【答案】
【详解】由题意可得，解得，因此，函数的定义域为，
故答案为.
13. 已知A，B，C，D共4名师范生需要去甲、乙、丙3所学校实习，要求每名同学只去一所学校实习，且每所学校都有学生去实习，如果A一定去甲学校实习，则不同安排方法有________种．
【答案】
【详解】因为A，B，C，D共4名师范生需要去甲、乙、丙3所学校实习，要求每名同学只去一所学校实习，
所以有一所学校必然有2名师范生实习.
若甲学校有2名师范生实习，而A一定去甲学校实习，
则B，C，D共3名师范生平均分配到甲、乙、丙3所学校实习，
此时共有种不同的安排方法.
若甲学校只有1名师范生实习，而A一定去甲学校实习，
则B，C，D共3名师范生按照分配到乙、丙2所学校实习，
此时共有种不同的安排方法.
综上，不同的安排方法有种.
故答案为：.
14. 已知，，且，则的最小值为________．
【答案】
【详解】由可得：，
因为，所以，
又因为，所以，
则，
因为，所以由基本不等式得：，
当且仅当，即时取等号，此时.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知的二项式系数之和是128，求：
（1）展开式中含的项的系数；
（2）展开式中二项式系数最大的项；
（3）展开式中系数绝对值最大的项．
【答案】（1）
（2），；
（3）.
【小问1详解】
由的二项式系数之和是128，得，解得，
展开式的通项为，
令，得，所以展开式中含的项的系数为.
【小问2详解】
展开式中二项式系数最大的项为，.
【小问3详解】
由（1）知，的系数绝对值为，
当时，，解得，
由，得，因此，
所以展开式中系数绝对值最大的项是第3项，.
16. 已知一个袋子中装有大小、形状都相同的3个白球和2个红球，现从中不放回地抽取2次，每次抽取1个小球．
（1）求第2次抽到红球的概率；
（2）已知第2次抽到的是红球，求第1次也抽到红球的概率；
（3）设抽到红球的个数为X，求随机变量X的分布列和期望．
【答案】（1）
（2）
（3）分布列见解析；
【小问1详解】
设第一次摸到红球，第二次摸到红球，则，.
则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到红球的概率，
在第一次抽到红球的条件下，第二次抽到红球的概率=.
则
.
所以第2次抽到红球的概率为；
【小问2详解】
由（1）可知第一次，第二次抽到的都是红球的概率，
所以第2次抽到的是红球，第1次也抽到红球的概率
；
小问3详解】
设抽到红球的个数为，则随机变量的所有可能取值，
则两次都抽到白球的概率，
抽到一次红球一次白球的概率，
两次都抽到红球概率，
所以随机变量的分布列：
所以随机变量X的期望.
17. 已知函数是上的偶函数，且．
（1）求实数m，n的值；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义法证明；
（3）求不等式的解集．
【答案】（1），
（2）函数在上单调递减，证明见解析
（3）
【小问1详解】
因为函数是上的偶函数，
所以恒成立.
所以对恒成立.
所以.
由.
故，.
【小问2详解】
在上单调递减.证明如下：
设，
则.
因为，所以，，.
所以，所以，即.
所以在上单调递减.
【小问3详解】
因为函数为偶函数，所以.
由函数在上单调递减，所以函数在上单调递增，且图象关于轴对称.
所以或，
解得或
所以不等式的解集为：.
18. 某农科研究所想要研究某种农产品的产量与施肥量之间的关系，通过调研得到一些数据如下表：
已知，，x，y的样本相关系数，说明x，y满足线性回归．
（1）求的值；
（2）求出y关于x的经验回归方程；
（3）若施肥量为12，14时的残差分别为，求的值．
参考公式：经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，样本相关系数．
【答案】（1）.
（2）
（3）
【小问1详解】
由表格可得：，.
因为，，
所以，即，解得：.
小问2详解】
由表格可得：，
.
因为，，
所以，
则，，
所以y关于x的经验回归方程为：.
【小问3详解】
当时，，残差为；
当时，，残差为；
所以，即.
19. 随机变量X的分布列如下：
已知，若某项研究需要的数据正好符合关系式．
（1）当时，求关于的关系式；
（2）若，，求此时的；
（3）若，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，m，且，求证：．
【答案】（1）；
（2）；
（3）证明见解析.
【小问1详解】
由题，
则
【小问2详解】
当，，则，
当，由题可得，，，
，则.
则
令，
则，
两式相减得
则，从而.
又时，，则；
【小问3详解】
由题，
.
因，则，
从而，，
，
，，
则0
1
2
施肥量x
8
10
12
14
16
18
产量y
6
8
m
t
11
12
X
1
2
…
n
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…