2026版《提分宝典》高考一轮总复习（数学）讲义学生及教师版

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集合与元素
1
集合间的基本关系
注 意
不含有任何元素的集合叫做空集，记作Ø.空集是任何集合的子集，其中“任何集合”也包括了空集，故Ø三Ø;空集是任 何非空集合的真子集，即Ø A(A≠Ø).
集合间的基本运算
数学 ·第1课 ·集合的概念和运算
●集合中元素的三个特性： · 常见数集及其符号表示：
●元素与集合的两种关系： 或 ,用符号 或 表示
· 集合的三种表示方法：
、 、
.
●集合的分类：按元素的个数分为 和 ;按元素的
属 性 分 为 , 和 其 他 集 合 .
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
一
一
一
—
基本关系
子集
真子集
集合相等
自然语言
如果集合A中的任意一个元素 都是集合B的元素，那么集合
A叫做集合B的子集
如果集合A是集合B的子集，并
且集合B中至少有一个元素不属
于集合A,那么集合A叫做集合
B的真子集
一般地，如果集合A中的每一个元
素都是集合B的元素，反过来，集
合B中的每一个元素也都是集合A
的元素，那么集合A等于集合B
符号语言
(或 )
或
图形语言
B A B(A)
B A
A(B)
基本运算
并集
交集
补集
自然语言
对于两个给定的集合A,B,
由两个集合的所有元素构成
的集合，叫做A与B的并集
对于两个给定的集合A,B,由
属于集合A又属于集合B的所 有元素构成的集合，叫做A与B
的交集
如果给定集合A是全集U的一个
子集，由全集U中不属于集合A 的所有元素构成的集合，叫做集
合A在全集U中的补集
符号语言
AUB={x|x∈A, x∈B}
A∩B={x|x∈A, x∈B}
CA={xlx∈U,_x∈A}
图形语言
A B
A B
A B
U
A
C₄A
交集的性质
并集的性质
补 集 的 性 质
①A∩A=_;
②Ø∩A=_;
③A∩B=B∩A;
④A(A∩B),B(A∩B);
⑤A∩B=A 台
①AUA=_;
②ØUA=_;
③AU B=BUA;
④A≌(AUB),B≤(AUB);
⑤AUB=A 台
①(C,A)U(C₃B)=_ ;
②(C,A)nC,B)= ;
③A∩(C,A)=_;
④ C,(C,A)=_;
⑤(C₄A)UA=_.
图1-1
三组题讲透
变 式 思 考
(经典题，6分)已知下面三个集合：①{xly=x²+1 };②yly=x²+1};
1.集合的含义与表示 ③(x,y)Iy=x²+1}. 问：它们是否为同一个集合?并说明理由.
复 习 大 纲
· 了解常见的数集及其表示.
理解集合的表示方法，能够判断元素与集合 之间的关系，能够利用元素的三个特性解题.
a.求集合中元素的个数或已知元素个数求参数
(1)(2021汇编，10分)①已知集合A=(x,y)Ix+y≤2,x,y∈N}, 则A中元素的个数为( )
A.1 B.5 C.6 D.无数个
②已知集合A={(x,y)Ix²+y²≤3,x∈Z,y∈Z}, 则 A中元素的个 数为( )(201 8全国Ⅱ)
A.9 B.8 C.5 D.4
(2)(2019浙江镇海区校级月考，4分)已知集合A={x1x²+2ax+
小积累
2a≤0}, 若A 中只有一个元素，则实数a 的值为( )
解读描述法中的三个关键词
集合的描述法的一般形式为{x|p(x),x∈I} 或{x∈I|p(x)}, 其中x是代表元素，I 是x的取值集合，p(x) 是集合中元素x的共 同属性
A.0 B.0 或 - 2 C.0 或 2 D.2
与集合有关问题的解题方略
① 确定集合的代表元素；
代表元素
②看代表元素满足的条件；
表示集合中元素的一般符号，如表示数集时，我们可以选 用x,y,z, … 作为代表元素；表示点集时，我们可以选用 有序数对(x,y) 作为代表元素.
③根据条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但 要注意，检验集合中元素是否满足互异性.
图1-2
取值集合
一般来说，集合元素x 的取值集合I 需写明确，在不会产 生误解的情况下可以省略.
b. 对用描述法表示集合的理解不透彻导致出错
(3)(经典题，5分)下列说法：
共同属性
①集合x∈Nlx³=x} 用列举法表示为{-1,0,1};②实数集可以表 示为 |xlx 为所有实数 |或|R};③ 方程组 的解集为
表示代表元素满足的条件、具备的属性. 图1-3
x=1,y=2}. 其中正确说法的个数为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
2 数学 ·第1课 ·集合的概念和运算
*了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系.
*能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题
*理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.在具体情境中，了解全集与空集的含义
*理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.
*理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
*能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.
集合间的基本关系
a.判断集合间的关系
(4)(2021改编，10分)①已知集合A=|xla²c>b B.a>b>c
C.c>a>b D.c>b>a
24 数学 ·第4课 · 函数的基本性质
第5课 二次函数与幂函数
普查讲5 二次函数与幂函数
幂函数
1.幂函数的定义：一般地，形如 的函数叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数.
注 意：幂函数的定义是形式定义，注意辨别.如y=(3x)°,y=2x°,y=x°+5 等都不是幂函数.
5
2.幂函数的图像与性质：常见幂函数的图像与性质
二次函数
1.二次函数的解析式：
① 一 般式：y=ax²+bx+c(a≠0); ② 顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h,k), 则其解析式为y=a(x-h)²+k(a≠0)
③两根式：若相应 一 元二次方程az²+bx+c=0 的两个根为x₁,x₂, 则其解析式为y=a(x-x;)(x-x₂)(a≠0).
25
2.二次函数的图像与性质：
图5 - 1
数学 ·第5课 ·二次函数与幂函数
幂函数
y=x
y=x²
y=x³
y=x
y=x⁻¹
图像
定义域
R
R
值域
R
[0,+∞]
奇偶性
奇
偶
单调性
单调递增
[0,+∞]上单调递增； (-∞,0)上单调递减
单调递增
单调递增
(0,+∞)上单调递减； (-∞,0)上单调递减
公共点
都经过点(1,1)
幂函数 的图像
的性质
↑
Y
y=x³
y=x²
y=x
y=x²
=x-1
在直线x=1右侧，幂函数的指数由下向上 逐渐增大.
当a>0时，函数在第一象限内单调递增.
当a0)
y=ax²+bx+c(a0,a≠1) 的图像所过的关键点为 (1,a),(0,1),
②函数图像与坐标轴(x 轴 ，y 轴)的交点位置；
③函数的定义域、值域、奇偶性、单调性.
“整体代换法”常见的转化形式
图6-5
数学 ·第6课 ·指数与指数函数 31
①(x+x⁻¹)²-2=x²+x-²
①
x+x-1
x²+x-²
x²+x²
①(±[(±)2
干3]=x-¹±x
①
x³±x³
x⁻¹±x
x⁻³±x³
复习大纲
熟练掌握指数函数的图像与性质，能够利 用指数函数的图像与性质解决图像辨析、求 参数取值范围、比较大小、解不等式等问题.
会用换元法求指数型复合函数的单调性和 值域
①(x+y)²-2xy=x²+y²
②x+y+2√xy=(x²+y₂
③(x+y)[(x+y)²-3xy]=x³+y³
x³+y³
x+y 和xy
②
x²+y²
①
x²+y²
c.与指数函数的图像恒过定点相关的问题
(5)(2019四川宜宾模拟，5分)若函数 且 a≠1) 的图像恒过点(-1,4),则m+n=( )
A.3 B.1
C.-1 D.-2
小 提 示
求函数y=pa°-n(a>0, 且a≠1,p 为常数且p≠0) 的图像过 定点的方法：令x+m=0, 得x=-m, 此时y=p-n, 故函数图像 过定点(-m,p-n).
d.应用指数函数图像求取值范围
(6)(经典题，5分)若存在正数x 使2*(x-a)f(c)>f(b), 则下列结论中，一定成立的是( )
A.2"+2°0, 且a≠1).
三组题讲透
1. 对数式的化简与求值
复习大纲
‘能够熟练应用对数的运算性质、换底公式 等对对数式进行化简求值
(1)(2019北京，5分)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或
亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 ,其中星
等为m 的星的亮度为E.(k=1,2). 已知太阳的星等是-26.7,
天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A.101¹0.1 B.10.1
C.lg10.1 D.10-10.1
图7-1
图7-2
(2)(2021汇编，35分)完成下列问题：
对数函数的图像及性质
熟悉对数函数的图像与性质，并能够利用
③lg₂3·lg₃4·lg45·lgs2= ;
④已知lgx+lgy=21g(2x-3y), 则
⑤已知4“=8,2"=9"=6,1,则a+b=_ ;
⑥已知lg₁47=a,14ᵗ=5, 则lg32= ( 用a,b 表示);
对数函数的图像与性质解决比较大小、求解 参数范围、求解不等式等问题.
“能够求解对数型复合函数的单调性、定义 域和值域等问题.
a.对数函数图像过定点问题
(3)(2019黑龙江龙凤区校级期末，5分)函数f(x)=lg。(4x-3)+
3(a>0, 且a≠1) 的图像所过定点的坐标是_
小 提 示
且a≠1) 的图像过定点(m+1,n).
得 x=m+1, 此时y=n, 故函数图
函数y=lg 。(x-m)+n(a>0,
确定定点的方法：令x-m=1, 像过定点(m+1,n).
方 法 便 笺
对数运算的常用方法技巧
b.对数函数图像的辨析
(4)(2019浙江，4分)在同一直角坐标系中，函数
① 一将真数和底数都化成指数幂的形式，使真数和底数最 简，然后用公式 M 化简合并；
,且a≠1)的图像可能是( )
② 一利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；
③ 一将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的 积、商、幂的运算；
④一○如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的 形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后再进行
化简合并；
⑤ 一对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数 相减的形式.
B
A
数学 ·第7课 ·对数与对数函数
38
对数运算中的几个运算技巧
1.1g2+1g5=1 的应用技巧
在对数运算中如果出现1g2 和 1g5, 则一般利用提公因式、 平方差公式、完全平方公式等使之出现lg2+lg5, 再应用 公式1g2+lg5=1 进行化简；
的应用技巧
对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底 数与真数位置颠倒，则可用公式lgb·lg,a=1 化简；
3.指对互化的转化技巧
对于将指数恒等式a⁸=b=c2 作为已知条件，求函数 f(x,y,z) 的值的问题，通常设 aˣ=by=c²=k(k>0),
则x=lgak,y=lg₆k,z=lg 。k, 再将x,y,z 的值代入
函数f(x,y,z) 求 解 .
(Ⅱ)已知a=lg₃6,b=lg₅10,c=lg,14, 则实数a,b,c 的大小关系 是 ( )
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>b>a D.c>a>b
C
D
(Ⅲ)若2°=lg-a ,则实数a,b,c 的 大小关系为( )
小 积 累
A.a>c>b B.b>c>a
辨析对数函数y=lgx(a>0, 且a≠1) 的图像应抓住以下几个特征：
C.c>b>a D.c>a>b
1.图像恒过三个点：:(a,1),(1,0)
2.函数的定义域、值域、奇偶性、单调性.
;
(IV) 已 知a=2lg2π,b=3lg₃π,c=5 lgsπ,则实数a,b,c 的大小
关系是( )
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>b>a D.c>a>b
C.利用对数函数图像求值或取值范围
(5)(经典题，5分)当x∈(1,2) 时，不等式(x-1)²a D.c>a>b
数学 ·第7课 ·对数与对数函数 39
(Ⅱ)若函数f(x) 的值域为 R, 求实数a 的取值范围；
(VⅡ) 若函数f(x) 在区间(-∞0,1)上单调递增，求实数a 的取值 范围；
(Ⅲ)若函数f(x) 在[-1,+∞]上有意义，求实数a 的取值范围；
(VⅢ)若f(x)>0 在区间[1,2]上恒成立，求实数a 的取值范围；
(IV) 若函数f(x) 的值域为(-∞,-1),求实数a 的值；
(IX) 若函数f(x) 为偶函数，求a 的值.
(V) 若函数f(x) 的定义域为(-∞,1)U(3,+∞), 求实数a 的值；
7
(9)(2019广东东莞期末节选，6分)若函在 区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a 的取值 范围.
(VI) 若 a=1, 求函数f(x) 的单调区间；
数学 ·第7课 ·对数与对数函数
40
(10)(2019河南安阳模拟，5分)函数 且 a≠1) 在[0,2]上为减函数，则实数a 的取值范围是( )
A.(0,1) B.(1,3)
C.(1,3) D.[3,+∞]
小 积 累
方 法 便 笺
对于解f(x₁)0, 则实数a 的取值 范围是_ _ ·
02
若函数y=lg.f(x) 的值域为R, 则函数f(x) 的值域取遍 所有正实数；
方 法 便 笺
解与对数函数有关的不等式或方程的方法
03 若y=lg.f(x) 在区间D 上有意义，则f(x) 在区间D 上大
于0,注意所给区间D 是定义域的子集，不一定是定义域；
若 0g(x)>0;
解对数不等式或方程时，如果不等号或等号一端为常数，则利用 对数的运算性质将常数化成同底的对数值，再利用对数函数的性 质转化为一般不等式或方程求解：
图7-5
方法便笺
两类对数型复合函数的单调性和值域的求解方法
图7-7
若函数y=lg.f(x) 集为D.
的定义域为区间D, 则f(x)>0
的解
◎
◎
(13)(2018全国I,5 分)已知函数f(x)=lg₂(x²+a). 若 f(3)= 1,则a=
第 一 类 =lg./(x)
单调性
①首先求出y=lg 。f(x) 的定义域D;
指数函数、对数函数、幂函数的综合
复 习 大 纲
能够用指数函数、对数函数和幂函数的相 关知识解决它们的综合问题.
②当a>1 时，若f(x) 在区间(m,n) 上 ( 其 中(m, n) 三D) 具有单调性，则函数y=lg 。f(x) 在区间 (m,n) 上的单调性与f(x) 在区间(m,n) 上的单 调性相同；
(14)(经典题，12分)已知函数
(I) 求 )的值；
③ 当 0a²(a>0 且a≠1),则函
)
数f(x)=lg 。(x-1) 的图像大致是(
B
A
y
0 12 交
D
C
5. (2019天津，5分)已知a=lg,2,b=lga₅0.2,c=0.5°2,则 a,b,c 的大小关系为( )
A.a0,且a≠1);(lnx)'=
若函数f(x),g(x)均可导，则： [f(x)±g(x)】'= ;
(g(x)≠0);
[cf(x)]'= , c为常数；
[af(x)±bg(x)]'=_ ,a,b为常数；
[f(x) ·g(x)]'=_ ;
复合函数的求导法则：复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数与中间变量对自变量的导数的乘积.即γ= f(u),u=g(x),y'=f'(u) ·g(x).
注意
复合函数求导时应首先将函数分解成基本初等函数的复合形式，然后运用复合函数求导公式求解.
*能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数的求导法则，能求简单 的复合函数(仅限于形如y=f(ax+b) 的复合函数)的导数.
常见的基本初等函数的导数公式
常用的导数运算法则
c′=0(c为常数);(xᵗ)'=na-¹(n∈N.);
法则1:[u(x)±v(x)=u'(x)±v'(x)
(sinx)'=csx;(csx)'=-sinx;
法则2:[u(x)v(x)'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
(e²)’=e;(aæ²)'=a²ln a(a>0,且a≠1);
法则3:
,且a≠1).
两组题讲透
1. 导 数 的 运 算
(1)(2021汇编，16分)求下列函数的导数：
①y=(x+1)(x+2)(x+3);
②y=esinx;
图12-1
⑧y=Inlxl.
小 积 累
导数运算的原则和方法
1.基本原则：先化简，再求导.
2.具体方法：
一连乘形式：先展开化为多项式形式，再求导；
根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；
复杂的分式：先将分式化简，再求导；
对数形式：先化为和或差的形式(注意保证定义域 不改变),再求导；
三角形式：先利用三角函数公式化简，再求导；
复合函数求导：先确定复合关系，由外向内逐层求 导.选择好中间变量是复合函数求导的关键。
图12-2
⑤
⑥
数学 ·第12课 ·导数的概念及其运算
12
67
复 习 大 纲
熟记并熟练运用基本初等函数的求导公式 和导数的运算法则.
(2)(2021改编，5分)已知函数f(x)=a*lnx,x∈(0,+∞), 其中 为 实数，f'(x) 为f(x) 的导函数.若f'(1)=3, 则 a 的值为
b. 求切点坐标
导数的几何意义及其应用
(5)(2019江苏，5分)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y= Inx 上，且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e 为自然对数 的底数),则点A的坐标是_
复习大纲
理解导数与曲线的切线斜率之间的关系， 会求常见曲线在某点处的切线方程，会求过 一点向已知曲线引切线的切线方程.
c.求参数的值
(6)(2018全国Ⅲ,5分)曲线y=(ax+1)e 在点(0,1)处的切线的 斜率为-2,则a=_ ·
小 积 累
根据导数的几何意义求参数的值时， 一般利用切点既在曲线上， 又在切线上，以及切线的斜率等于函数在切点处的导数值，构造 方程(组)求解.
a. 求切线方程
(3)(2019全国Ⅱ,5分)曲线y=2sinx+csx 在点(π,-1)处的切 线方程为( )
A.x-y-π-1=0 B.2x-y-2π-1=0
C.2x+y-2π+1=0 D.x+y-π+1=0
12
d.与公切线有关的求参数范围问题
(4)(经典题，8分)已知函数f(x)=x³-4x²+5x-4, 求经过点 A(2,-2) 的曲线f(x) 的切线方程.
(7)(2019江西上饶校级模拟，5分)若存在斜率为3a(a>0) 的直 线 l与 曲,g(x)=3a²lnx 都相切，则实数b
的取值范围为( )
B D
A C
题目要求是“求经过点A(2,-2) 的曲线f(x) 的切线方程”,点A 不一定为切点.
e.过曲线上一点的多条切线问题
小 积 累
(8)(2019湖北武汉校级模拟，5分)已知函数f(x)=x³+ax²-
9x+1(a∈R), 当x₀≠1 时，曲线y=f(x) 在 点(x₀,f(x 。)) 和点 (2-x₀,f(2-x 。)) 处的切线总是平行，现过点(-2a,a-2) 作曲线 y=f(x) 的切线，则可作切线的条数为( )
利用导数求切线方程的 一 般过程
已知曲线y=f(x) 过 点P(x 。,y 。), 求曲线过点P 的切线方程，
需分点P 是切点和不是切点两种情况求解：
若点P(x 。,y。)是切点，则曲线的切线方程为y-y=f'(x₀)(x-x 。) 。
若点P(x 。,y 。)不是切点，则分以下几个步骤：
① 设 出 切 点 坐 标P′(x₁,y₁);
② 写 出 过P'(x₁,y₁) 的切线方程y-y₁=f'(x,)(x-x₁);
③ 将 点P(x₀,y 。) 的坐标代入切线方程求出x₁;
)将x,的值代入方程y-y₁=f'(x,)(x-x,), 得到所求切 线方程.
A.3 B.2
: ：章
C.1 D.0
f.与切线相关的新定义类题目
(9)(2019陕西汉中模拟，5分)若函数y=f(x) 的图像上存在不同
的两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相平行，则称y= f(x) 具有“同质点”.给出函数：①y=sinx;②y=e;③y=x³;④y=
提 示：“在”和“过”的区别：
Inx,其中具有“同质点”的函数有( )
“曲线y=f(x) 在点P(x₀,y%) 处的切线”指点P(x₀,%。)是 切点，切线的斜率k=f'(x 。);
A.1 个 B.2 个
C.3 个 D.4 个
“ 曲线y=f(x) 过 点P(x 。,y%) 的切线”指点P(x₀,y 。) 只是 切线与曲线的其中一个交点，不一定是切点.
小 积 累
对于新定义类的题目，首先要理解透彻所给定义的含义，然后转 化成用已学知识能解决的问题.
图12-3
68 数学 ·第12课 ·导数的概念及其运算
均相切，则的取值范围为( )
随堂普查练12
B.[0,e]
D.(0,1)
1. (经典题，5分)已知函数f(x)=x²+f'(2 则
2. (经典题，5分)设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c), 其中 a,b,c
是两两不相等的常数，则
7. (2019安徽蚌埠三模，5分)已知函数,若曲线y=f(x) 存在两条过(1,0)点的切线，则a 的取值范围是( )
3. (2018全国Ⅱ,5分)曲线y=2In(x+1) 在点(0,0)处的切线方程 为_
4. (2018天津模拟，5分)已知曲线的一条切线的斜 率 ,则切点的横坐标为_
5. (2019全国Ⅲ,5分)已知曲线y=ae⁸+xlnx 在点(1,ae)处的切 线方程为y=2x+b, 则( )
A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1
C.a=e⁻¹,b=1 D.a=e⁻¹,b=-1
6. (2019湖北一模，5分)已知a≠0, 函数f(x)=aæe,g(x)=ealnx+b,
e 为自然对数的底数.若存在一条直线与曲线y=f(x) 和y=g(x)
A.(-∞,1)U(2,+∞)
B.(-∞,-1)U(2,+∞)
C.(-∞,0)U(2,+∞)
D.(-∞,-2)U(0,+∞)
12
8. (经典题，5分)若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：
(i) 直线l 在点P(x,y%)处与曲线C 相切；(ii) 曲线C 在点P 附
近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线 C 下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号).
①直线l:y=0 在点P(0,0) 处“切过”曲线C:y=x³;
②直线l:x=-1 在点P(-1,0) 处“切过”曲线 C:y=(x+1)²;
③直线l:y=x 在点P(0,0) 处“切过”曲线C:y=sinx;
④直线l:y=x 在点P(0,0) 处“切过”曲线 C:y=tanx;
⑤直线l:y=x-1 在点 P(1,0) 处“切过”曲线C:y=Inx.
数学 ·第12课 ·导数的概念及其运算
69
第13课 导数的应用
普查讲13 I 利用导数研究函数的单调性与极值
导数与函数的极值
13
函数的极值与导数
注 意
①极值点是区间[a, b] 内部的点，不会是端点a,b (在端点处不可导);
②极值是 一个局部性的概念， 一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值；
③极大值与极小值没有必然的大小关系，极大值可能比极小值还小，如右图：
④一般地，当闭区间上连续的函数有有限个极值时，极大值点与极小值点是交替出现的；
⑤可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点. 例如：函 数y=x³ 在x=0 处的导数为0,但0不是极值点.
函数的最值
① 在 闭 区 间[a,b] 上的连续函数f(x) 在[a,b] 上必有最大值和最小值，开区间(a,b) 上的连续函数f(x) 在 (a,b) 上 不一定有最大值或最小值.
② 设函数f(x) 在[a,b] 上连续，在(a,b) 内可导，求f(x) 在[a,b] 上的最大值与最小值的步骤如下：
·求f(x) 在 (a,b) 内的
·将f(x) 的各 与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值
注意
①函数的最大值和最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，是一个整体性的概念，与函数的极大(小)值不同，函数的 最大(小)值若有，则只能有一个；
70
②开区间内的可导函数，若有唯一的极值，则这个极值就是函数的最值.
图13 - 1
数学 ·第13课 ·导数的应用
设函数f(x)在(a,b)内可导，f'(x)是函数f(x)的导数，则：
f'(x)>0→f(x)在(a,b)内为 ;f'(x)=0→f(x)在(a,b)内为 ;f'(x)0是函数f(x)在(a,b)上为递增函数的充分不必要条件，f'(x)0,w>0) 在 区 间
[m,n] 上 的 值 域 问 题
15
→ 令t=@x+φ, 原函数变为g(t)= Asint,t∈[t₁,t₂],其 中 t₁=wm+φ,t₂=wn+φ;
② → 判 断 函 数g(t)=Asint,t∈[L,t₂] 的单调性，根据单调性 得出结论.
情况1([t₁,t₂] 内包含
最大值点和最小值点)
值域为[-A,A]
情况3([t₁,t₂] 内包含
最小值点不包含最大值点)
值域为[-A, max{g(t₁),g(t₂)]
情况2(g(t) 在 [t₁,L₂]
上单调)
值域为[g(t₂),g(t₁)] 或[g(t₁),g(t₂)]
情况4([L₁,t2] 内包含
最大值点不包含最小值点)
值域为[min{g(t₁), g(t₂)},A]
注：当A>0,w0), 若对于
求形如y=asinx+bc sx的函数的最值：引入辅助角，
转化为y=√a²+b sin(x+4), 其 中 ,再利用三 角函数的单调性求最值，但要注意角的范围；
内的任意x₁, 总存在 内 的x₂, 使得f(x₁)+f(x₂)= 0,则w 的( )
A. 最大值为3 B. 最小值为3 C. 最 大 值 D. 最小值为
求形如y=asin²x+bcs²x+csinxcsx+d 的函数的最值：
该式为关于sinx,csx 的二次式，首先通过正余弦
的降幂公式及正弦的倍角公式： ,将函数转化为y= msin2x+ncs2x+p 的形式，然后根据辅助角公式将 函数化为“一角一名一次”的形式，即可求得函数 的最值 .
小 积 累
利用函数图像求解与值域有关的参数问题
常见的函数f(x)=Asin(wx+φ)(4>0,w>0) 的最值的给定形式：
① → 区 间[a,b] 上的最小(大)值为-A(A)(a0).
② → 区 间[a,b] 上的最大(小)值为A(-A), 最 小 ( 大 ) 值不为-A(A).
图15-4
d. 利用正、余弦函数的有界性解决三角函数的最值问题
(8)(2018山东期末，5分)函数的最大值为( )
A.1 B.2
96
③ → 区 间[a,b] 上恰有一个极大值和一个极小值.
图15-6
C.3 D. 不存在
数学 ·第15课 ·三角函数的图像与性质
例：区间[a,b] 上的最 大值为A, 最小值不为
-A, 可 由 图 像 判 定a, b 的取值范围.
f(x)=Asin(wx+φ) y4 (4>0,@>0)
b的取值 范围
a 的取值 A · 范围
x
=A
(11)(2019北京模拟，12分)已知函
(I) 求 )的值；
(Ⅱ)当时，不等式c0 ,w>0) 在[x₁,x₂] 上单调
递增(或递减),求w 的取值范围.
第 ① 步 根据题意可知区间[x₁,x₂] 的长度不大于该函数最小 正周期T的一半，即 , 求 得
变式思考
第 ② 步
,则
(Ⅱ)(2018
f(x)
江苏模拟，5分)
上的单调增区间为
15
方 法 便 笺
三角函数单调区间的求法
(1)求y=Asin(wx+φ)的单调区间
A>0,w>0
单调增区间：由不等 求解
单调减区间：由不等式 求解
A0
y=-Asin(wx+φ)的增(减)区间即为y=Asin(wx+φ) 的减(增)区间
A>0,w0)的 图
像与直线y=m(-A0) 在区间[m,a] 和[b,n]
(m,n 为常数)上单调递增(递减),求实数a,b 的取值范围.
当函数y=Asin(wx+φ) 在区间[m,a] 和[b,n] 上单调递
增(或递减)时， ,k∈Z ( 或
,k∈Z), 求出函数的单调递
易 错 提 醒
增(或递减)区间，根据 m,n 所在的单调区间确定k 的值， 从而求出对应的a,b 的取值范围.
①当区间[m,a] 和[b,n] 在一个单调区间内时，E取1个值；
②当区间[m,a] 和[b,n] 不在一个单调区间内时，k取2个值 .
本题易在解题过程中求出00) 两个相邻的极值点，则w =( )
A.2 B C.1 D
复习大纲
会综合利用三角函数的性质解决比较大 小、函数值相等及求参数范围等问题.
小 积 累
· 已知函数y=Asin(@x+φ)(A>0,@>0) 的性质求 w, 即
求函数的最小正周期.
(21)(经典题，5分)已知函数f(x)=Asin(ux+φ)(A,@,φ 均为正
的常数)的最小正周期为π,当 时，函数f(x) 取得最小值，则 下列结论正确的是( )
A.f(2)0, 则 a 和 b 的夹角为锐角；若a·bb>0) 的一条切线方程y=2x+1, 且椭圆离心率
(I) 求椭圆 C的标准方程；
(Ⅱ)若直线l:y=kx+m 与椭圆 C 交于A,B 两个不同的点，与y 轴 交于点M, 且AM=3MB, 求实数m 的取值范围.
数学 ·第21课 ·平面向量的数量积和平面向量的应用
144
第22课 数列的概念与简单表示法
普查讲22 数列的概念与简单表示法
数列的定义
数列是按一定次序排列的一列数.在函数意义下，数列是定 义域为正整数集N‘(或它的有限子集{1,2, …,n) 的函数.
a 与S,的关系
若数列{aₙ} 的前n项和为S 。,其 中Sₙ=a₁+a₂+…+aa,
an=f(n),n∈N*
数 列 的 分 类
1.按项与
①递增数列：Vn∈N',an+1>a, ②递减数列：Vn∈N*,an+10, 则 {lga(a>0 且a≠1) 是
以lg a,为首项， lgq 为公差的等差数列.
若数列a} 为等比数列, T.=a₁a₂a₃…a, 则T,
…(k∈N*) 构成公比为q² 的等比数列.
24
数学 ·第24课 ·等比数列及其前n项和
157
*通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.
*探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式 与前n项和公式的关系.
*能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解 决相应的问题.
“体会等比数列与指数函数的关系.
等 比 数 列 的 前n 项 和 及 性 质
q≠1.
在公比q≠-1 的等比数列{a} 中 ，S,Sz-S,
S₃-S,…(k∈N") 构成公比为q 的等比数列； 当公比q=-1,k 为奇数时，S,S₂-S,S-
S 乙，…(k ∈N*)构成公比为-1的等比数列.
图24-1
a₂=a₁q,a₃=a₂q,a₄=a₃q,…,an-1=an-29,aₙ=an-1q ·
将这n-1个式子两边分别相加，得a₂+a₃+a₄+ …+aₙ= (a₁+a₂+a₃+…+a₋1)q, 即S 。-a₁=(Sₙ-a 。)q,
整理，得(1-q)Sₙ=a₁-a,q.
∴当q≠1 时 ， n=1,2 时，上式显然成立；
当q=1 时 ，S=na₁ .
②
若数列{a} 是公比 为q的等比数列， 则对Vm,p∈N°, 有Sm+=Sm+q"S,
③
若数列{a,} 是公比为q的等比 数列，则数列{a} 的前n项和 Sₙ=k-k·q"(k 为常数，且k≠ 0,q≠0,1).
④-
若等比数列{a} 共有2n项，
则 其中S,S 奇 分别为数列{a} 的偶数项 的和与奇数项的和.
六组题讲透
24
1. 等比数列中基本量的求解
(1)(2021汇编，15分)已知等比数列{a,}的各项均为正数.
① ,4,a₂ 成等差数列，则
A.9 B.6
C.3 D.1
②若a₁=1,a₁+a₂+a₃=7, 则 a₃+a₄+as=( )
A.14 B.21
C.28 D.63
③若数列的前4项和为15,且a₅=3a₃+4a₁, 则 a₃=( )
(2019全国Ⅲ)
A.16 B.8
C.4 D.2
(2)(2019全国I,5 分 )记S。为等比数列{a| 的 前n 项和.若a₁=
158
,a²=a6; ,则S₅=
(3)(2018全国Ⅲ,12分)在等比数列{a| 中 ，a₁=1,a₅=4a₃ · (I) 求{a 的通项公式；
(Ⅱ)记S。为\a 的 前 n 项和.若Sm=63, 求 m.
复 习 大 纲
掌握等比数列的通项公式及前n 项和公 式，能熟练运用基本公式将题干条件和所 求目标转化为基本量之间的关系来解决 问题.
推 导 过 程 2
S 。=a₁+a₂+a₃+…+a=a+a,q+a₁q²+…+a,q”⁻¹,① 等式两边同时乘公比q, 得
qSₙ=a₁q+a₁q²+a₁q³+…+a₁q",②
① - ② , 得 ( 1 -q)Sₙ=a₁-a₁q".
∴ 当q≠1 时 ，
当q=1 时 ，Sₙ=na.
数学 ·第24课 ·等比数列及其前n项和
小积累
等比数列的基本运算
方程思想在等比数列中的应用—— “知三求二”
由 知等比数列的通
项公式及前 n 项和公式中共涉及等比数列的五个量 n, a₁,an,q,S, 所以已知其中的任意三个量可以求得另外 两个量.在解题中，常常需要依据等比数列的这一内在关 系列出方程(组),通过解方程(组)解决问题.
在解题过程中，有时可以利用通项公式的推广形式aₙ= amq”-m 来解题 .
图24-2
易错提醒
① 等比数列求和时需要讨论q=1 和q≠1两种情况；
当q=1 时 ，Sₙ=na₁; 当q≠1 时 ，
② 计算过程中，若出现q"=t, 要 注 意n 为奇数和偶数的区 别.特别地，在求得q²=m(m>0) 时 ，q的值有两个，需 根据题目要求进行取舍.
图24-3
2. 等比数列的判定与证明
a. 定义法证明等比数列
(4) (2019北京西城区二模，13分)已知等比数列{a 的 前 n 项 和 S₀=p-2³-", 其 中n∈N.
(I) 求 p 的值及数列{a 的 通 项 公 式 ；
(Ⅱ)判断数列{a2| 和 {na 。|是否为等比数列?证明你的结论.
(5) (2019黑龙江大庆月考，12分)已知数列{a| 满足a₁=1, an+1=4an+3n-1,bₙ=an+n.
(I) 证明：数列{b| 为等比数列；
(Ⅱ)求数列{a 的前n 项和.
b. 等比中项法证明等比数 列
(6) (经典题，10分)设 a₁,a2₂,a₃,a₄ 是各项为正数且公差为d(d≠0) 的等差数列.
(I) 证明：2°,2",2”,2"依次构成等比数列；
(Ⅱ)是否存在a₁,d, 使 得a₁,a²,a³,a⁴ 依次构成等比数列?并说明 理由 .
复习大纲
理解等比数列的概念.
理解并熟练运用定义法、等比中项法、通项 公式法和前n项和公式法证明和判断一个 数列是等比数列.
24
159
数学 ·第24课 ·等比数列及其前n项和
等比数列的判定与证明的技巧
如果一个数列{a。}从第2项起，每一项与它的
前一项的比等于同一个非零常数q, 即 q(q≠0), 那么数列{a,} 是等比数列.
如果对任意正整数n 都 有²1 = a 。·a+2, 且a ≠0,那么数列{a,}为等比数列.
如果数列{a。}的通项公式满足aₙ=c·q”-¹(c,
q均是不为0的常数),那么数列{a} 是首项为 c, 公比为q的等比数列.
如果数列{a,} 的前n 项和满足Sₙ=kq"-k(k
为常数且k≠0,q≠0,1), 那么数列{a,} 是 等比数列.
定义法
等比中
项法
通项公
式法
前n 项 和
公式法
⑦ 若an>0, 且a₃=2,16a²=a₂a₆, 则数列{a 的 前n 项 积T。中 最 大的值是( )
A.T₃ B.T₄
C.T₅ D.T₆
⑧若数列{a 单调递增，且a₁+a₄=9,a₂a₃=8, 则 其 公 比q 为 ( )
A B
C.2 D.3
方 法 便 笺
整体思想在等比数列中的应用
注 意：1.如果要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连 续的三项不成等比数列即可.
2.在解答题中证明一个数列为等比数列时，只能用定义法和等比 中项法.
在求解等比数列的有关题目时，有时需要将已知条件作为一个 整体，直接代入或组合后代人所求的结论；有时需要把所求的结 论作为一个整体，由已知条件变形或计算求得.整体思想的应用 能使得计算简便，省去了对中间变量的讨论，对于提高解题的速 度有很大的帮助.
图24-4
(8)(经典题，5分)等比数列\a 中，已知对任意正整数n,a₁+ a₂+a₃+…+aₙ=2"-1, 则 a²+a2+a²+…+a²=( )
3. 等比数列的性质及应用
熟练掌握等比数列的基本性质及等比数列 前n 项和的性质，理解公比q 与等比数列单 调性之间的关系，并能判断所给等比数列的 单调性.
A B
C.4”-1 D.(2”-1)²
小 提 示
a. 等比数列的基本性质
(7)(2021汇编，40分)已知数列{an}为等比数列.
①若a₃=2,as=8, 则 a₄=( )
24
对于选择题而言，可以采用取特殊值验证的方法排除干扰项，如 取一次值不能确定正确选项，可多取几个值代入，往往能够达到 事半功倍的效果.
小 积 累
A.4 B.5
若数列{an}为等比数列，则下标成等差数列的子数列 仍构成等比数列.如：a₂,a₄,a6, … ,a2n, … .
在等比数列{an} 中，有a²=an-KQn+(n,k∈N", 且 n-k≥1).
C.±4 D.±5
②若an>0, 且 lg₃a₁+lg₃a₂+…+lg₃a₉=9, 则 a₃a₇+a₄Q₆= ( )
A.6 B.9
C.18 D.81
④
⑤
⑥
在等比数列{an}中，若m,q,k,p∈N*, 且m+q= k+p, 则am·a₉=ak·ap.
口诀：下标和相等，项的积也相等.
若{an},{bn} 是项数相同的等比数列，则数列{kan}
(k≠0),f(pA,f03,{),a a,( 。),ta,·bJ 仍是等比数列.
若{aₙ 是公比为q 的等比数列，且an>0, 则 {lgan} (a>0 且 a≠1) 是以 lga₁ 为首项，lg.q 为公差的等 差数列.
若 {a.) 是公差为 d 的等差数列，则数列{m°n}(m>0 且m≠1) 是以m²1为首项，md为公比的等比数列.
图24-5
则数列{a, 的前3项和为( )
A.8 B.7
C.6 D.4
④ 若a₁a₂=1,a₅a₆=9, 则a₃a₄=( )
A.3 B.±3
C.√3 D.±√3
⑤ 若a₀>0, 且 a₁a₃+2a₃a₅+asa₇=4, 则a₂+a₆=( )
A.1 B.2
C.3 D.4
⑥若a₁=2, 数列\b 。满足bₙ=lg₂an, 且 b₂+b₃+b₄=9, 则 as= ( )
A.8
C.32
B.16 D.64
160 数学 ·第24课 ·等比数列及其前n项和
a 。(m,neN'), 若 a₂=9, 则lg₃a₁+lg₃a₂+lg₃a₃+ …+lg;a₁2= ( )
A.40 B.66
C.78 D.156
等比数列的基本性质 若数列|a} 为等比数列，T₅=a₁a₂a₃…a, 则 N*) 构成公比为q 的等比数列.
里，…(ke
d. 等比数列的单调性问题
(14)(经典题，5分)设{a。是公比为q 的等比数列，则 是 “{a| 为递增数列”的( )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
b.等比数列前n 项和的性质
(10)(2021汇编，15分)已知数列{a。为等比数列，其前n 项和为 S。
① 若S。满足 Sₙ=a ·2”+1, 其中a 是常数，则a=( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
② 若a₀>0, 且 7S₂=4S₄, 则公比q 的值为( )
A.1 B
小 积 累
等比数列的单调性
C D
公比q 单调性
首 项 a₁
qb”(n∈N')
同正
8
可开方性
a>b>0→" √a>" √b(n∈N,n≥2)
同正
9
可倒数性
ab>0,a>b=言方
同号取倒需反向
原理：设a, b∈R, 则a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;
a-b0,
1→abc 或ab, 则( )
A.In(a-b)>0 B.3"0 D.Ial>lbl
方 法 便 笺
比 较 两 数 ( 式 ) 大 小 的 方 法
作差法
原理：设a,b∈R, 则a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a= b;a-b0, 则
步骤：作商并变形→判断商与1的大小 → 得结论.
注意：作商时各式的符号应相同，如果a,b 均小于0, 所得结果与“原理”中的结论相反.变形方法有 分母(或分子)有理化，指、对数恒等变形等.
特值法
含有未知数的几个式子比较大小，若是选择题、填空题， 可以用特值法直接判断；若是解答题，可以先用特值法 探究思路，再进行推理论证.
随堂普查练26
1. (经典题，5分)图26-7为某三岔路口交通环岛的简化模型，在 某高峰时段，单位时间内进出路口A,B,C 的机动车辆如图所示，图
中 x₁,x₂,x, 分别表示该时段单位时间内通过路段AB,BC,CA 的机 动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶 出的车辆数相等),则( )
图26-7
A.x₁>x₂>x₃ B.x₁>x₃>x₂
C.x₂>x₃>x₁ D.x₃>x₂>x₁
2. (2021改编，5分) 设a,b,c,d 均为非零实数，则下列命题中正确 的有_ . (填序号)
①若bc-ad>0, ,则ab>0;
② 若ad, 则 a-c>b-d;
④若a>b>1>d+1, 则 lg 。(b-d)b>0, 试比较
与 的大小.
26
(7)(经典题，5分)不等式的解集记为D.有下面四个
命题：
P₂:3(x,y)∈D,x+2y≥2; P₄:3(x,y)∈D,x+2y≤-1.
P₁:V(x,y)∈D,x+2y≥-2; P₃:V(x,y)∈D,x+2y≤3;
其中的真命题是( )
A.P₂,P₃ B.p₁,P₂ C.pi,P4 D.pi,P₃
方 法 便 笺
利用待定系数法求代数式的取值范围
已知M0 时， ② 当x∈R 时 ，x²+1≥21x1;
③ 当ab>0 时， ④ 当a>0,b>0 时 ，a²+b²>4ab-3b²;
⑤ 当a>0,b>0 时，
⑥ 当a≠b 且 a2x,x²+1>x;②²+—≥1xI≥x,x²+4≥41xl≥4x, 4x²+1≥41xl≥4x,x²+1≥21xl≥2x.
易错提醒
不等关系中的错误情况
看到只有“>”“0,b>0) 和等号成立的条件(a=b).
方 法 便 笺
(4)(经典题，5分)当x∈(0,1) 时，求的最大值.
利用对勾函数求函数的最值
函 ),b>0) 叫“对勾函数”,其图像如下：
28
在(0,吾)上单调递成
顶点(吾，2 √cb)
在 ( - ∞ , - 吾 )
上单调递增
适用范围：求形如
↑y=ax+ 皇 (a>0,b>0)
y=ax
在 ( 吾 ， + )上单调递增
顶点(-鲁，-2 √a5)
在 ( - 鲁 ，) 上单调递减
的函数最值.
随堂普查练28 I
步骤及示例： 的最小值为__ . 第 ① 步 — — —解 ：
1. (2021原创，5分)下列结论中正确的个数是( )
① 若a>0, 则 的最小值是2 √a;
换元转化，并 指出新元的范 围
第②步— —— 画图像，利用
单调性求解
原问题可转化为求函) 的最小值
)上单调递增，
∴当t=2 时 ，y 取最小值，
②函数f(x)= √sin²x(3+cs²x) 的最大值是2;
③函数j的值域是(2,+∞);
④对任意的实数a,b 均有a²+b²≥-2ab, 其中等号成立的条件是 a=-b.
在I2,+) 上单调递增
,y=t
1 2
在t=2 处取最小值
jy=t+÷
yA
A.0 B.1
C.2 D.3
2. (经典题，5分)设f(x)=Inx,00)
28
设a,b 为正数，若a+b=s(s 为定值),则当且仅当a=b 时 ，ab 取得最大值
ab≤
____
一定要看是不是满足
“一正、二定、三相等”
哦 !
一正
各项或各因式
均为正
二定
和或积为 定值
三相等
各项或各因式能取 到使等号成立的值
凑定值的常用技巧
1 的 代 换 法
已知x+y=3(x>0,y>0),
加 减 常 数 项 法 ·形如(m,a,b 、c
求 的最小值.
为不等于0的常数，c与ma同 号 ) 的函数
注意定义域，考虑各项的正负
一将分母的自变量系数提取出来
一配凑成第一项中分母的形式，
便于利用基本不等式后约分
千万别漏项
→顺利约分，得到两项之积为定值
。形如f(x)=ax(c-bx) 的函数
· 注意定义域，考虑各项的正负
乘除系数，将这两个因式中x 的系数凑成相反数，使得它们
之和为定值
·
利用基本不等式的推论
解
形 如
二 a²+6x+
(a,d,e 不
为0)的特殊函数
注意定义域，考虑各项的正负 将分子表示成关于分母的式子，
便于裂项
裂项，使得运用基本不等式后
能够约分得到定值
已知ax+by=c(a>0,b>0,c>0)
求 0)的最小值
整体乘常数1,值不变
由已知得 用 代
换“1”
· 两个因式相乘展开，得到“颠倒”
的两项，它们相乘恰好可以把变 量都约分掉
=3
消 元 法
已知ab-a-b-1=0(a>1), 求 3a+b 的最小值.
已知若干个变量之间的关系，求关
于这几个变量的代数式的最值
由ab-a-b- 1=0 得
将已知条件变形，为消元准备条件
→ 代入消元
一分裂出常数项，把问题简化
最终转化为熟悉的类型(此处是类
型①,用加减常数项的方法)
·
=2 √2+1
约分，得到定值
图28-4
数学 ·第28课 ·基本不等式及其应用 183
三 组 题 讲 透
利用基本不等式求最值的常用技巧
(7) (经典题，5分)若x>2, 求函数的最大值.
复习大纲
‘利用基本不等式要根据式子的特征灵活变形. 常用的方法有加减常数项法、乘除系数法、裂 项法、1的代换法、消元法、换元法、局部放缩法.
√ab≤a±b
积定和最小
ab=p(p 为定值)
和定积最大
a+b=s(s 为定值)
(a>0,b>0)
28
当且仅当a=b 时，
ab 取得最大值 ·
当且仅当a=b 时，
a+b 取得最小值2 √P
方法便笺
求分式型函数的最值
图28-5
(5)(经典题，5分)已知a+b=2,b>0, 求a 为何值时， 取得最小值.
(6)(经典题，5分)已知实数a,b,c 满足a+b+c=0,a²+ b²+ c²=1, 则a 的最大值是
二次式
一次式
令一次式 令一次式
等于t 等 于t
y= 常数+-一次式
=m+c 一会
注意范围
利用基本不等式或对勾函数求解 数形结合法求解
分离常数
利用反比 例函数图 像的平移 作图
一次式 一次式
一次式 二次式
二次式 二次式
注意定义域
注意范围
分离常数
二次式
(其中t≠0,ab>0,c∈R)
方法便笺
图28-7
(8) (2019江苏模拟，6分)若 x,y 满足xy-5=4 x+y, 且 x>1, 求
的最小值.
局部放缩法构造不等式(组)求代数式的最值
放缩公式 一 (x+y)²≤2(x²+y²)(x,y∈R)
x²+y²
两数平方和
xy
两数之积
x+y 两数之和
(9) (2019天津模拟，6分)若正数a,b 满足4a+3b-1=0,3
的最小值
184
,yER)x+y≥2√Z5(x>0,y>0)
,yER)
例 已知a²+2ab+4b²=6, 则 a²+4b² 的取值范围是[4,12] .
看条件，从条件 里找出目标式
将目标式保留， 其他部分放缩
第③步
根据放缩公式列 不等式(组)
解不等式(组)
第④步
a²+2ab+4b²=6 a²+4b²+2ab=6
保留 设法放缩成a²+4b² a²+4b²≥2√a²·4b²=4labl
第①步 第②步
解得4≤a²+4b²≤12
图28-6
数学 ·第28课 ·基本不等式及其应用
小 积 累
基本不等式中常见问题的解题策略
基本不等式
图28-8
3. 基本不等式与其他专题的综合考查
(10)(2021 汇编，25分)①设f(x) 是定义在R 上的函数，且f(x+
2)=√2f(x), 其中a,b∈R.. 若 贝 最小值为
②在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC, 则 tanAtanBtanC的 最 小值是 ;tanA+tanB+tanC 的最小值为
③已知向量m=(a,-1),n=(2b-1,3)(a>0,b>0), 若m//n, 则
的最小值为( )
A.12 B.8+4√3 C.15 D.10+2√3
④已知正项等比数列|a| 满足：a₂Qg=16as,a₃+as=20, 若存在两
项 am,aa, 使得 √ama 。=32, 则的最小值为
(11)(经典题，5分)要制作一个容积为4m³, 高 为 1m 的无盖长方 体容器. 已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每 平方米10元，则该容器的最低总造价是( )
A.80 元 B.120 元
C.160 元 D.240 元
方法便笺
利用基本不等式解决实际问题的 一 般步骤
要制作一个容积为4m³, 高为1m 的无盖长 方体容器.已知该容器的底面造价是每平 方米20元，侧面造价是每平方米10元，则 该容器的最低总造价是多少?
根据题意设出变量，把要求 最值的变量设为函数
为y元 ，
根据具体情境，用设出的 变量表示其他相关量
写出目标函数的表达式
指出自变量的取值范围
根据基本不等式求最值
指出取最值的条件，验证 等号能否取得
回到实际问题，作出明确 回答
其中x>0.
根据基本不等式，得y=
80+2(
2
6 当且仅当, 即x=2 时
等号成立，所以y.=160.
答：该容器的最低总造价
为160元.
依题意得长方体底面的另
一边长为
则该容器的总造价为y=4×
20
解：设长方体底面的一边 长为xm, 该容器的总造价
一 般
步骤
典例 说 明
图28-9
随堂普查练28 Ⅱ
28
如果a,b∈R+,
那么
当且仅当a=b 时， 等号成立.
正
定 →
等
若式子都小于0,则提出一个负号， 求其最值，再求原式的最值；
若和或积不是定值，用配凑法使其 满足定值的条件；
若等号成立时变量的取值不在范围 内，需根据函数单调性求最值.
复习大纲
不等式常与函数、三角函数、平面向量、数列等 专题综合考查.
一般先利用其他专题的知识找到一个等量关 系，再在这个等量关系的前提下求最值
⑤已知x>0,y>0,√2 是2*与4’的等比中项，则的最小值 为_ ·
1. (经典题，5分)若实数x,y 满足 则的取值范围 是
利用基本不等式解决实际问题
2. (经典题，5分)若函)在x=a 处取得最大 值，则a=
3. (2019四川模拟，5分)若正实数x,y 满 足 则 的最小值为_ ·
复 习 大 纲
利用基本不等式解决实际问题，关键是把实际 问题抽象出数学模型，列出函数关系式，然后利 用基本不等式求最值.
数学 ·第28课 ·基本不等式及其应用
185
4. (2019天津，5分)设x>0,y>0,x+2y=5, 的 最小值为_ _·
5. (2019南昌期末，5分)若a>0,b>0,ab+2a+b=4, 则 的 最小值为( )
A.2 B.√6- \l "bkmark3" 1
C.2√6-2 D.2√6- \l "bkmark4" 3
6. (2019天津模拟，5分)设x 与 y 均为正数，],则 x+2y 的最小值为
7. (2019黑龙江香坊区校级期末，5分)若实数x,y满足x²+y²+xy=1,
则x+y 的最大值是( )
小 题 技 巧 积 累
直 接 用 (a,b,x,y
结论的简单证明：
A.6 B.4
D
8. (经典题，5分)若实数 满 ,则ab 的最小值 为 ·
9. (2018江苏，5分)在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c, ∠ABC=120°,∠ABC 的平分线交AC于 点D, 且 BD=1, 则 4a+c 的 最小值为
10. (2017江苏，5分 x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总 运费与总存储费用之和最小，则x 的值是
均为正数)求 代 数 式 的 最 值
28
∵a,b,x,y 均为正数，
),则4x+y 的
最小值为_
解
当且仅当, 即时取得等号 .
若a,b 是正常数，x∈(0,1), 则 的最小值 为 (a+b)².
若a²+4b²=4, 则2a+b 的取值范围是
[- √ 17, √ 17].
提示：用不等式求最值时要验证取等条件.
图28-10
数学 ·第28课 ·基本不等式及其应用
186
设正数x,y 满足x>2y,x+2y=4, 则 的最小值 为 2 .
突破积累练 基本不等式求最值的变形技巧
想一想，这些条件还可以
以什么样的形式给出?
1. (2021汇编，44分)已知正数a,b 满足a+b=1.
(1) 的最小值为 ;
(2) 的最小值为 ;
(3) √a(1+2b) 的最大值为 ;
(4)的最小值为 (5 的最小值为 _; (6 的最大值为 ;
(7)√a+1+√b+1 的最大值为 ;
(8)lg a+lgb 的最大值为 ;
(9)22+4的最小值为 ;
(10))的最小值为
(11)a³+b³ 的最小值为 ·
想一想，这些条件还可以
2. (2021 汇编，28分)已知正数a,b 满足 ab=4. 以什么样的形式给出?
(1)的最小值为 ;
(2)(a+1)(b+2) 的最小值为 _;
)的最小值为 ;
4 的最小值为 ;
⑤ 的最小值为_ ;
28
(6)若a>b, 则的最小值为 ;
(7) √a+ √b的最小值为
3. (2021 汇编，16分)已知正数 满
;
(1)a+4b 的最小值为
(2)ab 的最小值为 ;
3 的最小值为 ;
(4)16a²+b² 的最小值为_ ·
4. (2021汇编，20分)
(1)已知 ,则x√ 1+y² 的取值范围为
(2)函数 1)的最小值为
(3)设x,y∈R 且xy≠0, 则 的最小值为_ ;
(4)已知a>0,b>0, 则 的最小值为_ ·
则a+ 的 最 小 值 为
这 样 的 式 子
直接用结论 1秒钟就能
出 答 案
同 样 a-a+>a+b
2.3(2③(I2+3)
a+b a+b atb =5+2 √6
a+6
(a,b,xy 都 是 正 数 )
用 不 等 式
求最值，记
住 这 个 结 论
已 知 正 数a,b 满 足 a+b=), 则 告 + 古 的
最 小 值 为 _ 我 要 求 使 用 快
速 方 法
已 知 正 数 a,b满足 a+b=1,
数学 ·第28课 ·基本不等式及其应用
187
第29课 空间几何体及其表面积、体积
普查讲29 I 基本立体图形与直观图
空间几何体
1.多面体的结构特征
上、下底面是_ 的多边形，并且相互平行；侧棱_
一些特殊的四棱柱
底面是平行四边形
侧棱垂直于底面
直平行
四棱柱 侧棱垂直于底面
各枝长 正方体
直四棱柱
特殊的棱柱
29
底面是平行四边形 六面体
●直棱柱：侧棱 底面的棱柱.
都相等正四
棱柱底面是正方形
底面是矩形
●正棱柱：底面是 的直棱柱.
长方体
底面是任意多边形，侧面都是有 一个 的三角形
特殊的棱锥
●正棱锥：棱锥的底面是 且顶点在底面的投影是底面的
●正四面体：四个面都是 的三棱锥.
由 的平面截棱锥得到 ，其上、下底面是
2.旋转体的形成
3.简 单 组 合 体 的 两 种 基 本 形 式
由简单几何体拼接而成 由简单几何体截去或挖去 一部分而成(阴影部分表示挖去此部分)
直 观 图
空间几何体的直观图的斜二测画法
Q 一○在已知图形中取互相垂直的x 轴 和y 轴，两轴相交于点0,再作Oz 轴，使LxOz=90°, 且 ∠yOz=90°. 画直观图时，把Ox,
0y,Oz 画成对应轴O'x′,O'y',O'z, 且 使 ∠x'O'y'= _,Lx'Oz'=∠y⁰'z'=90°,x'O 'y'所确定的平面表示水平面；
)01已知图形中平行于x 轴 、y 轴 或z 轴的线段，在直观图中分别画成 x' 轴 、y 轴 或z'轴的线段；
O 一○已知图形中平行于x 轴 或z 轴的线段，在直观图中保持原长度 , 平 行 于y 轴的线段，在直观图中长度变为原来的 ;
188
由斜二测画法可得：水平放置的平面图形的直观图的面积S± 与原平面图形的面积Sa 的关系为
图29-1
数学 ·第29课 ·空间几何体及其表面积、体积
圆柱
可以由
绕其任一边所在直线旋转得到.
圆锥 可以由直角三角形绕其 边所在直线旋转得到.
圆台
可以由直角梯形绕其 所在直线或等腰梯形绕其 _所在直线旋转得到，也可以由 的平面截圆锥得到.
球 可以由 绕其直径所在直线旋转得到.
利用实物、计算软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物
体的结构.
*能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图.
两组题讲透
I. 常见的空间几何体
(4) (2018辽宁部分重点中学协作体模拟，5分)在一个密闭透明的 圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时， 圆柱筒内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是( )
复习大纲
“掌握柱、锥、台、球的概念及其结构特征.
A. 圆面 B. 矩形面
C. 梯形面 D. 椭圆面或部分椭圆面
小积累
a.根据定义和结构特征判断几何体
简单几何体的结构特征
(1) (2021汇编，5分)给出下列六个命题：
1.多面体的结构特征
①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；
名称
棱柱
棱锥
棱台
几何体
底面
互相平行，上、
下底面是全等的
多边形
多边形
互相平行，上、
下底面是相似
多边形
侧棱
互相平行且相等
交于一点
延长线交于一点
侧面
平行四边形
三角形
梯形
②以直角梯形一腰所在的直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
29
③侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；
④有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
⑤用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台；
⑥有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱.
其中不正确的为
易错提醒
空间几何体结构特征易错点
(1)多面体结构特征易忽略点：棱柱的侧棱平行，棱锥的侧面 各三角形有一个公共顶点，棱台的侧棱的延长线交于一点.
2.旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
几何体
母线
平行、相等且 垂直于底面
相交于一点
延长线 交于一点
轴截面
全等的矩形
全等的等腰
三角形
全等的等腰
梯形
大圆
侧面 展开图
矩形
扇形
扇环
(2)旋转体结构特征易错点：旋转轴的选取.例如：圆锥是以直 角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴的，圆台是以直 角梯形的直角腰所在的直线为旋转轴的.
(3)截面易错点：用平行于底面的平面截圆(棱)锥，截面与底 面之间的几何体才是圆(棱)台.
b.简单几何体的结构特征和性质
(2) (2021汇编，5分)下列命题：
①圆锥的轴截面一定是等腰三角形；
②三棱锥的三个侧面不可能都是直角三角形；
③平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；
④过球面上任意两点只能作球的一个大圆；
图29-3
⑤棱柱的侧棱都相等，侧面是全等的平行四边形；
c. 简单组合体
(5) (2019辽宁沈阳期末，5分)在一个实心圆柱中挖去一个内接直 三棱柱后，剩余部分几何体如图29-4所示.已知实心圆柱底面直 径为2,高为3,内接直三棱柱底面是斜边长为2的等腰直角三角 形，则剩余部分几何体的表面积为( )
⑥在正方体的顶点中可以选择四个顶点作为正四面体的顶点. 其中正确的是
(3) (2021改编，6分)如图29-2,一个圆锥的侧面展开图是半径 为3,圆心角为120°的扇形，求该圆锥的高.
图29-2
图29-4
数学 ·第29课 ·空间几何体及其表面积、体积
189
用斜二测画法画直观图的技巧
A.8π+6+6√2 B.6π+6+6√2
原图形中与 x 轴或 y 轴平行的线段在直观图中与x'轴或 y 轴平行；
原图形中不与坐标轴平行的直线段可以先在直观图中画 出线段的端点，再连线；
原图形中的曲线段可以通过取一些关键点，在直观图中 作出相应点后，用平滑的曲线连接而画出.
C.8π+4+6√2 D.6π+4+6√2
(6) (2021改编，5分)如图29-5所示为一个直四棱柱，则下列关 于此四棱柱说法正确的是 . (写出所有正确结论的序号)
图29-7
29
图29-5
①此四棱柱可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到；
②此四棱柱可由四棱柱截去一个三棱柱而得到；
③此四棱柱可由一个四棱柱和一个三棱柱拼成；
④将此四棱柱切割成四棱锥，最少切割成四个四棱锥.
空间几何体的直观图与斜二测画法
随堂普查练29 I
1. (2018黑龙江大庆铁人中学期中，5分)下列说法正确的是
①圆台的任意两条母线延长后一定交于一点；
②以直角三角形的一边所在的直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
③若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥不可能是 正六棱锥；
复习大纲
了解斜二测画法的基本步骤，掌握直观图 与平面图的点和线的对应关系.
④用斜二测画法作出正三角形的直观图，则该直观图面积为原三 角形面积的一半.
2. (2019新疆乌鲁木齐期中，5分)下列关于棱柱的说法中，错误的
(7) (2021汇编，5分)下列说法中，正确的是( )
A. 三角形的直观图一定是三角形
B. 梯形的直观图可以是平行四边形
C. 正方形的直观图一定是菱形
D. 直角三角形的直观图不可能是直角三角形
(8) (2018浙东北联盟(ZDB) 改编，5分)一个平面图形用斜二测画 法作的直观图是一个边长为2cm 的正方形，如图29-6所示，则原 图形的周长为( )
是( )
A. 三棱柱的底面为三角形
B. 一个棱柱至少有五个面
C. 若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
D. 五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
3. (2019江西南昌校级月考，5分)如图29-8所示的平面图形中 阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的旋转体形状为( )
图29-6
A.12 cm B.16 cm
C.4(1+√3)cm D.4(1+√2)cm
小积累
图29-8
A. 一个球体 B. 一个球体中间挖去一个圆柱
C. 一个圆柱 D. 一个球体中间挖去一个棱柱
斜二测画法中的“三变”与“三不变”
“ 三 变 ”
坐标轴的夹角改变
与y轴平行的线段长度变为原来的一半
图形改变
4. (经典题，5分)如图29-9所示，△A'B'C′ 是△ABC的直观图，且
190
图29-9
△A'B'C′ 是边长为a 的正三角形，则△ABC的面积为 ·
数学 ·第29课 ·空间几何体及其表面积、体积
“ 三不变 ”
平行性不变
与x,z轴平行的线段的长度不改变
相对位置不改变
普查讲29 Ⅱ 空间几何体的表面积与体积
29
空间几何体的表面积
空间几何体的体积
191
柱、锥、台体积公式之间的关系
V=
V 体 = _
(底面面积为S, 高为h)
V=
◎○锥体
S'=S S'=0
S'
V=
○台体
V 柱 体 = V 惊 体 =
考试要求
* 知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的 计算公式，能用公式解决简单的实际问题.
(半径为R)
(上底面面积为S', 下
底面面积为S, 高为h)
(底面面积为S, 高为h)
柱体
体积
0 球
.R
V=
h
S
图29-10
数学 ·第29课 ·空间几何体及其表面积、体积
(1)多面体的侧面积与表面积：
多面体的侧面积就是 面积之和；多面体的表面积就是 的面积之和，即 与 之和.
常见多面体的侧面积
●直棱柱(c为底面周长，h为直棱柱的高):S 例=——
·正棱锥(c 为底面周长，h'为正棱锥的斜高):S 折=
●正棱台(c,c '分别为棱台上、下底面周长，h'为正棱台的斜高):S例=
(2)旋转体的侧面积与表面积：
圆柱(底面半径为r,
母线长为l1)
圆锥(底面半径为r,
母线长为1)
圆台(上下底面半径
分别为广，r,母线长为1)
球(半径为R)
侧面展
开图
2πm';
L ;2πr
侧面积
Sm=
Sa=—
S剑=—
底面积
S=—
S上旅面+S底面=——
表面积
S表=S上底面+S下底面+S例=
S表=S底面+S例=_—
S表=S上底面+S下底面+S=
S=_
小积累
三组题讲透
空间几何体表面积问题的解题策略
3. 空间几何体的表面积
①多面体的表面积是各个面的面积之和，旋转体的表面 积问题要注意其侧面展开图的应用；
● ②求组合体的表面积时，要注意衔接部分的处理.
图29-14
复习大纲
‘结合简单几何体的展开图，在理解的基础 上熟练掌握柱、锥、台、球的侧面积和表面积 公式.
掌握组合体的表面积的计算.
a. 简单几何体的表面积
空间几何体的体积
复 习 大 纲
掌握简单几何体体积公式.
掌握不规则几何体的结构特征，能运用等 体积法、割补法求复杂几何体的体积
能利用函数解决空间几何体体积的最值问题
29
(9)(2021改编，6分)如图29-11所示，斜四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的底面 ABCD是矩形，侧面 ABB₁A₁⊥平 面 ABCD,AB=AA₁=4, ∠A,AB=60°,AD=3, 求斜四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的表面积
a.直接法求几何体的体积
图29-11
(13)(经典题，5分)现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆 锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总 体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个， 则新的底面半径为
(14)(2018天津，5分)已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱长为1, 除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M
(如图29- 15所示),则四棱锥M-EFGH 的体积为
(10)(2018江苏南通高考最后一卷，5分)如图29- 12所示，已知
圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π,若正方形ABCD内接于 底面圆0,则四棱锥P-ABCD 的侧面积为
图29-15
图29-12
b.组合体的表面积
(11)(经典题，5分)在梯形ABCD 中 ，,AD//BC,BC= 2AD=2AB=2. 将梯形ABCD绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的 曲面所围成的几何体的表面积为_ .
(12)(2021改编，5分)如图29-13所示，该几何体是由一个棱长 为2的正方体和一个半圆柱组成的，其中正方体的上半部分挖去 一个半球体，则该几何体的表面积为 .
(15)(经典题，5分)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆 测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直 径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水 深九寸，则平地降雨量是 寸. (注：①平地降雨量等于盆中 积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)
(16)(2019全国Ⅲ,5分)学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术 制作模型.如图29-16,该模型为长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 挖去四 棱 锥 0 -EFCH 后所得几何体，其中0为长方体的中心，E,F,G,H 分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,A4₁=4cm,3D 打印所用原
料密度为0.9 g/cm³, 不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质 量为 _g ·
图29-13 图29-16
192 数学 ·第29课 ·空间几何体及其表面积、体积
b. 利用等积变换求几何体的体积
(18)(经典题，7分)如图29-19,长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中 ，AB= BC=1,AA,=2,E 是侧棱BB₁ 的中点，求三棱锥A-C₁D₁E 的体积.
(17)(经典题，13分)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱 与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面 体称之为鳖膈.在如图29-17所示的阳马P-ABCD 中，侧棱PD1 底面ABCD,且PD=CD, 点 E 是 PC 的中点，连接DE,BD,BE.
(I) 证明：DE1 平面PBC.试判断四面体EBCD 是否为鳖濡，若是， 写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是，请说明理由；
图29-19
方法便笺
等积变换法求三棱锥的体积
等积变换法也称等积法或等积转换法，它是通过选择合适的 底面和顶点来求几何体体积的一种方法.求三棱锥的体积时， 常用到如下三种体积变换方法：
29
图29-17
(Ⅱ)记阳马P-ABCD 的体积为V₁,四面体EBCD的体积为V₂, 求
的值 .
小 积 累
利用几何体体积公式求两个几何体体积比
求同种几何体的体积之比
例如：两个底面面积分别为S,S₂, 高 为h,,h₂ 的锥体
的体积之比
简单几何体挖去一部分，求挖去部分和剩余部分的
体积之比
例如：一个体积为V的几何体挖掉一个体积为V₁的几何 体，剩余几何体体积为 V₂, 则挖去部分与剩余部分的
体积之比为(这里可以选择性地求出两个较 为简单的几何体的体积).
求两个没有直接关系的几何体体积之比
例如：半径为r 的球的体积与棱长为a 的正方体体积的比
特别地，底面积和高都相等的柱体和锥体，锥体体积是柱体
体积的
193
图29-18
图29-20
数学 ·第29课 ·空间几何体及其表面积、体积
三棱锥内换顶点、换底面
变换三棱锥的四个顶点的顺序，找出易求的底面和高
三棱锥外换顶点
底面不变，找过顶点且与底面平行的直线，直线上各点 到底面距离相等，通过体外换点进行等积变换
A A₂ A
l
D_
C
B
L//平面BCD,V-Bc=V-mcp=Vx-mc
三棱锥外换底面
顶点不变，找与底面三角形共面且面积相等的三角形 通过换底面进行等积变换.
29
C.运用割补法求几何体的体积
(19) (经典题，8分)如图29-21,正方体ABCD-A₁B₁C₁D 的棱长为 a,E,F 分别是棱AA₁和 CC₁ 的中点，求四棱锥A₁-EBFD₁ 的体积
图29-21
(20) (2021改编，5分)如图29-22,△ABC为等边三角形，边长为 8,DB⊥平面ABC,且AE//FC//BD,BD=3,CF=4,AE=5, 则此几 何体的体积为
图29-22
(21) (经典题，5分)如图29-23,三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 中，若E,F 分别为AB,AC的中点，平面 EB₁C₁F 将三棱柱分成体积为 V₁,V₂
(V₁>V₂) 的两部分，则
图29-23
小积累
运用割补法求体积的思路
几何体的“分割”:几何体的分割即将已知的几何体，
按结论的要求，分割成若干个简单几何体，进而求原几何
体的体积；
d.建立目标函数求空间几何体的体积
(22) (2021改编，8分)如图29-25,圆形纸片的圆心为0,半径为 5cm, 该纸片上的等边三角形ABC的中心为0.D,E,F 为圆0上的 点，△DBC,△ECA,△FAB分别是以 BC,CA,AB 为底边的等腰三角 形.沿虚线剪开后，分别以BC,CA,AB 为折痕折起△DBC,△ECA, △FAB,使得D,E,F 重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所 得三棱锥体积(单位：cm³) 的 最 大 值 为 多 少
图29-25
5.
与 球 有 关 的 切 接 问 题
复习大纲
掌握球截面的性质并能解决球截面上的有 关计算.
掌握简单几何体的内切球和外接球的相关 计算的方法.
a.球截面的性质
(23) (经典题，5分)已知H 是球0的直径AB 上一点，AH:HB= 1:2,ABI 平面α,H 为垂足，α截球0所得截面的面积为π,则球0 的表面积为
小积累
球截面中常用的直角三角形
大圆中的直角三角形(直角三角形的斜边经过球心)
球心与小圆圆心的连线 与球的半径、小圆的半 径构成直角三角形
小圆中的直角三 角 形
(直角三角形的斜边经 过小圆圆心，不经过 球 心 )
图29-26
几何体的“补形”:有时为了计算方便，可将已知的几
何体补成简单的几何体，如长方体、正方体、圆柱.
b. 简单几何体的内切球与外接球
割补法常常与等体积法综合应用，解决较复杂的几何体体积 问 题 .
(24) (经典题，5分)正方体的内切球与外接球的表面积分别为S,
194
S₂, 则
图29-24
数学 ·第29课 ·空间几何体及其表面积、体积
(25)(2019吉林长春四模，5分)如图29-27所示， 一个倒置圆锥 形容器，底面直径与母线长相等，容器内存有部分水，向容器内放 入一个半径为1的铁球，铁球恰好完全没人水中(水面与铁球相 切),则容器内水的体积为
记忆方法：将正四面体放在正方体中求内切球和外接球半径
29
图29-27
(26)(201 7全国Ⅲ,5分)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周 在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )
A.π
图29-28
随堂普查练29 Ⅱ
1. (2019河南安阳校级月考，5分)如图29-29所示， 一个圆柱和 一个圆锥的底面直径和高都与一个球的直径相等，此时圆柱、圆 锥、球的表面积之比为( )
(27)(2018全国Ⅲ,5分)设A,B,C,D 是同一个半径为4的球的球 面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9 √3,则三棱锥D-ABC 体积的最大值为( )
A.12√3 B.18√3
C.24√3 D.54√3
小 积 累
常见几何体的内切球与外接球
9 ①内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到 多面体各顶点的距离均相等；
②正多面体的内切球和外接球的球心重合；
③正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上.
图29-29
求外接球或内切球半径的方法：在球内部构造直角三角形，利
A.6:(√5+1):4 C.5:(√5+1):4
B.6:√5:4 D.5:√5:4
2. (2021改编，6分)如图29-30所示的几何体是直三棱柱ABC- A,B₁C₁ 切去一部分后剩下的，AB=8,AC=6,A4,=BC=10,BE=
4,求该几何体的表面积.
图29-30
用勾股定理求解.
195
数学 ·第29课 ·空间几何体及其表面积、体积
棱锥的外接球
棱锥底面上的顶点共圆，并且外接球球心与底面多边形的 外接圆圆心的连线垂直于底面.特殊地，正四面体棱长为a, 内切球半径为r, 外接球半径为R,
部分常见几何体的内切球与外接球
正方体(长方体)的内切球和外接球
设长方体的长、宽、高分别为a,b,c, 则长方体外接球半 设正方体棱长为a, 则正方体内切球半
径 ,外接球半径
直棱柱的外接球
设直棱柱的底面多边形的外接圆半径为r, 高 为h, 则直棱柱
外接球的半径R满足
圆柱的内切球和外接球
设圆柱的底面半径为a, 高 为H, 圆柱外接球半径R满足a²+
时，圆柱有内切球，内切球半径r=
29
3. (经典题，12分)如图29-31所示，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中 ， AB=16,BC=10,AA₁=8, 点 E,F 分别在A₁B₁,D₁C₁ 上，A₁E= D₁F=4, 过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正 方形.
(I) 在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);
图29-31
(Ⅱ)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.
4. (2021改编，13分)如图29-32所示，某容器由圆柱和圆锥构成 (容器底部位于地面上),圆柱的底面直径和高都等于2 m,圆锥的 高为0.3m.
图29-32
(I) 求制作这样一个容器的用料面积；
(Ⅱ)求这个容器的容积(忽略容器的厚度);
5. (经典题，5分)如图29-33所示，一个边长为4的正方形ABCD, E,F 分别为 BC,CD的中点，将正方形沿AE,AF,EF 折叠起来，使 B,C,D 重合于P 点(如图29-34所示),则三棱锥P-AEF 的体积 为 .
P(B,C,D)
图29-34
6. (经典题，5分)如图29-35所示，在多面体ABCDEF 中，已知平 面ABCD 是边长为4的正方形，EF//AB,EF=2,EF 与平面 ABCD 的距离为3,则该多面体的体积为
图29-35
7. (2018衡水中学一模，5分)如图29-36所示，在直角梯形ABCD
中 ，AB⊥BC,AD//BC,1,点E 是线段 CD上异于 点 C,D 的动点，EF⊥AD于点F, 将△DEF沿 EF 折起到△PEF 的 位置，并使 PF⊥AF, 则五棱锥 P-ABCEF 的体积的取值范围 为_
图29-36
(Ⅲ)现用该容器盛装某液体，液面高度为2.15 m, 则该容器内的液 体体积为多少?
8. (2021汇编，10分)①已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球0 的球面上，SC 是球0的直径 .若平面 SCA⊥平面 SCB,SA=AC, SB=BC, 三棱锥S-ABC 的体积为9,则球0的表面积为
(2017全国 I)
②体积为18 √3的正三棱锥A-BCD 的每个顶点都在半径为R 的球 0的球面上，球心0在此三棱锥内部，且R:BC=2:3, 点E 为线段 BD 的中点，过点E 作球0的截面，则所得截面圆面积的最小值
图29-33
是_
196 数学 ·第29课 ·空间几何体及其表面积、体积
第30课 空间点、直线、平面之间的位置关系
普查讲30 空间点、直线、平面之间的位置关系
.
30
液民详关 平面的基本性质
直线与直线的位置关系
内容
符号表示
图形表示
作用
公理1
如果一条直线上的两点
在一个平面内，那么这 条直线在此平面内.
A∈1,B∈1,且A∈α, B∈a→lca.
l A B
a
用来判断直线是否在平面内
公理2
过 上的三 点，有且只有一个平面.
A,B,C三点不共线→有 且只有一个平面α,使得 A∈a,B∈a,C∈a.
①用来确定一个平面，为空 间图形平面化作准备；
②证明点线共面.
公理3
如果两个不重合的平面 有一个公共点，那么它 们 过该点 的公共直线.
P∈a,且P∈β→a∩β= 1,且P∈l.
①用来确定两个平面的交线；
②判断三点共线、三线共点
异面直线所成的角 ……
已知两条异面直线a,b, 过空间任一 点0作直线a'/la,b'//b, 我 们 把 a',b '所成的 _叫做异面直线a 与 b所成的角(或夹角). 异面直线所成角的范围是
位置关系的分类
共面直线：①相交直线：同一平面内，有且只有一 个公共点；
②平行直线：同一平面内，没有公共点 异面直线：不同在 一个平面内，没有公共点.
符号表示：不存在平面α,使得aca 且bCα
内容
符号表示
作用
公理4
平行于同一条
直线的两条直
线
设a,b,c是三条
直线，al/b,cl/b, 则
证明直线与直 线平行.
定理
空间中如果两个角的两边分别对应 平行，那么这两个角 .
求空间两直线 的夹角 .
直线与平面的位置关系 将旅
平面与平面的位置关系
直线在平面内
有无数个公共点，符号表示：aca
直线与平面相交
有且只有一个公共点，符号表示：anα=A
直线与平面平行
没有公共点，符号表示：all a
两个平面平行
没有公共点
符号表示：a/l β
两个平面相交
有一条公共直线，有无数交点在交线上
197
符号表示：a∩β=l
图30- 1
数学 · 第30课 · 空间点、直线、平面之间的位置关系
考 试 要求
*借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解以下公理和定理： 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.
定 理 ：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
两组题讲透
1. 平面的基本性质及应用
(5)(2019黑龙江大庆期末，5分)下列命题正确的是( )
A. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
“理解空间点、直线、平面的位置关系.
能利用公理、定理以及一些推论判断有关 命题的真假.
B. 四边形确定一个平面
复习大纲
C. 经过一条直线和一个点确定一个平面
D. 经过三点确定一个平面
小 积 累
空间点、直线、平面位置关系的判断 1.利用基本公理及其推论判断命题
a.空间点、线、面的位置关系
一利用公理1判断直线或点是否在平面内
公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这 条直线在此平面内.
◎ 利用公理2及其推论确定空间中的平面
公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
推论1:经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面.
推 论 2:经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面.
利用公理3确定空间中两平面的交线
公 理 3 :如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它 们有且只有一条过该点的公共直线.
(1)(经典题，5分)若直线上有两个点在平面外，则( )
A. 直线上至少有一个点在平面内
B. 直线上有无穷多个点在平面内
C. 直线上所有点都在平面外
D. 直线上至多有一个点在平面内
30
(2)(2018北京改编，6分)如图30 - 2所示，在三棱柱 ABC- A₁B₁C₁ 中 ，D,F,G 分别为AA₁,A₁C₁,BB₁ 的中点，证明：直线FG 与 平面BCD 相交.
2.构造模型判断空间线、面的位置关系
图30-2
图30-3
(6)(2018北京东城二模，5分)如图30 - 4所示，已知正方体 ABCD-A'B'C'D '的棱长为1,若过直线BD'的平面与该正方体的面 相交，交线围成一个菱形，则该菱形的面积为_
(3)(2016山东，5分)已知直线a,b 分别在两个不同的平面α,β 内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
图30-4
(4)(教材例题，5分)下列命题中正确的个数是( )
①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则 I//α;
b. 点共线、线共点、点线共面的证明
(7)(经典题，5分)如图30-5所示，ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是长方体，0 是B₁D₁ 的中点，直线A₁C 交平面AB₁D₁ 于点M, 则下列结论正确 的是( )
②若直线l 与平面α平行，则1与平面α内的任意一条直线都平行；
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与 这个平面平行；
④若直线l 与平面α平行，则I 与平面α内任意一条直线没有公 共点.
A.0 B.1
C.2 D.3
易 错 提 醒
1.做有关平面基本性质的判断题时，要抓住关键词，如“有且 只有”“只能”“最多”等.
图30-5
2.判断公理变形题时，要注意公理的条件是否缺失.
A.A,M,0 三点共线 B.A,M,0,A₁ 不共面
C.A,M,C,0 不共面 D.B,B₁,0,M 共面
3.判断点、线、面的位置关系时，要考虑点、线、面位置关系的 所有可能情况.
198
数学 ·第30课 ·空间点、直线、平面之间的位置关系
结合题意构造符合题意的直观模型，然后将命题利用模型直 观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了考虑不全造成的 解题错误.对于线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直 的位置关系的判断，可构造长方体或正方体，化抽象为直观 去判断 .
(8)(经典题，10分)如图30-6所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中 ，E,F 分别是AB,AA, 的中点.求证：
(I)E,C,D₁,F 四点共面；
③aC 平面α,bC 平面β,且a∩b=;
④不存在平面α,能使aCα 且bCα 成立. 上述结论正确的有( )
A.①④ B.②③
C.①③ D.②④
小 积 累
两条不同的直线a,b 的位置关系 直线a,b 有一个交点 →直线a,b 共面；
直线a,b 没有交点 →直线a,b 平行或异面. 异面直线的表示方法：
图30-6
(Ⅱ)CE,D₁F,DA 三线共点.
30
图30-8
(10)(2 019全国Ⅲ,5分)如图30-9,点N 为正方形ABCD 的中心， △ECD 为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD,M 是线段ED 的中点， 则( )
方 法 便 笺
共面、共线、共点问题的证明
图30-9
A.BM=EN, 且直线BM,EN 是相交直线 B.BM≠EN, 且直线BM,EN 是相交直线 C.BM=EN, 且直线BM,EN 是异面直线 D.BM≠EN, 且直线BM,EN 是异面直线
(11)(经典题，5分)如图30 - 10,G,N,M,H 分别是正三棱柱的顶 点或所在棱的中点，则表示直线GH,MN 是异面直线的图形的序号 为( )
①纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；
②辅助平面法：先证有关点、线共平面α,再证其余点、线共 平面β,最后证明平面α,β重合.
②证明点共线问题的两种方法
①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；
②直接证明这些点都在一条特定直线上.
③证明三线共点问题的步骤
①先证其中两条直线交于一点；
②再证交点在第三条直线上.证交点在第三条直线上时，第三条 直线应为前两条直线所在平面的交线，即利用公理3证明.
图30-7
① ② ③ ④ 图30-10
A.①② B.③④
C.①③ D.②④
空间两直线的位置关系
复习大纲《
掌握空间两直线的位置关系及其判定. 掌握异面直线所成角的求法.
a. 空间两直线位置关系的判定
(9)(2018四川眉山月考，5分)直线a,b 是异面直线是指：
①a∩b=Ø, 且 a 与 b 不平行；
②aC 平面α ,bC 平面β,且平面α∩平面β=Ø;
(12)(经典题，5分)已知平面a∩ 平面β=c, 直线aCa,a//c, 直线 bCβ, 且 b 与c 相交，则a 与 b 的位置关系是( )
A.平 行 B.相交
C. 异面 D. 上述三种都有可能
数学 ·第30课 ·空间点、直线、平面之间的位置关系 199
方 法 便 笺
判断两条空间直线是否异面
图30-11
b.求两条异面直线所成的角
(13)(2019陕西西安三模，5分)如图30-12,将正方形ABCD 沿对 角 线AC 折起，使得平面ABC垂直于平面ACD, 则异面直线AB 与 CD 所成的角为( )
图30-12
A.90° B.60°
C.45° D.30°
(14)(2019黑龙江齐齐哈尔期末，5分)如图30- 13,已知四面体
ABCD 中，E,F 分别是 AC,BD 的中点，若 AB=2,CD=4,EF 与 CD 所成角的度数为30°,则EF 与 AB 所成角的度数为( )
图30-13
A.90° B.45° C.60° D.30°
(15)(经典题，5分)如图30- 14所示，三棱锥 A-BCD 中 ，AB=
AC=BD=CD=3,AD=BC=2, 点M,N 分别是AD,BC 的中点，则异 面直线AN,CM 所成的角的余弦值是 .
(16)(2018全国Ⅱ,5分)在长方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中 ，AB=
BC=1,AA₁=√3,
则异面直线AD₁与 DB, 所成角的余弦值为( )
A
B
D
(17)(经典题，5分)如图30-15所示，四边形ABCD 和ADPQ 均为 正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上 ，E,F 分别 为AB,BC 的中点.设异面直线 EM 与AF 所成的角为θ,则 csθ的
最大值为
图30-15
方 法 便 笺
几何法求异面直线所成角的 一 般步骤
特别地，把异面直线转化到熟悉的、完整的几何体中，如正 方体、平行六面体等，利用几何体的性质更容易求两条异面 直线所成的角.
图30-16
随堂普查练30
1. (2019浙江杭州校级模拟，4分)在空间四边形ABCD 的 边AB,
BC,CD,DA 上 分 别 取 E,F,G,H, 如 果 EH,FG 交 于 一 点 P, 则( )
A.P 一定在直线BD上 B.P 一定在直线AC 上 C.P 在直线AC或BD 上
定理
过平面外一点与平面内一 点的直线和平面内不经过 该点的直线互为异面直线.
证明两条直线不可能平行、相交，从而可得这两 条直线异面.
平 移
选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条得到相交直 线，这里通常选择特殊位置的点，如线段的中点或端点， 也可以是异面直线中某一条直线上的特殊点.
证 明
证明所作的角是异面直线所成的角或其补角.
寻 找
在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之.
取舍
因为异面直线所成角θ的取值范围是0°0)
与直线x+ny-3=0 互相平行，且两者之间的距离是 √5,则 m+n 的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
方 法 便 笺
34
直线中的对称问题
图34-12
随堂普查练34 Ⅱ
1. (2021改编，9分)已知直线l₁ :x-y+1=0, 直线 l₂ :x+ay+3=
0.若直线I₁//L₂, 则 a= _,且l₁ 与 l₂ 间的距离为 _; 若直线l₁⊥l₂, 则 a=
2. (2019江苏广陵校级期中，5分)如果A(3,1),B(-2,k),C(8,11) 三点在同一条直线上，则k 的值是_
5. (经典题，5分)若点P 为 x 轴上的一 点，A(1,1),B(3,4), 则 IPAl+IPBI 的最小值是
6. (2019浙江温州期末，6分)若直线l₁:y=kx+1 与直线l₂ 关于点 (2,3)对称，则直线l₂ 恒过定点 ,l₁ 与l₂ 的距离的最大值 是_
7. (经典题，5分)在平面直角坐标系内，到点A(1,2),B(1,5), C(3,6),D(7,-1) 的距离之和最小的点的坐标是_
8. (2018河北模拟，5分)已知△ABC 的三个顶点分别是A(0,3), B(3,3),C(2,0), 若直线l:x=a 将△ABC分割成面积相等的两部 分，则a 的值是( )
A.√3 B C.1 D.√2
9. (2021改编，15分)已知△ABC 中，点A 的坐标为(1,2).
(I) 若 AC边上的高所在直线方程为x-2y+1=0,∠B 的平分线 所在直线方程为y=0, 求直线BC的方程及点C 坐标；
(Ⅱ)若过点C 的中线所在直线方程为2x-y-2=0, 平行于AB 边 的中位线所在直线方程为2x+y-9=0, 求 点C 坐标，及过点C 且 与 AB边平行的直线方程；
(Ⅲ)若平行于AB边的中位线所在直线方程为2x+y-9=0, 求过 点A 且与平行于AB的中位线垂直的直线l 的方程.
中心对称问题的两种类型及求解方法
①点关于点对称：若点M(x₁,γ₁) 和 N(x,y) 关于点 P(a,b) 对称，则由中点坐标公式得 进而求解.
②直线关于点对称：
a.在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已 知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
b.在已知直线上取一点，利用中点坐标公式求出它关于已知 点的对称点的坐标，再利用两直线平行，由点斜式得到所求 直线方程.
轴对称问题的两种类型及求解方法
①点关于直线对称：若两点P(x₁,y₁) 与 P₂(x₂,y2) 关 于 直线l:Ax+By+C=0 对称，则线段P₁P₂ 的中点在对称轴
l 上，而且连接P₁,P₂ 的直线垂直于对称轴l, 由方程组
可得到点P₁ 关 于I 对称的点
P₂ 的坐标(x₂,y₂) ( 其 中B≠0,x₁≠x₂).
②直线关于直线对称：有两种情况： 一是已知直线与对称轴 相交，二是已知直线与对称轴平行.一般转化为点关于直线 对称来解决.
3. (2019江苏，5分)在平面直角坐标系x0y 中 ，P 是曲线y=x +
上的一个动点，则点P 到直线x+y=0 的距离的最小值
是 ·
234 数学 ·第34课 ·直线方程与两条直线的位置关系
第35课 圆与方程
普查讲35 I 圆的方程
圆的定义与方程
圆的定义 平面内到定点的距离等于 的点的集合(轨迹)叫做圆.定点是圆心，定长是圆的半径.
两点间距离公式
圆的标准方程
展开整理
(x-a)²+(y-b)²=r²(r>0), 表示以 为圆心，以_ 为半径的圆 .
圆的一般方程
x²+y²+Dx+Ey+F=0(D²+E²>4F), 表示以 为圆心，以
为半径的圆.
注意
当_ 时，此方程表示的图形是圆；当 时，此方程表示一个点 );当 时，它
不表示任何图形.
点与圆的位置关系
圆的标准方程为(x-a²+(y-bP=P(r>0), 圆心C 的坐标为(a,b), 半径为r, 设 M 的坐标为(x%。,y。).
拓展
点 P(x₀,%) 与 圆x²+y²+Dx+Ey+
F=0(D²+E²>4F) 的位置关系： 点 P(x。,y。)在圆外台唱+y+Dx。+
Ey。+F>0;点 P(x₀,y。)在圆上→ x+x²+Dx₀+Ey 。+F=0; 点P(x₀, %。)在圆内台+38+Dx₀+Ey₀+Fr
|MC|=r
|MCI0.
图35-2
35
复习大纲
掌握圆的标准方程和一般方程的互化，灵 活地选择定义法或待定系数法求圆的方程.
b.利用几何法或待定系数法求圆的方程
(2) (2021汇编，35分)(I) 以线段AB:4x+3y-2=0(-1≤x≤5)
数学 ·第35课 ·圆与方程 235
35
为直径的圆的标准方程为
(Ⅱ)若圆C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1 相切，则圆C 的方程是
(Ⅲ)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M(0,√5) 在 圆C 上，
且圆心到直线2x-y=0 的距离 ,则圆C 的方程为
. (2016天津)
(IV) 过 点A(4,1) 的 圆C 与直线x-y=1 相切于点B(2,1), 则圆C 的方程为_
(V) 已知圆心在直线γ=x 上的圆与直线x+y=0 及 x+y+4=0 都相切，则圆的方程为_
(VI) 圆心在曲线 )上，且与直线2x+y+1=0 相切的 面积最小的圆的方程为_
(V) 若圆D 的半径为3,圆D 与 圆C:(x-3)²+(y-4)²=4 都与直 线y-2=0 相切，且相切于同一点，则圆D 的标准方程为 _ ·
小积累
确定圆心位置的技巧
在求圆的标准方程时，应尽量利用圆的几何性质去确定圆心， 这样可以大大减少计算量.一般可利用的圆心的几何性质如下：
圆心在过切点且垂 直于切线的直线上；
3
圆心在圆的任一直径(或对 称轴)上，且为直径的中点；
圆心在任意 一 条弦 的垂直平分线上；
N
4
两圆内切或外切时，切 点与两圆圆心三点共线.
图35-3
(3)(经典题，5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7) 的圆交 轴 于 M,N 两点，则|MN|=( )
A.2√6 B.8
C.4√6 D.10
变 式 思 考
(经典题，5分)一个圆经过椭的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_
方 法 便 笺
待定系数法求圆的方程
确定圆的方程的主要方法是待定系数法，选择标准方程和一 般方程的依据如下：
若已知条件与圆心(a,b) 和半径r有关(如给出圆心 坐标或圆心在某直线上等条件),则设圆的标准方程，依据 已知条件列出关于a,b,r 的方程组，从而求出a,b,r的值；
如果已知条件中圆心的位置不能确定，但给出圆上几点 的坐标，则选择圆的一般方程，设所求圆的方程为x²+y²+
Dx+Ey+F=0(D²+E²-4F>0), 由三个条件得出关于D,E,
F 的一个三元一次方程组，解方程组，确定D,E,F 的值 .
c. 求与圆有关的轨迹方程
(4)(2019江西上饶校级月考，12分)已 知 点P(0,5), 圆 C:x²+
y²+4x-12y+24=0.
(I) 求圆C 中过点P 的弦的中点的轨迹方程；
(Ⅱ)若点Q 是 圆C 上的动点，求PQ 中点M的轨迹方程.
方法便笺
与圆有关的轨迹问题的4种常见求法
直接法 直接根据题目的条件列出方程.
定义法 根据圆的定义列方程.
几何法 利用圆的几何性质列方程.
找到要求动点与已知点的关系，代入已知点满足的 代 入 法 关系式 .
图35-5
2. 与圆有关的最值问题
(5)(经典题，15分)已知实数x,y 满足方程x²+y²-4x+1=0.
(I )习的最大值和最小值；
复 习 大 纲
会利用数形结合的思想解决与圆有关的最 值问题.
图35-4
数学 ·第35课 ·圆与方程
236
(Ⅱ)求y-x 的最大值和最小值； 3. (2019宁夏校级期中，5分)已知圆心(a,b)(a>0,b0).
过两圆交点的圆系方程
a. 利用几何法和代数法处理直线与圆的位置关系问题
(6) (2019北京海淀校级期末，5分)已知直线l 的方程为αx+by=
若两圆C₁:x²+y²+D,x+E,y+F₁=0 与C₂:x²+y²+
D₂x+E₂y+F₂=0 相交于A,B 两点，则过A,B 两点 的圆系方程为x²+y²+Dx+E,y+F₁+λ(x²+y²+
D₂x+E₂y+F₂)=0(λ≠-1, 不包括C₂).
注意：当两圆相切时，方程表示过切点且与两圆都相
切的圆系方程；当λ=-1时，方程表示公共弦AB所在
直线的方程.
过圆与直线交点的圆系方程
1,且a²+b²=1, 则直线l 与圆x²+y²=1 的位置关系是( )
A. 相 交 B. 相 切
C. 相离 D. 不确定
小提示
设圆C:x²+y²+Dx+Ey+F=0 与直线l:ax+by+
c=0 交于A,B 两点，则过A,B 两点的圆系方程为 x²+y²+Dx+Ey+F+λ(ax+by+c)=0.
变式思考
判断直线与圆的位置关系一般有几何法和代数法两种方法. 代数法具有一般性，但是计算量较大，能用几何法，尽量不要 用代数法.
(2019江苏扬州期末，5分)已知圆C:x²+y²=4, 直线 l:y-1= k(x+1), 则直线l 与圆C 的位置关系是
注意：若圆C与直线l 切于点A, 则方程表示与直线l
图35-8
(9) (经典题，12分)已 知 点P( 2,2), 圆 C:x²+y²-8y=0, 过点 P 的动直线l 与圆C 交于A,B 两点，线段AB的中点为M,0 为坐标 原点.
(I) 求 M 的轨迹方程；
相切于点A 的圆系方程.
小提示
若直线经过圆内一点，则直线与圆必定相交.
(7) (2021汇编，10分)(I) 若直线x-y+1=0 与 圆(x-a)²+
y²=2 有公共点，则实数a 的取值范围是( )
A.[-3,-1] B.[-1,3]
C.[-3,1] D.[-∞,-3]U[1,+∞)
(Ⅱ)已知直线l:y=x+b 与 曲 线y=√ 1-x² 有两个不同的公共 点，则实数b 的取值范围是
易错提醒
35
有关动直线与圆的位置关系问题， 一定要注意看清运动中的 不变量，准确画出图形(数形结合思想),并注意方程中的隐含 条件，判断方程表示的是圆还是圆的一部分.
(Ⅱ)当 |OP|=|OM |时，求l 的方程及△POM的面积.
b. 直线与圆相交时的弦长和面积问题
(8) (2021汇编，20 分 )(I) 直线l 与 圆(x-1)²+(y-1)²=1 相交 于A,B 两点，且A(0,1). 若 IABI=√2, 则直线l 的斜率为 (Ⅱ)已知直线ax+y-2=0 与圆心为C 的 圆(x-1)²+(y-a)²=
4相交于A,B 两点，且△ABC为等边三角形，则实数a= (Ⅲ)已知直线l:mx+y+3m-√3=0 与 圆x²+y²=12 交 于A,B 两 点，过A,B 分别作l 的垂线与x 轴交于C,D 两点，若|AB|=2√3, 则 |CD|= _ (2016全国Ⅲ)
(IV) 过直线2x-y+3=0 与 圆x²+y²+2x-4y+1=0 的交点，且
面积最小的圆的方程是
数学 ·第35课 ·圆与方程 239
(Ⅲ)过直线l:y=x-2 上任意一点P 作 圆C:x²+y²=1 的两条切 线，切点分别为A,B, 当切线长最小时，△PAB的面积为 _· (IV) 已知圆C 的圆心坐标是(0,m), 半径是r. 若直线2x-y+3=0
(10) (经典题，6分)在 圆x²+y²-2x-6y=0 内，设过点E(0,1) 的 最长弦和最短弦分别为AC 和 BD, 求四边形ABCD的面积.
与圆相切于点A(-2,-1), 则 m= ,r= .(2019
浙江，6分)
方法便笺
圆的切线方程的求法
求 过 圆C上 一 点P ( x ₀ , y 。)的 切 线 方 程
第一步：求切点P与圆心C连线所在直线CP的斜率.
第二步：①若 直 线CP 的斜率不存在，由垂直关系得切 线的斜率为0,则切线方程为y=y%;
②若直线CP的斜率为0,由垂直关系得切线的斜率不存 在，则切线方程为x=x₀;
③若直线CP的斜率为k(k≠0), 由垂直关系得切线的 斜率 ,然后利用点斜式方程可求出切线方程.
变式思考
(2019四川宜宾模拟，8分)已知直线L₁:3x+y-6=0 与圆心为 M(0,1), 半径为 √5的圆相交于A,B 两点，另一直线l₂:2kx+2y-
3k-3=0 与圆M 交 于C,D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值.
求过圆外一点(x₀,%。)的圆的切线方程(切线斜率存在)
几何法：设切线方程为y-y₀=k(x-x。), 即kx-y+
y₀-kx₀=0. 由圆心到直线的距离等于半径求得k, 即 可得出切线方程.
小提示
经过圆内一点的最长弦就是经过该点的直径，过这点且与最 长弦垂直的弦就是最短弦.
代数法：设切线方程为y-y₀=k(x-x。) , 即kx-y+
y₀-kx₀=0. 代入圆的方程，得到一个关于x( 或y) 的 一 元二次方程，由△=0,求得k, 即可得出切线方程.
注 意：求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位 置关系，然后求切线方程.若点在圆上(即为切点),则过该点 的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条(若通 过上述方法只求出一个k, 则说明另一条切线的斜率一定不存 在，此时另一条切线的方程为x=x₀).
方法便笺
求直线与圆相交弦的弦长
若直线y=hx+b 与圆交于A,B 两点，则直线被圆截得的弦 长IABI 有如下两种求法：
几何法
根据弦心距d, 半 径r以及半弦 长构成直角三角形，可得弦长 IABI=2√r²-d² .
图35-10
代数法
设点A(x₁, y₁),B(x₂,y₂), 联立直线与圆的方程，消 元得到一个一元二次方程，借助根与系数的关系，利 用弦长公式 IABI=√ 1+k²·√(xi+x₂)²-4x,x2 或 IABI=
)求解.
注意讨论斜率不存在的情况.
提示：当直线与圆相交时，几何法求弦长较方便， 一般不用 代数法.
图35-9
35
(12) (2019江苏扬州期末，5分)已知直线l:x+ky-2+3k=0 过定 点 P, 过点P 作圆C:x²+y²+4x-4y+7=0 的两条切线，切点分别 为 A,B, 则直线AB 的方程为
小提示
切点弦方程的求法：直接通过求两切点坐标再求切点弦方程 的运算量太大，较好的方法是只设出切点坐标，但不具体求 出，而是利用“两点确定一条直线”和直线方程的定义求得两 切点所在的直线方程，即“设而不求”的思想.
(13) (2019江苏南京四模，5分)在平面直角坐标系x0y 中，圆C 经 过 M(1,3),N(4,2),P(1,-7) 三点，且直线l:x+ay-1=0(a∈
C.直线与圆相切时的相关问题
(11) (2021汇编，21分)(I) 若 点P(1,2) 在以坐标原点为圆心的 圆上，则该圆在点P 处的切线方程为
(Ⅱ)已知圆x²+y²-4x+3=0, 那么过点(1,-2)的圆的切线方程 是 ·
R) 是 圆C 的一条对称轴，过点A(-6,a) 作圆 C 的一条切线，切点 为 B.则线段AB的长度为
变式思考
240
(2019贵州贵阳一模，8分)已知直线l:x+y-6=0, 过直线上一点 P 作圆x²+y²=4 的两条切线，切点分别为A,B, 求四边形 PAOB 面
数学 ·第35课 ·圆与方程
积的最小值(0为坐标原点),以及此时四边形PAOB 外接圆的 方程.
小 积 累
圆的切线的常用性质
图35-11
小积累
与圆的切线有关的速算结论
? ① 过 圆x²+y²=r² 上一点 P(x₀,y%) 的圆的切线方程为x。x+ y₀y=r² .
② 过 圆(x-a)²+(y-b)²=r² 上一点P(x 。,y) 的圆的切线
方程为(x₀-a)(x-a)+(y-b)(y-b)=r² .
③ 过 圆(x-a)²+(y-b)²=r² 外 一 点P(x₀,y 。) 作圆的两条 切线，则两切点所在的直线方程为(x₀-a)(x-a)+(y₀-b) · (y-b)=r² .
④ 过 圆x²+y²+Dx+Ey+F=0(D²+E²-4F>0) ( 或(x-a²+ (y-b)²=r²) 外一 点P(x₀,y 。) 引圆的切线，切点为T, 则切线长为IPTI=√3+y²+Dx₀+Ey₀+F
( 或IPTI=√(x 。-a)²+(y 。-b)²-²).
图35-12
(14)(经典题，5分)过点P(1,√3)作 圆x²+y²=1 的两条切线，切 点分别为A,B, 则PA·PB= ·
变 式 思 考
(2019全国模拟，5分)若圆C 的圆心在直线y=x-2 上，且半径为
1,过点P(-1,1) 小值为( )
作 圆C 的切线，切点分别为A,B, 则PA·PB 的 最
B
C
D.2√2-3
d. 利用圆的几何性质求解相关问题
(15)(经典题，5分)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心 且与直线 mx-y-2m-1=0(m∈R) 相切的所有圆中，半径最大的 圆的标准方程为_ ·
(16)(2018全国Ⅲ,5分)直线x+y+2=0 分别与x 轴、y 轴交于 A,B 两点，点P 在 圆(x-2)²+y²=2 上，则△ABP面积的取值范围 是( )
A.[2,6] B.[4,8]
C.[√2,3√2] D.[2√2,3√2]
小 积 累
圆上 一 点到某直线的距离的最值问题
求圆上一点到某直线的距离的最大值和最小值，可借助于圆 心到该直线的距离d.
图35-13
(17)(2019北京房山模拟，5分)已知点A(-a,0),B(a,0)(a>0),
若圆(x-2)²+(y-2)²=2 上存在点C 使得∠ACB=90°, 则 a 的
最大值为
变 式 思 考
(经典题，5分)已知圆C₁:(x-2)²+(y-3)²=1, 圆 C₂:(x-3)²+
(y-4)²=9,M,N 分别是圆C₁,C₂ 上的动点，P 为 x 轴上的动点，则 IPMI+IPNI 的最小值为( )
A.5√2-4 B.√ 17- 1
C.6-2√2 D.√ 17
若直线l 与 圆C 相切，则圆心C 到直线l 的距离d=r(r 为圆C 的半径) .
2 若直线l 与 圆C 相切于点P, 则 l⊥PC.
过圆外一点P 向圆C 作切线，切点为Q, 则IPCP=IPQP+ r²(r为圆C 的半径) .
当直线1与圆C 相交时，最大值a=4+r,
最小值 d=-0.
直线与圆相交
当直线1与圆C 相切时，最大值d=2r,
最小值d=0.
直线与圆相切
当直线1与圆C 相离时，最大值d=d+r,
d-r.
最小值d=
直线与圆相离
35
数学 ·第35课 ·圆与方程
241
小 提 示
圆外一点P 为 |PC|-r,
和圆上一点之间的最大距离为|PC|+r, 最小距离 其中C 为圆心，r为圆的半径.
小 提 示
判断两圆的位置关系，一般使用几何法，即利用圆心距和两圆 半径之差，两圆半径之和的大小关系来判断.
(18)(经典题，5分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x²+y²=4
上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0 的距离为1,则实数c 的 取值范围是
小 积 累
圆 上 到 直 线l 的距离为定值的点的个数问题的解题思路
b. 求两圆公共弦的长度和所在的直线方程
(21)(2019贵州遵义期中，12分)已知圆C₁ :x² +y²+2x+8y-8=0, 圆 C₂:x²+y²-4x-4y-2=0.
(I) 求两个圆的公共弦所在直线的方程；
到直线l 的距离为d。的两条 直线l,,l₂ 和圆的位置关系
圆上有几个点到已知直 线 l 的距离为定值d。
圆心到直线L的距离 d 与半径的问题
图35-14
(Ⅱ)求两个圆的公共弦长.
(19)(2019浙江绍兴上虞区期末，4分)已知圆(x+1)²+y²=12
的圆心为C, 点 P 是直线l:mx-y-5m+4=0 上的点.若圆C 上存 在 点Q 使∠CPQ=60°, 则实数m 的取值范围是( )
小 提 示
C.
当两圆相交(相切)时，两圆方程(x²,y² 项的系数相同)相减即 可得公共弦(公切线)所在的直线方程(解答题需要给出证明).
方 法 便 笺
变 式 思 考
(经典题，5分)已知N 为 圆x²+y²=1 上的一个动点，平面内动点 M(x₀,y。)满 足ly。l≥1 且∠OMN=30°(0 为坐标原点),则动点M 运动的区域面积为( )
求两圆相交的公共弦长
若两圆相交，则公共弦长IABI 有两种求解方法：
几何法
B D
A C
A(x,y.)
利用两圆方程求出公共弦 所在的直线方程，再利用 勾股定理求出公共弦长.
C₁
B(x₂, y₂
圆与圆的位置关系
354.
其中弦心距d 可由点(圆 心)到直线(公共弦所在 的直线)的距离公式求得
代数法
将两圆方程联立，解出两 交点坐标，再利用两点间 距离公式求出公共弦长.
方程组解的个数⇔两圆交
点个数
方程组的解即为两圆交点
的坐标
IABI=2√²-d²
a.判断圆与圆的位置关系的方法
(20)(2016山东，5分)已 知圆 M:x²+y²-2ay=0(a>0) 截直线 x+y=0 所得线段的长度是2 √ 2,则圆 M 与 圆N:(x-1)²+
提 示：①求公共弦长时，几何法通常比代数法简单且易求；
②两圆的公共弦被两圆圆心连线垂直平分.
图35-15
(y-1)²=1 的位置关系是( )
A. 内 切 B. 相交
C. 外切 D.相离
数学 ·第35课 ·圆与方程
242
复习大纲
掌握用几何法处理圆与圆的位置关系的相 关问题的过程，了解几何法和代数法在处理 圆与圆的位置关系的有关问题时的优劣.
会求圆与圆相交时公共弦所在的直线方程 和公共弦长.
C.利用已知条件中的等式确定隐性圆
(26)(经典题，5分)已知点A(2,3), 点 B(6,-3), 点 P 在直线 3x-4y+3=0 上，若满足等式AP·BP+2λ=0 的点P 有两个，则实 数λ的取值范围是 ·
(27)(2016江苏，16分)如图35-17所示，在平面直角坐标系x0y 中，已知以M 为圆心的圆M:x²+y²-12x -14y+60=0 及其上一 点 A(2,4).
C.根据圆与圆的位置关系求参数的值或范围
(22)(2019江苏南京秦淮区校级月考，5分)在平面直角坐标系
xOy中，已知圆M:(x-a)²+(y-2a)²=4, 圆 N:(x-2)²+
(y+1)²=4. 若圆M 上存在一点P, 使得以点P 为圆心，1为半径的 圆与圆N 有公共点，则实数a 的取值范围为
变 式 思 考
(2019山东聊城三模，5分)已知两圆 和
x²+y²-2by+b²-1=0 恰有三条公切线.若a∈R,b∈R, 且ab≠0,
的最小值为( )
A.3 B.1
C D
小积累
两圆公切线条数的判断
判断两圆公切线的条数，实质就是判断两圆的位置关系.
图35-17
外离⇔两圆有4条公切线；
② 外切台两圆有3条公切线；
③ 相交⇔两圆有2条公切线；
④ 内切⇔两圆有1条公切线；
⑤ 内含⇔两圆无公切线.
(I) 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x=6 上，求 圆N 的标准方程；
图35-16
(23)(2019江苏淮安校级月考，9分)已知在平面直角坐标系中，
点Q(2,0), 圆 C的方程为(x-a)²+y²=9(a>5). 若圆C 上存在点 M, 使得10MI=21MQI(0 为坐标原点)成立，求实数a 的取值范围
(Ⅱ)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B,C 两点，且IBCI= 10AI, 求直线l 的方程；
(Ⅲ)设点T(t,0) 满足：存在圆M 上的两点P 和Q, 使得TA+TP= TQ,求实数t 的取值范围.
5. 隐性圆在解题中的妙用
35
复 习 大 纲
探索问题的几何特征，挖掘与圆有关的条 件，将“隐性圆”转化为“显性圆”,巧妙利用 圆的有关性质解题.
随堂普查练35 Ⅱ
a.利用圆的定义确定隐性圆
(24 )(2019江苏南京模拟，5分)在平面直角坐标系xOy 中，已知MN 是圆C:(x-1)²+(y-2)²=2 上的一条弦，且CM⊥CN,P是 MN的 中点.当弦MN在圆C 上运动时，直线l:x-3y-5=0 上存在两点A,
1. (2019重庆渝中区校级期末，5分)已知实数m≥√2,则直线1:mx+ y+2=0 与圆C:(x+1)²+(y-m)²=m 的位置关系为( )
A. 相交 B. 相切
C.相离 D. 相交或相切
B, 使得∠APB≥2 恒成立，则线段AB长度的最小值为 ·
2. (经典题，5分)一条光线从点(-2,-3)射出，经y 轴反射后与圆
b. 已知两定点A,B, 利用动点P 满足PA⊥PB确定隐性圆
(25)(2018四川凉山模拟，5分)若实数a,b,c 成等差数列，点 P(-1,0) 在动直线ax+by+c=0 上的射影为M, 点 N(3,3), 则线 段MN长度的最大值为_ ·
(x+3)²+(y-2)²=1 相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A B 或
C
数学 ·第35课 ·圆与方程 243
3. (2016全国 I,5 分)设直线y=x+2a 与 圆C:x²+y²-2ay-2=0 相交于A,B 两点，若 A|B|=2√3, 则 圆C 的面积为
4. (2021汇编，10分)(I) 若 圆x²+y²-4mx+(2m-3)y+4=0
截直线2x-2y-3=0 所得的弦最长，则实数m 的值为
( Ⅱ ) 过 点M(1,2) 的 直 线l 与 圆C:(x-3)²+(y-4)²=25 交 于 A,B 两 点 ，C 为圆心，当∠ACB最小时，直线l 的方程是_
5. (经典题，12分)已知过点A(0,1) 且斜率为h 的 直 线l 与 圆C: (x-2)²+(y-3)²=1 交 于M,N 两点 .
(I) 求 k 的取值范围；
9. (2019天津期末，5分)已知圆C:x²+y²-6x+8=0, 由 直 线y= x-1 上一点向圆引切线，则切线长的最小值为( )
A.1 B.2 C.√2 D.√3
10. (2018北京，5分)在平面直角坐标系中，记d 为 点P(csθ,sinθ) 到直线x-my-2=0 的距离，当θ,m 变化时，d 的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11. (2019河北石家庄期末，5分)已知圆0:x²+y²=5, 直 线l:xcsθ+
. 设圆0上到直线l 的距离等于2的点的个数 为h, 则 k=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
12. (经典题，5分)设两圆 C₁,C₂ 都和两坐标轴相切，且都过点 (4,1),则两圆心的距离 |C₁C₂ I =( )
A.4 B.4√2 C.8 D.8√2
( Ⅱ ) 若OM·ON=12, 其中0为坐标原点，求IMNI.
6. (经典题，5分) 设m,n∈R, 若 直 线l:mx+ny-1=0 与 x 轴相交 于 点A,与 y 轴相交于点B, 且 l与 圆x²+y²=4 相交所得弦的长为
2,点0为坐标原点，则△AOB面积的最小值为_
13. (2019浙江杭州校级模拟，4分)两圆x²+y²-2my+m²-1=0
和 x²+y²-4nx+4n²-9=0 恰有 一 条公切线 . 若m ∈R,n∈R, 且 mn≠0, 则 mn 的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
14. (2019江苏南通模拟，14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C₂
过 点,且与圆外切于点 (I) 求 圆C₂ 的方程；
7. (2019浙江模拟，4分)已 知 动 直 线 l 过 点A(2,-2), 当 圆 C: x²+y²-4y=0 上的点到直线I 的距离取得最大值时，直线l 在 y 轴 上的截距是( )
35
A.2 B C.-3 D.3
(Ⅱ)设斜率为2的直线1分别交x 轴负半轴和y 轴正半轴于A,B 两点，交圆C₂ 在第二象限的部分于E,F 两点，且IAEI=IFBI.
(i) 求 直 线l 的方程；
8 . (经典题，5分)如图35 - 18所示，已知圆 C 与 x 轴 相 切 于 点 T(1,0), 与 y 轴正半轴交于两点A,B(B 在 A的上方),且IABI=2.
图35-18
244
(I) 圆 C 的标准方程为 ;
( Ⅱ ) 圆C 在 点B 处的切线在x 轴上的截距为
(ii) 若 P 是 C₁ 上的动点，求△PEF 的面积的最大值.
15. (2019南昌模拟，5分)已知在平面直角坐标系中，点A(2√2,0), B(0,1) 到直线l 的距离分别为1,2,则这样的直线l 共有 条.
数学 ·第35课 ·圆与方程
第36课 椭圆
普查讲36 I 椭圆的定义、标准方程及几何性质
一张图学透
平面内到两定点 F,F₂ 的 距 离 之 和 等 于 常 数 2a(2a>IF,F₂2) 的点的轨迹叫做椭圆 . 两个定点F₁,F₂ 叫 做 椭 圆 的焦点，两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距 .
注意：
在椭圆的定义中，2a>1F,F²l 这一条件必不可少：
③
当2a>IFF₂ 时，动点的轨迹是椭圆； 当 时，动点的轨迹是线段； 当 时，动点的轨迹不存在.
焦点在x 轴上：
标准 方程
图形
焦点在y 轴上： (a>b>0)
特 有 性 质
范围
lxl≤a,Iyl≤b
A,(-a,0),A₂(a,0),B₁(0,-b),B₂(0,b)
焦 点 坐 标
F₁(-c,0),F₂(c,0)A|
对称性：椭圆是轴对称图形，对称轴：_ ;椭圆是中心对称图
形，对称中心：
长轴和短轴：长轴 A,A₂ 的长为 长半轴长为 ;短轴 B,B₂ 的长
为 ,短半轴长为 焦距：IF₁F₂l=_
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比为离心率.
36
,且e∈
a,b,c的关系： =c²
245
椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度：
当e 越接近于1时，c 越接近于a, 从 而 b=Ja²-2 越小，因此椭固越扇；
当e 越接近于0时，e越接近于0,从而 6=√a²-2 越接近于a, 因此祐圆越接
近于圆]
图36-1
数学 ·第36课 ·椭圆
*了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用
*经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质
*了解椭圆的简单应用.
三组题讲透
1. 椭圆定义的应用
熟练掌握由椭圆上一点与两个焦点所组成 的焦点三角形中的数量关系，会解决焦点三 角形的周长和面积问题.
(4)(2018江西模拟，5分) 设F₁,F₂ 分别是椭的左、右 焦点，若椭圆上存在一点P, 使(OP+OF₂)·PF₂=0(0 为坐标原 点),则△F₁PF₂ 的面积是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
变 式 思 考
a.椭圆定义的直接应用
(1)(2018定远模拟，5分)如图36-2所示，已知椭圆C 的中心为原点
(经典题，5分)设椭圆 ·的两焦点分别为F₁,F₂, 点 P 在 椭圆上，若△PF₁F₂ 是直角三角形，则△PF₁F₂ 的面积为( )
0,F(-2√5,0) 为 C 的左焦点，P 为 C 上一 点，满足|OP|=|0F|, 且 |PF|=4, 则椭 圆 C 的标准方程为( )
B C D
D.6 或 3
A.3 B.3 或- C
小 积 累
椭圆中“焦点三角形”的有关性质
图36-2
椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点 三角形”.一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式 等知识,建立关于|AF,I+|AF₂ |, |AFI²+|AF₂ I², |AF|AF₂ | 之 间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周 长及角的有关问题.
b.焦点三角形的周长问题
性质1: |AF|+|AF₂|=2a, BF,|+|BF₂|=2a.
拓展：
△AF₁F₂ 的周长为 |AF|+|AF₂ |+ |F₁F₂=2a+2c,△ABF₂ 的周长 为|AF|+|BF|+|AF₂+|BF₂=4a.
(2)(2018天津模拟，5分)已知椭圆的方程
它的两个焦点分别为F₁,F₂, 且 |F₁F₂|=8, 弦 AB 过 F₁, 则△ABF₂ 的周长为( )
A.10 B.20 C.2√41 D.4√41
小 积 累
性质2:4c²=|F₁F₂²=|AF₁²+|AF₂²-2|AF,|AF₂|cs θ .
若题目条件能转化为动点到两定点的距离之和为常 数，考虑利用椭圆的定义解题；
② 遇到椭圆上的点到焦点的距离时，首先应考虑利用椭 圆的定义来解题；
涉及焦点三角形时，考虑利用椭圆的定义解题.
图36-3
c.焦点三角形的面积问题
(3)(2021改编，5分)已知椭圆C:的左、右焦点分别为 F₁,F₂,P 为该椭圆上一点，且满足∠F₁PF₂=60°, 则△PF₁F₂ 的面 积 为
变 式 思 考
(2021改编，5分)若AB 是过椭中心的弦，如图36-4所 示 ，F₁,F₂ 分别为椭圆的左、右焦点，则△F₁AB 面积的最大值为( )
36
图36-4
常利用椭圆定义解题的几种情况
B.√3
图36-5
D.2√3
C.2
A.4
数学 ·第36课 ·椭圆
246
性质3:当A为短轴的端点时，∠F,AF₂最大 .
即点A是短轴端点时取等号，
上单调递减，二当A为短轴的端点时，∠FAF₂ 最大.
性质4:
b, 即A为短轴的端点时，△AF₁F₂的面积最大，最大值为bc.
推导过程：由性质3的推导过程得(
(5)(2019全国Ⅲ,5分)设F₁,F₂ 为椭圆C 的两个焦
点 ，M 为 C 上一点且在第一象限.若△MF₁F₂ 为等腰三角形， 则 M的坐标为 .
2. 求椭圆的标准方程
熟练使用定义法和待定系数法求椭圆的标 准方程，并能根据已知条件结合椭圆的定义 和几何性质建立关于a,b,c的方程组.
a.利用定义法求椭圆的标准方程(与椭圆有关的轨迹问题)
(6)(2018广东模拟，5分)过点A(2,0),且与圆x²+4x+y²- 32=0 相内切的动圆的圆心轨迹方程为_
(7)(2019全国I,5 分)已知椭圆C 的焦点为 F₁ (-1,0), F₂(1,0), 过F₂ 的直线与C 交于A,B 两点.若IAF₂I=2IF₂BI, IABI=IBF₁ I, 则 C 的方程为( )
A
C
B
D
b.利用待定系数法求椭圆的标准方程
(8)(2021汇编，16分)求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(I) 焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,3 √2);
(Ⅱ)经过两点(2,- √2),
;
(Ⅲ)过点(2,- √3),且与椭圆 有相同的离心率；
(IV) 过点M(2,√6), 且与椭圆9x²+5y²=45 有相同的焦点.
小提示
在椭圆的标准方程中，根据x²,y²对应的分母的大小可以确定椭 圆的焦点在哪条坐标轴上：x² 对应的分母大，焦点就在x 轴上； y²对应的分母大，焦点就在y 轴上.
小积累
待定系数法求椭圆方程的不同设法
①焦点在x轴上的椭圆方程可设为
焦点在y轴上的椭圆方程可设为 焦点位置不确定的椭圆方程可分类讨论或者直接设为 mx²+ny²=1(m>0,n>0,m≠n).
② 与椭圆)共焦点的椭圆方程可设为
③与椭圆- )共离心率的椭圆方程可设
图36-6
(9)(经典题，5分)设F₁,F₂ 分别是椭圆 的左、右焦点，过点 F₁ 的直线交椭圆E 于A,B 两点.若|AF₁|= 3|F₁B|,AF₂⊥x 轴，则椭圆E 的方程为
小 提 示
题目条件中涉及线段长的比例关系，常转化为向量的关系式，利 用向量的坐标运算求解.
36
247
数学 ·第36课 ·椭圆
3. 椭圆的几何性质及其应用
圆 F₂ 相切于点P, 则椭圆的离心率为( )
复习大纲
数形结合理解椭圆的几何性质，其中椭圆 离心率是高考的考查热点，会利用椭圆的定 义和几何性质求解椭圆的离心率及其取值 范围
掌握椭圆中常见的构造不等关系的方法， 以此求解参数的取值范围.
A.√3- 1
C
(11)(2021汇编，10分)(I)
B D
分别过椭圆
a.求椭圆离心率的常用方法
(10)(2021汇编，25分)( I) 已 知 椭
左、右焦点分别为F₁,F₂, 过 点F₂ 的直线交椭圆于P,Q 两 点 ， 且IPF₁I:IPQI:IQF₁I=2:3:4, 则椭圆的离心率为( )
左、右焦点F₁,F₂ 所作的两条互相垂直的直线 l,l2 的交点在椭圆 上，则此椭圆的离心率的取值范围是_
B
D
是椭圆C 的两个焦点，P 为
A
C
(Ⅱ)已知F₁,F₂
(Ⅱ)过椭圆C )的左顶点A 且斜率为k 的 直 线交椭圆C 于另一 点B, 且 点B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点F,
,则椭圆C 的离心率的取值范围是
小 提 示
C 上的点，0为坐标原点.若△POF₂ 为等边三角形，求 C的离心率.
(2019全国Ⅱ节选)
解析几何中解题的关键就是把题目中的几何条件代数化.如：点 在曲线上、相交、共线、以某线段为直径的圆经过某点、夹角、垂 直、平行、中点、角平分线、中点弦等，掌握这些几何关系的常见 代数表达至关重要.
方法便笺
求离心率的方法
(①直接求出a,c: 利用离心率公 求解.
由a与b的关系求离心率：利用变形
由椭圆的定义求离心率： 其中2a是椭圆上 任意一点到两焦点的距离之和，2c是焦距，从而可与 焦点三角形联系起来.
(Ⅲ)已知椭圆C: 的左、右顶点分别为A₁, A₂, 且以线段A₁A₂为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0 相切，则椭圆
④ 构造a,c 的齐次式：离心率e的求解过程中可以不求出
a,c 的具体值，而是得出a,c 的齐次关系式，从而求得e.
C 的离心率为(
)( 2017全国Ⅲ)
B D
求离心率取值范围的方法
C.
如果a,b,c 中有一个为定值，通常转化为求未知两个
量中某个量的取值范围，进而结合a²=b²+c2 确定e的取 值范围.
如果a,b,c 均未确定，则常采用构造a,c 的齐次不等 式的方法求解.
36
注 意：求椭圆离心率的取值范围时，要注意椭圆离心率自身 的范围e∈(0,1).
图36-7
(IV) 已知0为坐标原点，F 是椭圆C:的 左 焦 点 ，A,B 分别为C 的左、右顶点.P 为 C 上一点，且PF⊥x 轴.过 点A 的直线l 与线段PF 交于点M, 与y 轴交于点E. 若直线 BM经 过 0E 的中点，则C 的离心率为( )(2016全国Ⅲ)
A B
b.利用椭圆上的点到焦点距离(焦半径)的范围构造不等关系
(12)(2018宜昌模拟，5分)已 知 F₁,F₂ 分别是椭圆 C
C D
1(a>b>0) 的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P, 使得线段PF, 的中 垂线恰好经过焦点F₂, 则椭圆C 的离心率的取值范围是 _
248
(V) 椭[ )的左、右焦点分别是F₁,F₂, 以 F₂ 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P, 若直线PF, 恰好与
数学 ·第36课 ·椭圆
小 积 累
(14)(2019全国Ⅱ节选，7分)已知 F₁,F₂ 是 椭 圆C: (a>b>0) 的两个焦点，P 为C 上的点，0为坐标原点.如果存在点 P, 使得 PF₁⊥PF₂, 且△F₁PF₂ 的面积等于16,求b 的值和a 的 取 值范围.
椭圆的焦半径及其最值
点 P(x₀,% 。) 是椭圆 上任意一点，F₁, F₂ 分别为椭圆的左、右焦点，则 |PF|=a+ex,|PF₂ |=a-ex.
d. 利用椭圆顶点三角形的性质构造不等关系
(15)(2017全国I,5 分) 设A,B 是椭圆 长轴的两个 端点，若 C 上存在点 M 满足∠AMB=120°, 则 m 的取值范围 是( )
A.(0,1)U[9,+∞) B.(0,√3)U[9,+∞)
C.(0,1)U[4,+∞) D.[0,√3]U[4,+∞)
小 积 累
椭圆中“顶点三角形”的有关性质
由长轴的两个端点或短轴的两个端点，加上椭圆上一点组成
的三角形称为“顶点三角形”.
y个
最 = 1
(a>b>0) P(x₀,y%) 一
F(-c,0) 0 F₂(c,,0) x
由两点间距离公式可得 由点P 在椭圆上可得
PF|=√(x+c)²+(y-0)²
=a+ex。
同理可得[PF₂ |=a-ex。
结论：椭圆上一点到焦点距离的最大值为a+c, 最小值为a-
c(当x。=a时 ，[PF₁|=a+c,|PF₂|=a-c; 当x₀=-a 时， |PF|=
a-c,|PF₂|=a+c).
注：解答题中使用时需给出证明.
① ②
C.利用椭圆的范围构造不等关系
(13)(2021 改编，5分)已知椭圆的标准方程为坐 标原点，椭圆上至少有20个不同的点 P₁ (i=1,2,3,…) 使得 10P₁1,1OP₂I,IOP₃1, … 组成公差为d(d>0) 的等差数列，则d 的 最大值为( )
A. B C D
小 积 累
椭圆上的点到椭圆中心的距离
椭圆的长轴端点到椭圆中心的距离最大，短轴端 点到椭圆中心的距离最小.
设点P(x₀,%。)为椭圆 任意一 点，0为坐标原点(椭圆的中心),则
结论
证明过程
36
图36-8
注意：当点C在 椭运动时(不与椭 圆的顶点重合),直线AC和直线BC 的斜率乘积也为定值
∵-a≤x₀≤a,
(A,B 分别为长轴或短轴的端点),
图36-10
249
∴当x₀=0 时， |PO|取得最小值b, 此时点P位于 短轴端点处；当x=±a 时， |PO| 取得最大值a, 此时点P 位于长轴端点处.
图36-9
数学 ·第36课 ·椭圆
性质1:当点C 运动到点M 时，△ABC 的面积最大；∠ 最 大(如图①)或最小(如图②) .
性质2:当 点C在椭圆1(a>b>0)_ 上运动时(不 与 A,B 重合),直线AC 和直线BC的斜率乘积为定值，
推导过程：如图①,设点C(x。,y。),则· 整
e.与焦半径和、差有关的最值问题
(16)(经典题，5分)设椭 的左焦点为F, 直线x=m 与椭圆相交于点A,B, 当 △FAB 的周长最大时，△FAB 的面积 是_
小 提 示
与焦半径和、差有关的最值问题，一般利用平面几何知识，转化 为三点共线问题求解.
小提示
巧用椭圆的对称性进行转化，可减少计算量，此方法常用于直线 过原点的情况.如三角形的顶点为椭圆的焦点，底边为过原点的 椭圆的弦，此时可利用椭圆的对称性将该三角形转化为焦点三 角形去解题
g.构造中位线进行转化
小积累
椭圆的通径
① 过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得 的线段称为椭圆的通径，其长度为
② 椭圆的通径是过椭圆焦点的最短弦.
(18)(2 019浙江，4分)已知椭的左焦点为F, 点P 在 椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点0为圆心， 10FI 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是 _ ·
随堂普查练36 I
y 个
(a>b>0) P
F₁ 0 F₂(c,0) x
P'
点P在椭圆 · PP′⊥x 轴 一xp=c
通径长
1. (2019广东深圳一模，5分)已 知 F₁,F₂ 是 椭
(a>b>0) 的左、右焦点，过F₂ 的直线与椭圆交于 P,Q 两点， PQ⊥PF₁, 且IQF₁I=21PF₁I, 则△PF₁F₂ 与△QF₁F₂ 的面积之比 为( )
A.2-√3 B.√2-1 C.√2+1 D.2+√3
2. (2019云南昆明校级月考，5分)设F₁,F₂ 为椭 的两 个焦点，M 为椭圆上一点，△MF₁F₂ 的内心I 的纵坐标为2- √ 3, 则∠F₁MF₂ 的余弦值为_ ·
3. (2021改编，5分)已知△ABC的周长为20,且顶点B(0,-4), C(0,4), 则顶点A的轨迹方程是_ ·
4. (2019天津期末，5分)已知直线2 √2x-y+4 √2=0 经过椭圆
)的左焦点F₁, 且与椭圆在第二象限的交点
是椭圆的右焦点，且1MNI=1MF₂I,
为M, 与y 轴的交点为N,F₂ 则椭圆的方程为( )
B
D
A
图36-11
C
f.巧用椭圆的对称性进行转化
5. (2019福建泉州模拟，5分)已知椭圆C 的长轴位于x 轴上，且两 个端点分别为A,B, 椭圆上一动点P(不同于A,B) 和A,B 的连线的
斜率之积为常数λ,则椭圆C 的离心率为( )
A.√ 1-λ B.√ 1+λ c.√ 1-λ² D
36 (17)(2021改编，5分)已知椭圆E:)的右焦 点为 F, 短轴的一个端点为M, 直线l:4x-3y=0 交椭圆E 于 A,B 两点.若IAFI+IBFI=6, 点M 到直线l 的距离不小于,则椭圆E 的离心率的取值范围是( )
6. (2016江苏，5分)如图36-12所示，在平面直角坐标系 xOy中 ，
F是椭的右焦点，直线 与椭圆交于
B
D
250 数学 ·第36课 ·椭圆
B,C 两点，且∠BFC=90°, 则该椭圆的离心率是 _·
其中正确结论的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
11. (2018青海模拟，5分)已知点P 为椭圆x²+2y²=98 上的一个动 点，点A的坐标为(0,5),则|PA| 的最大值和最小值分别是 _ ·
12. (2018商丘三模，5分)已知椭圆
的右焦点为F,P
是椭圆上一点，点A(0,2√3), 则△APF 周长的最大值为( )
A.10 B.12 C.14 D.15
13. (2019福建模拟改编，6分)已知点F 为椭圆C:
图36-12
7. (经典题，5分)设椭圆(的左、右焦点为 F₁,F₂, 过点F₂ 作x 轴的垂线与C 相交于A,B 两点，F₁B与y 轴交于 点 D. 若AD⊥F₁B,则椭圆C 的离心率等于
8. (2019河南模拟，5分)已知F,F₂ 为椭圆(
的左、右焦点，若椭圆C 上存在四个不同的点P 满足△PF₁F₂ 的面 积为4 √3,则椭圆C 的离心率的取值范围为( )
(a>b>0) 的左焦点，直线y=kx(k>0) 与 C交于M,N 两点(M 在 第一象限).若IMNI=2 √a²-b²,IFMI≤ √3IFNI, 求椭圆C 的离 心率的取值范围.
B D
A C
9. (2019黑龙江大庆模拟，5分)在平面直角坐标系x0y 中，点 为
的下顶点，M,N 在椭圆上，四边形
OPMN 为平行四边形，α为直线 ON 的倾斜角，且 则椭圆C 的离心率的取值范围为( )
14. (经典题，12分)如图36-14,椭的左、 右焦点分别为 F₁,F₂, 过 F₂ 的直线交椭圆于P,Q 两点，且PQ ⊥PF₁.
A
C.
B D
图36-14
(I) 若| PF₁I=2+√2,|PF₂I=2-√2, 求椭圆的标准方程；
10. (2019福建厦门期末，5分)如图36-13,人造地球卫星绕地球 的运动遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨 道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守 恒规律，即卫星的向径(卫星至地球的连线)在相同的时间内扫过 的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c,李明根据所学的 椭圆知识，得到下列结论：
(Ⅱ)若 |PF₁ I=|PQ|, 求椭圆的离心率e.
36
图36-13
①卫星向径的最小值为a-c, 最大值为a+c;
251
②卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁；
③卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大
数学 ·第36课 ·椭圆
普 查 讲 36 Ⅱ 直线与椭圆的位置关系
直线/与椭圆 =1(a>b>0) 的位置关系
直线斜率不存在，设直线方程为x=m
y个 x=m
直线与椭圆相离
0
y个 x=m
一个交点) 0
y 个
A
圆相交
0 x
B
直线斜率存在，设直线方程为y=kx+b,
联立直线与椭圆的方程，消元，得到关 于x( 或y) 的一元二次方程.
△0
(方程有两个不相等的实数根)
直线与椭圆相切
x=m
弦长公式
设直线l与椭圆交于A(x,y₁),B(x₂,y₂)
x₁+x₂,x,x₂ 和 y₁+y₂,y₁y₂ 可借助直线与椭圆方程 联立消元得到的一元二 次方程，利用根与系数 的关系求解.
两点，则直线/被椭圆截得的弦长的计算方法如下：
直线与坐标轴不垂直，设直线l 的方程为y=kx+b.
AB|=
AB
=11+方
=
直线与坐标轴垂直
直线与y轴垂直(斜率为
零)时，AB|=_ .
直线与x轴垂直(斜率不存 在)时，|AB|= .
图36-15
小积累
五组题讲透
利用判别式处理直线与椭圆的位置关系的方法
36
利用判别式处理直线与椭圆的位置关系
第一步
第二步
联立直线方程和椭圆方程；
消元，化简整理得到关于x( 或y) 的一元二次 方程；
复 习 大 纲
“掌握利用一元二次方程根的判别式判断直 线与椭圆的位置关系的方法，且能根据位置 关系求参数的值或取值范围.
△>0⇔直线与椭圆相交；△=0⇔直线与椭圆相 切；△b>0) 上，椭圆的离心率为 ·
(I) 求椭圆的方程；
注意：解题时可直接利用结论，无需推导.
图36-17
b.面积问题
(22)(2019全国Ⅱ,12分)已知点A(-2,0),B(2,0), 动点M(x,y) 满 足直线AM 与 BM的斜率之积.记M 的轨迹为曲线C.
(Ⅱ)过椭圆的左焦点作直线l,交椭圆于A,B 两点，作直线l₂ 交椭 圆 于C,D 两点，且两条直线的斜率乘积为1,是否存在常数λ使得 IABI+ICDI=λ IABI·ICDI? 若存在，求出λ的值；若不存在， 请说明理由.
(I) 求 C 的方程，并说明C 是什么曲线；
36
小 提 示
253
已知条件中给定两条直线斜率之间的关系， 一般设一条直线的 斜率为k, 另一条直线的斜率用含k 的代数式表示，以减少参数 的引人.
数学 ·第36课 ·椭圆
(Ⅱ)过坐标原点的直线交C于 P,Q 两点，点P 在第一象限，PE⊥x轴， 垂足为E, 连接QE并延长交C 于点 G.
(i) 证明：△PQG是直角三角形；
①已知直线l 过x 轴上的定点P(t,0), 且直线斜率不为0时，可 将直线方程设为横截式x=my+t (该直线方程可以表示斜率不 存在的直线x=t,但不能表示斜率为0的直线);
②利用根与系数的关系处理直线与椭圆相交的问题时，必须保 证联立后的一元二次方程的根的判别式大于0成立，解出结果 后一般需代回检验.
(ii) 求△PQG面积的最大值.
(24)(2019山东模拟，12分 C )的 离心率 ,且椭圆与抛物线y²=x 交于M,N 两点，△OMN(0 为 坐标原点)的面积为2 √2.
(I) 求椭圆C 的方程；
(23)(2019天津模拟，13分)已知椭圆E:
F₁,F₂ 为其左、右焦点，B₁,B₂ 为其上、下顶点，且椭圆过点(√2,0), 四边形F₁B₁F₂B₂ 的面积为2.
(I) 求椭圆 E 的方程；
(Ⅱ)如图36-18,点A 为椭圆上一动点(非长轴端点),F₁,F₂ 为 左、右焦点，AF₂的延长线与椭圆交于点B,AO 的延长线与椭圆交 于点C, 求△ABC 面积的最大值.
图36-18
36
(Ⅱ)设过定点M(-2,0) 的直线l 与椭圆E 相交于P,Q 两点，若 MP=λMQ, 当 时，求△OPQ 的面积S 的取值范围.
小 提 示
①直线方程设为斜截式时，切记讨论直线斜率不存在的情况；
②利用根与系数的关系处理直线与椭圆相交的问题时，若直线恒 过椭圆内一点，直线与椭圆必定相交，此时不用考虑判别式.
254 数学 ·第36课 ·椭圆
方法便笺
方法便笺
解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法
利用“根与系数的关系法”解椭圆问题的步骤
根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组， 消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公 式求解 .
设出直线方程和交点坐标A(x₁,y₁),B(x₂,y2);
第二步
联立直线方程和椭圆方程，消元得到一个一元二 次方程；
亚
思路一
第三步
思路二
点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x
y₁),B(x₂,y₂), 将这两点坐标代入圆锥曲线的方程后，对所得两 式作差，得到一个与弦AB 的中点和直线AB 的斜率有关的式 子.这种方法可以大大减少计算量.
利用根与系数的关系得到x₁+x₂,x,x2 ( 或y₁+y₂, y₁Y₂);
图36-21
b.求过定点且被定点平分的弦所在的直线方程
(26)(经典题，12分 E
为c, 原点0到经过两点(c,0),(0,b)
(I) 求椭圆E 的离心率；
)的半焦距
的直线的距离为-
卫
图36-19
小积累
(Ⅱ)如图36- 22所示，AB是 圆一 条直径.若椭圆E 经过A,B 两点，求椭圆E 的方程.
求解三角形面积的两种常用方法
图36-22
36
图36-20
“中点弦”问题
复 习 大 纲
会利用“点差法”和“根与系数的关系法” 解决直线与椭圆相交时的“中点弦”问题
a.求过定点的弦的中点坐标
小 提 示
将椭圆的弦AB是圆M 的一条直径转化为圆心M 是弦AB的 中 点(中点弦问题),可考虑利用点差法求弦AB 所在直线的方程
255
(25)(2021改编，5分)已知椭圆 C 的左、右焦点分别 是F₁,F₂, 过左焦点F₁ 的 弦AB的中点为 ),则线段EF₂ 的长为
数学 ·第36课 ·椭圆
第四步
结合题设条件和所求结论求解.
注意
直线与圆锥曲线交于两点，且其中一个交点已知，通常联 立直线与圆锥曲线的方程，解方程组求出另一点的坐标；
利用直线的点斜式方程处理直线与圆锥曲线的位置关系 问题时，注意斜率不存在的情况；
若得到的一元二次方程的二次项系数中含有参数，且已 知直线与圆锥曲线有两个不同的交点时，注意二次项系 数不为0这一隐含条件；
若已知直线与圆锥曲线有两个不同的交点，注意一元二 次方程的判别式△>0的隐含条件；
“根与系数的关系法”体现了“设而不求，整体代入”
的数学思想，即设出交点坐标，但不必求出 x₁,y₁,x₂
y₂ 的具体值，而是利用根与系数的关系求得x₁+x₂,x;x2 ( 或y₁+y₂,Y₁y₂), 整体代入解决问题.
,其中|AB| 为底边，通常利用弦长公式求 得 ；d 为AB边上的高，通常利用点到直线的距离公式求得.
若△MAB的顶点M 在x 轴 ( 或y 轴)上，且直线AB 与 ),则S△MAB=
,即利用分割 法将三角形的底和高取在坐标轴或平行于坐标轴的直线上， 从而在一定程度上减少计算量.
小 积 累 方 法 便 笺
点差法的解题模板
点与椭圆的位置关系
◎-○设点
与椭圆 · 交于点 弦AB 的中点为P(x₀,y。);
设直线y=kx+m(m≠0) A(x,y),B(x₂,y₂),
对于椭圆),已知点P(x₀,y 。), 椭圆的 左、右焦点分别为F₁,F₂ .
PF|+|PF₂2a⇔ 点 P 在椭圆外部 图36-23
作差
①-②,用平方差公式变形，得
c.求中点非定点的弦所在的直线方程
(27)(2019四川模拟，12分)已知椭圆(
◎○整理
左焦点F(-2,0), 上顶点B(0,2).
利用中点坐标公式 · 及两点连线的斜率
(I) 求椭圆C 的方程；
将上式化简为斜率k与中点
P(x₀,y) 的坐标的关系式，即
一○检验
点差法的缺陷：③式成立是①②两式同时成立的必要而非充 分条件，即如果AB是椭圆的一条弦(①②两式同时成立), 那么一定有③式成立；反之，若仅③式成立，则直线AB与椭 圆不一定相交，因而①②两式也不一定成立.总之，等式③ 与等式组①②并不具有等价性.
点差法的改进：要使点差法得到的关系式具有逻辑严密性， 需要限定直线与椭圆的位置关系，即要保证弦所在的直线与 椭圆有两个不同的交点，此时不使用判别式来限定直线与椭 圆的位置关系，而是利用弦的中点与椭圆的位置关系来限定.
(Ⅱ)若直线y=x+m 与椭圆C 交于不同的两点M,V, 且线段MN 的中点G 在圆x²+y²=1 上，求m 的值.
图36-24
36
7. 椭圆上两点关于某直线对称的问题
(28)(2021改编，5分)已知椭圆1,若在椭圆E 上存在 关于直线y=2x+m 对称的两点，则实数m 的取值范围是_
变 式 思 考
256
(经典题，5分)已知A(x₁,y₁),C(x₂,y₂) 为 椭 上两动 点 ，x₁+x₂=8, 且AC的垂直平分线的方程为y=kx+m, 则 m 的取 值范围是
数学 ·第36课 ·椭圆
利用弦AB 的中点P 在椭圆内，得到参数的范围，检 验所得结果是否符合条件.
复 习 大 纲
会利用点关于直线对称的相关结论解决圆 锥曲线中的对称问题.
方 法 便 笺
圆锥曲线中轴对称问题的解法
解决圆锥曲线中的轴对称问题，应抓住“斜率互为负倒数” 与“中点”两个关键点.一般有如下两种方法：
(30)(2017北京，14分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0), B(2,0), 焦点在x 轴上，离心率
(I) 求椭圆C 的方程；
点差法
根与系
数的关
系法
求得弦中点的坐标，利用中点与圆锥曲线的 位置关系求解；
根据对称轴方程写出弦所在的直线方程，联 立直线与曲线的方程并消元，利用判别式大 于0及弦中点是两直线的交点求解.
注意：若曲线为双曲线和抛物线，则点差法中利用弦中点和 曲线的位置关系不易求解，因此根与系数的关系法是解决此 类问题的通法.
图36-25
椭圆中直线的位置关系
(Ⅱ)点D为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两 点 M,N, 过D作 AM的垂线交BN于点E. 求证：△BDE与△BDN的 面积之比为4:5.
在椭圆中，解决直线的位置关系的问题时， 要学会脱去椭圆的“外衣”,利用直线的相关 知识解决问题.
(29)(2019天津，13分)设椭)的左焦点为 F, 上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率
(I) 求椭圆的方程；
随堂普查练36 Ⅱ
1. (经典题，13分)已知椭圆C:,AB是垂直于x 轴的弦， 直线x=4 交x 轴于点N,F 为椭圆C 的右焦点，直线AF 与BN交于 点 M.
(I) 证明：点M在椭圆 C上；
(Ⅱ)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线 PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上.若IONI=10FI(0 为原 点),且OP⊥MN,求直线PB 的斜率.
(Ⅱ)求△AMN 面积的最大值.
36
数学 ·第36课 ·椭圆
257
2. (2019安微准北月考，12分
C
(Ⅱ)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E 于点 C, D, 设弦AB,CD的中点分别为M,N.证明：0,M,N 三点共线.
以椭圆短轴的一个顶点B 与两个焦点F₁,F₂ 为顶点的三角形的周
长是4+2 √3,且∠BF₁
(I) 求椭圆C的标准方程；
4. (2019安徽马鞍山模拟，5分)已知中心在原点的椭圆的左焦点 恰好为圆F:x²+y²+2x-3=0 的圆心，有两个顶点恰好是圆F 与 y 轴的交点.若椭圆C 上恰好存在两点关于直线y=x+t 对称，则实
数 t 的取值范围为( )
B
D
A.(-√ 7,√ 7)
C
(Ⅱ)若过点 引曲线C 的弦MN 恰好被点Q 平分，求弦 MN 所在直线的方程.
5. (2019天津，14分)设椭)的左焦点为F, 左顶点为A, 上顶点为B.已知 √310A1=21OBI(0 为原点).
(I) 求椭圆的离心率；
(Ⅱ)设经过点F 且斜率为 ·的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为 P, 圆 C同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线x=4 上，且OC// AP,求椭圆的方程.
3. (2019辽宁模拟，12分)设椭圆的左、 右焦点分别为F₁,F₂, 过F₁ 的直线交椭圆于A,B 两点.若椭圆E 的 离心率,△ABF₂的周长为16.
(I) 求椭圆 E 的方程；
36
数学 ·第36课 ·椭圆
258
第37课 双曲线
普查讲37 双曲线
37
双曲线的标准方程和几何性质
双曲线的定义
平面内与两个定点F₁,F₂的
等于非零常数2a(2a0,b>0)
图形
y↑
B₂
b
A₁
F₁ a F₂ x
B₁
y↑
F₂
A₂
a
B 可 b B₂ x
A, F₁
特 有 性 质
范围
x≥a或x≤-a,y∈R
顶点坐标
A,(-a,0),A₂ (a,0)
焦点坐标
F₁ (-c,0),F₂ (c,0)
渐近线方程
共 有 性 质
对称性
双曲线是轴对称图形，对称轴： ;双曲线是中心对称图形，对称中心：
实轴和虚轴
实轴A,A₂ 的长为2a,实半轴长为a;虚轴B,B₂ 的长为2b,虚半轴长为b
焦距
F₁F₂ l=
离心率
双曲线的焦距与实轴长的比为离心率. ,且e∈
a,b,c的关系
c²=
等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为
渐近线方程为y=±x, 离心率
直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系有三种：相 交、相切、相离，判断方法如下：
将直线l:y=kx+m 与双曲线C:
b>0) 的方程联 立，消元得(b²-a²k²)x²-2a²mkx-
a²m²-a²b²=0.
数学 ·第37课 ·双曲线
259
当
○
b²-a²k²≠0, 即 时，考虑一元二次方程的判别式△: 当 时 ， 直 线 1 与 双 曲 线C 相 交 ， 有 两 个 交 点 M(x,x₁),N(x₂,
Y₂), 则 可 利 用 弦 长 公 式 |MN|= √1+k² ·kx,-x2| 求 弦 长 ；
当 时，直线l 与双曲线C 相切，有一个交点；
⊙○当 时，直线l 与双曲线C 相离，没有交点 .
● 当b²-a²k²=0, 时，若m≠0, 则直线l与双曲线C的渐近线平行，直 线l与双曲线C ,只有一个交点；若m=0, 则直线l 为双曲线C的渐近线.
考试要求
37
*了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
*了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.
*通过双曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.
图37-1
小积累
四组题讲透
双曲线定义的理解
1. 双曲线的定义
双曲线定义中距离的差要加绝对值，否则只是双曲线的一支， 若 F₁,F₂ 表示双曲线的左、右焦点，有两种情形：
复习大纲
理解双曲线的定义，并牢记定义中的限制 条件.
‘熟练掌握双曲线焦点三角形中的数量关 系，会解决焦点三角形的角度、周长、面积和 取值范围等问题.
a. 双曲线定义中的限制条件
(1)(2019北京人大附中模拟，5分)如图37-2,在长方体ABCD-
↑y
若点P 满足 |PF|-
P
)
A₁B₁C₁D₁ 中 ，AA₁=AB=2,BC=1. 若 点P 在侧面A₁ABB₁上，则满 足到直线AA₁和 CD的距离相等的点 P(
交
0
F₂
|PF₂|=2a(a>0), 则 点 P 在右支上，如图
F₁
所示 .
图37-4
b.利用双曲线的定义解决焦点三角形的相关问题
的
图37-2
A. 不存在 B.恰 有 1 个 C. 恰 有 2 个 D. 有无数个
(2)(2019湖北孝感期中，5分)如图37-3所示，在圆C':(x+1)²+
y²=16 内有一点A'(1,0), 点 Q'为圆C'上一动点，线段A'Q'的垂直平分 线与线段C'Q′ 交于点M', 根据椭圆的定义可得点M’的轨迹方程为
利用类比推理的思想，在圆C:(x+3)²+y²=16 外有一点 A(3,0), 点 Q 为圆C 上一动点，线段AQ的垂直平分线与射线QC 交 于 点 M,根据双曲线的定义可得点M的轨迹方程为_
(3)(2021 汇编，15分)(I) 已 知 F₁,F₂ 为双曲线
左、右焦点，点P 在 C 上 ，IPF₁I=21PF₂I, 则 cs ∠F₁PF₂=( )
A B C D
小 提 示
已知双曲线上的点P 到两焦点F₁,F₂ 的距离分别为IPF₁I 和 IPF₂I, 若题目条件中涉及IPF₁1 和IPF₂I 的关系，可联想双曲线 的定义11PF₁I-IPF₂I1=2a(a>0), 构造方程组，解得IPF₁1 和 IPF₂I 的值，进而求解.
(Ⅱ)已知双曲线E:x²-y²=1 的左、右焦点分别是F₁,F₂, 若 过F₂ 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线E 交 于A,B 两点，则△F₁AB 的 周长为 ·
(Ⅲ)设P 为 双 曲
1上一 点，F₁,F₂ 是该双曲线的两个
则△PF₁F₂ 的面积为(
焦点，若∠F₁PF₂=60°,
)
A
B.9√3
C.
D.9
图37-3
数学 ·第37课 ·双曲线
260
注意
若已知直线与双曲线只有一个交点，只考虑二次项系数不为0且判别式等于0是不够的，还应考虑二次项系数等于0的情况， 此时直线斜率k恰好等于双曲线渐近线的斜率，这样的直线1可能与双曲线相交，但交点只有一个，因此直线与双曲线有一个 交点是直线与双曲线相切的必要不充分条件.
设△ABF₁的内切圆在边AF₁ 上的切点为P, 则 1F₁PI 的最小值 为( )
A.√3 B.2√3
C.3√3-√2 D.6√3-2√2
(4)(2016浙江，4分)设双曲线 的左、右焦点分别为 F₁,F₂ . 若 点P 在双曲线上，且△F₁PF₂ 为锐角三角形，则|PF₁I+
|PF₂| 的取值范围 是 .
小 提 示
变 式 思 考
利用平面几何的知识，如“直角三角形的斜边大于直角边”“三角 形两边之和大于第三边”“两点之间线段最短”等可构造不等关 系，解决取值范围或最值的问题.
37
(I) (经典题，5分)已知以y=±√3x 为渐近线的双曲线D
的左、右焦点分别为F₁,F₂, 若 P 为双曲线D 右 支上任意一点，的取值范围是 .
d. 椭圆和双曲线共焦点的问题
(Ⅱ)(2019河南模拟，5分)已知双曲线
(6)(2018四川南充模叔，5分)已知椭圆G:
0)与双曲线 )有相同的焦点F₁,F₂ . 若
点P 是C₁ 与 C₂ 在第一象限内的交点，且|F₁F₂|=2|PF₂I, 设C
与C₂ 的离心率分别为e₁,e₂, 则e₂-e₁ 的取值范围是( )
C
的一个焦点恰为圆x²+y²-4x-8=0 的圆心，且双曲线C 的渐近 线方程为y=±√3x. 若 点P 在双曲线C 的右支上，F₁,F₂ 分别为双
B
D
A C
曲线C 的左、右焦点，则取得最小值时，IPF₁I=( ) A.2 B.4 C.6 D.8
(Ⅲ)(2019辽宁模拟，5分)设F,F₂ 是双曲线C:
双曲线的标准方程
复 习 大 纲
熟练使用定义法和待定系数法求双曲线的 标准方程，并会根据已知条件结合双曲线的 定义和几何性质建立关于a,b,c 的方程组.
b>0) 的两个焦点，P 是 C 上一点，且不与顶点重合.若IPF₁1+IPF₂I= 4a, 且△PF₁F₂ 的最小内角的正弦值 ,则C 的离心率为( ) A.2 B.3 C.√2 D.√3
小 积 累
双曲线中“焦点三角形”的有关性质
a.两种双曲线标准方程的理解
(7)(2016全国I,5 分 )已知方 表示双曲线， 且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )
A.(-1,3) B.(-1,√3) C.(0,3) D.(0,√3)
双曲线上一点(不与顶点重合)与双曲线的两个焦点组成的 三角形通常称为“焦点三角形”.由三角形的边角关系(正、余 弦定理)和双曲线的定义等知识可以解决焦点三角形的面积、 周长问题，以及有关角、变量的范围问题等.
小 提 示
焦点的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的 类型.可以根据项的正负来判断焦点所在的位置：x²项的系数是 正的，那么焦点在x 轴 上 ；y² 项的系数是正的，那么焦点在 y 轴上.
性 质 1 : |AF|-|AF₂ |=2a, |BF|-|BF₂ |=2a.
拓展：过焦点F₁ 的 弦AB 与双曲线交在同支上，则AB 与另一个焦点F₂ 构成的△ABF₂ 的周长为4a+2IABI.
方程表示双曲线的条件
方程 表示双曲线⇔mn0,n0);
等轴双曲线的渐近线方程为y=±x, 两条渐近线互相垂直；
3. 双曲线的几何性质及其应用
A
B
D
率 ,点(4,1)在双曲线上，则该双曲线的方程为( )
37
a. 双曲线离心率的求解与应用
b. 双曲线渐近线性质的应用
(15)(2018全国I,5 分 )已知双曲线 C: ,0 为坐标原 点 ，F 为 C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为 M,N. 若△OMN为直角三角形，则IMNI=( )
A. B.3
C.2√3 D.4
(12)(2019全国Ⅱ,5分)设F 为双曲线C:
的右焦点，0为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆x²+y²=a² 交 于P,Q 两点.若IPQI=10FI, 则 C 的离心率为( )
A.√2 B.√3 C.2 D.√5
小 提 示
构建关于a,c 的齐次等式，变形成关于离心率e 的方程，解方程 求出离心率.
(16)(2019全国1,5分)已知双曲线(的
左、右焦点分别为F₁,F₂, 过 F₁ 的直线与C 的两条渐近线分别交于
A,B 两点.若FA=AB,F₁B·F₂B=0, 则 C的离心率为
(17)(2021改编，5分)设P 为双曲右支上的 任意一点，0为坐标原点，过点P 作双曲线两渐近线的平行线，分 别与两渐近线交于A,B 两点.若平行四边形PAOB 的面积为15,则 双曲线的渐近线方程为 ·
(13)(2016全国Ⅱ,5分)已知 F₁,F₂ 是双曲线 E 的
左、右焦点，点M 在 E 上 ，MF₁ 与 x 轴垂直，,则E 的离心率为( )
A.√2 B
C.√3 D.2
小 提 示
_
小 积 累
双曲线离心率的常见形
双曲线渐近线的性质
以双曲线为例，它的渐近线具有如 下性质：
变式思考
)的右支 则双曲线
上，双曲线的左、右焦点分别为F₁,F₂,|PF₁|=4|PF₂I, 离心率的取值范围是_
小 提 示
当双曲线上的动点P 运动到双曲线顶点处时，点P 到焦点的距 离取得最小值.双曲线左支上的点到左焦点的距离的取值范围 是(c-a,+∞), 到右焦点的距离的取值范围是(c+a,+∞).
(14)(2019北京，5分)已知双曲 )的离心率是 √ 5,则a=( )
A.√6 B.4
C.2 D
变式思考
(2019山东模拟，5分)已知双曲)的离心
(经典题，5分)设点P 在双曲
数学 ·第37课 ·双曲线
263
熟练掌握双曲线的离心率和渐近线的相互 关系，会综合利用双曲线的定义和几何性质 求与离心率和渐近线相关的问题.
01 两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，渐近线
方程为bx±ay=0, 也可以写作 记忆技巧：令双曲线方程的等号右边为0,得 0,即bx±ay=0.
如图，过焦点F 作渐近线的垂线，垂足为H, 则 |FH|=b, |OH|=a, 点 H 的坐标为 ,直线FH与圆 x²+y²=a² 相切 .
如图，过顶点A 作 x 轴的垂线，它与其中一条渐近 线的交点为S, 则 |SA|=b,|s|=c, 点 S 的坐标为(a,b).
如图，过顶点A 作渐近线的垂线，垂足为K, 则AK|= ,点K的坐标为
图37-9
C. 双曲线的对称性的应用
(18)(2021改编，5分)已知双曲线 C: 的左、右 焦点分别为F₁,F₂,0 为坐标原点，P 是双曲线上在第一象限内的 点，直线 PO,PF₂ 分别交双曲线 C 左、右支于另一点 M,N, |PF₁I=2|PF₂I, 且∠MF₂N=60°, 则双曲线C 的方程为( )
A B
D
d.构造三角形的中位线进行几何关系的转化
(19)(2018安顺模拟，5分)已 知 F₁,F₂ 分别是双曲线 C:
的左、右焦点，若点F₂ 关于直线bx-ay=0 的 对称点恰好落在以F₁ 为圆心， |0F₁| 为半径的圆上，则双曲线 C 的离心率为( )
A.√2 B.2 C.√3 D.3
直线与双曲线的位置关系的相关问题
a. 直线与双曲线位置关系的判断问题
(20)(2019河北模拟，5分)已知双曲线C:x²-4y²=1, 过点P(2,0) 的直线l 与C 有唯一公共点，则直线l 的方程为 _ ·
小 提 示
判断直线与双曲线的位置关系，通常将直线方程与双曲线方程 联立，通过方程组解的个数来判断；若已知双曲线的方程，则根 据直线与双曲线渐近线的斜率的大小关系，利用数形结合的方 法来判断更为快捷
(21)(经典题，5分)若直线y=kx+2 与双曲线x²-y²=6 的右支 交于不同的两点，那么k 的取值范围为_
易 错 提 醒
研究直线与双曲线的位置关系时，容易忽略直线与双曲线的 渐近线平行的情况，此时直线与双曲线只有一个公共点.
在解决直线与双曲线的位置关系的题目时，要注意讨论联立 直线与双曲线的方程后消元得到的方程是否为一元二次方 程，即二次项系数是否为0.
方 法 便 笺
直线与双曲线的交点位置的处理策略
直线与双曲线相交于两点，如需判断交在同一支上，还是交 在两支上，可从如下两个角度进行判断：
利用根与系数的关系限定根的符号
若直线与双曲线的右支交于两个不同点，则
应满足条件
若直线与双曲线的左支交于两个不同点，则
应满足条件
若直线与双曲线的左、右两支各有一个交
点，则应满足条件
若 ,则交在同一支上；若 则交在两支上.
图37-10
b. 弦长和面积问题
(22)(2019福建期末，12分)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点
设点P 是双曲线上任意一点，过点P 作双曲线两渐 近线的平行线，分别与两渐近线交于M,N 两点，则平行
四边形PMON 的面积为
复习大纲《
会判断直线与双曲线的位置关系或根据位 置关系求参数.
灵活选用根与系数的关系法和点差法解决 弦长问题、面积问题和中点弦问题等.
数形结合，考虑直线与渐近线的斜率的大小关系
C
37
264
数学 ·第37课 ·双曲线
为 F(2,0), 直线3x-2y=0 与双曲线 C 的一个交点的横坐标为2.
随堂普查练37
1. (2019北京模拟，5分)已知平面内两个定点M(3,0) 和N(-3,0), P 是动点，且直线PM,PN 的斜率之积为常数a(a≠0), 设点P 的轨 迹为C, 则有下列命题：
①存在常数a(a≠0), 使C 上所有点到两点(-4,0),(4,0)的距离 之和为定值；
②存在常数a(a≠0), 使C 上所有点到两点(0,-4),(0,4)的距离 之和为定值；
③不存在常数a(a≠0), 使C 上所有点到两点(-4,0),(4,0)的距 离之差的绝对值为定值；
④不存在常数a(a≠0), 使 C 上所有点到两点(0,-4),(0,4)的距 离之差的绝对值为定值.
(I) 求双曲线C 的标准方程；
37
(Ⅱ)过点(0,1),且倾斜角为135°的直线l 与双曲线C 相交于A,B 两点，0为坐标原点，求△OAB的面积.
其中正确的命题是 . (填写所有正确命题的序号)
2. (2019安徽模拟，5分)设P 是双曲
支上 一 点，F₁,F₂ 分别是双曲线的左、右焦点，且焦距为2c, 则
△PF₁F₂ 的内切圆圆心的横坐标为( )
A.-a B.-b
C.-c D.a+b-c
小 提 示
设斜率为k 的直线l 与双曲线的两个交点分别为A(x₁,y),B(x₂,y₂), 则直线1被双曲线截得的弦长为 A|B|=√(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²=
3. (2018安徽模拟，5分)如图37 - 11所示，F₁,F₂ 分别是双曲线
的左、右焦点，过F, 的 直 线l 与双曲线分 别交于点A,B, 且 ,若△ABF₂ 为等边三角形，则
△BF₁F₂ 的面积为( )
0),其中x₁+x₂,x;x₂ 或 y₁+y₂,y;y₂ 可以用根与系数的关系表示 出来，体现了设而不求的思想.
C.“中点弦”问题
(23)(2018抚州模拟，8分)求过定点(0,1)的直线被双曲线x²-
截得弦的中点的轨迹方程.
图37-11
A.1 B.√2 C.√3 D.2
小 提 示
4. (2019广东深圳模拟，5分)已知双曲)的左、 右焦点分别为 F₁,F₂, 过 F₂ 且 与x 轴垂直的直线l 与双曲线的两条 渐近线分别交于A,B 两点，IABI=3√5,M(4,1), 动点P(x,y) 在双
曲线上，则IPMI+IPF₂I 的最小值为 ·
与椭圆的中点弦问题一样，求解与双曲线有关的中点弦问题也可 利用根与系数的关系法或点差法.另外需注意：过椭圆内一点P 作直线1,与椭圆交于两点，使点P 为弦的中点，这样的直线l 一定 存在，但在双曲线中，若点P 在双曲线的内部，则直线l 存在，若点 P 在双曲线的外部，则不能确定直线l 是否存在，要注意检验.
_
数学 ·第37课 ·双曲线
265
5. (2018广州模拟，5分)已知P 是椭
1(a₂>0,b₂>0) 的一个交点，F₁,F₂ 是椭圆和双
曲线的公共焦点，e₁,e₂ 分别为椭圆和双曲线的离心率，∠F₁PF₂=
37
贝 的最大值是( )
A B.√3 C D.2√3
6. (2018临沂模拟，5分)已知双曲
条渐近线平行于直线l:x+2y+5=0, 且双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )
A.
B
D
在 C 的一条渐近线上，0为坐标原点，若IPOI=IPFI, 则△PFO 的 面积为( )
A B
C.2√2 D.3√2
8. (2019浙江，4分)渐近线方程为x±y=0 的双曲线的离心率 是( )
A B.1
C.√2 D.2
9. (2018全国Ⅲ,5分)设 F,F₂ 是双曲线 C: b>0) 的左、右焦点，0是坐标原点.过F₂ 作 C的一条渐近线的垂 线，垂足为P.若IPF₁ 1= √61OPI, 则 C 的离心率为( )
A.√5 B.2 C.√3 D.√2
10. (2019安徽开学考试，5分)已知双曲线
M为L₂上一点，且kM·kBy=e, 则双曲线C的离心率e的值为( )
A.√5 B
C.√2 D
11. (2018河南模拟，5分)已知点F 是双曲
b>0) 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的 直线与双曲线交于A,B 两点，若△ABE是钝角三角形，则该双曲线 的离心率e 的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.(1,2)
C.(1,1+√2) D.(2,+∞)
12. (2019四川模拟，5分)已知双曲线 C₁ :及双曲线
C ),且C₁ 的离心率为 √5.若直线y= kx(k>0) 与双曲线C₁,C₂ 都无交点，则k 的值是( )
A.2 B
C.√5 D.1
13. (2018济南模拟，5分)过双曲线)的左焦点作 直线l 与双曲线交于A,B 两点，使得IABI=4, 若这样的直线有且 仅有两条，则a 的取值范围是( )
B.(2,+∞)
A
D
C.
14. (2019陕西模拟，5分)已知双曲线C:的左、右焦点分 别为F₁,F₂, 直线l 过右焦点F₂, 与双曲线 C的右支交于A,B 两点， 且点A 在x 轴上方.若IAF₂I=31BF₂I, 则直线l 的斜率为( )
A.1 B.-2
C.-1 D.2
15. (2019湖北模拟，5分)过点P(4,2) 的直线l与双曲线 C: y²=1 交于A,B 两点，若P 为线段AB的中点，则IABI=( )
A.2√2 B.2√3
7. (2019全国Ⅲ,5分)双曲线 C:
的右焦点为F, 点 P
第38课 抛物线
普查讲38 I 抛物线的定义、标准方程及几何性质
38
抛物线的定义
抛物线的标准方程和几何性质
平面内与一个定点F和一条定直线I(FEl)的 的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做 抛物线的 .
当F∈l时，动点的轨迹为过定点F且垂直于定直线L的一条直线.
标准方程
y²=2px(p>0)
y²=-2px(p>0)
x²=2py(p>0)
x²=-2py(p>0)
图形
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦点坐标
准线方程
—
范围
抛物线在y轴右侧，当
x增大时， |y|也增大
x≥0,y∈R
抛物线在y轴左侧，当
x减小时， |y|增大
x≤0,y∈R
抛物线在x轴上方，当
lx|增大时，y也增大
y≥0,x∈R
抛物线在x轴下方，当
lx|增大时，y减小
y≤0,x∈R
对称轴
x轴
y轴
顶点坐标
0(0,0)
离心率
抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示，e=1
提示
(1)要注意把握抛物线的开口方向、
焦点坐标和准线方程等与方程之间的对 应关系；
( 2 ) 参 数p 的几何意义是焦点到准线 的距离.
考试要求
*了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
* 了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.
* 通过抛物线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.
* 了解抛物线的简单应用.
图38-1
两组题讲透
1. 抛物线的定义的应用
(1) (2017全国Ⅱ,5分)已知F 是抛物线C:y²=8x 的焦点，M是 C 上一点，FM的延长线交y 轴于点N.若 M 为 FN 的中点，则|FN|=
— ·
(2) (2019天津模拟，5分)在平面直角坐标系x0y 中，点F 是抛物 线 C:y²=4x 的焦点，点 A,B 在抛物线 C 上，且OA·OB=-4,
IFA-IFBi=4 √3, 则FA ·FB 为( )
A.-11 B.-12
C.-13 D.-14
267
(3) (2018湖北调研，5分)已知点A(0,2), 抛物线C:y²=2px(p>
0)的焦点为F, 射线 FA 与抛物线C 相交于点M, 与其准线相交于
复习大纲
重视抛物线定义在解题中的应用，能够灵 活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准 线的距离的相互转化.
数学 ·第38课 ·抛物线
点N,若 ,则p的值等于( )
A B C.2
(4)(2019河南模拟，5分)已知A,B 为抛物线x²=2py(p>0) 上的 两点，以AB为直径的圆C 经过抛物线的焦点F, 且面积为2π,若过 圆心C 作该抛物线的准线l 的垂线 CD,垂足为D, 当 p 变化时， ICDI的最大值为( )
A.2 C D
(5)(2019湖南模拟，5分)已知点R(0,2),曲线 C:y⁴=(mx)²(p>0), 直线y=m(m>0,m≠2) 与曲线C 交于M,N 两点，若△RMN 周长 的最小值为2,则p 的值为( )
A.8 B.6 C.4 D.2
38
解决与抛物线的焦半径有关的最值问题时，可先利用抛物线的
定义，将到焦点的距离与到准线的距离进行转化，进而利用平面
几何的知识，例如三角形中三边的不等关系进行最值的求解.
小积累
抛物线的焦半径公式
设M 是抛物线上一点，焦点为F, 则线段MF 叫做抛物线的焦 半径，由抛物线的定义可知：
提示：利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距 离转化为到准线的距离，解题时方便快捷.一般来说，涉及过焦 点的直线与抛物线的交点问题，利用此公式解决较为简单.
图38-2
抛物线的标准方程与几何性质
若 M(% 。,%)在抛物线y²=2pe(p>0) 上，则MT;
y个
%+
y²=2px(p>0)
M(x 。,y。)
=%+
0
2
x
F ( 是 .)
若 M(x₀,% 。)在抛物线y²=-2px(p>0)
上，
则
y²=-2px(p>0)
一x+2
□
M(x₀,y₀)
r=-%+
0
P
x
F ( 一 2 ,)
2
复 习 大 纲
‘把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方 程之间的对应关系，会根据给定的抛物线方 程求焦点坐标和准线方程.
“灵活地选择定义法和待定系数法求抛物线 的方程.
a.已知抛物线的方程求焦点坐标和准线方程
(6)(2019江苏模拟改编，6分)已知抛物线C:y=ax²(a≠0).
①若ax²-3ax+6=0 仅有一解，则抛物线的焦点坐标为 ;
②若抛物线C的焦点是直线x+y-1=0 与坐标轴的交点，则抛物 线的准线方程为_
小 提 示
抛物线的标准方程的特征是等号一边是某个变量的平方且系数 为1,另一边是另一变量的一次项.抛物线的焦点在一次项变量 对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号决定：当系数为 正时，开口方向与该坐标轴的正方向相同；当系数为负时，开口 方向与该坐标轴的负方向相同.
b. 利用定义法求抛物线的标准方程(与抛物线有关的轨迹问题)
(7)(2019银川模拟，5分)点P 到(1,0)的距离比其到直线x+2=0 的距离少1,则点P 的轨迹方程为_ ·
数学 ·第38课 ·抛物线
268
若M(x₀,3 在抛物线x²=2py(p>0)
y
x²=2py(p>0)
e(0.2) 对
0
上，则1
M(x₀,%)
y+2
x
P 2
若M(%,y%) 在抛物线x²=-2p(p>0)
y
0
上，则1
卫
x
F(0., 一号)
x²=-2py(p>0)
-%+2
M(x₀,y 。)
r=-%+2
变式思考
(2021 改编，5分)已知点P 到 F(4,0) 的距离与到直线 的 距离相等，则点P 的轨迹方程为
易错提醒
错解：由抛物线的定义，可知点P 的轨迹是抛物线.因为焦点 在x 轴上，开口向右，焦点到准线的距离p=9, 所以抛物线的 方程为y²=18x.
错因分析： 点P 到 F(4,0) 的距离与到直线x=-5 的距离相 等，满足抛物线的定义，但|4| ≠l-51,故此抛物线的方程不是 标准方程.
图38-3
小 提 示
抛物线的标准方程是特殊的抛物线方程，对抛物线在坐标系中 的位置有严格的要求.当从题意中无法确定抛物线方程是标准 方程时，要按求曲线方程的一般步骤进行求解.
图38-5
A.(1,3) B.(2,4)
C. D
e.抛物线与椭圆、双曲线的综合
(10)(201 9全国Ⅱ,5分)若抛物线y²=2px(p>0) 的焦点是椭圆
的一个焦点，则p=( )
38
A.2 B.3 C.4 D.8
C.利用待定系数法求抛物线的标准方程
(8)(2021汇编，10分)(I) 顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点 P(-4,-2) 的抛物线的标准方程是
(Ⅱ)设抛物线y²=2px(p>0) 的焦点为F, 过点F 且倾斜角为-的 直线1与抛物线相交于 A,B 两点，若以AB 为直径的圆过点
,则该抛物线的方程为( )
A.y²=2x B.y²=4x
C.y²=8x D.y²=16x
小积累
待定系数法求抛物线的标准方程
(11)(2019天津，5分)已知抛物线y²=4x 的焦点为F,准线为1, 若1与双曲)的两条渐近线分别交于点A 和点B, 且 IABI=410FI(0 为坐标原点),则双曲线的离心率 为( )
A.√2 B.√3 C.2 D.√5
随堂普查练38 I
1. (2018北京东城一模，5分)设抛物线y²=4x 上一点P 到y 轴的 距离是2,则P 到该抛物线焦点的距离是( )
A.1 B.2
-○根据抛物线焦点在x 轴上还是y 轴上，设出相应形式的
标准方程，然后根据条件确定关于p 的方程，解出p, 从而写出抛物线的标准方程.
C.3 D.4
-○当焦点位置不确定时，有两种解决方法：
方法一：分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程 进行讨论.
例如：对于焦点在x 轴上的抛物线，当开口方向不确 定时，分为y²=2px(p>0) 和y²=-2px(p>0) 两种情 况求解.
2. (2019湖北期末，5分)已知抛物线y²=4x 的焦点为F, 点A(3,2), 点 P 为抛物线上一点，且点P 不在直线AF 上，则△PAF周长的最 小值为( )
A.4 B.5
方法二：对于焦点在x 轴上的抛物线设成y²=mx(m≠ 0),若m>0, 则开口向右；若m0) 的准线交圆x²+y²+ 6y-16=0 于A,B 两点，若IABI=8, 则抛物线的方程为_
269
(9)(经典题，5分)已知抛物线所围成 的封闭曲线如图38-5所示，给定点A(0,a), 若在此封闭曲线上恰 有三对不同的点，满足每一对点关于点A对称，则实数a 的取值范 围是( )
数学 ·第38课 ·抛物线
6. (2018安徽模拟，5分)如图38-6所示，已知直线l 与抛物线x²= 2py(p>0) 交 于A,B 两点，且OA⊥OB,OD⊥AB 于 点D, 点 D 的坐 标为(2,4),则p 的值为( )
图38-6
A.2 B.4
D
7. (2019北京模拟，5分)抛物线y²=ax(a>0) 的准线与双曲线
C 的两条渐近线所围成的三角形的面积为2 √ 2,则a 的值为( )
A.8 B.6
C.4 D.2
38
张
普 查 讲 38Ⅱ
图 学 透
直线与抛物线的位置关系
设直线l:y=kx+m, 抛物线x²=2py(p>0), 将直线方程与 抛物线方程联立，整理成关于x的方程x²-2pkx-2pm=0.
当△>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当△=0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当△0) 的对 称轴平行或重合，此时直线与抛物线相交，有 交点.
直线与抛物线的位置关系
C
直线与抛物线的位置关系有三种：相交、相切、相离，判断方法如下：
直线与抛物线只有一个公共点的情况包括两种：a.直线与抛物线的对称轴平行或重合；b.直线与抛物线相切.故直线与抛物 线只有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
图38-7
设直线l:x=ay+b, 抛 物 线y²=2px(p>0), 将直线方程 与抛物线方程联立，整理成关于y的方程y²-2pay-2pb=0.
当△>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当△=0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当△0) 的对称轴 平行或重合，此时直线与抛物线相交，有 交点.
两组题讲透
3. 直 线 与 抛 物 线 位 置 关 系 的 相 关 问 题
复习大纲
根据已知条件灵活选择焦点弦公式和弦长 公式，求直线与抛物线相交的弦长；会利用点 差法解决中点弦的相关问题.
掌握利用根与系数的关系法解决直线与抛 物线的位置关系的综合问题.
a.直线与抛物线相交的焦点弦相关问题
(12)(经典题，5分)设F 为抛物线C:y²=3x 的焦点，过 F 且倾斜 角为30°的直线交C 于A,B 两点，0为坐标原点，则△OAB的面积 为( )
小 提 示
有关直线与抛物线相交的弦长问题，要注意直线是否过抛物线 的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式求解，具体 方法一般是把直线方程与抛物线方程联立，根据根与系数的关 系及焦点弦公式求出弦长；若不过焦点，则利用弦长公式求解.
(13)(2021 改编，12分)已知抛物线C 的方程： 设 AB是过抛物线焦点F 的弦，A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).
(I) 证 明：x₁x₂,y₁y₂ 为定值，并求出定值；
270
A
C
B
D
数学 ·第38课 ·抛物线
b.直线与抛物线相交的弦长(非焦点弦)问题
(Ⅱ)证明为定值，并求出此定值；
(14)(2019全国I,12 分)已知抛物线C:y²=3x 的焦点为F,斜 率 为 的直线l 与 C 的交点为A,B, 与x 轴的交点为P.
(I) 若IAFI+IBFI=4, 求l 的方程；
(Ⅲ)试判断以AB 为直径的圆与准线的位置关系并加以证明.
38
(Ⅱ)若AP=3PB, 求 IABI.
小 积 累
抛物线焦点弦的相关结论
如图，AB 是抛物线y²=2px(p>0) 过焦点F 的一条弦，设 A(x,y₁),B(x₂,y₂),AB 的中点M(x₀,y 。), 过A,M,B 分 别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为A₁,M,B₁, 则根据 抛物线的定义，对于抛物线的焦点弦有如下结论：
小 提 示
抛物线的弦长(非焦点弦)公式
① → 若直线y=kx+b(k≠0) 与抛物线 C 相 交于A(x₁,y),
B(K₂,y) 两点，则AB=
→ 若直线x=a 与抛物线y²=2px ( 或y²=-2px)(p>0) 相
交 于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂) 两点，则x₁=x₂=a,IAB|=
ly₁ -y₂ I=2 √2pa (或2 √-2 pa);
焦点弦长
为弦所在直线的倾斜角).
③ → 若 直 线y=b 与抛物线x²=2py ( 或x²=-2py)(p>0) 相
交 于A(x₁,y₁),B(x2,y₂) 两点，则y₁=y₂=b,|AB|=
lx₁-x₂l=2√2pb (或2 √ -2pb).
延伸拓展：过焦点F 与对称轴垂直的弦为通径，长为2p,通
径是所有焦点弦中最短的弦.
与焦点弦有关的定值
图38-9
C. 直线与抛物线相交的中点弦问题
①A,B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x₁ ·x₂=
延伸拓展：已知点(t,0) 为抛物线y²=2px(p>0) 的对称轴
上一点，且过该点的直线l 与抛物线交于A(x₁,y),B(x₂,y₂) 两点，则x,x₂=t²,y₁y₂=-2pt.
② 为定值
与焦点弦有关的圆
(15)(经典题，5分)设直线l 与抛物线y²=4x 相交于A,B 两点，与 圆 (x-5)²+y²=r²(r>0) 相切于点 M, 且 M 为线段AB的中点.若 这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )
A.(1,3) B.(1,4)
C.(2,3) D.(2,4)
小 提 示
以 AB 为直径的圆必与准线l 相 切 .
有关弦的中点的问题，常设出弦的中点和端点坐标，根据端点在 曲线和直线上，结合中点坐标公式，寻找中点坐标与弦的斜率之
图38-8
间的关系
271
数学 ·第38课 ·抛物线
方法便笺
d. 抛物线上存在两点关于某直线对称的问题
(16) (2019宁夏期末，12分)已知抛物线x²=2py(p>0), 焦点到准 线的距离为4.
(I) 求抛物线的方程；
1. 解决抛物线上两点A,B 关于直线l 对称的问题，需要抓住两个 关键关系：①线段AB 的中点在直线l 上；②若直线AB与 l 的斜 率均存在且不为0时，kAB·k₁=-1 (其他情况需单独讨论).
2. 直线与抛物线存在两个交点这一条件需要进行判定：若利用 根与系数的关系解题，则抛物线与直线AB 的方程联立消元后得 到的一元二次方程的根的判别式必须大于0;若利用点差法解 题，则两交点连线的中点一定在抛物线内部.
38
e.直线与抛物线的位置关系的综合应用
(18) (2018湖北模拟，8分)已知直线l 与抛物线y²=2x 只有一个 公共点，求过定点P(-1,1) 的直线l 的方程.
(Ⅱ)若抛物线上存在两点关于直线y=2x+m 对称，且两点的横坐 标之积为2,求m 的值.
易错提醒
小提示
若抛物线上的两点关于某直线对称，则当该直线的斜率已知时， 可以尝试使用点差法解题.
(17) (2019河南期末，12分)已知动圆P 与 圆F:(x-2)²+y²=1 外切，且与直线x=-1 相切.
(I) 求动圆的圆心P 的轨迹C 的方程；
直线与抛物线只有一个公共点的情况包括两种：a. 直线与对 称轴平行或重合；b. 直线与抛物线相切.故直线与抛物线只有 一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
(19) (2019湖北云梦期中，12分)已 知 点 F 为抛物线 C:x²=
2py(p>0) 的焦点，点A(m,3) 在抛物线C 上，且IAFl=5, 点 P 是 抛物线C 上的一个动点，设点P 到直线x-2y-6=0 的距离为d₁, 点 P 到直线y+2=0 的距离为d₂ .
(I) 求抛物线C 的方程；
(Ⅱ)轨迹C 上是否存在两点A,B 关于直线y=x-1 对 称 ? 若 存 在，请求出两点的坐标；若不存在，请说明理由.
(Ⅱ)求d₁ 的最小值；
数学 ·第38课 ·抛物线
272
(Ⅲ)求d₁+d₂ 的最小值.
小 提 示
求抛物线上一点到定直线的最小距离时，可以利用点到直线的距 离公式表示出所求的距离，再利用函数求最值的方法求解，也可以 转化为抛物线的切线与定直线平行时，两直线间的距离问题.
(20)(2017全国 I,12 分)设A,B 为曲线上两点，A与 B 的横坐标之和为4.
(I) 求直线AB的斜率；
(Ⅱ)设M为曲线 C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且 AM⊥BM,求直线AB的方程.
小 提 示
抛物线 x²=±2py(p>0) 上的点可设为 或(2pt,
±2pt²); 抛物线y²=±2px(p>0) 上的点可设为 或 (±2pt²,2pt).
(21)(2017北京，14分)已知抛物线C:y²=2px(p>0) 过点P(1,1). 过 作直线l与抛物线C 交于不同的两点M,N, 过点M 作 x 轴的垂线分别与直线OP,ON 交于点A,B, 其中0为原点.
(I) 求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(Ⅱ)求证：A为线段BM的中点.
抛物线与圆的综合问题
复 习 大 纲
熟练掌握抛物线与圆的基本性质，重视转 化思想、函数思想和数形结合思想的应用.
(22)(经典题，15分)如图38-10所示，已知抛物线(
圆 C₂:x²+(y-1)²=1, 过点P(t,0)(t>0) 作不过原点0的直线 PA,PB, 分别与抛物线C₁ 和圆C₂ 相切，A,B 为切点.
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平 行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.
图38-10
(I) 求点A,B 的坐标；
38
273
数学 ·第38课 ·抛物线
(Ⅱ)求△PAB的面积.
(23)(2019山东模拟，12分)已知圆0:x²+y²=4, 抛物线 C:x²= 2py(p>0).
(I) 若抛物线C 的焦点F 在圆0上，且A为抛物线 C 和圆0的 一 个交点，求IAFI;
(Ⅱ)若直线l 与抛物线C 和圆0分别相切于M,N 两点，设M(x₀,y%), y∈[3,4], 求IMNI 的最大值.
随堂普查练38 Ⅱ
1. (经典题，8分)抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点 且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线 方程.
2. (2018湖北调研，5分)已知抛物线 E:y²=2px(p>0) 的焦点为 F, 过点F 的直线l 与抛物线E 交于A,B 两点，且直线l 与圆x²-
交于C,D 两点.若IABI=2ICDI, 则直线l 的斜率 为( )
B
C.±1 D.±√2
3. (2019浙江学业考试，15分)如图38-11,直线 和 抛物线 C:y²=4x 相交于不同的两点A,B.
图38-11
(I) 求实数t 的取值范围；
(Ⅱ)设线段AB的中点为M, 抛物线C 的焦点为F, 以线段MF 为 直径的圆与直线l 相交的另一点为N, 且满,求直线l 的方程.
38
274
数学 ·第38课 ·抛物线
4. (2016浙江，15分)如图38- 12所示，设抛物线y²=2px(p>0) 的焦点为F, 抛物线上的点A 到 y 轴的距离等于IAFI-1.
6. (2018北京顺义一模改编，10分)已知抛物线C:y²=4x 的焦点 为 F. 若过点N(-1,0) 的直线l 与 C 相交于P,Q 两点，点P 关 于 x 轴的对称点为S.求证：S,F,Q 三点共线.
图38-12
(I) 求p 的值；
38
7. (2016全国I,5 分)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A,B 两点，交C 的准线于D,E 两点.已知IABI=4√2,IDEI=2√5, 则 C 的焦点到准线的距离为( )
A.2 B.4
C.6 D.8
8.(2019山东模拟，12分)已知直线l 过 圆 M:x²+(y+2)²=1 的 圆心且平行于x 轴，曲线C 上任意一点P 到 点F(0,1) 的距离比到 l 的距离小1.
(I) 求曲线C 的方程；
(Ⅱ)若直线AF 交抛物线于另一点B, 过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与AB 垂直的直线交于点N,AN 与 x 轴交于点M.求 M 的横坐标 的取值范围.
5. (2019广东模拟，12分)已知抛物线 C:y²=2px(p>0) 的焦点为 F, 抛物线C 上存在一点E(2,t) 到焦点F 的距离等于3.
(I) 求抛物线C 的方程；
(Ⅱ)过点P (异于原点)作圆M 的两条切线l₁,l₂,斜率分别为k₁, k₂,过点P 作曲线C 的切线，斜率为 k,若k₁,k,k₂ 依次成等差数 列，求点P 的坐标.
(Ⅱ)已知点P 在抛物线C 上且异于原点，点Q 为直线x=-1 上的 点，且FP1FQ. 求 直 线 PQ 与抛物线 C 的公共点个数，并说明 理由.
数学 ·第38课 ·抛物线 275
第39课 圆锥曲线的综合问题
普查讲39 圆锥曲线的综合问题
直线与圆锥曲线位置关系的判断
39
圆锥曲线的弦长
图39-1
将直线方程与圆锥曲线E的方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程Ax²+Bx+C=0(或Ay²+By+C=0).
若A≠0,可考虑一元二次方程的判别式△,有
◎△>0⇔直线与圆锥曲线
◎△=0⇔直线与圆锥曲线 ;
◎△b>0, 则直 1与 椭一 定相交；
②与双曲线的渐近线平行的直线不可能与该双曲线相切；
③过圆锥曲线焦点的直线一定与该圆锥曲线相交；
④存在某条直线与双曲线x²-2y²=1 有四个交点. 其中，错误的命题有
b. 根据直线与圆锥曲线的位置关系求参数的取值范围
(2) (经典题，14分)在平面直角坐标系x0y 中，点M 到 点F(1,0) 的距离比它到y 轴的距离多1,记点M 的轨迹为C.
276
(I) 求 轨 迹C 的方程；
(Ⅱ)设斜率为k的直线l 过定点P(-2,1). 求直线l 与轨迹C恰
好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时 k 的相应取值范围.
易错提醒
“直线与圆锥曲线相切”与“直线与
圆锥曲线只有一个公共点”之间的关系
→ “直线与椭圆相切”是“直线与椭圆只有一个公共点”的
充要条件；
② → “直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共
点”的充分不必要条件：若直线与双曲线相切，则它们 只有 一个公共点；若直线与双曲线只有 一个公共点， 则直线与双曲线相切或直线与该双曲线的渐近线平行
(此时直线与双曲线相交);
→ “直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共
点”的充分不必要条件：若直线与抛物线相切，则它们
只有 一个公共点；若直线与抛物线只有 一个公共点，
则直线与抛物线相切或直线与该抛物线的对称轴平行
或重合(此时直线与抛物线相交).
图39-2
复习大纲
了解直线与圆锥曲线相切的概念，注意“相 切”与“只有一个公共点”的区别与联系，熟 练掌握由直线方程与圆锥曲线方程组成的方 程组解的个数问题的解法，掌握利用几何条 件判断直线与圆锥曲线的位置关系的方法.
数学 ·第39课 ·圆锥曲线的综合问题
弦长和面积问题
(3)(2018安徽马鞍山第三次教学质量监测，12分)已知以椭圆
G
和 C₂: 的焦点为顶点的四边形的 面积为12.
(I) 求椭圆C₂ 的方程；
(Ⅱ)直线l 与椭圆C₁ 相切，与椭圆 C₂交 于A,B 两点，求IABI 的 最 大值.
(4)(2019浙江富阳模拟，15分)如图39-3,已知 是 抛物线 C:y²=4x 上的动点，设IPQI=2IQRI, 过 点R 的直线交抛 物线C 于A,B 两点，且R 是线段AB的中点.
(I) 求Q 点纵坐标的取值范围；
图39-3
(Ⅱ)求△PAB面积的最大值.
方 法 便 笺
解析几何中求解弦长和面积的常用方法
弦长的求解方法
联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x( 或y) 的一元 二次方程，利用根与系数的关系得到|x₁-x₂ | ( 或ly₁-y₂1), 代入弦长公式求解.
注 意：利用弦长公式求弦长要注意斜率k k
不存在，可直接求交点坐标再求弦长.
面积的求解方法
三角形的面积一般用底乘高除以2求解，其中底为弦 长，高视为点到直线的距离，
对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的 一半，其中对角线用弦长公式求解.
当△ABC 的顶点A 在坐标轴上，边BC 所在直线与 点A 所在坐标轴交于点M, 若 IAMl 为定值，则通常 利用割补法来求解.
图39-4
求值、求点、求方程问题
复 习 大 纲
会用代数式进行常见几何关系(垂直、平 行、比值)的等价表达与转化，培养设而不求 和整体代换的数学思想.
(5)(2017天津，14分)已知椭圆 )的左焦点为
F(-c,0), 右顶点为A,点 E 的坐标为(0,c),△EFA 的面积
(I) 求椭圆的离心率；
(Ⅱ)设点Q 在线段AE 上，,延长线段FQ 与椭圆交于 点 P, 点 M,N 在x 轴上，PM//QN, 且直线PM 与直线QN 间的距离 为c, 四边形PQNM的面积为3c.
复习大纲
熟练掌握弦长公式及其推导过程，能熟练 使用代数法求解圆锥曲线弦长和面积问题
当弦的两端点坐标易求 时，可直接利用两点间 的距离公式求解.
联立直线与圆锥曲线方
程，解方程组求出两个 交点坐标，代入两点间 的距离公式求解.
39
277
数学 ·第39课 ·圆锥曲线的综合问题
(i) 求直线 FP 的斜率；
(ii) 求椭圆的方程.
(6)(2019江苏模拟，14分)如图39-5,在平面直角坐标系x0y
中，已知椭圆C )的离心率为,且椭圆C 短
轴的一个端点到一个焦点的距离为 √2.
(I) 求椭圆 C 的方程；
图39-5
(Ⅱ)设经过点P(2,0) 的直线l 交椭圆 C于A,B 两点，点Q(m,0).
(i) 若对任意直线l 总存在点Q, 使得IQAI=IQBI, 求实数m 的取 值范围；
(ii) 设点F 为椭圆 C的左焦点，若点Q 为△FAB的外心，求实数m 的值.
(7)(2019江苏南京四模改编，13分)在平面直角坐标系xOy 中 ，
已知椭圆C )的离心率),短轴长为2.
(I) 求椭圆 C 的标准方程；
(Ⅱ)设P 为椭圆 C 的上顶点，点A是椭圆 C 上异于顶点的任意一 点，直线PA交x 轴于点M.点B 与点A关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N.若点Q是 y 轴正半轴上的一点，且∠OQM=∠ONQ,求点 Q 的坐标
最值和取值范围问题
(8)(2017浙江，15分)如图39-6所示，已知抛物线 点
,
,抛物线上的点
过点 B 作直线AP的垂线，垂足为Q.
图39-6
(I) 求直线AP斜率的取值范围；
复习大纲
'熟练使用解析几何中的有关公式，熟悉 求最值的两大基本思想(不等式思想和函数 思想).
39
278
数学 ·第39课 ·圆锥曲线的综合问题
(Ⅱ)求 |AP| · PQ| 的最大值.
(9)(2017山东，14分)在平面直角坐标系xOy中，椭圆E 1(a>b>0) 的离心率 ,焦距为2.
(I) 求椭圆E 的方程；
(Ⅱ)如图39-7所示，动直线交椭圆E 于A,B 两点，
C 是椭圆 E 上一点，直线 OC的斜率为k₂, 且 ,M 是线段 OC延长线上一点，且|MC|:|AB|=2:3,OM 的半径为 |MC|, S,OT 是◎M 的两条切线，切点分别为S,T. 求∠SOT的最大值，并 求取得最大值时直线l 的斜率.
图39-7
方 法 便 笺
圆锥曲线中最值和取值范围问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题常涉及不等式、函数的值域问题，总 体上主要有两种方法：
利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几 何中的定理、性质等进行求解；
利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示 为某个(些)参数的函数解析式，然后利用函数思想、不 等式思想等进行求解.
求解圆锥曲线中有关参数的取值范围问题，关键是构建与参 数有关的相等关系或不等关系，主要方法有：
利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
建立已知参数与未知参数之间的等量关系，利用已知参数 的范围，求未知参数的范围；
利用隐含的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围：
利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等式，从而确定 参数的取值范围；
利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数， 求其值域，从而确定参数的取值范围.
图39-8
定值、定点、定向问题
复 习 大 纲
提高作图能力，有意识地培养图感，并会用 图形初步探索定值、定点、定向问题，着重培 养“特殊与一般”的数学思想，提高代数变形 能力，增强数感和式感.
a.定值问题
(10)(2018湖北冲刺，12分)已知 M(-1,0),N(1,0),IMRI=
2 √2,MP=λMR,QP·NR=0, 记动点P 的轨 迹为C
(I) 求曲线 C 的方程；
弦长、面积、角度等的最值问题
参数的取值范围问题
39
279
数学 ·第39课 ·圆锥曲线的综合问题
(Ⅱ)若斜率的直线l与曲线C 交于不同的两点A,B,l与x 轴 相交于D 点，则IDAI²+IDBI² 是否为定值?若为定值，则求出该 定值；若不为定值，请说明理由.
(11)(2021改编，9分)如图39-9所示，椭圆两顶点A(-1,0), B(1,0), 过其焦点F(0,1) 的直线l 与椭圆交于C,D 两点，并与x 轴交于点P( 点P 异于A,B 两点),直线AC与直线BD交于点Q. 求证：OP·OQ 为定值.
(Ⅱ)已知直线l 不过点P 且与抛物线C 相交于A,B 两点，直线PA 与直线PB 的斜率之积为1,证明：1过定点.
(13)(2019北京，14分)已知椭圆C:的右焦 点为(1,0),且经过点A(0,1).
(I) 求椭圆 C 的方程；
39
图39-9
(Ⅱ)设0为原点，直线l:y=kx+t(t≠±1) 与椭圆 C 交于两个不 同点P,Q, 直线AP 与 x 轴交于点M, 直线 AQ与 x 轴交于点N 若IOMI·1ONI=2, 求证：直线l 经过定点.
b. 定点问题
(12)(2018山东枣庄二模，12分)已知抛物线 C:y²=2px(0< p0) 相交于M,N 两点.
● :
(I) 当 k=0 时，分别求C 在 点M 和N 处的切线方程：
要证明点在某一条直线上， 一般设出这个点的坐标，然后 根据题设条件建立起关于此点坐标的线性关系，从而证明 这个点在定直线上.
图39-10
存在性问题、探索性问题
(Ⅱ)y 轴上是否存在点P, 使得当k 变动时，总有∠OPM=/OPN? 说明理由.
复 习 大 纲
提高标准化作图的能力，能从图形上初步 判断存在性问题的结果，学会探索性问题的 解题策略，初步养成自主探索的习惯.
a. 常数的存在性问题
(15)(2019北京丰台二模，14分)已知椭圆E
的左、右顶点分别为A,B, 长轴长为4,离心率为- 过右焦点F 的 直 线l 交椭圆E 于 C,D 两点(均不与A,B 重合),记直线AC,BD 的 斜率分别为k₁,k₂ .
281
数学 ·第39课 ·圆锥曲线的综合问题
(Ⅱ)过点M(1,1) 任作一条直线1,l与椭圆E 交于不同于P 点的A, B 两点，与直线m:3x+4y-12=0 交于C 点，记直线PA,PB,PC 的斜 率分别为k₁,k₂,k₃ . 试探究k₁+k₂ 与 k₃ 的关系，并证明你的结论.
C. 直线的存在性问题
(17)(2019山东新泰校级月考，12分)设椭圆的对称中心为坐标原 点，其中一个顶点为A(0,2), 右焦点F 与点B(√2,√2) 的距离为2.
(I) 求椭圆的方程；
7. 几何关系的判断与证明
掌握点与圆锥曲线、直线与圆锥曲线的位 置关系及其判断方法，掌握常见几何关系的 代数转化方法.
39
(Ⅱ)是否存在经过点(0,-3)的直线1,使直线l 与椭圆相交于不 同的两点M,N 且满足IAMI=IANI? 若存在，求出直线l 的方程； 若不存在，请说明理由.
(19)(2019浙江杭州校级模拟，14分)如图39- 11,C,D 是离心率
为 ·的椭圆的左、右顶点，F₁,F₂ 是该椭圆的左、右焦点，A,B 是直
线x=-4 上的两个动点，连接AD和 BD, 它们分别与椭圆交于E,F 两点，且线段EF 恰好过椭圆的左焦点F₁ . 当 EF⊥CD时，点E 恰为 线段AD的中点.
(I) 求椭圆的方程；
方法便笺
解决圆锥曲线中的存在性问题，一般是假设符合题设条件的常 数、点、直线存在，然后再利用题干条件建立起关于该常数、点、 直线方程的等量关系，如果能求出符合题意的常数、点的坐标、 直线的方程，则说明存在；否则，由题设推出矛盾，说明不存在.
图39-11
d.探索性问题
(18)(2018湖南、江西十四校高三联考，12分)已知椭圆E:
上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值 的3倍，且点在椭圆E 上.
(Ⅱ)试判断以AB为直径的圆与直线EF 的位置关系，并证明你的 结论.
(I) 求椭圆 E 的方程；
(20)(2019贵州南明区校级月考，12分)如图39-12,已知F₁,F₂
282
是椭圆 的左、右焦点，椭圆的短轴长为 2 √3,点P 是椭圆 C 上的一点，过点P 作x 轴的垂线交椭圆于另一 点 Q(直线PQ 不过点F₁), 且△F₁PQ 的周长的最大值为8.
数学 ·第39课 ·圆锥曲线的综合问题
(I) 求椭圆 C的标准方程；
圆锥曲线的综合考查
复习大纲
熟练掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线的位 置关系，增强分类讨论的意识，提高运算能力， 树立进行较复杂的代数运算的信心和勇气
(21)(2018浙江，15分)如图39-14所示，已知点P 是 y 轴左侧 (不含y 轴)一点，抛物线 C:y²=4x 上存在不同的两点A,B 满足 PA,PB 的中点均在C 上.
图39-12
(Ⅱ)若PQ 过焦点F₂, 在椭圆上取两点A,B, 连接 PA,PB, 分别与 x 轴交于M,N, 过点 Q作椭圆的切线1,当四边形PMQN为菱形时， 证明：直线AB//L.
图39-14
(I) 设AB的中点为M,证明：PM垂直于y 轴 ；
39
小积累
(Ⅱ)若P 是半椭圆上的动点，求△PAB 面积的 取值范围.
(22)(2019安徽模拟，12分)已知抛物线M:y²=2px(p>0), 圆 N:
(I) 设R 为抛物线M上横坐标为1的定点，S 为圆N 上的一个动
点，若IRSI的最小值,求p 的值；
常见几何关系的代数转化
数学 ·第39课 ·圆锥曲线的综合问题
283
几何关系
转化的关键
代数表达式
点A为线段 BC的中点
中点坐标公式
xʙ+xc=2xa,YB+yc=2yᴀ
A , B , C 三 点共线
斜率相等或向 量共线
kᴀʙ=ka或AB=λBC
ABIICD
斜率相等或向 量共线
knʙ=kc或AB=ACD
AB⊥CD
斜率互为负倒数 (注意斜率不存 在与斜率为0的 情况)或向量数 量积为0
knʙ ·kc=-1或AB ·D=0
点P在圆x²+ y²=r²上(或 内、外)
点与圆心的距离
x²+y²=P(或x²+y²r²)
点 P 在 以 A B 为直径的圆上
(或内、外)
向量的数量积 (张角∠APB的 大小)
PA · PB=0(或PA · PB0)
∠APB为钝 角(或锐角)
向量的数量积
PA · PB0)
直线l与圆 相切(或相 交、相离)
圆心到直线的 距离
d=r(或dr)
直线与圆锥 曲线相切
联立方程，消 元后得到一个 一元二次方程
判别式△=0
(Ⅱ)设经过抛物线焦点的直线l 与抛物线M、圆 N 依次交于A,B, C,D (顺序由上到下),满足IABI:IBCI=3:2, 求直线l 的方程.
(Ⅱ)若直线l 与抛物线C交于不同的两点M,N, 且满足OM⊥ON, 求IMNI 的最小值.
4. (2019北京西城区模拟，14分)已知椭圆W:
(23)(2019广东天河区校级三模，12分)已知双曲线C₁ 的焦点在
x 轴上，焦距为4,且C₁ 的渐近线方程为x±√3y=0.
(I) 求双曲线C₁ 的方程；
的长轴长为4,左、右顶点分别为A,B, 经过点P(1,0) 的动直线与 椭圆 W相交于不同的两点C,D(不与点A,B 重合).
(I) 求椭圆 W的方程及离心率；
(Ⅱ)求四边形ACBD 面积的最大值；
39
(Ⅱ)若直线l:y=kx+√3 与椭圆 及双曲线C₁ 都有 两个不同的交点，且直线l 与双曲线 C₁ 的两个交点A 和 B 满足 OA·OB0) 的左焦点为F, 顶点在原点的抛物线C 的 准线经过点F, 且抛物线C 的焦点在x 轴上.
(I) 求抛物线C 的方程；
5. (2021改编，12分)设经过定点M(a,0)(a≠0) 的直线与抛物线 y²=2px(p>0) 相交于 P,Q 两点.
(I) 若常数，求a 的值；
(Ⅱ)若- 为常数，求a 的值.
数学 ·第39课 ·圆锥曲线的综合问题
284
6. (2019浙江，15分)如图39- 15,已知点F(1,0) 为抛物线y²= 2px(p>0) 的焦点，过点F 的直线交抛物线于A,B 两点，点C 在抛 物线上，使得△ABC的重心G 在 x 轴上，直线AC交 x 轴于点Q, 且 Q 在点F 的右侧.记△AFG,△CQG的面积分别为S₁,S₂ .
(I) 求p 的值及抛物线的标准方程；
8. (2021改编，25分)已知A(-2,0),B(2,0) 为椭圆C 的左、右顶 点 ，F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A,B 的动点，且△APB面积的 最大值为2 √3.
(I) 若斜率不为0且过点F 的直线与椭圆C 相交于M,N 两点.
①是否存在常数λ,使得kAM=λkBn? 若存在，求出λ的值；若不存 在，请说明理由；
②求证：直线AM,BN的交点在直线l:x=4 上 .
39
图39-15
(Ⅱ)求 的最小值及此时点G 的坐标.
(Ⅱ)直线AP 与椭圆在点B 处的切线交于点D, 当点P 在椭圆上运 动时，求证：以BD 为直径的圆与直线PF 恒相切；
(Ⅲ)设椭圆的上顶点为S,是否存在直线m, 使得m 交 C 于T,Q 两点， 且F 恰是△STQ的垂心?若存在，求m 的方程；若不存在，说明理由.
7. (经典题，16分)已知动直线l与椭圆交于P(x₁, y₁),Q(x₂,y₂) 两个不同的点，且△OPQ的面积,其中0 为坐标原点.
(I) 证明x²+x2 和yx²+y2均为定值；
9. (2019浙江模拟，15分)如图39-16,在平面直角坐标系xOy 中 ， 已知椭圆C 的离心率为 ,焦距为2c,且右 焦点到直线 的距离为1.过x 轴上一点M(m,0)(m 为常 数，且m ∈(0,2)) 的直线与椭圆C交于A,B 两点，与l 交于点P,D 是弦AB的中点，直线OD与l 交于点Q.
(Ⅱ)设线段PQ 的中点为M, 求IOMI·IPQI 的最大值；
(I) 求椭圆C的标准方程；
(Ⅲ)椭圆C 上是否存在点D,E,G, 使得S△ODE=S△nc=S△OEG= 若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由.
图39-16
数学 ·第39课 ·圆锥曲线的综合问题
285
(Ⅱ)试判断以PQ 为直径的圆是否经过定点?若是，求出定点坐 标；若不是，请说明理由.
(Ⅱ)已知直线l₁,l₂ 都经过A,它们的斜率分别为k₁,k₂ (k₁ ≠k₂), l₁,l₂ 分别交椭圆于点C,D 和E,G, 线 段CD,EG 的中点分别是M, N,N 在直线 BM 上.试判断k₁,k₂ 的关系.
C:
11. (2019天津河东区二模，13分)如图39-17,在平面直角坐标系 xOy中，已知 R(x,y 。)是椭圆 上一点，从原点0向 圆 R:(x-x₀)²+(y-y)²=8 作两条切线，分别交椭圆 C 于 P,Q 两点.
(I) 若 点R 在第一象限，且直线OP⊥0Q, 求圆R 的方程；
图39-17
(Ⅱ)若直线OP,0Q 的斜率均存在，并分别记为k₁,k₂, 求 k₁k₂;
(Ⅲ)试问IOPI²+10QI² 是否为定值?若是，求出该定值；若不是， 说明理由.
12. (2018湖南长郡中学高三月考，12分)已知椭圆G 1(a>b>0) 的左、右顶点是双曲线 的顶点，且椭圆 C₁ 的上顶点到双曲线C₂ 的渐近线的距离为
(I) 求椭圆 C₁ 的方程；
(Ⅱ)若直线l 与 C₁ 交 于M₁,M₂ 两点，与 C₂ 交 于Q₁,Q₂ 两点，且
OQ·OQ₂=-5, 求 |M₁M₂| 的取值范围.
10. (2019四川达州模拟，12分)已知点A(1,1),1
)经过点(0, √ 2),F(c,0)(c>0) 焦点，,FA ·
(I) 求椭圆的标准方程；
,椭圆
是椭圆的右
39
286
数学 ·第39课 ·圆锥曲线的综合问题
第40课 解析几何中减少计算量的几种方法
普 查 讲 40 解析几何中减少计算量的几种方法
十组题讲透
1. 定义为王：巧用圆锥曲线的定义构建数量关系
复 习 大 纲
理解椭圆、双曲线、抛物线的定义，能利用 平面几何知识建立等量关系，培养良好的数 感和图感.
(5)(2017全国I,12 分)已知椭圆 C:),四 点 P₁(1,1),P₂(0,1),1 中恰有三点在椭圆 C 上.
(I) 求 C 的方程；
(1)(经典题，5分)椭 的右焦点F(c,0) 关于 直线 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是
(2)(2019四川遂宁期末，5分)设 点F 和直线1分别是双曲
40
的一个焦点和一条渐近线.若F 关于直线l 的
对称点恰好落在双曲线上，则该双曲线的离心率为( )
(Ⅱ)设直线l 不经过P₂ 点且与C 相交于A,B 两点.若直线P₂A 与 直线P₂B 的斜率的和为-1,证明：1过定点.
A.2 B.3 C.√5 D.√2
(3)(2019山东淄博模拟，5分)已知A(0,3), 若 点P 是抛物线x²=
8y 上任意一点，点Q 是圆x²+(y-2)²=1 上任意一点，则 ·的 最小值为( )
A.4√3-4 B.2√2- 1
C.2√3-2 D.4√2+1
方 法 便 笺
齐次化联立解决解析几何中有关斜率之和 ( 或 积 ) 的 问 题
解决与kA+kᴀ 或k·ka ( 其 中A是定点，M,N是曲线上的点) 有关的问题时，可以利用“1”的代换实现齐次化联立，直接构造 关于斜率的方程，从而解决有关问题，具体步骤为：
在解决圆锥曲线基本量的有关问题时，若题目中涉及焦点、焦半 径、准线等元素，一般优先考虑利用圆锥曲线的定义来“翻译”已 知条件、待求问题.对于椭圆和双曲线，若题目中只涉及一个焦 点，则可以考虑补全另一个焦点(通常会与中位线定理有关);对 于抛物线，若题目中只涉及焦点，则可以考虑补全准线，为定义 的使用创设条件.
整体代换，坐标平移，将定点A移至坐标原点；
直线方程改写成“1”的形式；
直线方程与圆锥曲线方程联立时，圆锥曲线方程 中二次项不变， 一次项乘“1”,常数项乘“1” 的平方，将直线方程的改写形式代入化简，构造 出一个关于斜率的二次方程；
根据根与系数的关系，直接列出kan+k 或 ku kAN 进行求解.
第一步
凸
第二步 凸
第三步
几
第四步
联立有法：巧用“1”的代换实现齐次化联立
复 习 大 纲
理解用根与系数的关系解决圆锥曲线交点 问题的原理，理解点的平移规律，掌握用“1” 的代换实现齐次化的技巧.
(4)(经典题，5分)已知直线y=-x+1 与 椭
287
图40-1
b>0) 相交于A,B 两点，且OA⊥OB(0 为坐标原点),若椭圆的离 心 率,则a 的最大值为
数学 ·第40课 ·解析几何中减少计算量的几种方法
小 积 累
3. 化二为 一 ：解决 一条直线与两条已知直线相交的问 题 ， 可以考虑将两条直线的方程整合成二次方程的 形 式
几种常见的三角形面积公式及其适用情形
了解双曲线两条渐近线的统一表示，熟练 掌握用根与系数的关系处理直线与二次曲线 的位置关系.
① 。表示边 a 上的高),需要考虑弦长与点到 直线的距离.
(6)(经典题，5分)如图40- 2 ,F₁,F₂ C 1(a>0,b>0) 的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F₁B 与C 的两 条渐近线分别交于P,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点 M, 交PQ 于N, 若IMF₂I=IF₁F₂I, 则 C的离心率为( )
② 若 △MAB的顶点M 在x 轴(或y 轴)上，且直线AB与x 轴(或y 轴)交于定点N, 设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂), 则SMAB= ,即利用 分割法将三角形的底和高都取在平行于坐标轴的直线上.
,适用于已知或通过
其他条件可得出两边和一角的情形.
④
适用于三角形有一个顶点是坐标原点 的情形，其中(x₁,y₁),(x₂,y₂) 是三角形中另外两个顶 点的坐标(小题可直接使用，解答题若要使用，需给出 证明).
图40-3
b.过圆锥曲线焦点的弦的弦长公式
40
图40-2
B
A
(9)(2021 改编，5分 C 的左焦点为F, 过 F 的直线l:y=kx+m 与椭圆 C交于A,B 两点.若1,则 k 的值为( )
C.√2
D√3
A B.√2
小 积 累
双曲线 的渐近线方程为 bx-ay=0 和 bx+ay=0, 可以合写为b²x²-a²y²=0. 一般地，对于任意的直线 l₁:A,x+B,y+C₁=0 和直线l₂:A₂x+B₂y+C₂=0, 它们的方程可 以合写为(A₁x+B₁y+C₁)(A₂x+B₂y+C₂)=0.
C.-1 D.±1
(10)(2019江西模拟，5分)如图40-4,过抛物线y²=2px(p>0) 的焦点F 的直线l 交抛物线于A,B 两点，交抛物线的准线于点C. 若 IBCI=41BFI, 且IAFI=6, 则p 的值为( )
4. 公式择优而取：根据条件灵活选择面积和弦长的计算 公 式
a. 面积公式的选取
(7)(2021改编，5分)过点(√2,0)引直线l与曲线 相 交于A,B 两点，0为坐标原点，当△ABO 的面积取得最大值时，直 线l的倾斜角为
图40-4
A. B
C.9 D.18
288
(8)(2021改编，5分)已知F 为抛物线y²=x 的焦点，点A,B 在该 抛物线上且位于x 轴的两侧，OA·OB=2 (其中0为坐标原点),则
△ABO与△AFO面积之和的最小值是 ·
数学 ·第40课·解析几何中减少计算量的几种方法
复习大纲《
了解三角形常见面积公式及其适用情形， 了解椭圆、抛物线的倾斜角式焦半径公式、焦 点弦公式及其推导过程.
小 积 累
椭圆和抛物线倾斜角式焦半径及焦点弦公式
A B.y=±√2x
C.y=±2x D.y=±x
巧设线参：根据已知条件灵活选用直线方程的表示形式
复 习 大 纲
熟练掌握直线方程的各种形式并会灵活运用
(12)(2019湖南街阳二模，12分)已知椭圆E:
上一点过 P 作两条直线，分别交E 于点A,B, 当点A,B 关 于坐标原点0对称且直线PA,PB 的斜率都存在时，有kp.·kpʙ=
(I) 求椭圆E 的标准方程；
40
(Ⅱ)若直线 PA,PB 关于直线x=1 对称，则当△OAB 面积最大时， 求直线AB的方程.
小积累
设直线方程的常用技巧
① → 若直线1经过 y 轴上的定点(0,b), 则直线方程可设为 y=kx+b, 其 中b 已知，k 为变量；
若直线I 经过x 轴上的定点(a,0), 则直线方程可设为 x=my+a, 其 中a 已知，m 为变量；
③→ 若直线l₁⊥l₂, 且都经过定点P(x,y%), 当两直线斜率 都存在且不为0时，可设L₁:y=k(x-x)+y,l2:y=
,其中x,y 。已知，k 为变量；
④ → 若直线l,L₂ 的斜率k₁,k₂ 存在倍数关系，如k₁=Ak₂, 且 都经过定点P(x₀,y%), 则可设L:y=λK(x-x₀)+y%,l₂:
Q 满足OM+OQ=0, 且∠MNQ=30° (其中0为坐标原点),则双曲 线 C 的渐近线方程为( )
图40-5
5. 巧设点参：用点的坐标有时更容易表示题中条件和问 题，此时以点的坐标作为变量比设直线方程更佳
y=k(x-x)+y%, 其中x,y,λ 已知，k 为变量；
建立“图像都是由一系列点组成的”这一意 识，熟练掌握常见的代数变形技巧(因式分 解、配方、整体代换等).
⑤ → 若直线l₁⊥L, 且 I₁ 经过定点(a,0),l₂ 经过定点(0, b), 则可设 l:x=-ky+a,L:y=kx+b, 其 中a,b 已知， k 为变量；
⑥ → 若L, 经过定点(a,0),lL 经过定点(0,b), 且直线l₁,L₂
的斜率 k₁,k₂ 的乘积为定值，以 为例，则可设 L:x=-4ky+a,l₂ :y=kx+b, 其中a,b 已知，k 为变量.
(11)(2019陕西一模，5分)已知直线y=- √3x+t 与双曲线(
)的右支交于M,N 两点，点M 在第一象限.若点
说明：如果以上所设的直线不能包含所有情况，则需要对特殊 情况单独讨论.
图40-6
数学 ·第40课 ·解析几何中减少计算量的几种方法 289
参考图形
公式
备注
椭圆
明
1.角θ是焦半径与长 轴所在的坐标轴正 方向所形成的角；
2.左、右焦点的焦半 径公式形式上相似， 只差一个符号，可以 通过口诀记忆，也 可以在解题之前将 csθ=1的特殊情形 代入检验公式是否 正 确 ；
3.公式仅适用于过焦 点的情况，在解答题 中要简要推导，以证
为例：设|PF₂ |=x,
则|PF, =2a-x,在
三角形PFF中，由余
弦定理得， PF₁²=
IF,F₂²+PF₂²-21F,F) ·
PF₂ lcs(π- θ), 解得：
即
抛物线
为
1.角θ是焦半径与对 称轴所在坐标轴正方 向所形成的角；
2.公式仅适用于过焦 点的情况，在解答题 中要简要推导，以证 明 1 例：由图中几何关系， 易得|PF|=IPM|=|PH+ |HM|=|PFlcsθ+p, 所以
命题转化：巧妙转化命题，将陌生问题熟悉化
复 习 大 纲
‘会用函数的观点看圆锥曲线方程，理解图 像平移变换与翻折变换的一般规律，培养“转 化与化归”的数学思想
7. 横岭侧峰：以最合适的角度去审视已知条件和待求目 标，避免简单直译，有时会有奇效
(16)(经典题，10分)已知抛物线C:y²=4x 的焦点为F,过点 的 直线l 交抛物线C 于 A,B 两点，过A,B 两点作抛物线C 的切线，记 这两条切线的交点为点P, 证明：点P 在定直线上.
复习大纲
·学会从不同角度看待问题，注意总结常见 条件(如中点、垂直、对称、线段的倍比关系 等)的代数表达形式
(13)(经典题，5分)双曲线 C )的右焦点
为 F, 直线 与双曲线相交于A,B 两点，若AF⊥BF, 则双曲 线 C 的渐近线方程为_ .
小积累
变式思考
40
如果把“过焦点F 的直线”改为“过定点(2,0)的直线”,其他条件 不变，结果如何?
小 积 累
解决有关抛物线的切线问题时，可将其看作二次函数 图像的切线问题，用导数的有关知识解决.如果抛物线的 焦点在x 轴上，则可考虑将坐标系沿着直线γ=x 翻折， 或者在不影响几何关系的前提下，重新建立坐标系.
若需要把和坐标原点相关的一些结论用于一般情况， 则可以考虑进行坐标变换，将问题转化为与原点相关的 问题 .
垂直关系的常见转化方法
图40-7
以动制静：有些与对称中心、中点、角度相关的问题， 可以利用图形的旋转快速找到突破口，实现 一招毙敌
图40-8
10. 极限思考：突破题目所给条件，考虑更极端的情形， 有时能直接得到答案
复习大纲
学会用图像变换的观点看待对称问题，熟 练掌握图像变换的规律，能快速写出已知曲 线变换后的表达式.
学会寻找临界条件，通过寻求极端情形下 的结果解决问题.
(14)(经典题，5分)过 椭 内 一 点M(1,1) 引 一 条弦 AB,使得M 恰为AB的中点，则直线AB的方程为_
(17)(经典题，5分)设直线y=x+m(m>0) 与 y 轴交于点A,与双
曲线 相交于B,C 两点，且|AB|0) 的左、右焦点，点P(x₀,2a) 为双曲线上的一点，若△PF₁F₂ 的重心和内心的连线与x 轴垂直，则双曲线的离心率为( )
A
D.√5
C.√6
B
2. (2019山东青岛二模，5分)已知抛物线C:y²=8x 与直线y= k(x+2)(k>0) 相交于A,B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若IFAI= 21FBI, 则AB 的中点的横坐标为( )
A B.3 C.5 D.6
3. (2019天津河东区一模，13分)已知椭圆1
的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积 为 √3.
(I) 求椭圆E 的方程；
4. (2021改编，5分)已知F₁,F₂ 分别为椭圆
的左、右焦点，P,Q 是椭圆上两点，线段PQ 经过点F₁, 且 PQ1 PF₂, 当- 时，a的取值范围是 .
5. (经典题，12分)如图40-11所示，椭圆 E
b>0) 经过点A(0,-1), 且离心率
(I) 求椭圆 E 的方程； 图40-11
(Ⅱ)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E 交于不同的两点 P,Q (均异于点A), 证明：直线AP 与AQ的斜率之和为2.
6. (经典题，12分)已知椭圆C )的长轴长是 短轴长的2倍，且过
(I) 求椭圆C 的方程；
直线与圆锥曲线相交于两点的极限情形为两点重合，即
该直线与圆锥曲线相切；
双曲线在离坐标原点无限远处已经近似地与渐近线重合，
所以在研究某些有关问题时，可以用渐近线来代替双曲线.
(Ⅱ)如图40- 10,设F₁,F₂ 是椭圆E 的左、右焦点，椭圆E 的一个 内接平行四边形ABCD的一组对边分别过点F₁ 和 F₂, 求这个平行
(Ⅱ)若在椭圆上有相异的两点A,B(A,0,B 三点不共线),0为坐 标原点，且直线AB,OA,OB 的斜率满足k=ka·kg(kAB>0).
40
四边形的面积的最大值.
求证：|OAI²+|OBI² 为定值；
图40-10
数学 ·第40课·解析几何中减少计算量的几种方法
291
第41课 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
普查讲41 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
恩
分类加法计数原理
41
分步乘法计数原理
两个计数原理的区别与联系
292
两个计数原理的综合应用
图41 - 1
数学 ·第41课 ·分类加法计数原理与分步乘法计数原理
定义 分类加法计数原理的推广
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在 完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中
第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同 的方法 .
火车1
火车2
甲地 火车3 乙地
汽车1 汽车2
从甲地到乙地共有N= 种乘车方案.
有m种不同的方法，在第2类方案中有m₂种不同 的方法，…,在第n类方案中有m。种不同的方法， 那么完成这件事共有N= 种不同 的方法 .
注意
完成这件事的n类方案是相互独立的，无论哪 种方案中的哪种方法都可以独立完成这件事， 而不需要再用其他的方法.
定义
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步 有n种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法.
分步乘法计数原理的推广
完成一件事需要n个步骤，做第1步有m,种 不同的方法，做第2步有m2种不同的方法， …,
火车1
汽车1
甲地 火车2 中转站
火车3
汽车2
乙地
做第n步有m。种不同的方法，那么完成这件事共 有N= 种不同的方法.
注意
完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步 骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步， 这件事就不能完成.
从甲地到乙地共有N= 种乘车方案.
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
区别1
完成一件事有n类不同方案，关键词是“分类”
完成一件事需要n个步骤，关键词是“分步”
区别2
每类方案都能独立完成这件事，且每种方法得 到的都是最后结果，只需一种方法就可以完成 这件事
任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一 步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，
才能完成这件事
区别3
各类方案之间是互斥的、并列的、独立的
各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗 漏，“独立”确保不重复
联系
都是完成一件事的不同方法的种数问题
用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前进行仔细分析——需要分类还是需要分步 分类要做到“不重不漏”,分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数
分步要做到“步骤完整”,完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数， 最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.
考试要求
*了解分类加法计数原理和分步乘法计数原理及其意义.
分步乘法计数原理的应用
三组题讲透
复习大纲
1 . 分类加法计数原理的应用
理解并掌握分步乘法计数原理，在运用原 理解决实际问题的过程中提高理性分析问题 的能力.
复习大纲
理解并掌握分类加法计数原理，在运用原 理解决实际问题的过程中提高理性分析问题 的能力.
(1) (经典题，5分)满足a,b∈|-1,0,1,2}, 且关于x 的方程ax²+ 2x+b=0 有实数解的有序数对(a,b) 的个数为( )
A.14 B.13 C.12 D.10
小积累
确定分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，解题时应 抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置等.
(3) (2019浙江杭州校级模拟，4分)从集合10,1,2,3,4,5,6}中任 取两个互不相等的数a,b, 组成复数a+bi, 其中虚数有( )
A.36 个 B.42 个 C.30 个 D.35 个
变式思考
已知复数a+bi, 且a,b∈|0,1,2,3,4,5,6, 那么组成的复数a+bi
中，虚数有( )
A.36 个 B.42 个 C.30 个 D.35 个
① 根据题目特点确定分类标准.
② 分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于 某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的 方法，不能重复.
③ 分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏.
小积累
利用分步乘法计数原理的注意事项
要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；
② 各步之间互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算 完成这件事.
图41-2
图41-5
方法便笺
方法便笺
利用分类加法计数原理解题的步骤
01 分类
根据条件将完成事件 的所有方法进行分类
03 结论
根据分类加法计 数原理求和
计数
分别求出每一类 中方法的个数
22
利用分步乘法计数原理解题的步骤
41
01 分步
根据条件将完成事件 的过程合理分步
03 结论
根据分步乘法计 数原理求积
02 计数
求出每一步的方 法数
图41-3
(2) (2016全国Ⅲ,5分)定义“规范01数列”{a 如下：{a。}共有2m 项，其中m 项为0 ,m 项为1,且对任意k≤2m,a₁,a2,…,a 中0的个 数不少于1的个数.若m=4, 则不同的“规范01数列”共有( )
A.18 个 B.16 个 C.14 个 D.12 个
图41-6
3.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用
复习大 纲《
方法便笺
解决计数问题常用的方法
掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原 理的区别与联系，能够综合应用两个原理解 决 问 题 .
枚举法
将各种情况通过树形图法、列表法一一列举出来，适用于计 数种数较少的情况.
间接法
若计数时分类较多或无法直接计算时，可先求出没有限制条 件的种数，再减去不满足条件的种数.
(4) (2019辽宁凌源一模，5分)中国有十二生肖，又叫十二属相，每 一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、 羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，三位 同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗 和羊，丙同学每个吉祥物都喜欢，如果三位同学对选取的礼物都满 意，则选法有( )
A.30种 B.50种 C.60种 D.90种
字典排序法
计数原理的选择
解决简单的“分类”或“分步”问题，首先要清楚是
“分类”还是“分步”,其次要清楚“分类”或“分步”的 具体标准是什么.
②
对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理，又要 运用分步乘法计数原理的问题，要明确是先“分类”后 “分步”,还是先“分步”后“分类”,必要时可以恰当地 画出示意图或列出表格，使问题的分析更直观、清晰.
方法便笺
模型法
通过构造图形，利用形象、直观的图形帮助分析和解决问题.
图41-4
图41-7
293
数学 ·第41课 ·分类加法计数原理与分步乘法计数原理
①字典排序法就是把所有的字母分前后次序，先排前面的字 母，前面的字母排完后再依次排后面的字母，最后的字母排 完，则排列结束；
②利用字典排序法并结合分步乘法计数原理可以解决与排列 顺序有关的计数问题，利用字典排序法还可以把这些排列不 重不漏地一一列举出来.
小积累
两个计数原理的区别与联系
2. (2021改编，5分)教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有 3本相同的论语、3本互不相同的近代文学名著.现从这6本书中选 出3本，则不同的选法种数为( )
A.6 B.7 C.8 D.10
3. (经典题，5分)如图41-12所示，一只蚂蚁从点A 出发沿着水平 面的线条爬行到点C, 再由点C 沿着置于水平面的长方体的棱爬行 至顶点B, 则它可以爬行的不同的最短路径有( )条.
图41-8
图41-12
(5)(经典题，5分)如图41-9所示，用4种不同的颜色对图中5个区 域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不 能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为 (用数字作答).
A.40 B.60 C.80 D.120
41
4. (2019北京大兴区一模，5分)中国古代将物质属性分为“金、木、 土、水、火”五种，其相互关系是“金克木，木克土，土克水，水克火， 火克金”.将五种属性不同的物质任意排成一列，则属性相克的两 种物质不相邻的排法种数为( )
A.8 B.10 C.15 D.20
图41-9
5. (经典题，5分)用0,1,…,9十个数字，可以组成有重复数字的三 位数的个数为( )
A.243 B.252 C.261 D.279
方 法 便 笺
6. (2019广东湛江二模，5分)现有甲班A,B,C,D 四名学生，乙班 E,F,G 三名学生，从这7名学生中选4名学生参加某项活动，则 甲、乙两班每班至少有1人，且A 必须参加的情况有( )
A.10 种 B.15 种 C.18 种 D.19 种
涂色问题的两种解决方案
对于简单的、不需要分类的涂色问题，直接选择正确的 涂色顺序，按此顺序逐一找出每个区域的涂色种数，然 后用分步乘法计数原理进行计算.
0 对于较复杂的、需要进行分类的涂色问题，首先要进行分 类处理，然后计算每一类涂色方案的方法数，在计算过程 中需用到分步乘法计数原理，最后根据分类加法计数原理 对每一类的涂色方法数求和，即可得到最终涂色方法数.
图41-10
小 积 累
①在综合应用两个原理解决问题时， 一般是先分类再分步. 在分步时可能又用到分类加法计数原理.
②对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地画出 示意图或列出表格，使问题形象化、直观化.
7. (2019浙江诸暨模拟，4分)假如某人有壹元纸币四张，伍元、拾 元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张，要支付贰佰壹拾玖 (219)元的货款，则有 种不同的支付方式.
图41-11
8. (2018北京石景山模拟，5分)现用4种不同颜色对如图41-13 所示的四个部分进行涂色，要求有公共边界的两块不能用同一种 颜色，则不同的涂色方法共有( )
随堂普查练41
图41-13
A.24 种 B.30 种 C.36 种 D.48 种
294
1. (经典题，5分)方程ay=b²x²+c 中的 且 a,b,c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线 共有( )
A.28 条 B.32 条 C.36 条 D.48 条
数学 ·第41课 ·分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
区别1
完成一件事有n类不同方 案，关键词是“分类”
完成一件事需要n个步骤， 关键词是“分步”
区别2
每类方案都能独立完成这
件事，且每种方法得到的
都是最后结果，只需一种
方法就可以完成这件事
任何一步都不能独立完成 这件事，缺少任何一步也 不能完成这件事，只有各 个步骤都完成了，才能完 成这件事
区别3
各类方案之间是互斥的、 并列的、独立的
各步之间是关联的、独立 的，“关联”确保不遗漏， “独立”确保不重复
联系
都是完成一件事的不同方法的种数问题
第42课 排列与组合
普查讲42 排列与组合
排列
定义
▶排列
从n 个不同元素中取 出 m(m≤n) 个元素， 按照一定的顺序排成 一列，叫做从n 个不 同元素中取出m 个元 素的一个排列.
排列数
从n个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素的所有 不同排列的个数叫做从 n个不同元素中取出m个 元素的排列数，用符号
表示.
组合
定义
组合
从n 个不同元素中取 出 m(m≤n) 个元素合 成一组，叫做从n 个不 同元素中取出m 个元 素的一个组合.
组合数
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素的所有 不同组合的个数叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符 号 表示.
公式 公式
二
(n,m∈N",
第m 位
A
(n-m+1) 种
n种 (n-1) 种 (n-2) 种
排列数公式：A"=
且 m≤n).
第3位
第1位
第2位
从n 个元素a,a₂,…,a 中任取m 个去填空，一个空位填一
个元素，则排列数A”根据分步乘法计数原理计算即可得到.
注意
(1)公式右边第一个因数为n, 后面每个因数都比它前面的 因数少1,最后一个因数是n-m+1, 共 m 个因数；
(2)全排列公式：A"= = (叫做 n的阶乘);规定0!= .
解决排列组合综合问题的基本原则
解决排列组合问题可遵循“先组合后排列”的原则，区分排列 组合问题主要是判断“有序”和“无序”,更重要的是弄清怎样 的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无 序”,可总结为：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合； 分类相加，分步相乘”
组合数公式： 二
(n,m∈N, 且 m≤n); 特别地，C=1.
A."=C"·A
42
从n 个不同 元素中取出 m 个元素的 排列数A
第 1 步 ，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数为C”;
…… → 第2步，将每一个组合中的m 个 不同元素作全排列，共有A 种 排列 .
性质
从 n 个不同元素中取出m 个 元素后，剩下n-m 个元素. “取法”与“剩法”是“一 一对应”的，所以种数相同.
从a,a₂,…,a 这 n+1 个
不同元素中取出m 个元素：
组合数的性质2:
一类不含有a;
一类含有a
组合数的性质1:
= +
考试要求
*理解排列的概念、组合的概念.
* 能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
图42-1
1. 排列问题
复习大纲
理解排列的概念，掌握求解排列问题的常 用方法
a.无限制条件的排列问题
(1) (经典题，5分)来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，,I
执行奥运会的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，每个 场地由两名来自不同国家的裁判组成，则不同的安排方案总数 有 ( )
A.48种 B.64 种 C.72 种 D.96 种
(2) (经典题，5分)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每 人各1本，则不同的送法有 种. (用数字作答)
295
数学 ·第42课 ·排列与组合
(8) (经典题，5分)将A,B,C,D,E 排成一列，要求A,B,C 在排列中 顺序为“A,B,C” 或“C,B,A” (可以不相邻),这样的排列数为( ) A.12 B.20 C.40 D.60
方法便笺
小 积 累
解定序排列问题的方法
定序问题，消序处理，即先不考虑顺序限制，整体进行排列 后，再除以定序元素的全排列.
对于某些顺序一定的元素(m 个)的排列问题，可先 把 这些元素与其他元素一起(共 n 个)进行排列，然后 用总排列数A" 除以m 个顺序一定的元素的全排列数
A", 即可得到不同排法种数， 图42-2
无约束条件的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没 有特别限制，这一类题目相对简单，分清元素和位置即可，一般 情况下涉及的“大数”是元素数，“小数”是位置数，必要时，要明 确完成这件事是需要进行分类还是分步.
b.有限制条件的排列问题
(3) (2018湖南联考，5分)“中国梦”的英文翻译为“China Dream”, 其中China 又可以简写为 CN, 从“CN Dream”中取6个不同的字母 排成一排，含有“ea” 字母组合(顺序不变)的不同排列共有( ) A.360 种 B.480 种 C.600 种 D.720 种
方法便笺
解有“相邻元素”的排列问题的方法
2. 组合问题
复习大纲
"理解组合的概念，掌握求解组合问题的常 用方法.
对于某些元素必须相邻的排列，通常采用“捆绑法”,即把 相邻元素看作一个整体和其他元素一起参与排列，再考虑这 个整体内部各元素间的顺序.
a.无限制条件的组合问题
(9) (经典题，5分)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医 生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )
A.60 种 B.70 种 C.75 种 D.150 种
小提示
对于无限制条件的组合问题，关键是能够从实际问题中建立组合 模型，弄清组合数C" 中 m,n 的值，进而用组合数公式进行计算.
(10) (2019浙江杭州校级模拟，4分)如图42- 3为钢丝构成的正 方体框架，钢丝构成的27个小正方体都相同， 一只蚂蚁沿钢丝 从0点出发到A点，路程最短的不同走法共有( )
(4) (2019北京海淀区二模，5分)学号分别为1,2,3,4的4位同学 排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则不同的排法种数为( ) A.2 B.4 C.6 D.8
(5) (2019广西柳州校级月考，5分)包含甲、乙在内的5人站成一 行，如果甲、乙不相邻，那么不同的排法种数是( )
A.12 B.36 C.72 D.120
方法便笺
42
解有“不相邻元素”的排列问题的方法
对于某些元素不相邻的排列，通常采用“插空法”,即先排 不受限制的元素，使每两个元素之间形成“空”,然后将不 相邻的元素进行“插空”.
注意：根据具体问题判断两端元素外是否还有“空”.
(6) (2019湖南益阳校级月考，5分)中国古代儒家要求学生掌握六 种基本才能(六艺):礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团周末开展 “六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，排课有如下要求： “射”不能排在第一，“数”不能排在最后，则“六艺”讲座不同的排 课顺序共有 种.
图42-3
A.1680 种 B.840 种 C.420 种 D.210 种
(7) (经典题，5分)用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字 的三位偶数的个数为( )
A.324 B.328 C.360 D.648
b.有限制条件的组合问题
(11) ( 经 典题，16分)从7名男生、5名女生中选取5人，分别求符 合下列条件的选法总数.
①A,B 必须当选；
方法便笺
解有特殊元素(位置)的排列问题的方法
解有特殊元素或特殊位置的排列组合问题， 一般先安排特殊元 素或特殊位置，再考虑其他元素或位置.当以元素为主或以位置 为主考虑时，要注意解题过程的统一性，切忌某些步骤考虑元 素，而某些步骤考虑位置.如“在”与“不在”的问题，常涉及特殊 元素或特殊位置，解题时也是先排列特殊元素或特殊位置.
296 数学 ·第42课 ·排列与组合
方法便笺
②A,B 必不当选；
解答有限制条件的组合应用题的基本方法
解答有限制条件的组合应用题的基本方法有“直接法”和“间 接法”(排 除 法 ) .
间接法
选择间接法的原则是“正难则反”,若正面问题的 分类较多、较复杂或计算量较大时，可以考虑从反 面问题入手，特别是涉及“至多”“至少”等组合问 题时更是如此，此时，正确理解“都不是”“不都是” “至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合 问题的关键.
③A,B 不全当选；
图42-4
④至少有2名女生当选；
排列、组合的综合问题
复习大纲
熟练运用排列组合的常用方法解决分组和 分配等问题 .
a. 简单的排列组合问题
(12) (2019吉林长春四模，5分)某学校要将4名实习教师分配到 3个班级，每个班级至少要分配1名实习教师，则不同的分配方案 有( )
⑤至多有2名女生当选；
A.24 种 B.36 种
42
C.48 种 D.72 种
(13) (2019哈尔滨道里区校级四模，5分)现将5名教师分到一中、 二中、三中、四中4所学校任教，每所学校至少分配1名教师，其中 甲教师必去一中，则不同的分配方法有( )
⑥既有男生又有女生；
A.48 种 B.60 种
C.72 种 D.108 种
小积累
解题口诀
排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加， 分步相乘
解题要点
① 仔细审题，判断“有序”和“无序”,从而确定是排列 问题还是组合问题.解决排列组合的综合问题可遵循 “先组合后排列”的原则.
解题时，要按元素的性质进行分类，按事件的发生过程 进行分步；深入分析，严密周详，分清是乘还是加，防 止重复和遗漏，要多角度分析，全面考虑.
③ 对限制条件较复杂的排列组合问题，要周密分析，设计 出合理的方案，把复杂问题分解成若干个简单的基本问 题后用两个计数原理来解决.
⑦必须有女生；
⑧至少有2名男生和2名女生.
图42-5
数学 ·第42课 ·排列与组合 297
直接法
用直接法求解时，应坚持“特殊元素优先选取” “特殊位置优先安排”的原则，优先选取特殊元素， 再选取其他元素.
b. 分组和分配问题
(14) (2019河南模拟，5分)某省示范高中将6名教师分配至3所 农村学校支教，每所学校至少分配一名教师，其中甲必去A 校，乙、 丙两名教师不能分配在同一所学校，则不同分配方法数为( )
A.36 B.96
C.114 D.130
方法便笺
分组问题的常见形式及处理方法
42
立 鱼
图42-6
298
(15) (2017浙江，4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副 队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1 名女生，共有 种不同的选法. (用数字作答)
数学 ·第42课
方法便笺
分配向题的常见形式及处理方法
图42-7
随堂普查练42
1.(经典题，5分) 某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方 仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言. (用数 字作答)
2. (经典题，5分)若A,B,C,D,E,F 六个不同元素排成一列，要求A 不排在两端，且B,C 相邻，则不同的排法有 种. (用数字 作答)
·排列与组合
常见形式
处理方法
实例分析
非均匀不
编号分组
将n个不同元素中的k (k≤n)个元素分成m组， 各组元素个数分别为N₁ N₂, …,N,且不考虑各组
间的顺序，其分法种数为 A=C"1.cn ·CaCN₁2)
N₁+N₂+…+Nm=k,
N₁ ≠N₂ ≠…≠Nm ·
例如：10人分成三组， 各组人数分别为2,3,5, 其分法种数为C₀C3Cξ; 若从10人中选出6人分 成三组，各组人数分别
为1,2,3,其分法种数 为 C C 3 C .
均匀不 编号分组
为
将n个不同元素中的k (k≤n)个元素分成m
组，假定其中r组元素个 数相同，且不考虑各组 间的顺序，其分法种数
(其中A为非均匀 不编号分组中的分法种 数),如果再有q组均匀 组，再除以Ag.
例如：10人分为三组， 各组人数分别为2,4,4,
其分法种数 若分成六组，各组人数 分别为1,1,2,2,2,2,其 分法种数为
非均匀 编号分组
将n个不同元素中的k
(k≤n)个元素分成m
组，各组元素数目均不 相同，且考虑各组间的顺 序，其分法种数为A ·Am
(其中A为非均匀不编 号分组中的分法种数).
例如：10人分成三组去 参加不同的劳动，各组 人数分别为2,3,5,其分 法种数为C?₀C³CSA3; 若从10人中选出9人
分成三组，参加不同的劳 动，各组人数分别为2, 3,4,其分法种数为
C₀C³CA3.
均匀编 号分组
将n个不同元素中的k (k≤n)个元素分成m
组，假定其中只有r组元 素个数相同，且考虑各 组间的顺序，其分法种 数为 · 其中A为
非均匀不编号分组中的 分法种数).
例如：10人分成三组，参 加三种不同的劳动，各组 人数分别为2,4,4,其分
法种数
常见形式
处理方法
实例分析
不同元 素的分配
若是定向分配，则可以 既定人又定数的按照分
步乘法计数原理直接 取；若是不定向分配， 则先分组后排列，即分 组方案数乘不同对象的 全排列数.
现有5名教师参加支教， 共有4个支教地点，每名 教师等可能地去这4个 支教地点支教，且只能去 一个地方，则恰有一个支 教地点没有教师去的情 况有多少种?
解：先分组，以4个支教
地点去的教师人数分配 情况(分为3,1,1,0 和2,2,1,0两种情况)
分类计算分组数，即为
;再排列， 则恰有一个支教地点没有
教师去的情况
种 )
注意：4组中有2组人数
相同，计算每类的分组 数时要除以A2.
相同元 素的分配
除利用分类讨论方 法外，也可以利用 “隔板法” .
为了支援贫困地区，某
地教育部门准备将12 个志愿者名额分配给4 个学校，则每校至少有 一个名额的分配方法有 多少种?
解 ：把12个志愿者名额
排成一排，插入3个“隔 板”,将12个志愿者名额 分成4组，而这12个志 愿者名额中间有11个空 隙，则分配方法有C}= 165种.
(3)任何两个男生都不相邻，有多少种排法?
3.(2018北京海淀模拟，5分) 一次数学会议中，有5位教师来自A, B,C 三所学校，其中A 学校有2位，B学校有2位，C 学校有1位. 现在五位教师排成一排照相，若要求来自同一学校的教师不相邻， 则共有 种不同的站队方法.
4. (2019北京顺义区一模，5分)4种不同的产品排成一排参加展 览，要求甲、乙两种产品之间至少有1种其他产品，则不同排列方 法的种数是( )
A.12 B.10
C.8 D.6
5. (2019广东广州天河区一模，5分)2位男生和3位女生共5位同 学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同的排法 种数是( )
A.36 B.24
C.72 D.144
(4)3名男生不排在一起，有多少种排法?
(5)男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2名女生，女生又不能 排在队伍的两端，有多少种排法?
6 . (经典题，10分)3男3女共6个同学排成一行.
(1)女生都排在一起，有多少种排法?
(2)女生与男生相间，有多少种排法?
7.(经典题，5分)设集合A={(x₁,x₂,x₃,x₄,x₅)|x;∈{-1,0,1},
i=1,2,3,4,5}, 那么集合A中满足条件“1≤|x₁l+|x₂|+|x₃|+ |x₄ I+|x₅ l≤3” 的元素个数为( )
A.60 B.90
C.120 D.130
8. (2019福建南平期末，5分)将4名学生分配到5间宿舍中的任 意2间住宿，每间宿舍2人，则不同的分配方法有( )
A.240 种 B.120 种
C.90 种 D.60 种
9.(经典题，5分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对， 其中所成的角为60°的共有( )
A.24 对 B.30 对
C.48 对 D.60 对
42
10. (2018浙江，4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中 任取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的四位数. (用数字作答)
11. (2019湖南邵阳三模，5分)将标号为1,2,3,4的四个小球放入 标号为1,2,3的三个盒子中，每个盒子至少放一个球，且标号为1, 2的两个小球不能放入同一个盒子中，则不同的放法有( )
A.20 种 B.15 种
299
C.42 种 D.30 种 数学 ·第42课 ·排列与组合
12. (2018甘肃联考，5分)某学校为了更好地培养尖子生，使其全 (4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
面发展，决定由3名教师对5名尖子生进行“包教”,要求每名教师 的“包教”学生不超过2人，则不同的“包教”方案有( )
A.60 种 B.90 种
C.150 种 D.120 种
13. (经典题，14分)按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不 同的分配方式?
(1)分成3份，1份1本，1份2本，1份3本；
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
(6)甲、乙、丙三人中，1人得4本，另外两人每人得1本；
(3)平均分成三份，每份2本；
42 (7)甲得1本，乙得1本，丙得4本.
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容 楼 )
…
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小 个 所
300
07
4.9)
数学 ·第42课 ·排列与组合
第43课 二项式定理
普查讲43 二项式定理
二项式定理
二项式系数
项的系数
二项式系数与项的系数
二项式系数与项的系数是两个不同的概念，二项式系数是指C,CH, … ,C;, 它只与各项的项数有关，而与a,b 的值无关；
而项的系数不仅与各项的项数有关，也与a,b 的值有关，如(a+bx)” 的展开式中，第r+1 项的二项式系数是C?, 而项的系数 是C,a"--b.
43
二项式系数的性质
二项式系数最大的项必定是中间的一项或两项，而系数最大的项 不一定是中间项.
*能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.
*会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单 问 题 .
图43-1
数学 ·第43课 ·二项式定理
301
定理
(a+b)°=_ (n∈N").
帮你记：
各项的次数和都等于二项式的幂指数n;
字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列、从第一项起，次数由0逐项加1直到n
通项
T+= ,它表示第 项 .
注意：
(a+b)”与(b+a)的第r+1项的区别：
(a+b)与(b+a)虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，(a+b)的展开式的第r+1项C;a¹-+b和(b+a)
的展开式的第r+1项C:b”-a’是有区别的.应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换的.
(a+b)” 的二项展开式共有 项，其中各项的系数C:(r∈{0,1,2,…,n}) 叫做二项式系数.
项的系数指该项中除变量外的常数部分.
性质
内容
对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即
增减性
二项式系数C
, 是 的 .
当
(n∈N')时，是_____的.
最大值
当n为奇数时，中间两项__与 同时取得最大值.
当n为偶数时，中间一项 取得最大值.
各二项式 系数的和
(a+b)”展开式的各二项式系数的和等于_ :C+C!+C²+…+C= .
在(a+b)的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C+C²+C+…=Cl+ C³+CS+…= .
三组题讲透
1. 二项式定理及二项展开式的通项公式的应用
复习大纲
掌握二项式定理及二项展开式的通项公 式，会用二项式定理及二项展开式的通项公 式求二项展开式中的特定项、项的系数和二 项式系数.
a.求展开式中的特定项或特定项的系数
(1)(2019天津，5分) 的展开式中的常数项为_
(2)(2019浙江，6分)在二项式( √ 2+x)⁹ 的展开式中，常数项 是 ,系数为有理数的项的个数是
方 法 便 笺
求展开式中的特定项或特定项的系数的方法
求展开式中的特定项，主要考查(a+b) 的展开式的通项公式 T,+1=Ca"=b 的运用，一般需要借助方程的思想求未知数r, 再将r 的值代回通项公式求解，注意r 的取值范围(r=0,1,2, …,n).
Q 一○求第m 项，此时令r+1=m, 即r=m-1, 代回通项公式 求解；
O 一○求常数项，即这项不含变量，令通项中变量的幂指数为
0,建立方程求解；
O 一○求有理项，令通项中变量的幂指数为整数，建立方程求解.
求特定项的系数及相关参数值，可依据上述方法求解.
图43-2
(3)(2019全国Ⅲ,5分)(1+2x²)(1+x)⁴ 的展开式中x³ 的系数 为( )
A.12 B.16
C.20 D.24
方法便笺
求 形 如( a+b)"(c+d ) 的式子中与特定项相关的量
第二步
第一步 第三步
根据特定项的次数，分 析特定项可由(a+b)m 与 (c+d)”. 的展开式中的哪 些项相乘得到(如x²项 可 由常数项与x²项或x-¹项与 x³项等相乘得到);
把相乘后 的项相加 即可得到 特定项， 从而解决 问题.
分别写出(a+ b)m与(c+d)” 的二项展开式 的通项；
图43-3
(4)(经典题，5分)( x²+x+y)⁵ 的展开式中，x³⁵y²的系数为( )
A.10 B.20
C.30 D.60
方 法 便 笺
(a+b+c ) 展开式中特定项的求解方法
将三项式利用因式分解变为两个二项式 的积，然后再用二项式定理求解问题.
将三项式分成两组，用二项式定理展 开，再把其中含二项式的项展开，从而 求解问题.
把 (a+b+c)” 看成n 个(a+b+c) 的
积，利用组合知识分析项的构成.
因式分 解法
逐层展 开法
组合知 识法
方法
技巧
图43-4
b. 求二项展开式中某项的二项式系数
(5)(经典题，5分) 的展开式中，第4项的二项式系数 是_ ,第4项的系数是 .
变 式 思 考
(经典题，5分)已知的展开式中第4项的二项式系数
为20 ,的展开式中的常数项为( )
A.60 B.-60
C.80 D.-80
小 提 示
利用二项式系数的定义求得n=6, 的展开式的通 项公式中，令x 的幂指数等于零，求得r 的值，代回通项公式可得 展开式中的常数项.
小 积 累
(a+b)” 的二项式系数指的是C'(r=0,1,2, … ,n), 它只与各项 的项数有关，与a,b 的值无关；而项的系数不仅与各项的项数有 关，也与a,b 的值有关.二项式系数与项的系数不一定相等
二项式系数的性质及应用
a. 二项式系数的和与各项的系数和问题
(6)(2018北京朝阳模拟，5分)的展开式的二项式系 数之和为8,则 n = , 其 展 开 式 中 含项 的 系 数 为 . (用数字作答)
复习大纲
掌握二项式系数的和与二项展开式中各项 的系数的和的求法，能够应用二项式系数的 性质解决二项式系数与项的系数的和的最值 问题
43
302
数学 ·第43课 ·二项式定理
(7)(2019四川南充模拟，5分)如的展开式中只有第 4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数和是( ) A.0 B.256 C.64 D
(8)(2019浙江绍兴三模，6分)若(2x-1)⁵(x+2)=a+a₁(x-
1)+…+as(x-1)⁵+a₆(x-1)⁶, 则 a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆= ,a₅=
(9)(经典题，5分)已知(1+x)”的展开式中第4项与第8项的二 项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
方 法 便 笺
同莎，中组 二项式系数的最值问题
求展开式中的二项式系数的最大值，如果二项式的幂指数n 是偶
数，中间项是第 项，其二项式系数 最大；如果二项式
的幂指数 n 是奇数，中间项有两项，即为第项 和 第
项，它们的二项式系数和 相等且最大.
(12)(经典题，5分)(x+2y)⁷ 的展开式中，系数最大的项是( )
A.68y⁷ B.112x³y⁴
C.672x²y⁵ D.1344x²y⁵
A.2¹² B.2" C.2¹⁰ D.2⁹
方 法 便 笺
方 法 便 笺
项的系数的最值问题
巧用赋值法解决二项式定理中的系数和问题
求常规二项展开式中的系数最大项时，可设第r+1 项的系数t,+1
赋值法求系数和
求二项式
(a+b)"=C°a"+Cla¹-1b+…+Cka®-*b*+ …+ Cb”(n∈N').
最大，然后解不等式即可.
系数和
令a=b=1, 则2”= (1+1)”=C⁰+C¹+
…+C+ …+C".
令a=1,b=-1, 则0=(1- 1)"=C
-Cl+C²-C³+…+C(-1), 即偶数 项的二项式系数和等于奇数项的二 项式系数和，也即C!+C³+C⁵+…
=C+C²+C⁴+…=20-1.
3. 二项式定理的应用
掌握应用二项式定理处理近似计算问题、 整除问题及证明有关的不等式问题的方法.
a. 应用二项式定理解决近似计算问题
(13)(经典题，6分)求0.998⁶的近似值，使误差小于0.001.
求各项系
数和
①形如(ax+b)”,(ax²+bx+c)"(a,b,c∈
R) 的式子求各项系数之和，只需令x=1,
则(ax+b)”,(ax²+bx+c)m 的各项系数之 和分别为(a+b)”,(a+b+c)".
②形如(ax+by)"
(a,b∈R) 的式子 求各项系数之和， 只需令x=y=1,
则(ax +by)”的 各 项系数之和为(a+ b).
43
③ 若f(x)=a%+a,x+a₂x²+ …+
a x”, 则f(x) 的各项系数之和为 f(1), 奇数项系数之和为a₀+
偶数项
系数之和为 a₁+a₃+a₅+ …=
图43-5
b. 二项式系数和项的系数的最值问题
小 积 累
(1+x)"=1+Cx+C²x²+…+C"x”, 当 x 的绝对值与1相比很 小时，x²,x³,…,x” 等项的绝对值都很小，在精确度允许的范围内 可以忽略不计，所以可用近似计算公式(1+x)"≈1+nx 解决近 似计算问题.在使用这个公式时，要注意按题目对精确度的要求 来确定展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可使用更精
(10)(2019安徽模拟，5分)若二项 的展开式中，只 有第5项的二项式系数最大，则展开式中x⁻¹ 的系数为 (用数字作答)
来计算.
303
(11)(经典题，5分)设m 为正整数，(x+y)²”展开式的二项式系数 的最大值为a,(x+y)2ᵐ*¹ 展开式的二项式系数的最大值为 b, 若 13a=7b, 则m 等于( )
A.5 B.6 C.7 D.8
数学 ·第43课 ·二项式定理
b. 应用二项式定理解决整除问题
(14)(经典题，5分)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余 除法有较深的研究.设a,b,m(m>0) 为整数，若a 和 b 被 m 除得的 余数相同，则称a 和 b 对 模 m 同余，记为a=b(md m). 若 a= C20+C2 ·2+C20 ·2²+…+C20 ·22⁰,a=b(md 10),则 b 的值可 以是( )
2. (2019浙江杭州模拟，4分)在二项式)的展开 式中，若含x⁷ 项的系数为- 10,则a=_ ·
3. (2017全国Ⅲ,5分)(x+y)(2x-y)⁵ 的展开式中x³y³ 的系数 为( )
A.-80 B.-40 C.40 D.80
A.2011 B.2012
4. (2019山东菏泽三模，5分)已知二项N*) 的 展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5,则x³ 的系数 为( )
A.14 B.-14 C.240 D.-240
C.2013 D.2014
方 法 便 笺
应用二项式定理解决整除问题的方法
5. (经典题，5分)的展开式中各项系数 的和为16,则展开式中x³项的系数为( )
用二项式定理处理整除问题，需要构造一个与题目有关的二 项式，通常把被除数的幂的底数写成除数(或与除数密切相关 的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只需 考虑后面(或前面)的一项或两项即可.
注意：在解决问题时要注意余数的范围， a=c ·r+b(b 为余 数 ，b∈(0,r),r 是除数),利用二项式定理展开变形后，若 剩余部分是负数，要注意转换为正数.
A B C.57 D.33
图43-6
C. 应用二项式定理证明有关的不等式
(15)(经典题，6分)用二项式定理证明2">2n+1(n≥3,n∈N*).
6. (2019陕西三模，5分)已知在(3 √x+x³)”的展开式中，各项系 数之和与二项式系数之和的等差中项是528,则展开式中二项式系 数最大的项为( )
A.270x² 与 9 0x³ B.90x² 与270x3
C.270x⁷ 与90x⁶ D.90x⁷ 与270x⁶
7. (经典题，5分)已知(x+1)¹⁰=a₁+a₂x+a₃x²+ …+a₁x¹⁰ . 若数 列a₁,a₂,a₃,…,a(1 ≤k≤11,k∈N°) k
的最大值是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
43
方法便笺
8. (经典题，6分)已知f(x)=(2x-3)” 展开式的二项式系数和为
512,且(2x-3)"=a+a₁(x-1)+a₂(x-1)²+…+a 。(x-1)".
应用二项式定理证明不等式的方法
(1)a₂ 的值为 ;
用二项式定理证明不等式时，通常表现为二项式定理的 正用或逆用，有时需要构造二项式，再结合不等式证明 的方法进行论证；
(2)a₁+a₂+a₃+…+a 的 值 为
2
证明不等式时，应注意运用放缩法，即对结论不构成影 响的若干项可以去掉.
9. (经典题，5分)设a∈Z, 且0≤a11” 的概率
C.事 件“m=2”与“m≠3”互为对立事件
D. 事件“m 是奇数”与“a=b”互为互斥事件
7. (2019天津模拟，13分)根据调查，某学校开设了“街舞”“围棋” “武术”三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：
社团
街舞
围棋
武术
人数
320
240
200
3. (2016天津，5分)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是,甲 获胜的概率,则甲不输的概率为( )
为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中 抽取一个容量为n 的样本.已知从“围棋”社团抽取的同学比从“街 舞”社团抽取的同学少2人.
(I) 求三个社团分别抽取了多少同学；
A. B
C. D
4. (2019全国Ⅱ,5分)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量 过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过 该指标的概率为( )
A B
C D
(Ⅱ)已知“围棋”社团被抽取的同学中有2名女生，若从“围棋”社 团抽取的同学中选出2人担任该社团活动的监督职务，求至少有 1名女生被选中担任监督职务的概率.
5. (经典题，5分)某学校五一放假4天，学校要求每天必须有1名 校长值班，该校有正校长1名，副校长2名，正校长主动要求值班 2天，若随机为他们排班，且每名校长都要值班，则正校长不连续值 班的概率为( )
A B
C D
310
6. (2019北京模拟，13分)高一某班级在学校数学嘉年华活动中推 出了一款数学游戏，受到大家的一致追捧.游戏规则如下：游戏参 与者连续抛掷一颗质地均匀的骰子，记第i 次得到的点数为x;, 若 存在正整数n, 使得x₁+x₂+…+xn=6, 则 n 称为游戏参与者的幸
运数字.
数学 ·第44课 ·随机事件的概率与古典概型
第 4 5 课 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
普查讲45 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
离散型随机变量的定义
随着试验结果变化而变化的量称为随机变量，常用 字母X,Y,ζ,η, … 表示.所有取值可以一一列出 的随机变量，称为离散型随机变量.
离散型随机变量的分布列的性质
①p:≥0,i=1,2,…,n;
②p₁+P₂+P₃+…+P;+…+pₙ=1.
离散型随机变量及其分布列
一般地，若离散型随机变量X 的分布列为
X
x1
x2
…
x;
…
xn
P
P1
P₂
…
Pi
…
Pa
①称E(X)=xD₁+x₂D₂+…+x;D:+…+x₀D。为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
② p 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E(X) 的平均偏离程度，其算术平方根
离散型随机变量的分布列
设离散型随机变量X可能取的不同值为x₁,x₂,…,x;,…,xa,X 取每一
个值x;(i=1,2,…,n) 的概率P(X=x;)=p;, 则称表：
X
x¹
x2
…
Xi
…
。
P
P1
P2
…
Pi
…
Pn
为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.
√D(X ) 为随机变量X 的标准差.
③ 均 值 与 方 差 的 性 质
①E(aX+b)= (a,b 为实数);
均 值与方差的关系
D(X)=_
两点分布的概念：如果随机变量X 的分布列为
② E(ζ+η)= _; ③D(aX+b)= (a,b 为实数)
两 点 分 布
.
X
1
0
P
P
q
其 中 0 0 且 a ≠ 1 ( x > 0 ) ; x ( x ≠ 0 ) ;
数形结 合法
求 复 合 函 数 的 定 义 域 不等式法
求 解 原 则 ：
① 定 义 域 是 自 变 量 的 取 值 范 围 ； 利用函数
单调性
② 括 号 内 的 取 值 范 围 不 变 .
y=fL g (x)] y=f(x)
定 义 域 ： x ∈ A⇔ g(x)∈B → 定 义 域 ： x ∈ B 利用函数
的有界性
f ( · ) 括 号 内 的 取 值 范 围 不 变
分段函数与复合函数
求函数解析式的常用方法
O分段函数
配 凑 法 ○ 将 函 数 f [ g ( x ) ] 的 解 析 式 改 写 成 关 于 g ( x ) 的 形 式 ，
再 将 解 析 式 两 边 的 g ( x ) 用 x 代 替 即 可 .
换元法Ox换, [()[]g中( )g]()解,tg，(x,得 到
f ( t ) 的 解 析 式 .
注 意 使 用 换 元 法 时 ， 一 定 要 给 出 新 变 量 的 取 值 范 围 . 定义域 值域
待定系 数法
O
若 已 知 函 数 f ( x ) 的 类 型 ( 如 一 次 函 数 、 二 次 函 数 、 反 比 例 函 数 ) , 可 设 出 其 解 析 式 ， 利 用 已 知 条 件 建 立 方 程 ( 组 ) . 求 出 待 定 系 数 进 而 得 到 f ( x ) 的 解 析 式 .
自 变 量 不 同 的 取 值 范 围 对 应 不 同 的 对 应关系
注 意 ： 分 段 函 数 “ 分 段 ” 研 究 .
○ 复 合 函 数
函数方 程法
将 f ( x ) 作 为 一 个 未 知 数 来 考 虑 ， 建 立 方 程 ( 组 ) , 消 去 其 他 的 未 知数便得f(x)的解析式.
y=f[g(x)]
函 数 f [ g ( x ) ] 的 定 义 域 ， 即 x 的 取 值 范 围
函 数 g ( x ) 的值域，即
f ( u ) 的 定 义域
函 数 f ( n ) 的 值域，即函数 f[g(x)]
的值域
注 意 ： 复 合 函 数 “ 分 层 ” 研 究 .
函数的基本性质及图像变换
三级知识线索
函数的基本性质及 图像变换知识主线
函数的基本性质及图 像变换二级知识线索
一级知识点 O 二级知识点
·三级知识点
函数的概念与性质2
Q
单调性
判断函数单调性的常用方法
Q
利用导函数
导函数的正负决定
原函数的增减性.
定义法
利用常用结论
O
定义
函 数f(x) 与 f(x)+c(c 为常数)具有相同的单调性；
当c>0 时，函数f(x) 与 f(x) 具有相同的单调性；
复合函数
的单调性 “同增异减”
Vx₁,x₂∈ 区 间D (定义域的子集), xi0)
y=f(x) 向下平移6个单位长度(b>0) 一
数学 ·重点知识图谱05
①函数y=f(x) 是奇函数⇔图 像关于原点对称；
函数y=f(x) 是偶函数⇔图像 关于y 轴对称，
②两个奇偶函数四则运算的性质：
a. 两个奇函数的和仍为奇函数；
h. 两个偶函数的和仍为偶函数；
c. 两个奇函数的积是偶函数；
d. 两个偶函数的积是偶函数；
e. 一个奇函数与一个偶函数的 积是奇函数.
判断函数奇偶 性的常用方法
①定义法；
②图像法；
③利用两个奇偶函数四 则运算的性质.
O 奇偶性与单调性
奇(偶)函数在对称 区间上的单调性是相 同(反)的.
O
表示周 期的常 见形式
y=f(x+a)
y=f(x-a)
y=f(x)+b y=f(x)-b
设 m≠0, 则
①f(x+m)=f(x)⇔T=m;
②f(x+m)=-f(x)T=2m;④f(x+m)=f(x-m)⇔T=2m.
伸缩变换
O
①横向仲缩
y=f(x) 横坐标变为原来的吉倍(m>0)y=f(cm)
②纵向伸缩
y=f(x) 纵坐标变为原来的A 倍 ( 4 > 0 )s y=Af(x)
O 对称变换
①y=f(x) 与 y=f(-x) 的图像关于y 轴对称；
②y=f(x) 与 y=-f(x) 的图像关于x 轴对称；
③y=f(x) 与 y=-f(-x) 的图像关于原点对称；
④y=f(x) 与 y=f(2a-x) 的图像关于直 线x=a 对 称 ；
⑤y=f (x) 与 y=-f(2a-x) 的图像关于点(a,0) 对称 .
O 翻折变换
①y=|f(x) | 的图像：可将y=f(x) 的图像在x 轴下方的部分关 于x 轴翻折，其余部分不变；
②y=f(1x1) 的 图 像：可先作出 y=f(x)(x≥0) 的图像，再利 用偶函数的图像关于y 轴对称的性质，作出y=f(xXx0,b>0,r,s 为任 意有理数，则
①aa'=a";
②a÷a³=a;
③(a²)'=a";
④(ab)'=a'b.
◎对数函数
O
对数定义 当a>0, 且a≠1 时，
a⁹=N-
lg.N=x
对数
一指数
底数
底数 幂值
真数
O 幂函数
O Q
定义 幂函数的图像
y=x³
0
指数函数
y=a² (a >0, 且a≠1)
指数
底数
O
对数的运算性 质和换底公式
如果a>0, 且a≠1,M>0,
N>0, 那么:
①lg.(M·V)=lg.M+lg.N;
③lgM'=nlg.M(n∈R). 如果a>0,a≠1,b>0,b≠1,
m>0, 则：
○底数对指数函数图像的影响
大
/y=b
指数函数的
① 个y=a
图像与性质
小
0
x
00;
Vx,x₂∈(a,b),f(x₁)>g(x₂) 恒成立⇔ f(x)min>g(x)m;
Vx∈(a,b),f(x)0;
3x,x₂∈(a,b),f(x₁)>g(x₂) 成 立⇔ f(x)>g(x)mi;
3x∈(a,b),f(x₀)1).
O-
Q
乘方性质
若a>b>0,c>d>0, 则ac>bd.
若 a>b>0, 则 Va>
"6(n∈N",n>1). O 开方性质
若a>b, 则 a+c>b+c.
倒数性质○
若a>b>0, 则
若 a>b, 则 bb,b>c, 则 a>c.
若a>b,c>0, 则 ac>be;
若 a>b,c0)的根
两个不等实数根
两个相等实数根
没有实数根
ax²+bx+c>0(a>0)的解集
{x |xx₂}
R
ax²+bx+c0)的解集
{x1x₁0,
那么
当且仅当a=b 时 ， 等号成立.
数学 ·重点知识图谱16
基本不等式的几种变形公式
● a²+b²≥2ab,
(去6)≤² ± b,(a+b²≥4ab.
· ²±²≥±6≥
b>0). 当且仅当a=b 时，以上各式取 等号.
两个重
要结论
均值不等式
如果x,y∈(0,+∞), 且 xy=P ( 定 值 ) , 那么当x=y=√P 时 ，x+y 有最小值2 √P.
如果x,y∈(0,+∞), 且 x+y=S ( 定 值 ) ,
那么当时 ，xy 有最大值
记忆口诀：积定和最小，和定积最大.
空间几何体知识主线
空间几何体二级知识线索
O
三级知识线索
一级知识点 二级知识点 三级知识点
空间几何体
常见几何体
棱柱
O
特例
● 斜棱柱
● 直棱柱
● 正棱柱
● 平行六面体
● 直平行六面体
圆 柱 圆 锥
棱锥
特例
● 正棱锥
· 正四面体
圆台
○ 棱 台 特例
· 正棱台
0球
◎几何体的斜二测画法
O 直观图
斜二测画法画几何体直观图的步骤
① 在已知图形中取互相垂直的x 轴 和y 轴，两轴交于点0,再作Oz 轴，使LxOz=90°, 且 ∠yOz
=90°.画直观图时，把Ox,0y,Oz 画成对应轴 O'x',0'y,O'z', 且 使Lx'0y'=45° (或135°),
Lx'Oz'=∠y'Oz'=90°,x'0y 所确定的平面表示水平面；
② 已知图形中平行于x 轴 、y 轴或 z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴 、y′轴或z′轴的 线段；
空间几何体
③ 已知图形中平行于x 轴 或z 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，长度 变为原来的一半.
几何体的表面积与体积
表面积 O
体积
体积公式
· 柱体的体积： V=Sh
· 锥体的体积：1
● 球的体积：
A
2πr
求几何体体积的常用方法
● 公式法
· 等积变换法
● 割补法
圆柱的表面积：S=2π²+2πrl
·O
1
球的表面积： S=4π²
圆锥的表面积：S=π²+πrl
数学 ·重点知识图谱17
355
图例
立体几何平行与垂直
直线、平面的位置关系知识主线
直线、平面的位置关系二级知识线索
三级知识线索
一级知识点
O 二级知识点 三级知识点
平行 几何法
C
面面平行的证明方法
O线
线平行的证明方法 几何法
利用面面平行的判定定理证明 向量法
方法一
利用两平面 个法向量满
方法二
证明一个平 内的两条相
→a//β.
的法向量n₁,n2平行证明，即证两 足线性关系n₁=λn2(λ为非零实数).
面的法向量n,垂直于另一个平面 交直线的方向向量l,I₂.
①
②
利用平行四边形证明
③
利用三角形中位线证明
利用空间 平行线的传递性证明
L
m
1//m.
1//m.
l₂
④ ⑤
⑥
利用线面平行的性质定理证明
利用面面平行的性质定理证明
l.//a,L₁Cβ,a∩β=I₂ →L₁//l2.
利用
l₂
线面垂直的性质定理证明
a
l
Ll₁ ⊥a,L⊥a→L;//L₂.
β ∩y=L₂ →L//l₂.
向量法
利用两条直线的方向向量I₁与I₂ 平行证明，即证两个向量满足线性关系L₁= ₂ (λ为非零实数).
垂直
Q
9线面平行的证明方法 几何法
①
②
向量法
利用直线的方向向量1与平面 的法向量n垂直证明，即证
1 ·n=0.
9面面垂直的证明方法
O线面垂直的证明方法
356
◎线线垂直的证明方法
① 利用等腰三角形三线合一的性
质证明
A
几何法
C
/H
B∠ // D
② 利用勾股定理的逆定理 证明
③ 利用线面垂直的性质 证明
4
l₂
l₂.
a
l₁ ⊥a,L₂Ca→l⊥
₁与 l₂垂
利用两直线的方向向量l
向量法
直证明，即证L₁ · l₂=0 .
几何法
① 利用线面垂直的判定定理证明
1⊥l₁,l⊥l₂,L₁,l₂Ca,
la.
质定理证明
l₁ ∩l₂=P→l
② 利用面面垂直的性
,I Cβ,
α⊥β,a∩β=m llm→lla.
数学 · 重点知识图谱18
利用面面垂直的判定定理证明 几何法
lla,ICβ→ β⊥α.
向量法
利用两平面的法向量n₁与n₂垂直
证明，即证n₁ · n₂=0 .
向量法 方法一
利用直线的方向向量l与平 面内两条相交直线的方向向 量L₁, l₂分别垂直证明，即证
1 ·L₁=0,1 ·I₂=0.
方法二
利用直线的方向向量1与平 面的法向量n平行证明，即 证I=λn(λ为非零实数).
三级知识线索
夹角知识主线 距离知识主线
图例
一级知识点 二级知识点
O
夹角二级知识线索 距离二级知识线索
立体几何空间角与距离
夹 角 距 离
点到面的距离
线 线 角 9几何法
等积变换法
此种方法多用 于三棱锥，将 点到平面的距 离看作三棱锥 的高，利用等 积变换法求解.
几何法
定义法
过点作平面的垂线 段，构建包含该垂
线段的直角三角形
求解 .
O 向量法
求异面直线所成角的几何法也叫平移法、定义法.过一条直线上的已知点(线 段中点、线段端点等特殊点)作另一条直线的平行线，使异面直线转化为相 交直线，则相交直线的夹角即为异面直线所成角.将上述作出的角放在三角形 中，利用解三角形的相关知识进行求解.
直线平移的常用方法
利用特殊点(线段的端点、
中点等)作平移.
补形平移.
利用几何体中已有的平
行线平移.
P 0
D
F
D' C' 4
n
E
B B'
B′
A 口d
a
Dl C A C A< C D
d=IPlcs8l=PA.P·n
A B B
IPAIIni
PA·n
O 向量法 m
O 线到面的距离
分别求出两条异面直线的方向向量 l₁,l₂, 由两个向量的数量积公式 I·L₂=
I₁Il₂I cs可得两向量夹角的余弦值为cs(l, ,利用该余弦
-1
P
值得到两向量的夹角，进而得到异面直线所成角.
O 注意 异面直线所成角的范围为(0°,90°).
α
O 线 面 角
几何法
O
①找到或作出过直线上一点的平面
的垂线，连接垂足与线面交点，构
建包含线面所成角的直角三角形；
l
P
Q
a P'
②在直角三角形内求解线面所成角.
◎ 二 面 角
几何法
O
①在二面角的校上任取一点，过该点在
两个半平面内分别作棱的垂线，得到二
面角的平面角，构建与该角相关的三角形；
综上，sinθ=I cs1,即线面所成角的正弦值等于直 线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值.
向量法
当两个半平面的法向量一个指向二面 角内部，一个指向二面角外部时，二 面角余弦值等于法向量夹角余弦值；
○注意
当两个半平面的法向量同时指向二 面角内部或同时指向二面角外部时， 二面角余弦值等于法向量夹角余弦 值的相反数.
直线与平面所成角的范围为[0°,90°1.
0 注 意 向量法
O
1
1
n
n
0
θ
sinθ=-cs0),
表示圆心为(a,b), 半径为r 的圆. (4
O 圆的一般方程： O 直线与圆的位置关系
x²+y²+Dx+Ey+F=0(D²+E²-4F>0),
表示圆心为
半径为 的圆 .
6直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交.
圆与圆的位置关系
O 圆与圆的位置关系有五种：
外离、外切、相交、内切、内含.
若已知条件与圆心(a,b) 和半径r有关， 则选择圆的标准方程求解.
待定系数法确定圆的方程
◎几何法判断两圆位置关系：
若两圆的半径为r₁,r₂(r₁≠r₂), 圆心距 为d, 则
d>n+r₂⇔ 两圆外离
d=ri+r₂⇔ 两圆外切
Ir-r₂l0)
y²=-2px(p>0)
x²=2py(p>0)
x²=-2py(p>0)
y↑
y=2
F
0
离心率e=1
图 例
一级知识点
二级知识点
O
直线与圆锥曲线知识主线
直线与圆锥曲线二级知识线索
直线与圆锥曲线
直线与圆锥曲线的位置关系的判断
圆锥曲线中的弦长问题
○常用方法
联立直线与圆锥曲线的方程，消元后，得到方程ax²+bx+ c=0 或ay²+by+c=0.
当 a≠0 时，考虑一元二次方程的判别式△:
△>0台直线与圆锥曲线相交，且有两个交点； · △=0⇔直线与圆锥曲线相切，仅有一个交点； · △0 时，就转 化为不等式f(x)>0, 借助于函数的图像与性质解决有关问题；
●数列的通项或前n 项和是自变量为正整数的函数；
●函数f(x)=(a+bx)"(n∈N) 与二项式定理是密切相关的；
●解析几何中的许多问题，例如直线与曲线的位置关系，需要通过解 二元方程组才能解决，涉及二次方程与二次函数的有关理论；
·立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方 程(组)或建立函数关系式的方法加以解决.
转化与化归应遵循的基本原则
O
在运用转化与化归思想分 析和解决问题时，要注意 的内容
把什么问题进行转化，即化归 对象；
化归到何处去，即化归目标： 如何进行化归，即化归方法。
熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用 已有的经验、熟知的知识和解题模式来解题；
转化与化归的基本类型
① 正与反、一般与特殊的转化；
② 常量与变量的转化；
③数与形的转化；
④ 数学各分支之间的转化；
⑤ 相等与不相等之间的转化；
⑥实际问题与数学模型的转化.
简单化原则：将复杂的问题化归为简单的问题，通过对简单问题 的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；
和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与 形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其变为有利于运 用菜种数学方法或使其符合人们的思维规律；
368
直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决； 正难则反原则：当问题从正面讨论遇到困难时， 可考虑问题的 反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解.
数学 ·重点知识图谱30
高中数学常用公式
交 集 的 性 质 O
对于任意两个集合A,B, 都有
(1)A∩B=B∩A;
(2)A∩A=A;
(3)A∩ø=Ø∩A=Ø;
( 4 ) 若ASB, 则A∩B=A.
a'a³=a⁺(a>0,r,s∈Q) (a²)=a"(a>0,r,s∈Q)
(ab)=ab(a>0,b>0,r∈Q)
注：上述有理数指数幂的运算法则， 对于无理数指数幂也适用.
并 集 的 性 质
都有
对于任意两个集合A,B,
(1)AUB=BUA;
(2)AUA=A;
(3)AU=ØUA=A;
( 4 ) 若ASB, 则AUB=B.
分 数 指 数 幂
O
有 理 指 数 幂
的 运 算 法 则
根 式 的 性 质
补 集 的 性 质 对于任意两个集合A,B, 都有
(1)AUCuA=U;
(2)A∩CuA=Ø;
(3)C(CuA)=A;
(4)(A∩B)=CAUC,B;
(5)C,(AUB)=CA∩C₄B.
集 合 中 子 集 的 个 数
集合{a,a2,…,an} 的子集有2个；真子集有(2°-1)个；
非空子集有(2”-1)个；非空真子集有(2"-2)个.
a=a(a>0,n∈N', 且 n>1)
9a“=”a(a>0,m,n∈N, 且n>1)
00的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义
("a)"=a ( 注 意a 必须使"a 有意义，n∈N°,n>1)
为奇数时，"a"=a;
O
当n(n>1,n∈N)
为偶数时，
当 n(n>1,n∈N)
导 数 的 运 算 法 则
O
指 数 式 与 对 O 数 式 的 互 化
lg 。N=b⇔a⁶=N(a>0,a≠1,N>0).
几 种 常 见 函
数 的 导 数
O c′=0(c为常数) O(x^)'=nx²-¹(n∈Q')
O(sinx)'=csx
对数的运算法则
若 a>0,a≠1,M>0,N>0, 则
(1)lg 。(M·N)=lgM+lg 。N;
(2)
(3)lg₀M"=nlg.M(n∈R).
对 数 的 性 质
若N,a,b>0, 且a,b≠1, 则
(1) (换底公式);
(2) lgb(m≠0,m,n∈R);
同 角 三 角 函 数
的 基 本 关 系 式
sin²0+cs²0=1,tanθ=ss.
(u±D)′=u'±v' (wm)'=u'v+w’
O
O (csx)'=-sinx
Q(a³)'=a²lna(a>0 且a≠1)
(e)′=e
(3)alBaˣ=N;
(4)lgaa"=n(n∈R).
O
O
正 弦 、 余 弦 的 诱 导 公 式
两 角 和 与 差 的 正 弦 、
0 余弦和正切公式
二 倍 角 公 式
sin(a±β)=sina csβ±csa sinβ
O
sin2a=2sinacsa
cs(a±β)=csa csβ=sina sinβ
Qcs2α=cs²α-sin²a=2cs²α-1=1-2sin²a
O
asina+bcsa=√a²+b²sin(a+φ)
◎
正 弦 定 理
a 与 b 的 数 量 积 ( 或 内 积 )
a·b=lal·Ibl csθ, 其中θ是a
与b 的夹角
○ 两 向 量 a=(x₁,y),b=(x₂,y₂) 的夹角公式
三 角 形 面 积 公 式
Q
h. 分别表示a,b,c 边上的高)
余 弦 定 理
在△ ABC 中，有 a²=b²+c²-2bccsA; b²=a²+c²-2accsB; c²=a²+b²-2abcsC.
在△ABC 中，
(其中R 为△ABC的外接 圆半径) .
等 比 数 列 {a。}的 通 项 公 式
和 前n项 和 公 式
0 通项公式
an=a₁q°-¹(n∈N')
O 前 n 项和公式
(n∈N')
常 用 不 等 式
a,b∈R,a²+b²≥2ab (当且仅当a=
b时，等号成立)
a,b>( (当且仅当a= b 时，等号成立)
数 列 中a 与 S 的 关 系 式
数列的通项an 与前n 项 和Sₙ 的 关系为
圆 柱 、 圆 锥 的
表 面 积 公 式
等差数列{an}的 通 项 公
式 和 前 n 项 和 公 式
通项公式Oaₙ=a₁+(n-1)d=dn+a₁-d(n∈N')
前n 项和公式○
圆 柱OS 表=2πr²+2πrl=2πr(r+l)
(圆柱的底面半径为r, 母线长为1)
圆 锥 S表=π²+πrl=π(r+l)
(圆锥的底面半径为r, 母线长为1)
球 的 体 积 与 表 面 积 公 式
O
柱 体 、 锥 体 的 体 积 公 式
O V粒体=Sh(S 是柱体的底面积，
h 是柱体的高)
(S 是锥体的底面积， h 是锥体的高)
体积
表面积○S=4πR²
(球的半径为R)
点 到 平 面 的
点B 到平面α的距离 (n 为平面α的法向量，AB 是经过 平面α的一条斜线，A∈α).
直 线 的
斜 率
距 离 公 式
空 间 向 量 的 坐 标 运 算 (当且仅当
设 a=(a₁,a₂,a₃),b=(b,b₂,b₃), 则
(1)a+b=(a₁+b₁,a₂+b₂,a₃+b₃);
(2)a-b=(a₁-b₁,a₂-b₂,a₃-b₃);
(3)λa=(λa₁,λa₂,λa₃)(λ∈R);
空 间 两 点 间 的 距 离 公 式
(4)a·b=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃ .
若 A(x1,y1,z₁),B(x₂,y₂2,Z₂),
则 da,s=IABI= √AB ·AB
直 线 与 圆 相 交 的 弦 长 公 式
空 间 向 量 的 夹 角 公 式 =√(x₂-x₁)²+(y₂-y)²+(z₂-z)² .
O 几何法
设弦心距为d, 半径为r, 弦 为AB, 则IABI=2 √²-d²
距 离 公 式
O. 平面内两点P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂ ) 间的
O k=tana (其中α是直线的倾斜角，
,k 是直线的斜率)
距离公式为IP₁P₂I= √ (x₁-x2)²+(y-y₂)² O 代数法
设直线1与圆交于点A(x₁,y1),B(x₂,y₂),
直线l 的斜率为k, 则有ABI=√ 1+k²Ix₁-x₂I;
当直线AB的倾斜角是直角，即直线AB 的 斜 率不存在时，IABI=Iy₁-y₂1
O 经过两点P₁ (x₁,y₁),P₂ (x₂,y₂)
O 点 P(x,y) 到直线l:Ax+By+C=0(A,
B 不同时为零)的距
(x₁≠x₂) 的直线的斜
两条平行线Ax+By+C₁=0(A,B 不同时为零)与Ax+By+C₂=0(C₂≠C₁)
直 线 与 圆 锥 曲 线
相 交 的 弦 长 公 式
间的距离
列 数 公 式
排
直线l:y=kx+m 与圆锥曲线C 交于点A(x₁,y),
B(x₂,y₂), 则 ABI=√(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²
且m≤n). 注：规定0!=1.
组 合 数 公 式
(n,m∈N,
◎ 复 数 的 四 则 运 算 法 则
n,m∈N', 且m≤n). 注：规定C=1,C=1.
(1)(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
(2)(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;
(3)(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;
(4)(a+bi)÷(c+di i(c+di≠0).(a,b,c,dER)
复 数z=a+bi 的 模
二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 Izl=la+bil=√a²+b² .
T₁+1=C₄a"='b(r=0,1,2,…,n).设 a=(a₁,a₂,a3),b=(b₁,b₂,
b₃), 则 cs