湖南省宁远县第一中学2025届高三下学期新年第一考数学试题（含答案解析）

这是一份湖南省宁远县第一中学2025届高三下学期新年第一考数学试题（含答案解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，六；用和等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分)
1. 已知集合，，则（ ）
2. 若，则（ ）
3. 已知，，，若，则（ ）
4. 已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ）
5. 已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为
6. 甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球：再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则错误的选项为（ ）
7. 若函数在内恰好存在8个，使得，则的取值范围为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
8. 已知数列是公差为d的等差数列，是其前n项的和，若，，则（ ）
9. 已知函数及其导函数，且，若，则（ ）
10. “角谷猜想”是“四大数论世界难题”之一，至今无人给出严谨证明.“角谷运算”指的是任取一个大于1的正整数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘以3再加上1.在这样一个变换下，我们就得到了一个新的正整数.如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，该猜想就是：反复进行角谷运算后，最后结果为1.我们记一个正整数经过次角谷运算后首次得到1（若经过有限次角谷运算均无法得到1，则记，以下说法正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
11. 的展开式中，各项系数中的最大值为______．
12. 已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______.
13. 若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是______.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)
14. 在中，角所对的边分别记为，且.
(1)证明：；
(2)若，求的取值范围.
15. 已知函数.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)讨论的零点个数.
16. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
17. 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
18. 设抛物线的焦点为，动点在直线上运动，过作抛物线的两条切线，且与抛物线分别相切于两点
(1)求抛物线的方程；
(2)求的重心的轨迹方程；
(3)证明：.
湖南省宁远县第一中学2025届高三下学期新年第一考数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、复数、平面向量、数列、平面解析几何、计数原理与概率统计、函数与导数、三角函数与解三角形、空间向量与立体几何
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．1
D．2
A．
B．
C．5
D．6
A．充分不必要条件
B．充分必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．可看作一个定义域和值域均为的函数
B．在其定义域上不单调，有最小值，无最大值
C．对任意正整数，都有
D．是真命题，是假命题
题型
数量
单选题
7
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
4
适中
10
较难
3
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
判断两个集合的包含关系；交集的概念及运算
2
0.85
共轭复数的概念及计算
3
0.85
向量夹角的坐标表示
4
0.65
等差数列前n项和的基本量计算；探求命题为真的充要条件
5
0.85
求点到直线的距离；已知方程求双曲线的渐近线
6
0.65
计算条件概率；利用全概率公式求概率；计算古典概型问题的概率
7
0.4
根据函数零点的个数求参数范围；正弦函数图象的应用；三角恒等变换的化简问题
二、多选题
8
0.65
利用等差数列的性质计算；求等差数列前n项和；等差数列前n项和的基本量计算；求等差数列前n项和的最值
9
0.4
判断证明抽象函数的周期性；函数对称性的应用；简单复合函数的导数；由抽象函数的周期性求函数值
10
0.65
数列新定义；判断命题的真假
三、填空题
11
0.65
求系数最大（小）的项
12
0.85
用和、差角的正切公式化简、求值
13
0.65
两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题；求已知函数的极值
四、解答题
14
0.65
用和、差角的正弦公式化简、求值；正弦定理边角互化的应用；诱导公式五、六；用和、差角的余弦公式化简、求值
15
0.65
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；利用导数研究函数的零点
16
0.65
面面角的向量求法；证明线面平行
17
0.4
独立事件的乘法公式；求离散型随机变量的均值；利用对立事件的概率公式求概率
18
0.65
求平面轨迹方程；向量夹角的坐标表示；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,4,10
2
复数
2
3
平面向量
3,18
4
数列
4,8,10
5
平面解析几何
5,18
6
计数原理与概率统计
6,11,17
7
函数与导数
7,9,13,15,18
8
三角函数与解三角形
7,12,14
9
空间向量与立体几何
16