上海市上海外国语大学附属外国语学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（含答案+解析）

这是一份上海市上海外国语大学附属外国语学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（含答案+解析），共14页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题(本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分)
1. 抛物线 的焦点到准线的距离为________.
2. 二项式的展开式中所有项的系数和为______．
3. 若，则的值为______．
4. 天气预报端午假期甲地的降雨概率是，乙地的降雨概率是，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则甲、乙两地都不降雨的概率______．
5. 已知球的半径为10，有一个平面截球所得的截面的面积是．则球心到这个平面的距离为______．
6. 在斜三棱柱中，连接、与，记三棱锥的体积大小为3，三棱柱的体积大小为______．
7. 已知，，随机变量的分布列如下：
若．则______．
8. 为了增强法治观念，甲、乙两位老师在，，，，共5所学校中各自选1所学校开展普法讲座．在甲、乙分别选择了2所不同的学校的条件下，恰有一位老师选择学校开展讲座的概率为______．
9. 已知为一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径为.、分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为______.
10. 已知实数、满足，则的取值范围是______．
11. 在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，，则______．

12. 已知双曲线（）的左、右焦点分别为、．通过且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点，延长至使得．若的面积为，则的值为______．
二、单选题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分)
13. 空间中有两个不同的平面，和两条不同的直线，，则下列说法中正确的是（ ）
14. 现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（ ）
15. 已知甲袋里只有红球，乙袋里只有白球，丙袋里只有黑球，丁袋里这三种球都有.现从这四个袋子中随机抽取一个袋子，设事件为“所抽袋子里有红球”，事件为“所抽袋子里有白球”，事件为“所抽袋子里有黑球”，则下列说法正确的是（ ）
16. 已知函数，若不等式的解集中恰有三个不同的整数，则实数的取值范围为（ ）
三、解答题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)
17. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共8个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是．
(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
(2)随机试验：从盒中不放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由．
18. 如图，已知圆柱的高为5，直三棱柱的顶点、、在圆柱上底面的圆周上，顶点、、在圆柱下底面的圆周上，已知，，，为的中点．
(1)求二面角的正切值；
(2)求到平面的距离．
19. 已知函数，的图象在处的切线为．
(1)求函数的解析式；
(2)设，比较与大小关系，并说明理由；
(3)若对任意的，对任意的恒成立，求满足条件的最大整数的值．
20. 如图所示，在四棱锥，底面是正方形，与交于点，平面，为的中点，．
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值；
(3)是线段上一点，且满足，是否存在实数使平面？若存在求出的值，若不存在，请说明理由．
21. 已知椭圆：，过点的直线：与椭圆交于、两点（点在点的上方），与轴交于点．
(1)当时，求的长；
(2)设，，求证：为定值，并求出该值；
(3)点和点关于坐标原点对称，若的内切圆面积等于，求直线的方程．
上海市上海外国语大学附属外国语学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷
整体难度：适中
考试范围：平面解析几何、计数原理与概率统计、空间向量与立体几何、函数与导数
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
A．没有空盒子的方法共有16种
B．有空盒子的方法共有256种
C．恰有1个盒子不放球的方法共有144种
D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种
A．事件与事件互斥
B．事件与事件相互独立
C．事件与事件相互对立
D．事件与事件相互独立
A．
B．
C．
D．
题型
数量
填空题
12
单选题
4
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
9
适中
9
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、填空题
1
0.85
根据抛物线方程求焦点或准线
2
0.94
二项式的系数和
3
0.94
组合数的性质及应用
4
0.85
利用对立事件的概率公式求概率；独立事件的乘法公式
5
0.85
球的截面的性质及计算
6
0.85
柱体体积的有关计算；锥体体积的有关计算
7
0.85
由离散型随机变量的均值求参数
8
0.65
计算古典概型问题的概率；其他排列模型；实际问题中的组合计数问题
9
0.65
求线面角
10
0.65
已知方程求双曲线的渐近线；根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围
11
0.85
空间共面向量定理的推论及应用
12
0.85
双曲线定义的理解
二、单选题
13
0.65
线面关系有关命题的判断
14
0.65
全排列问题；排列组合综合；实际问题中的组合计数问题；分组分配问题
15
0.65
判断所给事件是否是互斥关系；互斥事件与对立事件关系的辨析；计算古典概型问题的概率；独立事件的判断
16
0.15
用导数判断或证明已知函数的单调性；由导数求函数的最值（不含参）
三、解答题
17
0.85
互斥事件的概率加法公式；计算古典概型问题的概率；利用对立事件的概率公式求概率
18
0.85
求点面距离；求二面角
19
0.65
利用导数证明不等式；利用导数研究不等式恒成立问题；已知切线（斜率）求参数
20
0.65
求线面角；面面垂直证线面垂直；证明线面平行
21
0.65
椭圆中三角形（四边形）的面积；椭圆中的定值问题；求椭圆中的弦长；椭圆中向量共线比例问题
序号
知识点
对应题号
1
平面解析几何
1,10,12,21
2
计数原理与概率统计
2,3,4,7,8,14,15,17
3
空间向量与立体几何
5,6,9,11,13,18,20
4
函数与导数
16,19