2023-2025年全国中考数学真题分类汇编 专题11 二次函数的图象与性质

这是一份2023-2025年全国中考数学真题分类汇编 专题11 二次函数的图象与性质，共63页。
1．（2025·河南·中考真题）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示．
(1)求二次函数的表达式．
(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
(3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值．
2．（2023·广东·中考真题）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（ ）

A．B．C．D．
3．（2025·四川南充·中考真题）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（ ）
A．B．
C．D．或
4．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·辽宁沈阳·中考真题）二次函数图象的顶点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．（2023·安徽·中考真题）已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）

A． B．C． D．
考点02 二次函数的图象与系数
1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；⑤关于的不等式的解集为．其中正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2025·安徽·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·四川凉山·中考真题）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为，且图像经过点，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．若且，则
D．若两点都在抛物线的图像上，则
4．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：
① ②（m为任意实数） ③
④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4
6．（2024·西藏·中考真题）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（ ）
①
②
③对任意实数m，均成立
④若点，在抛物线上，则
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（2024·湖北·中考真题）抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
考点03 二次函数的图象平移
1．（2025·上海·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为 ．
2．（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·江苏镇江·中考真题）对于二次函数（a是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当时，这个函数的图像在函数图像的上方；③若，则当时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是 （填写序号）．
4．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则 ．
5．（2023·西藏·中考真题）将抛物线通过平移后，得到抛物线的解析式为，则平移的方向和距离是（ ）
A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
6．（2023·江苏·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴相交于点，其顶点是C．

(1)_______；
(2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；
(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求点P的坐标．
7．（2023·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段上，以点C为顶点的抛物线M：经过点B．
(1)求点A，B的坐标；
(2)求b，c的值；
(3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结，且轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．
考点04 二次函数的顶点、对称轴、单调性问题
1．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·四川甘孜·中考真题）下列关于二次函数的说法正确的是( )
A．图象是一条开口向下的抛物线B．图象与轴没有交点
C．当时，随增大而增大D．图象的顶点坐标是
4．（2023·广东广州·中考真题）已知点，在抛物线上，且，则 ．（填“”或“=”）
5．（2023·安徽·中考真题）下列函数中，的值随值的增大而减小的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向下B．当时，的值随值的增大而增大
C．函数的最小值小于D．当时，
7．（2025·福建·中考真题）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ）
A．B．C．D．
9．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（ ）

A．二次函数图象的对称轴是直线
B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C．当时，y随x的增大而减小
D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
10．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线.
(1)当时，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围.
11．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时， ．

考点05 二次函数的最值
1．（2024·青海西宁·中考真题）【感知特例】
（1）如图1，点A，在直线上，，，垂足分别为A，，点在线段上，且，垂足为．
结论：
（请将下列证明过程补充完整）
证明：，，，
，
，
，
，（同角的余角相等）
，（两角分别相等的两个三角形相似）
．（相似三角形的对应边成比例）
即
【建构模型】
（2）如图2，点A，在直线上，点在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由．
【解决问题】
（3）如图3，在中，，，点和点分别是线段，上的动点，始终满足．设长为，当 时，有最大值是 ．
2．（2024·四川攀枝花·中考真题）在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为．
(1)若，且点在函数的图象上，求此时函数的最小值；
(2)若函数的图象经过点，当自变量x的值满足时，y随x的增大而增大，求a的取值范围；
(3)若函数的图象的对称轴为，点在函数的图象上，且总有，求m的取值范围．
3．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·四川眉山·中考真题）定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·山东威海·中考真题）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．
(1)若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）：
①________；②________；③________．
(2)若，，求b的取值范围；
(3)当时，最大值与最小值的差为，求b的值．
6．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知点在函数的图象上，，设，当且时，则下列结论正确的是（ ）．
A．m有最大值，也有最小值B．m有最小值，但没有最大值
C．m有最大值，但没有最小值D．m没有最小值，也没有最大值
7．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值B．最大值C．最小值D．最小值
8．（2023·辽宁大连·中考真题）已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ）
A．B．C．0D．2
考点06 二次函数与方程
1．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 ．

2．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与y轴的交点坐标是 ．
3．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，．其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2025·四川南充·中考真题）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（ ）
A．B．
C．D．或
5．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ．
6．（2024·宁夏·中考真题）若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是 ．
7．（2024·四川雅安·中考真题）已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有（ ）
①；②抛物线的顶点坐标为；
③；④若，则．
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论：
①；②方程没有实数根；③； ④．
其中错误的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（2023·四川成都·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（ ）

A．抛物线的对称轴为直线B．抛物线的顶点坐标为
C．，两点之间的距离为D．当时，的值随值的增大而增大
考点07 二次函数与不等式
1．（2023·浙江衢州·中考真题）已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·四川德阳·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）过点，且，该抛物线与直线（k，c是常数，）相交于两点（点A在点B左侧）．下列说法：①；②；③点是点A关于直线的对称点，则；④当时，不等式的解集为．其中正确的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，其中，下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为．其中正确结论的个数是（ ）

A．1B．2C．3D．4
4．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，已知二次函数图象经过点和．

(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围．
5．（2023·四川眉山·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，；其中正确结论的个数为（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
专题11 二次函数的图象与性质
考点01 二次函数的图象
1．（2025·河南·中考真题）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示．
(1)求二次函数的表达式．
(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
(3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值．
【答案】(1)
(2)；见解析
(3)或
【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质：
（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可求解；
（3）分两种情况解答，即可求解．
【详解】（1）解：把点代入得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：，
∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线，
∴点关于直线的对称点为，
画出函数图象，如图，
（3）解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为，
∴平移后的抛物线的对称轴为直线，
当平移后抛物线的对称轴在直线左侧时，此时最小值为，，即，
当时，取得最大值，最大值为，
∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，
∴，
解得：或（舍去）；
当平移后抛物线对称轴在直线右侧时，此时最小值为，，即，
当时，取得最大值，最大值为，
∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，
∴，
解得：或（舍去），
综上所述，n的值为或．
2．（2023·广东·中考真题）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，交y轴于点D，根据正方形的性质可知，然后可得点，进而代入求解即可．
【详解】解：连接，交y轴于点D，如图所示：

当时，则，即，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴点，
∴，
解得：，
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键．
3．（2025·四川南充·中考真题）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象与性质以及函数交点问题，熟练掌握函数图象的绘制和直线平移时与函数图象交点情况的分析是解题的关键．先根据函数图象关于轴对称，求出时的函数表达式，再画出函数图象，结合直线的平移，分析直线与函数图象有四个交点时的取值范围．
【详解】解：∵函数图象关于轴对称，当时，，
∴当时，；当时，．
画出函数图象：
当时，，这是一个开口向上，顶点为，与轴交点为，的抛物线一部分．
当时，，是一条为，过的射线．
根据对称性画出时的函数图象．
联立（时），得，
当，即时，直线与（）相切．
当直线过时，．
结合图象可知，当时，直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点．
故选：A．
4．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．先根据一次函数与反比例函数的图象可得，，再根据二次函数的图象特点即可得．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∴，即，
∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴，即，
∴函数的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴，对称轴为直线，
故选：D．
5．（2023·辽宁沈阳·中考真题）二次函数图象的顶点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【详解】根据抛物线，可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以得到顶点在第几象限．
解：，
顶点坐标为，
顶点在第二象限．
故选：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．（2023·安徽·中考真题）已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，则，，将点，代入，得出，代入二次函数，可得当时，，则，得出对称轴为直线，抛物线对称轴在轴的右侧，且过定点，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，

设，则，根据图象可得，
将点代入，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
对称轴为直线，
当时，，
∴抛物线经过点，
∴抛物线对称轴在的右侧，且过定点，
当时，，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，二次函数图象的性质，得出是解题的关键．
考点02 二次函数的图象与系数
1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；⑤关于的不等式的解集为．其中正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据抛物线开口，对称轴，以及与轴的交点，确定的符号，即可判断①，根据二次函数的图象过，得出，进而判断对称轴，得出，进而判断②和③，根据函数图象判断④，将一般式写成交点式得出 ，化简不等式为，求得解集，即可求解．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵对称轴在轴的右侧，
∴，
∴，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴，
∴，故①正确，
∵二次函数的图象过，
∴，
∵二次函数的图象与轴交于两点，，且．
∴对称轴，即，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴
，
∴，故③错误；
④如图，
关于的一元二次方程的两个根，即函数与的交点的横坐标，
∵，
∴若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，；故④正确；
⑤∵二次函数的图象与轴交于两点，，
∴
，
∴，，
∴，，
∴可化为，
即，
∵，
∴，
解得：或，
∴关于的不等式的解集为或不是故⑤错误
故正确的有①②④，共3个，
故选：B
2．（2025·安徽·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方向）、（对称轴与共同决定）、（与轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键．
【详解】解： 二次函数图象中，开口向上，
．
对称轴，又，
，即．
抛物线与轴交点在负半轴，
．
选项A：，，，
两负一正相乘得正，
，该选项错误．
选项B：对称轴，由图象知对称轴，即，
又，两边乘得，，该选项错误．
选项C：当时，，即；当时，，
，该选项正确．
选项D：当时，，由图象知对应的函数值，
，该选项错误．
故选．
3．（2025·四川凉山·中考真题）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为，且图像经过点，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．若且，则
D．若两点都在抛物线的图像上，则
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根据图像判断系数之间的关系，从图像获取信息，根据二次函数的对称性，增减性，逐一进行判断即可．
【详解】解：由图像可知，抛物线的开口向下，与轴交于正半轴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，，故选项A，B正确，不符合题意；
∵且，
∴，
∴和关于对称轴对称，
∴；故选项C正确；不符合题意；
∵抛物线的开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
若两点都在抛物线的图像上，
∵，
∴；故选项D错误，符合题意；
故选D．
4．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：
① ②（m为任意实数） ③
④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得，即可判断①，时，函数值最大，即可判断②，根据时，，即可判断③，根据对称性可得即可判段④，即可求解．
【详解】解：∵二次函数图象开口向下
∴
∵对称轴为直线，
∴
∴
∵抛物线与轴交于正半轴，则
∴，故①错误，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线,
∴当时，取得最大值，最大值为
∴（m为任意实数）
即，故②正确；
∵时，
即
∵
∴
即
∴，故③正确；
∵、是抛物线上不同的两个点，
∴关于对称，
∴即故④不正确
正确的有②③
故选：B
5．（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4
【答案】C
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，求出，进一步得到，又根据得到，即可判断④.
【详解】解：①函数图象开口方向向上，
；
对称轴在轴右侧，
、异号，
，
∵抛物线与轴交点在轴负半轴，
，
，故①错误；
②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，
，
，
时，，
，
，
，故②正确；
③对称轴为直线，，
最小值，
，
∴，
故③正确；
④，
∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得，
，
，
，
，
，
，
故④正确；
综上所述，正确的有②③④，
故选：C
6．（2024·西藏·中考真题）如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（ ）
①
②
③对任意实数m，均成立
④若点，在抛物线上，则
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子的符号，由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴，即可得出，，，从而求出，即可判断①；根据二次函数与轴的交点得出二次函数的对称轴为直线，，，计算即可判断②；根据当时，二次函数有最小值，即可判断③；根据即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴，
∴，，，
∴，
∴，故①正确；
∵二次函数的图象与x轴相交于点，，
∴二次函数的对称轴为直线，，，
由得：，
∵，
∴，
∴，即，故②错误；
当时，二次函数有最小值，
由图象可得，对任意实数m，，
∴对任意实数m，均成立，故③正确；
∵点，在抛物线上，且，
∴，故④错误；
综上所述，正确的有①③，共个，
故选：B．
7．（2024·湖北·中考真题）抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像与系数的关系．根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，画出草图，逐一分析即可得出结论．
【详解】解：根据题意画出函数的图像，如图所示：
∵开口向上，与轴的交点位于轴上方，
∴，，
∵抛物线与轴有两个交点，
∴，
∵抛物线的顶点为，
∴，
观察四个选项，选项C符合题意，
故选：C．
考点03 二次函数的图象平移
1．（2025·上海·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图像的平移，平移法则是：左加右减，上加下减；据此法则即可求解．
【详解】解：∵函数的图像向下平移2个单位，
∴平移后的新函数的解析式为；
故答案为：．
2．（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移规律，上加下减，左加右减，可得顶点式解析式．
【详解】解∶ 抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线为，
∴新抛物线的顶点坐标为，
故选∶D．
3．（2024·江苏镇江·中考真题）对于二次函数（a是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当时，这个函数的图像在函数图像的上方；③若，则当时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是 （填写序号）．
【答案】①②④
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，一次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质，数形结合是解题的关键．根据平移的规律顶点平移后的函数解析式即可判断①；确定抛物线与直线没有交点，且开口向上即可判断②；利用函数的性质即可判断③；求得顶点坐标即可判断④．
【详解】解：将二次函数是常数）的图象向下平移3个单位长度后得到，
当时，，
平移后的函数的图象经过原点，
故①正确；
当时，则，
令，即，
，
抛物线与直线没有交点，
抛物线开口向上，
当时，这个函数的图象在函数图象的上方；
故②正确；
二次函数是常数），
开口向上，对称轴为直线，
当时，函数值随自变量增大而增大，
故③错误；
，
顶点为，
，
故④正确．
故答案为：①②④．
4．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则 ．
【答案】2
【分析】此题考查了二次函数的平移，根据平移规律得到函数解析式，把点的坐标代入得到，再整体代入变形后代数式即可．
【详解】解：抛物线向下平移5个单位长度后得到，
把点代入得到，，
得到，
∴，
故答案为：2
5．（2023·西藏·中考真题）将抛物线通过平移后，得到抛物线的解析式为，则平移的方向和距离是（ ）
A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
【答案】D
【分析】先确定两个抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定抛物线平移的情况．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，
而点向左平移2个，再向下平移3个单位可得到，
所以抛物线向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线y=x2+2x+3．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式；二是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式．
6．（2023·江苏·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴相交于点，其顶点是C．

(1)_______；
(2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；
(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求点P的坐标．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或．
【分析】（1）把代入即可求解；
（2）过点D作DM⊥OA于点M，设，由，解得，进而求得平移后得抛物线，
平移后得抛物线为，根据二次函数得性质即可得解；
（3）先设出平移后顶点为，根据原抛物线，求得原抛物线的顶点，对称轴为x=1，进而得，再根据勾股定理构造方程即可得解．
【详解】（1）解：把代入得，
，
解得，
故答案为；
（2）解：过点D作DM⊥OA于点M，

∵，
∴二次函数的解析式为
设，
∵D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，，
∴，
解得m=或m=8（舍去），
当m=时，，
∴，
∵，
∴设将原抛物线向左平移后的抛物线为，
把代入得，
解得a=3或a=（舍去），
∴平移后得抛物线为
∵过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，
在的对称轴x=的左侧，y随x的增大而减小，此时原抛物线也是y随x的增大而减小，
∴；
（3）解：由，设平移后的抛物线为，则顶点为，
∵顶点为在上，
∴，
∴平移后的抛物线为，顶点为，
∵原抛物线，
∴原抛物线的顶点，对称轴为x=1，
∵平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，
∴，
∵点Q、C在直线x=1上，平移后的抛物线顶点P在原抛物线顶点C的上方，两抛物线的交点Q在顶点P的上方，
∴∠PCQ与∠CQP都是锐角，
∵是直角三角形，
∴∠CPQ=90°，
∴，
∴化简得，
∴p=1（舍去），或p=3或p=，
当p=3时，，
当p=时，，
∴点P坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，勾股定理，解直角三角形以及待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．
7．（2023·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段上，以点C为顶点的抛物线M：经过点B．
(1)求点A，B的坐标；
(2)求b，c的值；
(3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结，且轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．
【答案】(1)，
(2)，
(3)或
【分析】（1）根据题意，分别将，代入直线即可求得；
（2）设，得到抛物线的顶点式为，将代入可求得，进而可得到抛物线解析式为，即可求得b，c；
（3）根据题意，设，，根据平移的性质可得点，点向下平移的距离相同，即列式求得，，然后得到抛物线N解析式为：，将代入可得，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，y轴交于点B，
当时，代入得：，故，
当时，代入得：，故，
（2）设，
则可设抛物线的解析式为：，
∵抛物线M经过点B，
将代入得：，
∵，
∴，
即，
∴将代入，
整理得：，
故，；
（3）如图：
∵轴，点P在x轴上，
∴设，，
∵点C，B分别平移至点P，D，
∴点，点向下平移的距离相同，
∴，
解得：，
由（2）知，
∴，
∴抛物线N的函数解析式为：，
将代入可得：，
∴抛物线N的函数解析式为：或．
【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，求抛物线的解析式，平移的性质，二次函数的图象和性质等，解题的关键是根据的平移性质求出m和a的值．
考点04 二次函数的顶点、对称轴、单调性问题
1．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数的图象开口向下，对称轴为，
∴离对称轴越近，函数值越大，
点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为．
∵，
∴，
故选C．
2．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可．
【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上，
∴当时， y随x的增大而增大，
∵点都在二次函数的图象上，且，
∴，
故选∶A．
3．（2023·四川甘孜·中考真题）下列关于二次函数的说法正确的是( )
A．图象是一条开口向下的抛物线B．图象与轴没有交点
C．当时，随增大而增大D．图象的顶点坐标是
【答案】D
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，与轴的交点个数，由此解答即可．
【详解】解：A、，图象的开口向上，故此选项不符合题意；
B、，
，
即图象与轴有两个交点，
故此选项不符合题意；
C、抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随增大而减小，
故此选项不符合题意；
D、，
图象的顶点坐标是，
故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
4．（2023·广东广州·中考真题）已知点，在抛物线上，且，则 ．（填“”或“=”）
【答案】
【分析】先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题．
【详解】解：的对称轴为y轴，
∵，
∴开口向上，当时， y随x的增大而增大，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是根据抛物表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而分析函数的增减性．
5．（2023·安徽·中考真题）下列函数中，的值随值的增大而减小的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质，一次函数的性质，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，，对称轴为直线，
当时，的值随值的增大而减小，当时，的值随值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，，对称轴为直线，
当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，，的值随值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，，的值随值的增大而减小，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．
6．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向下B．当时，的值随值的增大而增大
C．函数的最小值小于D．当时，
【答案】D
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可.
【详解】解：由题意可得：方程的两根异号，
∴，
解得，
∴二次项系数，开口向上，故A不符合题意；
∵的对称轴为直线，
∴当时，y随x增大而增大，故B不符合题意；
∵当时，，
∴最小值为，故C不符合题意；
当时，，
∵，
∴此时，故D符合题意；
故选：D
7．（2025·福建·中考真题）已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，
∴抛物线过点，
∴抛物线的开口向上，对称轴为，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴，
∵，，
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，小于到对称轴的距离，
∴；
故选：A．
8．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可．
【详解】解：抛物线向下平移2个单位后，
则抛物线变为，
∴化成顶点式则为 ，
故选：A．
9．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（ ）

A．二次函数图象的对称轴是直线
B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C．当时，y随x的增大而减小
D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D．
【详解】解∶ ∵二次函数的顶点坐标为，
∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误；
∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线，
∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误；
∵抛物线开口向下， 对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误；
设二次函数解析式为，
把代入，得，
解得，
∴，
当时，，
∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确，
故选D．
10．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线.
(1)当时，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2)或
【分析】（）把代入，转化成顶点式即可求解；
（）分和两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解；
本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键．
【详解】（1）解：把代入得，，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：分两种情况：抛物线的对称轴是直线；
当时，和都在对称轴右侧，
此时y随x的增大而增大，
∵，
∴
如图，此时，
∴，
又∵，
∴；
当时，在对称轴左侧，在对称轴右侧，
∴点关于对称轴的对称点在对称轴右侧，
在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∵，
∴，
如图，此时，
解得，
又∵，
∴；
综上，当或，都有．
11．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时， ．

【答案】4
【分析】与抛物线与x轴相交于点、点，可得抛物线的对称轴为直线，由轴，可得，关于直线对称，可得，从而可得答案．
【详解】解：∵抛物线与x轴相交于点、点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵当时，，即，
∵轴，
∴，关于直线对称，
∴，
∴；
故答案为：4
【点睛】本题考查的是利用抛物线上两点的坐标求解对称轴方程，熟练的利用抛物线的对称性解题是关键．
考点05 二次函数的最值
1．（2024·青海西宁·中考真题）【感知特例】
（1）如图1，点A，在直线上，，，垂足分别为A，，点在线段上，且，垂足为．
结论：
（请将下列证明过程补充完整）
证明：，，，
，
，
，
，（同角的余角相等）
，（两角分别相等的两个三角形相似）
．（相似三角形的对应边成比例）
即
【建构模型】
（2）如图2，点A，在直线上，点在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由．
【解决问题】
（3）如图3，在中，，，点和点分别是线段，上的动点，始终满足．设长为，当 时，有最大值是 ．
【答案】（1）；；；；；；（2）成立，见解析；（3）4，
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、二次函数最值等知识点，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．
（1）先根据余角性质证明，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明得出，进而即可证明结论；
（2）先证明，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明，得出，进而完成解答；
（3）先根据等腰三角形性质得出，证明，得出，即，求出，然后根据二次函数性质求最大值即可．
【详解】证明：，，，
，
，
，
，（同角的余角相等）
∴，（两角分别相等的两个三角形相似）
．（相似三角形的对应边成比例）
即
故答案为：；；；；；；
（2）成立，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
．即．
（3）∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵设长为，则，
∴，解得：
，
∵，
∴当时，有最大值．
故答案为：4，．
2．（2024·四川攀枝花·中考真题）在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为．
(1)若，且点在函数的图象上，求此时函数的最小值；
(2)若函数的图象经过点，当自变量x的值满足时，y随x的增大而增大，求a的取值范围；
(3)若函数的图象的对称轴为，点在函数的图象上，且总有，求m的取值范围．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合的思想进行解答．
（1）根据待定系数法求出函数解析式，然后配方成顶点式，即可求解；
（2）把，代入抛物线解析式得出，的关系，然后求出对称轴，由函数的增减性求出的取值范围即可；
（3）由，得到离对称轴越远，函数值越大，则点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，得出关于m的不等式，然后解不等式即可．
【详解】（1）解：当，且点在函数的图象上，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴函数图象开口向上，
∴当时，有最小值为2；
（2）解：∵过，
∴，
∴，
∴对称轴为直线，
∵当时，随的增大而增大，
，
解得，
又
∴；
（3）解：∵点，在抛物线上，
∵，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵，在抛物线，
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∴，
解得．
3．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：∵，
∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，，
∴关于对称轴对称的点坐标为，
∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，
∴，
解得，，
故选：C．
4．（2024·四川眉山·中考真题）定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数求最值，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求最值即可．
【详解】解：由题意得，，
即，
当时，函数的最小值为．
故选：B．
5．（2024·山东威海·中考真题）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．
(1)若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）：
①________；②________；③________．
(2)若，，求b的取值范围；
(3)当时，最大值与最小值的差为，求b的值．
【答案】(1)；；；
(2)
(3)b的值为或．
【分析】本题考查根与系数的关系，二次函数图像与性质，不等式性质，二次函数最值情况，解题的关键在于熟练掌握二次函数图像与性质．
（1）根据根与系数的关系得到，以及，即可判断①，利用二次函数的图像与性质得到，进而得到，利用不等式性质变形，即可判断②③．
（2）根据题意得到，结合进行求解，即可解题；
（3）根据题意得到抛物线顶点坐标为，对称轴为；当时，，当时，，由最大值与最小值的差为，分以下三种情况：①当在取得最大值，在取得最小值时，②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，③当在取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解，即可解题．
【详解】（1）解： 与x轴交点的坐标分别为，，且，
，且抛物线开口向上，
与x轴交点的坐标分别为，，且．
即向上平移1个单位，
，且，
①；
，
，即②；
，即③．
故答案为；；；；
（2）解：，，
，
，
；
（3）解：抛物线顶点坐标为，
对称轴为；
当时，，
当时，，
①当，则，
那么，在取得最大值，在取得最小值时，
有，解得（不符合题意，舍去）；
②当，解得，
那么，在取得最大值，在顶点取得最小值时，
有，解得（不符合题意，舍去）或，
③当，解得，
那么，在取得最大值，在顶点取得最小值时，
有，解得（不符合题意，舍去）或；
综上所述，b的值为或．
6．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知点在函数的图象上，，设，当且时，则下列结论正确的是（ ）．
A．m有最大值，也有最小值B．m有最小值，但没有最大值
C．m有最大值，但没有最小值D．m没有最小值，也没有最大值
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，先由题意得，进而得，进而可得结论．
【详解】解：∵点在函数的图象上，即，
∴，，
∴
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，m有最小值，但没有最大值，
故选：B．
7．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值B．最大值C．最小值D．最小值
【答案】D
【分析】将代入二次函数解析式，进而得出的值，再利用对称轴在轴左侧，得出，再利用二次函数的顶点式即可求出二次函数最值．
【详解】解：将代入二次函数解析式得：，解得：，，
∵二次函数，对称轴在轴左侧，即，
∴，
∴，
∴，
∴当时，二次函数有最小值，最小值为，
故选：．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出的值是解题关键．
8．（2023·辽宁大连·中考真题）已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】D
【分析】把抛物线化为顶点式，得到对称轴为，当时，函数的最小值为，再分别求出和时的函数值，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴对称轴为，当时，函数的最小值为，
当时，，当时，，
∴当时，函数的最大值为2，
故选：D
【点睛】此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
考点06 二次函数与方程
1．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 ．

【答案】
【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解．
【详解】解：把点，点代入抛物线得，
，
解得，
∴抛物线，
令，得，
解得或，
∴，
∴；
故答案为：．
2．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与y轴的交点坐标是 ．
【答案】
【分析】与轴的交点的特点为，令，求出的值，即可求出抛物线与轴的交点坐标．
【详解】令抛物线中，
即，
解得，
故与轴的交点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了抛物线与y轴的交点坐标，解题的关键是令，求出的值．
3．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，．其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】首先由抛物线开口向上得到，然后由对称轴得到，然后由抛物线与y轴交于负半轴得到，即可判断①；由对称轴为直线得到，然后将代入抛物线得到，代入得到，然后根据得到，即可判断②；设抛物线对称轴与x轴交于点E，将代入抛物线得到，求出，然后求出，得到，得到，即可判断③；分别将和代入方程，整理求出和或6，进而求解即可．
【详解】∵抛物线开口向上
∴
∵对称轴为直线
∴
∵抛物线与y轴交于负半轴
∴
∴，故①错误；
∵对称轴为直线
∴
∵在抛物线上
∴
∴
∴
∵
∴
∴，故②正确；
如图所示，设抛物线对称轴与x轴交于点E，
将代入
将，代入得，
∴
∵
∵对称轴为直线，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴是钝角三角形，故③正确；
∵
∴当时，，
∴方程转化为
解得；
∴当时，，
∴方程转化为
解得或6；
∵方程的两根为、
∴，，故④正确．
综上所述，其中正确结论有3个．
故选：C．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数和x轴交点问题，解直角三角形，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
4．（2025·四川南充·中考真题）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象与性质以及函数交点问题，熟练掌握函数图象的绘制和直线平移时与函数图象交点情况的分析是解题的关键．先根据函数图象关于轴对称，求出时的函数表达式，再画出函数图象，结合直线的平移，分析直线与函数图象有四个交点时的取值范围．
【详解】解：∵函数图象关于轴对称，当时，，
∴当时，；当时，．
画出函数图象：
当时，，这是一个开口向上，顶点为，与轴交点为，的抛物线一部分．
当时，，是一条为，过的射线．
根据对称性画出时的函数图象．
联立（时），得，
当，即时，直线与（）相切．
当直线过时，．
结合图象可知，当时，直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点．
故选：A．
5．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可．
【详解】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为：
，
令，则，
或，
解得：或，
，
故答案为：1．
6．（2024·宁夏·中考真题）若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一元二次方程根的情况和二次函数与x轴交点个数的关系是解题的关键；根据二次函数的图象与轴有交点时解题即可.
【详解】解：二次函数的图象与轴有交点，
，
解得，
的取值范围为，
故答案为：.
7．（2024·四川雅安·中考真题）已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有（ ）
①；②抛物线的顶点坐标为；
③；④若，则．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根与系数的关系、根的判别式、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
依据题意，由有两实根，，可得，即可得，故可判断①又抛物线的对称轴是直线，进而抛物线的顶点为c)，再结合，可得，故可判断②；依据题意可得，又，进而可得，从而可以判断③；由，故，即对于函数，当时的函数值小于当时的函数值，再结合，抛物线的对称轴是直线，从而根据二次函数的性质即可判断④．
【详解】解：由题意，∵有两实根，
．
∴得，．
∴，故①正确．
，
∴抛物线的对称轴是直线．
∴抛物线的顶点为．
又，
∴，即．
∴．
∴．
∴顶点坐标为，故②正确．
∵，
∴．
又，
，
∴，故③错误．
，
，
∴对于函数，当时的函数值小于当时的函数值．
∵，抛物线的对称轴是直线，
又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，
，
，
∴，故④错误．
综上，正确的有①②共2个．
故选：B．
8．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论：
①；②方程没有实数根；③； ④．
其中错误的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，最值的计算方法是关键．
根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，，则，当时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线的位置关系可判定②；根据题意得到，可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；由此即可求解．
【详解】解：二次函数与轴交于点、，图象开口向上，
∴对称轴直线为，，
∴，
当时，，
∴，即，
∴，
∴，故①正确；
图象开口向上，对称轴直线为，
∴当时，函数有最小值，最小值轴的下方，
∴抛物线与直线两个不同的交点，
∴方程有两个不相等的实数根，故②错误；
∵二次函数与轴交于点，其中，
∴当，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，，故③正确；
当时，函数有最小值，最小值为，，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，错误的有②，
∴错误的有1个，
故选：A ．
9．（2023·四川成都·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（ ）

A．抛物线的对称轴为直线B．抛物线的顶点坐标为
C．，两点之间的距离为D．当时，的值随值的增大而增大
【答案】C
【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点，
∴
∴
∴二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意；
∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意；
当时，
即
∴，
∴，故C选项正确，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
考点07 二次函数与不等式
1．（2023·浙江衢州·中考真题）已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据已知条件列出不等式，利用二次函数与轴的交点和二次函数的性质，即可解答．
【详解】解：，
，
点，都在直线的上方，且，
可列不等式：，
，
可得，
设抛物线，直线，
可看作抛物线在直线下方的取值范围，
当时，可得，
解得，
，
的开口向上，
的解为，
根据题意还可列不等式：，
，
可得，
整理得，
设抛物线，直线，
可看作抛物线在直线下方的取值范围，
当时，可得，
解得，
，
抛物线开口向下，
的解为或，
综上所述，可得，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确列出不等式是解题的关键．
2．（2025·四川德阳·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）过点，且，该抛物线与直线（k，c是常数，）相交于两点（点A在点B左侧）．下列说法：①；②；③点是点A关于直线的对称点，则；④当时，不等式的解集为．其中正确的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】题目主要考查二次函数的性质，与一次函数的交点，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
根据抛物线与x轴的交点及开口方向确定系数符号，结合对称轴公式和交点坐标分析各结论的正确性即可．
【详解】解：∵抛物线过点和（），
∴设抛物线为，
∴，
∴，，
∵且，
∴，，
∴，结论①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，结论②错误；
∵抛物线与直线的交点满足，
∴解得或，
若点为，对称点的横坐标为（为对称轴），
∴，
∵，
∴；
但若点为另一交点，其横坐标可能远离对称轴，导致超出范围，结论③不一定成立，错误；
当时，方程的根为和，
即，
∵，
∴不等式的解集为，结论④正确．
综上，正确结论为①④，共2个，
故选：B．
3．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点，其中，下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为．其中正确结论的个数是（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据函数图象可得出a，b，c的符号即可判断①，当时，即可判断②；根据对称轴为，可判断③；，数形结合即可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，
∴，
∴，故①正确．
∵当时，，
∴，故②错误．
∵抛物线与x轴交于两点，其中，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
，
，
∴，
∴，故③正确；
设，，如图：

由图得，时，，故④正确．
综上，正确的有①③④，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质巧妙借助数学结合思想解决问题是解题的关键．
4．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，已知二次函数图象经过点和．

(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围．
【答案】(1)，顶点坐标为；
(2)
【分析】（1）把和代入，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶点式，可得顶点坐标；
（2）把代入函数解析式求解的值，再利用函数图象可得时的取值范围．
【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点和．
∴，解得：，
∴抛物线为，
∴顶点坐标为：；
（2）当时，，
∴
解得：，，

如图，当时，
∴．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用图象法解不等式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．
5．（2023·四川眉山·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，；其中正确结论的个数为（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴，，根据对称轴为直线可得，由此即可判断①；求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，进而得到当时，，由此即可判断②；根据时，，即可判断③；利用图象法即可判断④．
【详解】解：∵二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴，
∴，
∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为，
∴当时，，
∴，故②正确；
∵时，，
∴，
∴，即，故③正确；
由函数图象可知，当时，，故④正确；
综上所述，其中正确的结论有①②③④共4个，
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式的关系，二次函数的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．…
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…
…
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