2023-2025年全国中考数学真题分类汇编 专题04 一次函数与反比例函数综合(48题)

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A．甲B．乙C．丙D．丁
2．（2022·江西·中考真题）已知点A在反比例函数的图象上，点B在x轴正半轴上，若为等腰三角形，且腰长为5，则的长为 ．
3．（2025·江西·中考真题）如图，直线与反比例函数的图象交于点．
(1)求一次函数和反比例函数解析式；
(2)将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接，当时，求点C的坐标及直线l平移的距离．
4．（2024·江西·中考真题）如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接．
(1)点B的坐标为______；
(2)求所在直线的解析式．
5．（2023·江西·中考真题）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点C．

(1)求直线和反比例函数图象的表达式；
(2)求的面积．
6．（2022·江西·中考真题）如图，点在反比例函数的图象上，点B在y轴上，，将线段向右下方平移，得到线段，此时点C落在反比例函数的图象上，点D落在x轴正半轴上，且．
(1)点B的坐标为__________，点D的坐标为__________，点C的坐标为__________（用含m的式子表示）；
(2)求k的值和直线的表达式．
7．（2021·江西·中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，在中，，，点坐标为．
（1）求的值；
（2）求所在直线的解析式．
一、单选题
8．（2025·江西宜春·一模）电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为，该读数可以换算为人的质量．下面说法不正确的是（ ）
温馨提示：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
A．与踏板上人的质量之间的函数关系式为：（）
B．电压表显示的读数为6伏时，可变电阻电阻是10欧
C．电压表显示的读数为3伏时，对应测重人的质量为90千克
D．对应测重人的质量为105千克，电压表显示的读数为4伏
9．（2025·江西景德镇·一模）漏壶是一种古代计时器，某小组同学根据漏壶的原理制作了如图所示的液体漏壶，该漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通．液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．用表示漏水时间，表示圆柱容器的液面高度．下列图象中，适合表示与的对应关系的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2025·江西抚州·二模）若二次函数的图象如图所示，则反比例函数与正比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
11．（2025·江西景德镇·一模）在如图所示的电路图中，当开关闭合以后，滑动变阻器从左往右滑动的过程中，电流表的示数与关系用图象可近似表示为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
12．（2025·江西九江·一模）如图，平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（如图所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的直角边长是 ．
13．（2025·江西九江·三模）如图，一次函数的图象分别与轴、轴相交于点为第一象限内的一点，当是等腰直角三角形时，点的坐标为 ．
14．（2025·江西九江·一模）如图，在中，点，，，是线段的中点，，分别是边，上的动点，当以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形时，点的坐标为 ．
15．（2025·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，B、C两点分别在x轴、直线上运动、若以为直角边的为等腰直角三角形，则点C的坐标为 .
16．（2025·江西赣州·一模）已知关于x的函数的图象与坐标轴有且只有2个交点，则 ．
17．（2025·江西南昌·二模）镜片的屈光力（单位：屈光度）与焦距（单位：米）满足反比例函数关系，如图，点在该反比例函数图象上．若某镜片的焦距为米，则它的屈光力 屈光度．
18．（2025·江西抚州·一模）如图，M为反比例函数的图象上的一点，轴，垂足为的面积为5，则k的值为 ．
三、解答题
19．（2025·江西抚州·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)如图，一次函数的图象交y轴于点C，交x轴于点D．若以为腰的等腰三角形的顶点F是y轴上一点，求点F的坐标．
20．（2025·江西萍乡·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为与反比例函数的图象交于点，点．
(1)求所在直线的解析式．
(2)求的值．
21．（2025·江西南昌·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，．
(1)分别求出一次函数与反比例函数的解析式；
(2)点在线段上，连接，若，求点的坐标．
22．（2025·江西萍乡·二模）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点在函数的图象上，将线段向右下方平移，得到线段，此时点落在函数的图象上，点落在轴正半轴上，且点坐标为．
(1)求的值；
(2)求直线所对应的函数表达式．
23．（2025·江西宜春·一模）如图，在中，，轴，垂足为．反比例函数的图象经过点，交于点．已知，．
(1)求反比例函数解析式；
(2)求直线的解析式．
24．（2025·江西抚州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点为的中点，反比例函数的图象过点，且．
(1)求的值；
(2)求直线的函数表达式．
25．（2025·江西九江·二模）已知正方形的三个顶点，恰好落在反比例函数的图象上，如图所示．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求直线的解析式；
(3)连接，求的面积．
26．（2025·江西九江·一模）如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)连接，求的面积．
27．（2025·江西宜春·一模）跳绳可以提高新陈代谢，是非常好的有氧运动，而一分钟跳绳在中考体考中易得分，是大多数学生首选的项目，因此某文具店看准商机购进甲、乙两种跳绳．已知甲、乙两种跳绳进价单价之和为65元；甲种跳绳每根获利3元，乙种跳绳每根获利5元；店主第一批购买甲种跳绳30根、乙种跳绳15根，一共花费1200元．
(1)甲、乙两种跳绳的单价分别是多少元？
(2)若该文具店预备第二批购进甲、乙两种跳绳共80根，在费用不超过2250元的情况下，如何进货才能保证利润最大？
28．（2025·江西抚州·一模）如图，都是反比例函数图象上的点，直线与y轴交于点P，过点A作轴于点B，连接，的面积等于4．
(1)k的值为_______．
(2)若，求直线的解析式．
29．（2025·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，，是一次函数的图象和反比例函数图象的两个交点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式．
(2)观察图象，直接写出不等式的解集．
30．（2025·江西新余·一模）如图，直线与x轴交于点，与反比例函数图象交于点．
(1)求反比例函数解析式；
(2)求（O为坐标原点）的面积．
31．（2025·江西新余·二模）如图，已知一次函数（a，b为常数，）的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，且与反比例函数（k为常数，）的图象在第二象限内交于点C，在第四象限内交于点E，作轴于点D，已知点，，点B是AC的中点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)点A是BE的中点吗？请说明理由．
32．（2025·江西新余·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在坐标轴上，顶点在反比例函数的图象上，已知点．
(1)求的值．
(2)连接交于点，将矩形向右平移个单位长度得到矩形平移后点的对应点在反比例函数的图象上，求的值．
33．（2025·江西吉安·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于B，C两点，与x轴，y轴分别交于D，A两点．
(1)与的数量关系为 ；
(2)若的面积为4，求k的值．
34．（2025·江西抚州·二模）如图，在中，，，反比例函数的图象经过点．
(1)的长为_____；
(2)若点的坐标为，轴，求的值．
35．（2025·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，过反比例函数（）图象上一点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M，N，直线分别与x轴、线段，，y轴交于点A，D，C，B.
(1)直接写出的值；
(2)①求证：
②设，，试求m与n的函数关系式.
36．（2025·江西新余·三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（，）的图象经过，两点．
(1)求点的坐标及的值；
(2)求的面积．
37．（2025·江西赣州·二模）如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)轴于点，点为反比例函数图象上的一点，且位于点A的右侧，连接，．当时，求点的坐标，并直接写出四边形的面积．
38．（2025·江西吉安·一模）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，，已知点的纵坐标为1．
(1)反比例函数的表达式为________；当时，的取值范围是________．
(2)若点是点关于轴的对称点，求的面积．
39．（2025·江西抚州·一模）棱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，反比例函数的图象经过点C．
(1)求此反比例函数的解析式；
(2)在x轴的下方作矩形，使，请你通过计算说明点N在反比例函数图象上；
40．（2025·江西新余·二模）如图，点，均在反比例函数的图象上，轴于点，于点，且的面积为4，求的值．
41．（2025·江西吉安·一模）如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，将绕点逆时针旋转得到，点坐标为，双曲线经过点，并与交于点．
(1)点的坐标为______；
(2)求的面积．
42．（2025·江西·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴、轴分别交于点．
(1)点的坐标为___________；
(2)若是轴上的一动点，求的最小值．
43．（2025·江西吉安·一模）如图，在平面直角坐标系，直角顶点B在x轴的正半轴上，已知，，．反比例函数的图象经过点A．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点是反比例函数图象上的点．
①在轴上是否存在点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
②在x轴上是否存在点，使得与的差最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
44．（2025·江西宜春·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于，B两点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)当时，求一次函数的解析式和的面积．
45．（2025·江西景德镇·一模）如图，三角形为等腰直角三角形，斜边轴，点在轴上，反比例函数经过的中点，交边于点，已知点．
(1)点的坐标为______，反比例函数解析式为______；
(2)连接，求的面积．
46．（2025·江西景德镇·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象上的两点，满足，的边轴，边轴，且．
(1)求的长．
(2)若是反比例函数图象上的一点，且，求点的坐标．
47．（2025·江西·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过两点，与反比例函数的图像在第一象限内交于点M，若的面积是2．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若点P是x轴上一点，且满足是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标．
48．（2025·江西·模拟预测）我们知道，反比例函数的图象是一个轴对称图形，如图，点在反比例函数的图象上．
(1)_______；
(2)这个图象的对称轴是直线_______；
(3)已知直线平行于（2）中的对称轴，请求出直线的解析式．
专题04 一次函数与反比例函数综合（48题）
1．（2025·江西·中考真题）在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】A
【分析】本题考查了正比例函数的性质．根据正比例函数的性质解答即可．
【详解】解：如图，
根据题意得，
∴，
根据正比例函数的意义，值越大，图象越陡，反之图象越陡，值越大，
∴观察图象，跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为甲，
故选：A．
2．（2022·江西·中考真题）已知点A在反比例函数的图象上，点B在x轴正半轴上，若为等腰三角形，且腰长为5，则的长为 ．
【答案】5或或
【分析】因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可．
【详解】解：①当AO=AB时，AB=5；
②当AB=BO时，AB=5；
③当OA=OB时，则OB=5，B（5，0），
设A（a，）（a>0），
∵OA=5，
∴，
解得：，，
∴A（3，4）或（4，3），
∴AB=或AB=；
综上所述，AB的长为5或或．
故答案为：5或或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，考查分类讨论的思想，当时，求出点的坐标是解题的关键．
3．（2025·江西·中考真题）如图，直线与反比例函数的图象交于点．
(1)求一次函数和反比例函数解析式；
(2)将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接，当时，求点C的坐标及直线l平移的距离．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数和解析式为；
(2)点，直线l平移的距离为．
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质，直线的平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先得到点和点关于直线对称，可求得，设直线l向上平移个单位经过点，再利用待定系数法求解即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∵直线经过点，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为，反比例函数和解析式为；
（2）解：作一三象限的角平分线，如图，
∵，∴，
根据双曲线的对称性，知点和点关于直线对称，
∴，
作轴于点，作轴于点，
∵，，，
∴，
∵，
∴，，
∴点，设直线l向上平移个单位经过点，
∴平移后的直线为，
∴，
解得，
∴直线l平移的距离为．
4．（2024·江西·中考真题）如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接．
(1)点B的坐标为______；
(2)求所在直线的解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，等腰三角形的性质，熟练掌握一次函数与反比例函数的相应性质是解题关键．
（1）过点B作轴，根据等腰直角三角形的性质得出，即可确定点B的坐标；
（2）根据点确定反比例函数解析式，然后即可得出，再由待定系数法确定一次函数解析式即可．
【详解】（1）解：过点B作轴于D，如图所示：
∵是等腰直角三角形，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）由（1）得，代入，
得，
∴，
∵过点作x轴的垂线交双曲线于点C，
∴当时，，
∴，
设直线的解析式为，将点B、C代入得：
，解得，
∴直线的解析式为．
5．（2023·江西·中考真题）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点C．

(1)求直线和反比例函数图象的表达式；
(2)求的面积．
【答案】(1)直线的表达式为，反比例函数的表达式为
(2)6
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）由一次函数解析式求得点B的坐标，再根据轴，可得点C的纵坐标为1，再利用反比例函数表达式求得点C坐标，即可求得结果．
【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于点，
∴，，即，
∴直线的表达式为，反比例函数的表达式为．
（2）解：∵直线的图象与y轴交于点B，
∴当时，，
∴，
∵轴，直线与反比例函数的图象交于点C，
∴点C的纵坐标为1，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点、一次函数与y轴的交点，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
6．（2022·江西·中考真题）如图，点在反比例函数的图象上，点B在y轴上，，将线段向右下方平移，得到线段，此时点C落在反比例函数的图象上，点D落在x轴正半轴上，且．
(1)点B的坐标为__________，点D的坐标为__________，点C的坐标为__________（用含m的式子表示）；
(2)求k的值和直线的表达式．
【答案】(1)（0，2），（1，0），（m＋1，2）
(2)4；y＝-2x＋6
【分析】（1）根据OB＝2可得点B的坐标，根据OD＝1可得点D的坐标为（1，0），由平移规律可得点C的坐标；
（2）根据点C和D的坐标列方程可得m的值，从而得k的值，再利用待定系数法可得直线AC的解析式．
【详解】（1）∵点B在y轴上，，
∴B（0，2），
∵点D落在x轴正半轴上，且
∴D（1，0），
∴线段AB向下平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段CD，
∵点A（m，4），
∴C（m＋1，2），
故答案为：（0，2），（1，0），（m＋1，2）；
（2）∵点A和点C在反比例函数的图象上，
∴k＝4m＝2（m＋1），
∴m＝1，
∴A（1，4），C（2，2），
∴k＝1×4＝4，
设直线AC的表达式为：，
∴ 解得，
∴直线AC的表达式为：y＝-2x＋6．
【点睛】此题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用以及平移的性质，根据OB和OD的长得出平移的规律是解题关键．
7．（2021·江西·中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，在中，，，点坐标为．
（1）求的值；
（2）求所在直线的解析式．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用正比例函数求解的坐标，再代入反比例函数的解析式求解即可得到答案；
（2）如图，过作于 过作于 证明利用全等三角形的性质求解的坐标，再利用待定系数法求解解析式即可．
【详解】解：（1）

在上，
则
把代入中，则
（2）如图，过作于 过作于








设为

解得：
所以为
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，一次函数与反比例函数的基本性质，利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，熟练应用以上知识是解题的关键．
一、单选题
8．（2025·江西宜春·一模）电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为，该读数可以换算为人的质量．下面说法不正确的是（ ）
温馨提示：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
A．与踏板上人的质量之间的函数关系式为：（）
B．电压表显示的读数为6伏时，可变电阻电阻是10欧
C．电压表显示的读数为3伏时，对应测重人的质量为90千克
D．对应测重人的质量为105千克，电压表显示的读数为4伏
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
利用待定系数法即可求出与踏板上人的质量之间的函数关系式；根据，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，得到，求出欧；根据题意得到，求出，代入，求出千克；当时，，解得，设电压表显示的读数为伏，则可变电阻两端的电压为伏，得到，解得；即可得到答案．
【详解】解：将代入得，
解得，
，
故A选项不符合题意；
由题意可得，可变电阻两端的电压（伏），
，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，
，
（欧），
故B选项说法正确，不符合题意；
由题意可得，可变电阻两端的电压（伏），
，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，
，
（欧），
当时，，
解得（千克），
故C选项说法不正确，符合题意；
当时，，
解得，
设电压表显示的读数为伏，则可变电阻两端的电压为伏，
，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，
，
解得，
故D选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
9．（2025·江西景德镇·一模）漏壶是一种古代计时器，某小组同学根据漏壶的原理制作了如图所示的液体漏壶，该漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通．液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．用表示漏水时间，表示圆柱容器的液面高度．下列图象中，适合表示与的对应关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】题目主要考查一次函数的实际应用，理解题意是解题关键．
根据题意设漏水的速度为v（定值），圆柱容器底面积为s（定值），确定，再由实验开始时圆柱容器中已有一部分液体，即可得出结果．
【详解】解：∵液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，
∴设漏水的速度为v（定值），圆柱容器底面积为s（定值），
∴，
∴，
∵实验开始时圆柱容器中已有一部分液体，
∴当时，，
∴为一次函数，
故选：A．
10．（2025·江西抚州·二模）若二次函数的图象如图所示，则反比例函数与正比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数、反比例函数、正比例函数的图象与性质，判断出的符号是解题的关键．由已知二次函数的图象开口方向可以知道的取值范围，对称轴可以确定的取值范围，然后就可以确定反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象．
【详解】解：∵的图象开口向上，
∴，
∵对称轴在轴的右侧，
∴，
∴，
∴反比例函数在第一、三象限，正比例函数在第二、四象限，
故选：D．
11．（2025·江西景德镇·一模）在如图所示的电路图中，当开关闭合以后，滑动变阻器从左往右滑动的过程中，电流表的示数与关系用图象可近似表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据，即，当从左往右滑动，即增大时，结合一定，则减小，即可判断出电流表的示数与关系用图象可近似表示为反比例函数图象，进而得出结果．
【详解】解：根据题意得：，即，
当从左往右滑动，即增大时，
因为一定，则减小，
所以电流表的示数与关系用图象可近似表示为反比例函数图象，只有C选项符合题意．
故选：C．
二、填空题
12．（2025·江西九江·一模）如图，平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（如图所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的直角边长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了规律型—数的变化，一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出直线与轴的交点坐标，进入可得出第个等腰直角三角形直角边的长，结合三角形的面积公式，可得出第个等腰直角三角形的面积，同理，可求出第，，个等腰直角三角形直角边的长及面积，根据数的变化，可找出“第个等腰直角三角形直角边的长为，找出变化规律是解题的关键．
【详解】解：当时，，
∴直线与轴交于点，
∴第个等腰直角三角形直角边的长为，
当时，，
∴第个等腰直角三角形直角边的长为，
当时，，
∴第个等腰直角三角形直角边的长为，
当时，，
∴第4个等腰直角三角形直角边的长为，
，
∴第个等腰直角三角形直角边的长为，
故答案为：．
13．（2025·江西九江·三模）如图，一次函数的图象分别与轴、轴相交于点为第一象限内的一点，当是等腰直角三角形时，点的坐标为 ．
【答案】或或
【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点坐标，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定；解题关键是先求出点A、点B坐标，再分三种情况讨论等腰直角三角形中C点的位置通过构造全等三角形来确定C点坐标。 先求得点A、点B的坐标再分，三种情况讨论求解即可．
【详解】解：由，当时，；当时，
∴点的坐标为，点A的坐标为．
①当，时，如图，过点作轴于点，
所以，
所以，，
所以．
因为，
所以，
所以，，
所以，
所以点的坐标为．
②当，时，
如图，作轴于点，
同理可证得，
所以，，
所以，
所以点的坐标为．
③当，时，
如图，此时，为的中点(由为等腰直角三角形性质可知)．
因为，，
所以点的坐标为．
综上所述，点C的坐标为或或．
故答案为：或或．
14．（2025·江西九江·一模）如图，在中，点，，，是线段的中点，，分别是边，上的动点，当以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形时，点的坐标为 ．
【答案】或或
【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形综合，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．先求出点，再求出直线的函数解析式是，设点，．分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：点，，是线段的中点，
点，
设直线的解析式为：，把、代入得：
，
解得：，
∴直线的函数解析式是，
设点，．
分三种情况：
①当时，如图1．过点作，交于点，过点作，交于点，
点，，，，
∵，，
∴，
∴，
，，
∴，
解得，
点的坐标为；
②当时，如图2．过点作交于点，过点作，交于点，
点，，
同理，可得，
，，
解得
点的坐标为；
③当时，如图3．过点作，，，
点，．
同理，可得，
，
解得
点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或或．
故答案为：或或．
15．（2025·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，B、C两点分别在x轴、直线上运动、若以为直角边的为等腰直角三角形，则点C的坐标为 .
【答案】，或
【分析】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征及等腰三角形的性质.熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键.
对点的位置及直角顶点进行分类讨论即可.
【详解】解：由题知，设点，
当，且点在点A左侧时，
，解得：，
此时点的坐标为.
当，且点在点A右侧时，
，解得：，
此时点的坐标为.
当，且点在点A左侧时，
，解得：，
此时点的坐标为.
当，且点在点左侧时，
，解得：，
此时点的坐标为.
综上所述，点的坐标为，或.
故答案为：，或.
16．（2025·江西赣州·一模）已知关于x的函数的图象与坐标轴有且只有2个交点，则 ．
【答案】1，0，，2
【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数分别与坐标轴交点的问题，根据函数图象与坐标轴有2个交点，分①一次函数时，②二次函数时，函数图象过坐标原点和顶点坐标在x轴上分别求解即可．
【详解】解：①当，即时，函数为，与坐标轴有两个交点；
②时，若，
则函数为，
函数图象经过坐标原点，与坐标轴有两个交点，
若，顶点在x轴上，
则函数图象与坐标轴有两个交点时有：
即，
解得，．
综上所述，函数图象与坐标轴有两个交点时，0，，2．
故答案为：1，0，，2．
17．（2025·江西南昌·二模）镜片的屈光力（单位：屈光度）与焦距（单位：米）满足反比例函数关系，如图，点在该反比例函数图象上．若某镜片的焦距为米，则它的屈光力 屈光度．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
设，将代入中，得，所以，最后将代入求出即可解答．
【详解】解：镜片的屈光力（单位：屈光度）与焦距（单位：米）满足反比例函数关系，
设，
将代入中，得，
，
故当时，，
故答案为：．
18．（2025·江西抚州·一模）如图，M为反比例函数的图象上的一点，轴，垂足为的面积为5，则k的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义得到，然后根据去绝对值得到k的值．
【详解】解：∵轴，垂足为A，的面积为5，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
三、解答题
19．（2025·江西抚州·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)如图，一次函数的图象交y轴于点C，交x轴于点D．若以为腰的等腰三角形的顶点F是y轴上一点，求点F的坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为
(2)点F的坐标为或或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，待定系数法，等腰三角形的性质等，灵活运用分类讨论的思想是解题的关键．
（1）将代入反比例函数解析式求出解析式，再求出点的坐标，将、代入一次函数解析式，即可求解；
（2）先求出点C的坐标为，点D的坐标为，再求出，分当点F在点C的上方，时，当点F在点C的下方，时，当点F在点C的下方，时，三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：将点代入反比例函数解析式，得，
∴反比例函数的解析式为．
将点代入，得，解得，
∴点B的坐标为．
将点分别代入一次函数解析式，得，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：∵直线与y轴交于点C，与x轴交于点D，
将代入，则；
令，解得：；
∴点C的坐标为，点D的坐标为，
，
当点F在点C的上方，时，
，
∴点F的坐标为；
当点F在点C的下方，时，
，
，
∴点F的坐标为；
当点F在点C的下方，时，
，
∴点F的坐标为．
综上所述，点F的坐标为或或．
20．（2025·江西萍乡·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为与反比例函数的图象交于点，点．
(1)求所在直线的解析式．
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，正方形的性质，两点距离计算公式，全等三角形的性质与判定等等，正确求出B、D的坐标是解题的关键．
（1）分别过点A和点C作y轴的垂线，垂足分别为F、E，证明得到，则，再根据正方形对角线中点坐标相同求出点B的坐标，最后利用待定系数法求出对应的解析式即可；
（2）先求出反比例函数解析式，进而求出点D的坐标，再利用两点距离计算公式分别求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，分别过点A和点C作y轴的垂线，垂足分别为F、E，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，
解得，
∴直线解析式为；
（2）解：把代入到中得，解得，
∴反比例函数解析式为，
联立，解得或，
∴，
∴，，
∴．
21．（2025·江西南昌·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，．
(1)分别求出一次函数与反比例函数的解析式；
(2)点在线段上，连接，若，求点的坐标．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合运用、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例求出点的坐标．
根据点在反比例函数图象上，可得方程，解方程即可求的值，根据的值求出点、的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
过点作轴平行线，过点作轴平行线，两线交于点，可证，根据相似三角形对应边成比例可得：点的横坐标为，把点的横坐标代入一次函数的解析式中求出点的纵坐标即可．
【详解】（1）解：点，在反比例函数图象上，
，
解得：， （舍去）
，
，
反比例函数的解析式是；
将点，的坐标代入一次函数，
可得：，
解得：，
一次函数的解析是；
（2）解：过点作轴平行线，过点作轴平行线，两线交于点，
过点作，垂足为，
，
．
，，
，，
，
，
，即，
解得：，
点的横坐标为，
将代入中，
可得：，
点的坐标为．
22．（2025·江西萍乡·二模）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点在函数的图象上，将线段向右下方平移，得到线段，此时点落在函数的图象上，点落在轴正半轴上，且点坐标为．
(1)求的值；
(2)求直线所对应的函数表达式．
【答案】(1)6
(2)
【分析】本题考查了平移的性质、求反比例函数的解析式、求一次函数的解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由平移的性质可得，由反比例函数的性质可得，求出的值即可得解
（2）设直线所对应的函数表达式为．利用待定系数法求解即可．
【详解】（1）解：，，线段平移后得到线段，，
．
点和点在函数的图象上，
，
，
．
（2）解：设直线所对应的函数表达式为．
将，代入得：，
解得：，
直线所对应的函数表达式为．
23．（2025·江西宜春·一模）如图，在中，，轴，垂足为．反比例函数的图象经过点，交于点．已知，．
(1)求反比例函数解析式；
(2)求直线的解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，判定点的坐标，求函数的解析式，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．
（1）点作于点，根据等腰三角形的性质和勾股定理求得，利用待定系数法即可求解；
（2）利用反比例函数的解析式求得点坐标为，根据,，利用待定系数法可求一次函数解析式．
【详解】（1）解：
如图所示，过点作于点，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
∴反比例函数；
（2）解：假设点坐标为，代入得，
∴点坐标为，
设直线的解析式为，将,代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为．
24．（2025·江西抚州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点为的中点，反比例函数的图象过点，且．
(1)求的值；
(2)求直线的函数表达式．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的结合，求函数的解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
（1）利用线段的中点求出点的坐标，利用待定系数法即可求解；
（2）利用待定系数法代入假设的解析式中即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，作轴于点，
∵点为的中点，
∴是的中位线，
∵，
∴，
∵点在第一象限，
∴点的坐标为，
∵反比例函数的图象过点，
∴；
（2）解：设直线的函数表达式为，
∵，
∴，
把的坐标分别代入，
得
解得
∴直线的函数表达式为．
25．（2025·江西九江·二模）已知正方形的三个顶点，恰好落在反比例函数的图象上，如图所示．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求直线的解析式；
(3)连接，求的面积．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题涉及正方形的性质、反比例函数和一次函数的解析式求解以及三角形面积的计算，解题的关键是正确的求得反比例函数的解析式．
（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得；
（2），过点作轴的平行线，过点分别作，交平行线于G、F． 证明，可得点C坐标，根据点的坐标求出直线解析式，
（3）如图．连接，，由（2）可知，计算三角形面积．
【详解】（1）解：点恰好落在双曲线上，
．解得．
A、B坐标为，．
将代入，得．
反比例函数的解析式为．
（2）解：由（1）可知．如图，过点作轴的平行线，
过点分别作，交平行线于G、F．
；
可得，．
四边形是正方形，
，．
．
，
．
，
．
点C坐标为，即．
设直线的解析式为，
则解得
直线的解析式为．
（3）解：如图．连接，，由（2）可知
．
26．（2025·江西九江·一模）如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)连接，求的面积．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
（1）将点代入可求得a值，把点代入解析式可求得k值，即可求得反比例函数的解析式．
（2）先求出点，然后根据解答即可．
【详解】（1）将点代入，
得，
点．
将点代入，
得，
该反比例函数的解析式为．
（2）当时，，
点，
，
．
27．（2025·江西宜春·一模）跳绳可以提高新陈代谢，是非常好的有氧运动，而一分钟跳绳在中考体考中易得分，是大多数学生首选的项目，因此某文具店看准商机购进甲、乙两种跳绳．已知甲、乙两种跳绳进价单价之和为65元；甲种跳绳每根获利3元，乙种跳绳每根获利5元；店主第一批购买甲种跳绳30根、乙种跳绳15根，一共花费1200元．
(1)甲、乙两种跳绳的单价分别是多少元？
(2)若该文具店预备第二批购进甲、乙两种跳绳共80根，在费用不超过2250元的情况下，如何进货才能保证利润最大？
【答案】(1)甲、乙两种跳绳的单价分别是15元和50元
(2)当购进甲种跳绳50根，购进乙种跳绳30根，利润最大
【分析】本题考查一次函数的性质、二元一次方程组、一元一次不等式等知识．
（1）设甲、乙两种跳绳的单价各是x元和y元，根据题意列出方程即可解决问题；
（2）设第二批购进甲种跳绳a根，乙种跳绳根，列出函数关系式和不等式即可解决问题．
【详解】（1）解：设甲、乙两种跳绳的单价分别是x元和y元，根据题意得，
，
解得：，
答：甲、乙两种跳绳的单价分别是15元和50元；
（2）解：设第二批购进甲种跳绳a根，乙种跳绳根，由题意得，
，
∵，
∴随a的增大而减小，
∵费用不超过1000元，
∴，
解得：，
∴当时，利润最大，
∴（根），
∴当购进甲种跳绳50根，购进乙种跳绳30根，利润最大．
28．（2025·江西抚州·一模）如图，都是反比例函数图象上的点，直线与y轴交于点P，过点A作轴于点B，连接，的面积等于4．
(1)k的值为_______．
(2)若，求直线的解析式．
【答案】(1)8
(2)
【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数，熟练掌握反比例函数与几何的综合及三角函数是解题的关键；
（1）连接，由题意易得，进而问题可求解；
（2）过点A作轴于点D，由（1）可知，则有，然后可得，进而可得点P的坐标为，设直线的解析式为，代入，最后问题可求解
【详解】（1）解：连接，如图所示：
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数图象在第一象限，
∴；
故答案为8；
（2）解：如图，过点A作轴于点D．
由（1）知，，
．
，即，
，
，
∴点P的坐标为．
设直线的解析式为，代入，
，
解得，
直线的解析式为．
29．（2025·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，，是一次函数的图象和反比例函数图象的两个交点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式．
(2)观察图象，直接写出不等式的解集．
【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为
(2)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
（1）先把点坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点坐标代入反比例函数解析式求出点的坐标，再把、坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可；
（2）只需要找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可．
【详解】（1）解：由题意，将代入，
得：，
解得：，
∴反比例函数的表达式为，
将代入，
得：，
解得：，
则，
将，代入，
得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：由函数图象可知不等式的解集为或．
30．（2025·江西新余·一模）如图，直线与x轴交于点，与反比例函数图象交于点．
(1)求反比例函数解析式；
(2)求（O为坐标原点）的面积．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）把点代入解析式可求得b值，把点代入解析式可求得k值，即可求得反比例函数的解析式.
（2）根据题意，，解答即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法，性质是解题的关键.
【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点，与反比例函数图象交于点．
∴把点代入解析式得，
解得；
∴直线解析式，
把点代入解析式得，
故点
把点代入解析式得，
故反比例函数的解析式为.
（2）解：由，，得，
根据题意，得．
31．（2025·江西新余·二模）如图，已知一次函数（a，b为常数，）的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，且与反比例函数（k为常数，）的图象在第二象限内交于点C，在第四象限内交于点E，作轴于点D，已知点，，点B是AC的中点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)点A是BE的中点吗？请说明理由．
【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为；
(2)点A是BE的中点．理由见解析
【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、正切，正确求得函数解析式是解答的关键．
（1）先根据正切定义和坐标与图形性质求得点B、C的坐标，再利用待定系数法求得函数解析式即可；
（2）先联立方程组求得点E坐标，再根据两点坐标距离公式求得即可．
【详解】（1）解：由点，，
得，，则点．
由点B是的中点，轴，得点C的坐标为，
∴把点，代入，得，
解得，
∴一次函数的解析式为；
把点代入，得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：点A是的中点．理由如下：
由解得或，
∴点E的坐标为，
∴，即点A是的中点．
32．（2025·江西新余·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在坐标轴上，顶点在反比例函数的图象上，已知点．
(1)求的值．
(2)连接交于点，将矩形向右平移个单位长度得到矩形平移后点的对应点在反比例函数的图象上，求的值．
【答案】(1)8；
(2)3．
【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，平移变换等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）利用矩形顶点坐标确定的位置，代入反比例函数即可求解；
（2）先求出点的坐标，根据平移后在反比例函数图象上即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴点的坐标为，
∵点在反比例函数的图象上，
∴；
（2）解：∵点的坐标为，点的坐标为，是的中点，
∴点的坐标为，
对于，当时，，
∴．
33．（2025·江西吉安·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于B，C两点，与x轴，y轴分别交于D，A两点．
(1)与的数量关系为 ；
(2)若的面积为4，求k的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积．
（1）作轴于点，作轴于点，证明是等腰直角三角形，和都是等腰直角三角形，联立得，整理得，由根与系数的关系得，由正弦函数的定义求得，，即可得到；
（2）由（1）得，，，根据，列式计算即可求解．
【详解】（1）解：，
作轴于点，作轴于点，
令，则，令，则，
∴，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴和都是等腰直角三角形，
联立得，整理得，
∴，，
则，
不妨设点的横坐标为，点的横坐标为，
∴，，
∴，
∴，，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵，，，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
34．（2025·江西抚州·二模）如图，在中，，，反比例函数的图象经过点．
(1)的长为_____；
(2)若点的坐标为，轴，求的值．
【答案】(1)
(2)16
【分析】本题主要考查反比例函数与几何综合，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形．
（1）过点B作于点H，易得是等腰三角形，推出，解直角三角形求出，即可解答；
（2）延长，交轴于点，根据轴，解直角三角形求出，进而求出，在中，利用勾股定理求出，得到点的坐标为，即，求出点的坐标为，即可求解．
【详解】（1）解：过点B作于点H，
∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，延长，交轴于点．
轴，
，即．
，，
，
，
，
在中，，
点的坐标为，即，
，
点的坐标为，
．
35．（2025·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，过反比例函数（）图象上一点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M，N，直线分别与x轴、线段，，y轴交于点A，D，C，B.
(1)直接写出的值；
(2)①求证：
②设，，试求m与n的函数关系式.
【答案】(1)4
(2)①见解析；②
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的判定和性质，一次函数的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）设点，由轴，轴，得到，，根据点P在反比例函数图象上，于是得到；
（2）①在中，令，则；令，则，于是得到，，求得，根据等腰直角三角形的性质得到；
②由①知是等腰直角三角形，得到，过C作轴于E，轴于F，则四边形是矩形，是等腰直角三角形，求得，，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：设点，
∵轴，轴，
∴，，
∵点P在反比例函数图象上，
∴；
（2）解：①证明：∵在中，令，则；令，则，
∴，，
∴，
∵，
∴；
②由①知是等腰直角三角形，
∴，
过C作轴于E，轴于F，
则四边形是矩形，是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴m与n的函数关系式为.
36．（2025·江西新余·三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（，）的图象经过，两点．
(1)求点的坐标及的值；
(2)求的面积．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合，掌握待定系数法，几何图形面积的计算是关键．
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）如图，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，可得直线的解析式为，点的坐标为，，结合图形面积的计算即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，得，
解得，
，
点的坐标为，
；
（2）解：由（1）可得，，
如图，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，
设直线的解析式为，
将点代入得：，，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为，
，
的面积为：．
37．（2025·江西赣州·二模）如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)轴于点，点为反比例函数图象上的一点，且位于点A的右侧，连接，．当时，求点的坐标，并直接写出四边形的面积．
【答案】(1)
(2)12
【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题及等腰三角形性质的应用，解题关键是利用函数图象上点的坐标满足函数解析式求解析式，借助等腰三角形“三线合一”确定点坐标．
（1）先将点代入直线，求出a的值从而确定点A坐标，再把点A坐标代入反比例函数，求出k，得到反比例函数解析式．
（2）过点作，由根据等腰三角形“三线合一”得，进而确定点纵坐标为，将其代入反比例函数解析式求出横坐标，得到点坐标，再求出点C坐标，根据四边形的面积=与面积之和，计算即可．
【详解】（1）解：把点代入得，
，，
∴点为
把点代入得，，
；
（2）过点作，垂足为点，
，
，
点的纵坐标为2，
把代入，解得．
．
直线中
令，则，
解得，
∴．
∵轴于点，
∴
∵，．
∴四边形的面积=与面积之和．
中，，，
∴．
中，，点到的距离（即与横坐标之差的绝对值）为，
∴．
∴．
38．（2025·江西吉安·一模）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，，已知点的纵坐标为1．
(1)反比例函数的表达式为________；当时，的取值范围是________．
(2)若点是点关于轴的对称点，求的面积．
【答案】(1)，或
(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，正确求出对应的函数解析式和点B的坐标是解题的关键．
（1）根据点的纵坐标为，代入一次函数得出，代入反比例函数解析式即可求解；联立一次函数与反比例数解析式，求得点，然后根据函数图象直接写出的取值范围；
（2）一次函数的图象轴交于点，则，根据点是点关于轴的对称点，则，进而根据三角形面积公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：在中，当时，
点在直线上，点的纵坐标为，
．
点在反比例函数上，
∴
，
∴反比例函数解析式为．
联立，解得或，
∴，
∴由图象可得：当或时，；
（2）解：在中，当时，，
．
点是点关于轴的对称点，
．
，
．
39．（2025·江西抚州·一模）棱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，反比例函数的图象经过点C．
(1)求此反比例函数的解析式；
(2)在x轴的下方作矩形，使，请你通过计算说明点N在反比例函数图象上；
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了反比例函数的综合题，反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质和轴对称、中心对称的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）首先求出，，然后根据得到，进而求解即可；
【详解】（1）点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
（2）已知，，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴点N的坐标为．
∵，
∴点N在反比例函数的图象上；
40．（2025·江西新余·二模）如图，点，均在反比例函数的图象上，轴于点，于点，且的面积为4，求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义．由的面积为4，知，根据反比例函数中k的几何意义，知本题，求得，，进而求出k的值．
【详解】解：∵的面积为4，轴于点，于点，
，
∴，
∵点，在反比例函数的图象上，
∴，，，
∴，，
∴，
∴．
41．（2025·江西吉安·一模）如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，将绕点逆时针旋转得到，点坐标为，双曲线经过点，并与交于点．
(1)点的坐标为______；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）延长交x轴于F，根据旋转的性质得，再证明四边形是矩形，得出，，即可求得，，从而得解．
（2）用待定系数法求反比例函数的解析式为，从而可求得点E坐标为，即可由三角形面积公式求解．
【详解】（1）解：延长交x轴于F，如图，
∵点坐标为，
∴，，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴点的坐标为．
故答案为：．
（2）解：双曲线经过点且点的坐标为，
，
反比例函数的解析式为，
又点在反比例函数的解析式为，且点横坐标为2，
，即点的坐标为，
，
，
的面积．
【点睛】本题考查旋转的性质，点的坐标，矩形的判定与性质，待定系数法求反比例函数解析式，三角形的面积．熟练掌握旋转的性质和待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
42．（2025·江西·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴、轴分别交于点．
(1)点的坐标为___________；
(2)若是轴上的一动点，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象交点问题，待定系数法求函数的解析式，轴对称最短路径问题，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
（1）根据已知条件列方程求得，求得，再求出一次函数的解析式，即可求解；
（2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于P，则此时，最小，根据轴对称的性质得到，利用两点间距离公式求解即可．
【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，，
，
，
，
把，代入得，
，
解得，
一次函数的表达式为；
令，解得：，
；
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，
则，
此时，最小，最小值为的长，
，
，
，
的最小值为．
43．（2025·江西吉安·一模）如图，在平面直角坐标系，直角顶点B在x轴的正半轴上，已知，，．反比例函数的图象经过点A．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点是反比例函数图象上的点．
①在轴上是否存在点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
②在x轴上是否存在点，使得与的差最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)；
(2)①存在，可使最小；②可使线段与的差最大．
【分析】本题考查了反比例函数的综合知识，解直角三角形．
（1）首先求得点A的坐标，然后利用待定系数法求反比例函数的解析式即可；
（2）①首先求得点A关于x轴的对称点的坐标，然后求得直线的解析式后求得其与x轴的交点即可求得点P的坐标；
②求得直线的解析式后求得直线与x轴的交点坐标即可求得点Q的坐标．
【详解】（1）解：∵，，可设，，
∴，又，
∴，
∴，
∴点A的坐标为，
∵点A在反比例函数图象上，
∴；
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：∵点是反比例函数图象上的点，
∴，
∴，即点C的坐标为；
①在x轴上存在点P，使得最小．
理由如下：由点可知它关于x轴的对称点为，
设直线的解析式为：，
∵与在其图象上，
，
解得，
∴直线的解析式为：，
设，可知，
∴可使最小；
②在x轴上存在点Q，使得线段与的差最大．理由如下：
设直线的解析式为：，
∵与在其图象上，
，
解得，
∴直线的解析式为：，
设，可知，
∴可使线段与的差最大．
44．（2025·江西宜春·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于，B两点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)当时，求一次函数的解析式和的面积．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质与判定，熟知一次函数与反比例函数的相关知识是解题的关键．
（1）把点A坐标代入一次函数解析式可求出点A坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可；
（2）作轴，轴，垂足分别为E、D，连接，，证明，求出，则；利用待定系数法求出一次函数的解析式为，则点，即，再根据列式求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：当时，如图，作轴，轴，垂足分别为E、D，连接，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
将代入中，得，
解得，
∴一次函数的解析式为，
在中，当时，，
∴点，即，
∴．
45．（2025·江西景德镇·一模）如图，三角形为等腰直角三角形，斜边轴，点在轴上，反比例函数经过的中点，交边于点，已知点．
(1)点的坐标为______，反比例函数解析式为______；
(2)连接，求的面积．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质结合轴，可得，易证是等腰直角三角形，可得，进而得到，利用待定系数啊即可求出反比例函数解析式；
（2）连接，由（1）知，求出直线的解析式为，联立，求出，由即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵三角形为等腰直角三角形，斜边轴，点为的中点，
∴，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数经过点，
∴，
解得：
∴反比例函数解析式为；
故答案为：，；
（2）解：如图，连接，
由（1）知，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
联立，解得或（舍去）；
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，一次函数与反比例函数交点问题，三角形的面积，解一元二次方程，综合应用以上知识点是解题的关键．
46．（2025·江西景德镇·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象上的两点，满足，的边轴，边轴，且．
(1)求的长．
(2)若是反比例函数图象上的一点，且，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查反比例函数的性质、坐标与图形，勾股定理解三角形及线段垂直平分线的性质，掌握相关知识是解题关键．
（1）根据题意得出，然后代入反比例函数确定，得出，，，即可求解；
（2）根据题意得出点P在的垂直平分线上，结合（1）中结果得出点P的横坐标为3，代入反比例函数即可求解
【详解】（1）解：∵，满足，的边轴，边轴，且．
∴，
∵点A、B在反比例函数图象上，
∴，
解得：，
∴，，，
∴，
∴；
（2）∵，
∴点P在的垂直平分线上，
∵，，
∴点P的横坐标为3，
把代入得，，
∴点的坐标为．
47．（2025·江西·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过两点，与反比例函数的图像在第一象限内交于点M，若的面积是2．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若点P是x轴上一点，且满足是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合、反比例与几何的综合、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．
（1）先运用待定系数法可得，设，如图1：作轴于点D．再根据三角形的面积公式求得，然后代入即可求得反比例函数解析式；
（2）分和两种情况，分别运用解直角三角形、坐标与图形即可解答．
【详解】（1）解：∵直线过两点，
∴，解得：，
∴一次函数的表达式为，
∴设，如图1：作轴于点D．
∵，
∴，即，解得：，
∴将代入得，解得：．
∵在双曲线上，
∴，解得：．
∴反比例函数的表达式为：．
（2）解：①如图1：当时，过点作交x轴于点P，
∵，
∴．
∴，
∴在中，，
∴，
．
∴当，此时点P的坐标为．
②如图2，当时，过点作交x轴于点P，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴当，此时点P的坐标为．
综上，点P的坐标为或．
48．（2025·江西·模拟预测）我们知道，反比例函数的图象是一个轴对称图形，如图，点在反比例函数的图象上．
(1)_______；
(2)这个图象的对称轴是直线_______；
(3)已知直线平行于（2）中的对称轴，请求出直线的解析式．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键：
（1）待定系数法求出值即可；
（2）根据反比例函数的对称性，得到对称轴为第一象限的角平分线所在的直线，作答即可；
（3）根据两直线平行，自变量的系数相同，待定系数法求出函数解析式即可．
【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，
∴；
故答案为：2；
（2）由图象可知，对称轴为直线；
（3）∵直线平行于直线，
∴设直线为，
把代入，得：，
∴，
∴．