2023-2025年全国中考数学真题分类汇编 专题02 整式及因式分解

这是一份2023-2025年全国中考数学真题分类汇编 专题02 整式及因式分解，共32页。试卷主要包含了计算，定义新运算等内容，欢迎下载使用。
考点01 幂的运算
1．（2025·黑龙江·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·安徽·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·四川攀枝花·中考真题）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·江苏苏州·中考真题）计算： ．
5．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是 ．
6．（2023·江苏南京·中考真题）计算的结果是 ．
考点02 整式的概念
1．（2023·河北·中考真题）代数式的意义可以是（ ）
A．与x的和B．与x的差C．与x的积D．与x的商
2．（2023·江西·中考真题）单项式的系数为 ．
3．（2024·山东泰安·中考真题）单项式的次数是 ．
4．（2024·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法：
①满足条件的整式中有5个单项式；
②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；
③满足条件的整式共有16个．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．（2025·上海·中考真题）用代数式表示与差的平方，正确的是（ ）
A．B．C．D．
考点03 整式的运算
1．（2025·陕西·中考真题）计算的结果为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·青海西宁·中考真题）计算： ．
3．（2023·陕西·中考真题）计算：（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·四川南充·中考真题）计算： ．
5．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：（ ）
A．aB．C．D．
6．（2024·重庆·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
7．（2023·河南·中考真题）（1）计算：；
（2）化简：．
8．（2023·湖北·中考真题）（1）计算：；
（2）解分式方程：．
9．（2025·甘肃兰州·中考真题）计算： ．
10．（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ．
11．（2023·四川攀枝花·中考真题）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：
① ②
③ ④
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．（2024·江苏无锡·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
13．（2023·青海西宁·中考真题）计算：．
考点04 整式的化简求值
1．（2025·浙江·中考真题）化简求值：，其中．
2．（2023·江苏·中考真题）若，则的值是 ．
3．（2023·江苏·中考真题）先化简，再求值：，其中．
4．（2023·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中．
5．（2025·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中．
6．（2024·甘肃·中考真题）先化简，再求值：，其中，．
7．（2023·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：，其中，．
考点05 代数式中的规律
1．（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ．
2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 （结果用含的代数式表示）．
3．（2024·四川成都·中考真题）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若，则的值为 ；若，则的值为 ．
4．（2023·山东临沂·中考真题）观察下列式子
；
；
；
……
按照上述规律， ．
5．（2023·湖南岳阳·中考真题）观察下列式子：
；；；；；…
依此规律，则第（为正整数）个等式是 ．
6．（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则 ．
7．（2024·山东日照·中考真题）在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字．现有一列数：，进行第1次构造，得到新的一列数：，第2次构造后，得到一列数：，…，第n次构造后得到一列数：，记．某小组经过讨论得出如下结论，错误的是（ ）
A．B．为偶数C．D．
8．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则 ， ．
9．（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（ ）
A．“20”左边的数是16B．“20”右边的“□”表示5
C．运算结果小于6000D．运算结果可以表示为
10．（2023·四川甘孜·中考真题）有一列数，记第个数为，已知，当时，则的值为 ．
11．（2023·西藏·中考真题）按一定规律排列的单项式：，，，，．则按此规律排列的第n个单项式为 ．（用含有n的代数式表示）
12．（2023·四川遂宁·中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 ．

考点06 因式分解
1．（2023·山东·中考真题）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·湖南永州·中考真题）与的公因式为 ．
3．（2025·江西·中考真题）因式分解：
4．（2023·湖北黄石·中考真题）因式分解： ．
5．（2025·广西·中考真题）因式分解：（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·甘肃·中考真题）因式分解： ．
7．（2024·江苏常州·中考真题）分解因式： ．
8．（2024·山东威海·中考真题）因式分解： ．
9．（2024·四川凉山·中考真题）已知，且，则 ．
10．（2024·四川广元·中考真题）分解因式： ．
11．（2025·黑龙江绥化·中考真题）分解因式： ．
12．（2024·广西·中考真题）如果，，那么的值为（ ）
A．0B．1C．4D．9
13．（2024·北京·中考真题）分解因式： .
14．（2024·福建·中考真题）已知实数满足．
(1)求证：为非负数；
(2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由．
15．（2023·浙江嘉兴·中考真题）观察下面的等式：
(1)写出的结果．
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
考点07 完全平方式
1．（2023·四川凉山·中考真题）已知是完全平方式，则的值是 ．
2．（2023·江苏宿迁·中考真题）若实数m满足，则 ．
3．（2024·黑龙江大庆·中考真题）已知，则的值是 ．
专题02 整式及因式分解
考点01 幂的运算
1．（2025·黑龙江·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了整式的运算，包括幂的乘方、合并同类项、积的乘方和平方差公式．根据同底数幂乘法、合并同类项，单项式的乘法运算，积的乘方，平方差公式逐一计算各选项的正确性即可．
【详解】A．，故选项A计算错误，不合题意；
B．与是不同类项，无法合并为，故选项B计算错误，不合题意；
C．，选项运算正确，符合题意；
D．，故选项D计算错误，不合题意；
故选C．
2．（2025·安徽·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查二次根式的性质，求一个数的立方根，幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案．
【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选；B．
3．（2024·四川攀枝花·中考真题）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查积的乘方运算，可将括号内的视为，再根据计算求解即可．
【详解】解；，
故选：A．
4．（2024·江苏苏州·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了同底数幂相乘，掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂相乘运算法则“底数不变，指数相加”计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
5．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查定义新运算，整式的混合运算，根据定义新运算计算即可，解题的关键是掌握定义新运算的运算法则．
【详解】解：根据新定义可得：
，
故答案为：．
6．（2023·江苏南京·中考真题）计算的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了幂的乘方运算的逆用及积的乘方运算的逆用，根据幂的乘方运算的逆用及积的乘方运算的逆用进行运算，即可求得．
【详解】解：
故答案为：．
考点02 整式的概念
1．（2023·河北·中考真题）代数式的意义可以是（ ）
A．与x的和B．与x的差C．与x的积D．与x的商
【答案】C
【分析】根据代数式赋予实际意义即可解答．
【详解】解：的意义可以是与x的积．
故选C．
【点睛】本题主要考查了代数式的意义，掌握代数式和差乘除的意义是解答本题的关键．
2．（2023·江西·中考真题）单项式的系数为 ．
【答案】
【分析】根据单项式系数的定义：单项式中的数字因数，得出结果即可．
【详解】解：单项式的系数是．
故答案是：．
【点睛】本题考查单项式的系数，解题的关键是掌握单项式系数的定义．
3．（2024·山东泰安·中考真题）单项式的次数是 ．
【答案】
【分析】根据单项式次数的定义进行解答即可．
【详解】解：单项式中，的指数是，的指数是，
∴此单项式的次数为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查单项式的次数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．理解和掌握单项式次数的定义是解题的关键．
4．（2024·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法：
①满足条件的整式中有5个单项式；
②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；
③满足条件的整式共有16个．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得，再分类讨论得到答案即可．
【详解】解：∵为自然数，为正整数，且，
∴，
当时，则，
∴，，
满足条件的整式有，
当时，则，
∴，，，，
满足条件的整式有：，，，，
当时，则，
∴，，，，，，
满足条件的整式有：，，，，，；
当时，则，
∴，，，，
满足条件的整式有：，，，；
当时，，
满足条件的整式有：；
∴满足条件的单项式有：，，，，，故①符合题意；
不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；故②符合题意；
满足条件的整式共有个．故③符合题意；
故选D
5．（2025·上海·中考真题）用代数式表示与差的平方，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了列代数式，理解题中的数量关系是解题的关键； “a与b差的平方”指先求a减b的差，再将这个差整体平方，即．
【详解】解：A. ：这是平方差公式的结果，表示的平方减去的平方，而非差的平方，错误，不符合题意；
B. ：表示先求差再平方，正确，符合题意；
C. ：仅对平方后减去，未对差整体平方，错误，不符合题意；
D. ：表示减去的平方，运算顺序错误，错误，不符合题意；
故选：B．
考点03 整式的运算
1．（2025·陕西·中考真题）计算的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查单项式与单项式的乘法运算，根据系数相乘，同底数幂相乘，进行计算，即可作答．
【详解】解：，
故选：D．
2．（2023·青海西宁·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】根据积的乘方和单项式的乘法计算即可．
【详解】解：，
故答案为：
【点睛】此题考查了积的乘方和单项式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．（2023·陕西·中考真题）计算：（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用单项式乘单项式的法则进行运算即可．
【详解】解：
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4．（2025·四川南充·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，合并同类项，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案．
【详解】解：
，
故答案为：．
5．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：（ ）
A．aB．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了整式的混合运算，先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可．
【详解】解：
故选：D．
6．（2024·重庆·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了整式的混合计算，分式的混合计算∶
（1）先根据单项式乘以多项式的计算法则和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案；
（2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
7．（2023·河南·中考真题）（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先求绝对值和算术平方根，再进行加减计算即可；
（2）先利用完全平方公式去括号，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查实数的混合运算、多项式乘多项式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
8．（2023·湖北·中考真题）（1）计算：；
（2）解分式方程：．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据多项式除以单项式及单项式乘以多项式可进行求解；
（2）根据分式方程的解法可进行求解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：两边乘以，得．
解得：．
检验，将代入．
∴是原分式方程的解．
【点睛】本题主要考查多项式除以单项式、单项式乘以多项式及分式方程的解法，熟练掌握各个运算是解题的关键．
9．（2025·甘肃兰州·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了整式的混合运算．先计算平方差和单项式乘多项式，再合并同类项即可．熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：
．
10．（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ．
【答案】60
【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式．
利用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：60．
11．（2023·四川攀枝花·中考真题）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：
① ②
③ ④
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案．
【详解】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④，
故选：．
【点睛】本题考查用图形面积解释代数恒等式，解题的关键是用两种不同的方法表示同一个图形的面积．
12．（2024·江苏无锡·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)2
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握相关运算顺序和运算法则是解题的关键．
（1）先将绝对值，算术平方根，负整数幂化简，再进行计算即可；
（2）先根据去括号法则和完全平方公式将括号展开，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
13．（2023·青海西宁·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】运用完全平方公式，平方差公式及整式的加减运算法则处理；
【详解】解：原式

.
【点睛】本题考查整式的运算，掌握乘法公式以简化运算是解题的关键．
考点04 整式的化简求值
1．（2025·浙江·中考真题）化简求值：，其中．
【答案】，13
【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，掌握运算法则是解题的关键．
先计算单项式乘以多项式，再进行合并同类项，然后再代入求值即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
2．（2023·江苏·中考真题）若，则的值是 ．
【答案】3
【分析】根据已知得到，再代值求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：3.
【点睛】本题考查代数式求值，利用整体思想求解是解答的关键．
3．（2023·江苏·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】利用完全平方公式和整式加减的运算法则进行化简，根据平方根的性质即可求得答案．
【详解】原式
．
当时，
原式
．
【点睛】本题主要考查完全平方公式、整式的加减、平方根，牢记完全平方公式和整式加减的运算法则是解题的关键．
4．（2023·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，24
【分析】先展开，合并同类项，后代入计算即可．
【详解】
当时，
原式
．
【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式的计算，熟练掌握两个公式是解题的关键．
5．（2025·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，2
【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
分别利用平方差公式和单项式乘以多项式法则计算，再合并，然后代入求值即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
6．（2024·甘肃·中考真题）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当，时，原式．
7．（2023·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】根据，，单项式乘以多项式法则进行展开，再加减运算，代值计算即可．
【详解】解：原式
．
当，时，
原式
．
【点睛】本题考查了化简求值问题，完全平方公式、平方差公式，单项式乘以多项式法则，掌握公式及法则是解题的关键．
考点05 代数式中的规律
1．（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ．
【答案】21
【分析】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．根据第1个图案中矩形的个数：；第2个图案中矩形的个数：；第3个图案中矩形的个数：；…第n个图案中矩形的个数：，算出第10个图案中矩形个数即可．
【详解】解：∵第1个图案中矩形的个数：；
第2个图案中矩形的个数：；
第3个图案中矩形的个数：；
…
第n个图案中矩形的个数：，
∴则第10个图案中矩形的个数为：，
故答案为：21．
2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 （结果用含的代数式表示）．
【答案】
【分析】本题考查了图形的变化类问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的共同规律以及与第一个图形的相互联系，探寻其规律．仔细观察图形变化，找到图形的变化规律，利用规律解题即可．
【详解】解：第一个图形中有个三角形；
第二个图形中有个三角形；
第三个图形中有个三角形；
第四个图形中有个三角形；
；
第n个图形中有个三角形．
故答案为：
3．（2024·四川成都·中考真题）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若，则的值为 ；若，则的值为 ．
【答案】 9 144
【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意，能够从特殊到一般，得到当n为偶数或奇数时的不同取法是解答的关键．先根据前几个n值所对应k值，找到变化规律求解即可．
【详解】解：当时，只有一种取法，则；
当时，有和两种取法，则；
当时，有，，，四种取法，则；
故当时，有，，，，，六种取法，则；
当时，有，，，，，，，，九种取法，则；
依次类推，
当n为偶数时，，
故当时，，
故答案为：9，144．
4．（2023·山东临沂·中考真题）观察下列式子
；
；
；
……
按照上述规律， ．
【答案】
【分析】根据已有的式子，抽象出相应的数字规律，进行作答即可．
【详解】解：∵；
；
；
……
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律．
5．（2023·湖南岳阳·中考真题）观察下列式子：
；；；；；…
依此规律，则第（为正整数）个等式是 ．
【答案】
【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数，等式的右边为这个数乘以这个数减1，即可求解．
【详解】解：∵；；；；；…
∴第（为正整数）个等式是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．
6．（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则 ．
【答案】15
【分析】本题考查数字类规律探究，整式加减中不含某一项问题，先根据，令，求出相应的结果，进而推导出当时的结果，利用新定义，求出，再根据新定义求出，根据不含项，得到项的系数为0，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴当时，；
当时，，
当时，，
当时，，
∴当时，，当时，，
∴，，
∴
，
∵不含项，
∴，
∴，
设，则：，
∴，
∵均为的整数幂，为偶数，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：15．
7．（2024·山东日照·中考真题）在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字．现有一列数：，进行第1次构造，得到新的一列数：，第2次构造后，得到一列数：，…，第n次构造后得到一列数：，记．某小组经过讨论得出如下结论，错误的是（ ）
A．B．为偶数C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，先求出的值，以及对应的k值，可得规律，此时，据此可判断A、C、D；再证明是偶数即可判断B．
【详解】解：由题意得，此时，
，此时，
第3次构造后得到的一列数为，
∴，此时，故A正确，不符合题意；
同理可得，此时，
……，
以此类推可知，，此时，故D错误，符合题意
∴，，故C正确，不符合题意；
∵是偶数，
∴是偶数，
∴是偶数，
∴是偶数，
∴是偶数，
以此类推，也是偶数，
∴为偶数，故B正确，不符合题意；
故选：D．
8．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则 ， ．
【答案】 45 2
【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是找出规律：当正整数为时，若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行．
【详解】解：由图中排布可知，当正整数为时，
若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；
若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行；
∵，
而，在第行，第1列，
∴2024在第行，第2列，
∴，，
故答案为：45，2．
9．（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（ ）
A．“20”左边的数是16B．“20”右边的“□”表示5
C．运算结果小于6000D．运算结果可以表示为
【答案】D
【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键．
设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，由题意可判断A、B选项，根据题意可得运算结果可以表示为：，故可判断C、D选项．
【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和
如图：
则由题意得：
，
∴，即，
∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍；
当时，则，如图：
，
∴A、“20”左边的数是，故本选项不符合题意；
B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意；
∴上面的数应为，如图：
∴运算结果可以表示为：，
∴D选项符合题意，
当时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意，
故选：D．
10．（2023·四川甘孜·中考真题）有一列数，记第个数为，已知，当时，则的值为 ．
【答案】
【分析】分别计算出，找到规律即可求解．
【详解】解：依题意，，，，……，
∴
∴的值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查数字类规律，找到规律是解题的关键．
11．（2023·西藏·中考真题）按一定规律排列的单项式：，，，，．则按此规律排列的第n个单项式为 ．（用含有n的代数式表示）
【答案】
【分析】根据系数和字母的次数与单项式的序号关系写出即可．
【详解】解：系数为，次数为1；
系数为，次数为2；
系数为，次数为3；
系数为，次数为4；
第n个单项式的系数可表示为：，字母a的次数可表示为：n，
∴第n个单项式为：．
【点睛】本题考查数字变化类规律探究，掌握单项式的系数和次数并发现其变化规律是解题的关键．
12．（2023·四川遂宁·中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 ．

【答案】
【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解．
【详解】解：甲烷的化学式为，
乙烷的化学式为，
丙烷的化学式为……，
碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，
十二烷的化学式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键．
考点06 因式分解
1．（2023·山东·中考真题）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的概念可进行排除选项．
【详解】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意；
B、，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意；
C、，属于因式分解，故符合题意；
D、因为，所以因式分解错误，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键．
2．（2023·湖南永州·中考真题）与的公因式为 ．
【答案】
【分析】根据确定公因式的确定方法：系数取最大公约数；字母取公共字母；字母指数取最低次的，即可解答．
【详解】解：根据确定公因式的方法，可得与的公因式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了公因式的确定，掌握确定公因式的方法是解题的关键．
3．（2025·江西·中考真题）因式分解：
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键．
直接运用提取公因式法解答即可．
【详解】解：．
故答案为：．
4．（2023·湖北黄石·中考真题）因式分解： ．
【答案】
【分析】将整式变形含有公因式，提取即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式中的分解因式，提取公因式是常用的分解因式的方法，解题的关键是找到公因式．
5．（2025·广西·中考真题）因式分解：（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了因式分解．利用平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：．
故选：A
6．（2025·甘肃·中考真题）因式分解： ．
【答案】/
【分析】本题考查因式分解，直接利用完全平方公式进行因式分解即可．熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．
【详解】解：；
故答案为：．
7．（2024·江苏常州·中考真题）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查的是公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解本题的关键．
利用完全平方公式分解．
【详解】解：．
故答案为：．
8．（2024·山东威海·中考真题）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多项式乘以多项式展开，然后利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为：．
9．（2024·四川凉山·中考真题）已知，且，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解的应用，先把的左边分解因式，再把代入即可求出的值．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
10．（2024·四川广元·中考真题）分解因式： ．
【答案】/
【分析】首先利用完全平方式展开，然后合并同类项，再利用完全平方公式进行分解即可．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式：．
11．（2025·黑龙江绥化·中考真题）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：．
故答案为：．
12．（2024·广西·中考真题）如果，，那么的值为（ ）
A．0B．1C．4D．9
【答案】D
【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可．
【详解】解：∵，，
∴
；
故选D．
13．（2024·北京·中考真题）分解因式： .
【答案】
【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键．
【详解】．
故答案为：．
14．（2024·福建·中考真题）已知实数满足．
(1)求证：为非负数；
(2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)不可能都为整数，理由见解析．
【分析】本小题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力．
（1）根据题意得出，进而计算，根据非负数的性质，即可求解；
（2）分情况讨论，①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数，根据奇偶数的性质结合已知条件分析即可．
【详解】（1）解：因为，
所以．
则
．
因为是实数，所以，
所以为非负数．
（2）不可能都为整数．
理由如下：若都为整数，其可能情况有：①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数．
①当都为奇数时，则必为偶数．
又，所以．
因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾．
②当为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数．
又因为，所以．
因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾．
综上所述，不可能都为整数．
15．（2023·浙江嘉兴·中考真题）观察下面的等式：
(1)写出的结果．
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据题干的规律求解即可；
（2）根据题干的规律求解即可；
（3）将因式分解，展开化简求解即可．
【详解】（1）；
（2）；
（3）
．
【点睛】此题考查数字的变化规律，因式分解，整式乘法的混合运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中的变化规律．
考点07 完全平方式
1．（2023·四川凉山·中考真题）已知是完全平方式，则的值是 ．
【答案】
【分析】根据，计算求解即可．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于熟练掌握：．
2．（2023·江苏宿迁·中考真题）若实数m满足，则 ．
【答案】
【分析】根据完全平方公式得，再代值计算即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，求代数式值，掌握完全平方公式及其变式是解题本题的关键．
3．（2024·黑龙江大庆·中考真题）已知，则的值是 ．
【答案】3
【分析】根据，通过平方变形可以求得所求式子的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式．