陕西省西安市雁塔区2025年中考四模数学试卷（解析版）

这是一份陕西省西安市雁塔区2025年中考四模数学试卷（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，股四等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各数中，最小的数是（ ）
A. B. 0C. ﹣1D. 2
【答案】C
【解析】根据有理数大小比较可知：正数大于负数，同为负数时绝对值大的数反而小，可知．
故选：C．
2. 下列几何体中，俯视图是矩形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．球的俯视图是圆形的，因此选项A不符合题意；
B．三棱柱的俯视图是三角形的，因此选项B不符合题意；
C．圆锥的俯视图是圆形，因此选项C不符合题意；
D．圆柱的俯视图是矩形，因此选项D符合题意．故选：D．
3. 一束平行于主光轴的光线（）射向凹透镜，点均为焦点．光线经过凹透镜后折射方向如图所示，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
4. 不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
，，
∴，故选：．
5. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，点C在x轴正半轴上，则点D坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，作轴，垂足为E，
∵点，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
6. 在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向下平移2个单位后，得到一个正比例函数图象，则该一次函数图象不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】将一次函数的图象向下平移2个单位后，得到的函数为：，
∵得到的函数为正比例函数，
∴，
解得：，
∴一次函数为，
∴该一次函数图象不经过第三象限，
故选：C．
7. 如图，在中，，E是上一点，，于点D，若．则的面积为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】D
【解析】过点E作的垂线，垂足为M，
∵，，
∴，
∴．
在和中，

∴，
∴．
又∵，
∴．
故选：D．
8. 关于的二次函数（其中）的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】在中：
∵，
∴函数图象开口向下．
∵对称轴为，
∴函数对称轴在y轴右侧，C选项不正确，
令代入二次函数得，
则．
∵，
∴，
∴方程有两个不同实数根，即二次函数的图象与轴有两个不同交点，
设二次函数的图象与轴有两个不同交点的横坐标分别为，
又∵，则，
∴
∴二次函数的图象与轴的两个交点在轴的右侧，
∴只有D选项符合题意，
故选：D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
9. 算术平方根是____．
【答案】
【解析】的算术平方根是，
故答案为：．
10. 勾股定理记载于《周髀算经》中，其中“勾三、股四、弦五”为一组“勾股数”．对任意正整数，，当为偶数，，则，，为一组“勾股数”．若一组“勾股数”中的为偶数，且其中一个数为，则对应的数为______ （写出一个符合题意的数即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】当时，，
解得：，
∴，，是勾股数，符合题意；
当时，，
则，∴，，是勾股数，符合题意；
当时，，则，∴，
此时，不是正整数，不符合题意；
综上所述：对应的数为或，
故答案为：（答案不唯一）．
11. 如图，内接于，连接，且平分，D是上一点，连接，．若，则的度数为______．
【答案】
【解析】如图，连接，由圆周角定理得：，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
12. 如图，在平面直角坐标系中，的边轴于点A，，反比例函数的图象分别过边的中点D，顶点C，若，，则k的值为______．
【答案】10
【解析】设，
∵反比例函数的图象过顶点C，
∴，
∵的边轴于点A，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：10．
13. 如图，在矩形中，AB，M，N分别是边AD，上的点，连接，，过点D作的垂线交的延长线于点E，若平分矩形的面积，且，则的长为______．
【答案】
【解析】如图，过点M作于点H，
AB，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
平分矩形的面积，
，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
三、解答题：本题共13小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
14. 计算：．
解：原式
．
15. 已知．试从或中任选一组进行整式化简．
解：已知，
若选，
原式
；
若选，
原式
．
16. 解方程：.
解：方程两边都乘以（x﹣2）（x+2）得，
x（x+2）-3(x-2)=(x+2)(x-2)
x2+2x-3x+6=x2-4
-x=-10
x=10
经检验，x=10是原方程的解，
所以，原分式方程的解是x=10．
点评：解方程是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分.
17. 如图，在中，，，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使得的周长比的周长大2．（保留作图痕迹，不写作法）
解：如图，点P即为所求．
18. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，C，E均在格点（网格线的交点）上，，，且．求证：．
证明：由勾股定理得，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
19. 如图，售卖传统民族艺术品的李师傅将西游记中的部分人物（师父：唐僧，徒弟：孙悟空、沙悟净、猪八戒）分别写在一个可以自由转动的转盘上（该转盘被分成四个面积相等的扇形区域），并设计了一种营销方式：凡消费一次即可获得一次转转盘的机会，由顾客转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的人物即为转出的人物，此时称为转动转盘一次，李师傅根据转出的人物捏泥人赠送该顾客（若指针指向两个扇形的交界线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．
（1）小明转动转盘一次，转到的人物是“孙悟空”的概率为______；
（2）若小明、小红分别转动转盘一次，请你用列表或画树状图的方法，求小明和小红转到的人物均是徒弟的概率．
（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中转到的人物是“孙悟空”的结果有1种，
∴转到的人物是“孙悟空”的概率为．
故答案为：；
（2）解：将唐僧、孙悟空、沙悟净、猪八戒分别记为A，B，C，D，
列表如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小红转到的人物均是徒弟的结果有：，，，，，，，，，共9种，
∴小明和小红转到的人物均是徒弟的概率为．
20. 随着电影《哪吒2》的热映，其周边产品引起抢购热潮，多地出现断货现象，为了加快补货，某哪吒盲盒生产线采用新旧流水线同时工作的模式．已知1条新流水线和1条旧流水线同时工作1小时共加工100个哪吒盲盒，2条新流水线和5条旧流水线同时工作1小时共加工320个哪吒盲盒．求1条旧流水线每小时可加工多少个哪吒盲盒？
解：设1条旧流水线每小时可加工x个哪吒盲盒，则1条新流水线每小时可加工个哪吒盲盒，
根据题意得：，解得：．
答：1条旧流水线每小时可加工40个哪吒盲盒．
21. 司马迁是我国西汉伟大的史学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内．小明和小华想要测量司马迁雕像的高度，于是带着测量工具来到这座雕像前．如图，由于雕塑底座周围的阶梯无法直接测量距离，经工作人员介绍雕像底部到地面的高度为，于是他们设计了如下测量方案：小华在与底座底部B处同一水平面的地面点C处放置一块平面镜（平面镜厚度忽略不记），他从点C沿方向后退，当退行到D处时，恰好在镜子中看到司马迁雕像顶端A的像；此时小华原地不动，小明发现小华影子的顶点F恰好与司马迁雕像影子的顶点重合，此时测得为，小华的身高为（忽略头顶到眼睛的距离）．已知，，点B，C，D，F共线．请根据以上所测数据，计算司马迁雕像的高度．（结果保留整数）
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为，
∴，
答：司马迁雕像的高度约为．
22. 2025年春晚上传统文化与机器人技术相结合节目——《秧BOT》使机器人的多元化走进大众视野，智能家居机器人产品中的割草机器人更是利用科技解放劳动力．李爷爷家购入的一款割草机器人的电量与工作时间之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）已知李爷爷家有地需要割草，该款割草机器人每分钟可以割草，开始割草时机器人的剩余电量为，试判断机器人是否可以在耗尽电量前将李爷爷家的地割完草．
（1）解：设y与x之间的关系式为（k、b为常数，且），
将坐标和分别代入， 得，解得，
∴y与x之间的关系式为；
（2）解：当时，得，
则该款割草机器人每分钟耗电，
∴剩余电量可以割草，
李爷爷割完草需用时间，
∵，∴机器人可以在耗尽电量前将李爷爷家的地割完草．
23. 杨凌农高会是国家5A级农业综合展会，是我国农业科技成果示范推广的重要平台．张叔叔受邀携带自家苹果参会，为了解苹果质量，张叔叔前往苹果园采摘了1000个苹果，展会志愿者从中随机抽取了20个苹果并对每个苹果的直径进行测量．将所得数据进行整理、分析，绘制了如下统计图表：
（1）频数分布表中______，扇形统计图中______；
（2）求这20个苹果直径的平均数；
（3）若根据农高会要求，该品种苹果的直径不小于，便可被选为参会苹果．请估计在张叔叔采摘的这1000个苹果中，能够带去参加农高会的苹果共有多少个？
解：（1），
扇形统计图中，
故答案为：8，；
（3）这20个苹果直径的平均数为；
（3）（个），
答：能够带去参加农高会的苹果共有650个．
24. 如图，是的直径，是的弦，且于点E，F为上一点，，连接并延长交的延长线于点G，过点D作的切线交于点H，连接．
（1）求证：；
（2）若，求线段的长．
（1）证明：连接，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵与相切于点D，交于点H，
∴，
∴，
∵于点E，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：由（1）得，
∵，
∴，
∵是的直径，是的弦，且于点E，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴GH的长为．
25. 2024亚洲羽毛球精英巡回赛在陕西省体育馆开幕，运动员们为争夺荣誉而战，无论是快速的网前小球还是大力的后场扣杀，都赢得现场观众的阵阵喝彩．羽毛球爱好者小明在练习羽毛球时，站在与球网距离为的点O处练习发球，羽毛球的运动轨迹可近似的看成抛物线型．线段表示水平地面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知小明的发球高度，点A在y轴上，为占据发球优势，小明以下面两种方案练习发球：
方案一：小明以高远球的方式练习发球，当羽毛球的最大高度为时，此时羽毛球恰好位于球网正上方．
方案二：小明以网前球的方式练习发球，羽毛球过球网后落在距球网的位置．
（1）求方案一中羽毛球运动轨迹所在抛物线的函数表达式；
（2）小明在与小华的对战中，小华站在距球网的位置接球，为增加对方接球难度，小明需将球打到离小华越远的位置越容易获胜，则小明在点O处发球用哪种发球方式更容易获胜？（影响发球的其他因素均忽略不计）
（1）解：由题意，顶点坐标为，
∴可设抛物线为：．
又∵抛物线过，
∴．
∴．
∴抛物线为．
（2）解：由题意，方案一的落地点为抛物线时的x值，
∴令．
∴（米）（舍去负根）．
又∵方案二的落地点为距球网3米处，
∴（米）．
又∵小华位于距球网4米处，即（米），
∴比较两种方式落地点与小华位置的距离：
方案一落地点为，距离小华（米）；
方案二落地点为，距离小华（米）．
∵米米，
∴方案一的落地点离小华更远，更难接球．
∴方案一更优．
26. 问题提出
（1）如图①，直线与相切于点是直线上一点，则 ______；（填“”“”或“”）
问题探究
（2）如图②．正方形的边长为是上一点，是的中点，连接，当最大时，求；
问题解决
（3）如图③，为某生态畜牧养殖区的配料区，在中，，是边上一点，为右侧羊群生活区的围栏，的中点为羊群生活区出入口，均为围墙，现该养殖区管理人员计划在边确定一点为生态养殖区的出入口，在距出入口的距离为的点安装全天监控的摄像头进行实时监控羊群，且，并在边修建一处饲料加工车间，规划内部路便于运输．已知．是否存在的位置，使得摄像头的监控效果最好（即最大），且内部路的长度最小，若存在，请求出和的长；若不存在，请说明理由．
解：（1）连接，设与交于点，连接，
∵直线与相切于点，
∴，即，
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，是圆周角，是圆心角，且，
∵是圆外角，则，（同弧所对圆周角相等），
∴；
（2）∵四边形是正方形，点是中点，
∴，
如图所示，取的中点，过点作的垂线，交于点，取线段的中点为圆心，以为半径画圆，由（1）得到，当点重合时，即与切于点时，的值最大，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，，
过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）作点关于的对称点，连接交于点，此时的长度最小（两点之间线段最短），
∵点是中点，
∴过点作的垂线，交于点，
由（2）可知，当点在垂线上时，作线段的垂直平分线交于点，以点为圆心，以为半径画圆，当过点的直线与垂直时，即点为切点时，的角度最大，此时的点即为所求点的位置，
∵是中点，，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴ ．
A
B
C
D
A
B
C
D
组别
直径/
频数/个
组内平均数/
A
3
62
B
4
74
C
a
81
D
5
94