2024-2025学年新疆乌鲁木齐市兵团二中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年新疆乌鲁木齐市兵团二中高一（下）期中数学试卷（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z=12−i的虚部是( )
A. −1B. −iC. 15D. 15i
2.若直线l与平面α相交，则下列结论正确的是( )
A. 平面α内任意直线和直线l异面B. 平面α内存在直线和直线l平行
C. 平面α内有且仅有一条直线和直线l相交D. 平面α内有无数条直线都与直线l相交
3.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E，F分别为棱A1B1，B1C1的中点，经过E，F，O三点的平面与正方体相交所成的截面为( )
A. 梯形
B. 平行四边形
C. 矩形
D. 正方形
4.已知向量a，b的夹角为π6，且(a−b)⊥(a+b)，则向量a在向量b上的投影向量是( )
A. bB. 32bC. 22bD. 22a
5.已知e1，e2是平面内的一组基底，OA=4e1+3e2，OB=2e1+ke2，OC=5e1−3e2，若A，B，C三点共线，则实数k的值为( )
A. 9B. 13C. 15D. 18
6.如图，往一个正四棱台密闭容器内倒入38cm3的水，水面高度恰好为棱台高度的12，且AB=6cm，A1B1=2cm，则这个容器的容积为( )cm3．
A. 52
B. 60
C. 68
D. 76
7.勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知AB=2，P为弧AC
上一点，且∠PBC=α，则BP⋅PC的最小值为( )
A. 0
B. 2 3+4
C. 2 3−4
D. −2
8.如图1，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个沿垂平面内，其平面图形如图2所示.已知∠ABM=30°，∠BAN=45°，∠MAN=60°，∠MBN=90°，AB=2 5，则MN=( )
A. 5( 3−1)B. 5 2C. 5( 3+1)D. 10
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在复平面内，复数z1=12− 32i对应的点为A，复数z2=z1−1对应的点为B，下列说法正确的是( )
A. |z1|=|z2|=1B. z1⋅z2=|z1|2
C. 向量AB对应的复数是1D. |AB|=|z1−z2|
10.下列命题正确的是( )
A. 若a与b都是单位向量，则a=b
B. “|a|=|b|”是“a=b”的必要不充分条件
C. 若a，b都为非零向量，则使a|a|+b|b|=0成立的条件是a与b反向共线
D. 若a//b，b//c，则a//c
11.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列结论成立的是( )
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. 在锐角△ABC中，不等式sinA>csB恒成立
C. 若acsA=bcsB=ccsC，则a=b=c
D. 若A=30°，b=4，a=3，则△ABC只有一解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z1=2+i，z2=a−i(a∈R)，i为虚数单位，若复数z1−z2为纯虚数，则实数a的值为______．
13.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，BC= 3，AA1=2 3，且∠BAC=π3，则该三棱柱的外接球的体积为______．
14.在△ABC中，E为AC上一点，且AC=4AE，P为BE上一点，且满足AP=mAB+nAC(m>0,n>0)，则1m+1n最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知向量a=(−3,1)，b=(1,−2)，n=a−kb(k∈R)．
(1)若n与向量2a−b垂直，求实数k的值；
(2)若向量c=(1,−1)，且n与向量kb+c平行，求实数k的值．
16.(本小题15分)
如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD=2DC，AD=2．
(1)若△ABD是正三角形，求AC的长；
(2)若csB=3 1010，∠ADC=135°，求CD的长．
17.(本小题15分)
如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为6cm，高为20cm，圆锥母线为10cm．
(1)计算该模型的体积．
(2)现需使用油漆对500个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米30元，总费用约是多少？(π≈3)
18.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c−b=2acsB．
(1)求角A；
(2)若b2−a2+c2−3c=0，且边BC的中线AD的长为 192，求△ABC的面积；
(3)若△ABC是锐角三角形，求a+bc的范围．
19.(本小题17分)
在平面直角坐标系xOy中，对于非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，定义这两个向量的“相离度”为d(a,b)=|x1y2−x2y1| x12+y12⋅ x22+y22，容易知道a,b平行的充要条件为d(a,b)=0．
(1)已知向量a=( 5,2)，b=(1,−4 5)，求d(a,b)；
(2)(i)设向量a,b的夹角为θ，证明：d(a,b)=sinθ；
(ii)在△ABC中，AB=4，AC=8，D为BC的中点，且AD=2 7，若P为线段AD上的点(包括端点)，求d(AP,BP)的范围．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：由z=12−i=2+i(2−i)(2+i)=2+i5=25+15i，
可得其虚部为15．
故选：C．
由复数的除法运算进行计算即可求得结论．
本题考查复数的除法运算，属基础题．
2.【答案】D
【解析】解：因为直线l与平面α相交，所以平面α内的直线与直线l的关系相交或异面，设直线l与平面α交于点O，
对于A：当平面内的直线过交点O时，此时过O点的直线和直线l相交，故A不正确；
对于B：若平面α内存在直线和直线l平行，根据线面平行的判定定理得出l/​/平面α，与已知矛盾，故B不正确；
对于CD：平面内过交点O的直线有无数条，且这些直线都与l相交，故C不正确；D正确．
故选：D．
根据直线与平面的位置关系进行逐一分析判断．
本题考查线面位置关系的判定，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：如图，因为正方体ABCD−A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E，F分别为棱A1B1，B1C1的中点，
所以在△A1B1C1中，EF//A1C1,EF=12A1C1
因为正方体ABCD−A1B1C1D1，所以A1C1/​/AC，
所以EF/​/AC，而点O在直线AC上，
所以点A，C，F，E确定一个平面，所以经过E，F，O三点的平面与正方体相交所成的截面为平面ACFE，
即确定的平面是梯形．
故选：A．
通过作图的方式确定EF/​/AC，从而判断出点A，C，F，E确定一个平面，从而判断出经过E，F，O三点的平面与正方体相交所成的截面是什么四边形．
本题考查了平面的基本性质，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由题意可知，(a−b)⋅(a+b)=a2−b2=0，即|a|=|b|，
所以a⋅b=|a||b|cs〈a,b〉= 32|a|2，
向量a在向量b上的投影向量是(|a|⋅cs〈a,b〉)b|b|=(a⋅b|b|2)b= 32|a|2|a|2b= 32b．
故选：B．
由题意得|a|=|b|，故根据数量积定义、投影向量定义即可求解．
本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：因为OA=4e1+3e2，OB=2e1+ke2，OC=5e1−3e2，
所以AB=OB−OA=(2e1+ke2)−(4e1+3e2)=−2e1+(k−3)e2，
AC=OC−OA=(5e1−3e2)−(4e1+3e2)=e1−6e2，
又因为A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使得AB=λAC，
即−2e1+(k−3)e2=λ(e1−6e2)，
因为e1，e2是平面内的一组基底，
所以由平面向量基本定理可得：λ=−2−6λ=k−3，
解得λ=−2k=15．
故选：C．
由平面向量的线性运算将AB,AC用e1,e2表示出来，结合共线向量定理与平面向量基本定理建立方程组，求解即可．
本题考查共线向量定理与平面向量基本定理的应用，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：设水体对应的台体的高为ℎcm，
则水体对应台体的上底面是边长为4cm的正方形，
由台体的体积公式可得V水=13×(42+62+4×6)ℎ=763ℎ=38，
解得ℎ=32，
故容器的高为3cm，容器的容积为V=13(22+62+2×6)×3=52(cm3)．
故选：A．
设水体对应的台体的高为ℎcm，利用台体的体积公式可求出ℎ的值，可知容器的高为3cm，再利用台体的体积公式可求出容器的容积．
本题考查几何体体积的计算，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：因为P为弧AC上的一点，
则|BP|=2，且|BC|=2，
可知BP⋅PC=BP⋅(BC−BP)=BP⋅BC−4，
由图形可知：当点P与点A重合时，向量BP在BC方向上的投影取到最小值，
此时BP⋅PC=BP⋅BC−4≥2×2×12−4=−2，
所以BP⋅PC的最小值为−2．
故选：D．
根据向量的运算可得时BP⋅PC=BP⋅BC−4，结合数量积的几何意义分析求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
8.【答案】C
【解析】解：在△ABN中，∠BAN=45°，AB=2 5，
又因为∠ABM=30°，∠NBM=90°，
所以∠ABN=∠ABM+∠NBM=120°，
所以∠ANB=180°−∠BAN−∠ABN=15°，
由正弦定理可得：ABsin∠ANB=ANsin∠ABN，
又sin15°=sin(45°−30°)=sin45°cs30°−cs45°sin30°= 22×( 32−12)= 6− 24，
所以AN=AB⋅sin∠ABNsin∠ANB=2 5× 32 6− 24=3 10+ 30，
在△ABM中，∠ABM=30°，∠MAN=60°，可得∠MAB=105°，∠AMB=180°−∠BAM−∠ABM=180°−105°−30°=45°，
由正弦定理ABsin∠AMB=AMsin∠ABM，可得AM=AB⋅sin∠ABMsin∠AMB=2 5×12 22= 10，
在△AMN中，由余弦定理可得MN2=AN2+AM2−2AN⋅AMcs∠MAN
=(3 10+ 30)2+10−2×(3 10+ 30)× 10×12
=100+50 3，
所以MN=5( 3+1).
故选：C．
在△ABN中，由正弦定理可得AN的值，在△ABM中，由正弦定理可得AM的值，在△AMN中，由余弦定理可得MN的值．
本题考查正弦定理及余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：根据题意，复数z1=12− 32i，z2=z1−1=−12− 32i，
依次分析选项：
对于A，|z1|=|z2|= 14+34=1，A正确；
对于B，z1⋅z2=(12− 32i)(−12− 32i)=−1，B错误；
对于C，A(12,− 32)，B(−12,− 32)，则AB=(−1,0)，向量AB对应的复数为−1，C错误；
对于D，由复数的几何意义，|AB|=|z1−z2|，D正确．
故选：AD．
根据题意，求出复数z2，由复数模的定义分析A，由复数的乘法分析B，由复数的几何意义分析C、D，综合可得答案．
本题考查复数的几何意义，涉及复数的运算，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：对A，a，b都是单位向量，则a，b模长相等，但方向不一定相同，故A错误；
对B，“|a|=|b|”推不出“a=b”，但“a=b”能推出“|a|=|b|”，
所以“|a|=|b|”是“a=b”的必要不充分条件，B正确；
对C，因为a与b反向共线且都是非零向量，则a|a|，b|b|都为单位向量，则a|a|+b|b|=0，C正确，
对D，若b=0，满足a/​/b，b/​/c，则a,c不一定平行，D错误．
故选：BC．
根据向量的基本概念，即可判断选项．
本题主要考查向量的概念，以及向量共线的性质，属于基础题．
11.【答案】ABC
【解析】解：由A>B⇔a>b⇔2RsinA>2RsinB⇔sinA>sinB，A正确；
锐角△ABC中，A+B>π2⇔π2>A>π2−B>0⇒sinA>sin(π2−B)=csB，B正确；
若acsA=bcsB=ccsC，则sinAcsA=sinBcsB=sinCcsC，
即tanA=tanB=tanC，
所以A=B=C，即a=b=c，C正确；
若A=30°，b=4，a=3，则sinB=bsinAa=4×123=23，
因为a0)，可得AP=mAB+4nAE，由向量共线定理可得m+4n=1，再利用基本不等式即可求解．
【解答】解：∵AC=4AE，且满足AP=mAB+nAC(m>0,n>0)，
∴AP=mAB+4nAE，
∵P为BE上一点，
由向量共线定理可得：m+4n=1，又m>0，n>0，
∴1m+1n=(m+4n)(1m+1n)
=5+4nm+mn≥5+2 4nm⋅mn=9，当且仅当m=2n=13时取等号，
∴1m+1n的最小值是9．
故答案为：9．
15.【答案】解：(1)∵向量a=(−3,1)，b=(1,−2)，n=a−kb(k∈R)．
∴n=a−kb=(−3−k,1+2k)，2a−b=(−7,4)，
∵n与向量2a−b垂直，
∴n⋅(2a−b)=(−3−k)×(−7)+(1+2k)×4=0，
解得k=−53．
(2)∵向量c=(1,−1)，∴kb+c=(k+1,−2k−1)，
∵n与向量kb+c平行，
∴(−3−k)⋅(−2k−1)=(1+2k)⋅(k+1)，
解得k=−12．
【解析】(1)先求出n=a−kb，再由n与向量2a−b垂直，能求出k．
(2)先求出kb+c，再由n与向量kb+c平行，能求出k．
本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量垂直、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】 7； 2 2．
【解析】(1)因为△ABD是正三角形，所以∠ADC=120°，
因为BD=2DC，AD=2，所以CD=12BD=1，
在△ACD中，由余弦定理得：AC= AD2+CD2−2AD⋅CDcs∠ADC= 4+1−2×2×1×(−12)= 7；
(2)因为csB=3 1010，且B为锐角，所以sinB= 1−cs2B= 1010，
则sin∠BAD=sin(135°−B)= 22(csB+sinB)=2 55，
由正弦定理BDsin∠BAD=ADsinB，得BD=ADsin∠BADsinB=2×2 55 1010=4 2，
因为BD=2DC，所以CD=2 2，
(1)由余弦定理计算即可求得；
(2)由两角差的正弦公式即可求得sin∠BAD，再由正弦定理求BD，从而得CD．
本题考查利用正、余弦定理解三角形，属于中档题．
17.【答案】624πcm3；
1512(元)．
【解析】(1)因为圆柱的底面半径为6cm，高为20cm，圆锥母线为10cm，
且圆柱与圆锥的底面大小相同，
设圆锥的高为ℎ1，
由题意得圆锥母线为10cm，
则ℎ1= 102−62=8cm，
V=20π×62−13×π×62×8=624πcm3；
(2)圆柱的侧面积为2πr×20=240π，圆柱的上底面的面积为36π，
圆锥侧面积为S锥侧=60π，
∴S总=240π+36π+60π=336πcm2，
故总费用为336π×500×30104=504π≈1512(元)．
(1)首先求圆锥的高，再根据圆柱与圆锥的体积公式，即可求解；
(2)首先求组合体的表面积，再求总费用．
本题主要考查圆柱和圆锥的侧面积，考查计算能力，属于中档题．
18.【答案】A=π3；
3 32；
a+bc∈( 3+12,2+ 3)．
【解析】(1)利用正弦定理化简已知等式可得2sinC−sinB=2sinAcsB，
可得2sin(A+B)−sinB=2sinAcsB，
可得2csAsinB−sinB=0，可得sinB(2csA−1)=0，
又sinB≠0，
所以csA=12，
又因为A∈(0,π)，
可得A=π3；
(2)因为b2−a2+c2−3c=0，A=π3，
所以由b2+c2−a2=2bccsA，可得3c=2bccsA=bc，解得b=3，
由题意AD=12(AB+AC)，
两边平方，可得|AD|2=14(AB2+AC2+2AB⋅AC)=14(|AB|2+3|AB|+9)，
因为|AD|= 192，解得|AB|=2．
可得△ABC的面积为S=12bcsinA=3 32；
(3)由题意可得a+bc=sinA+sinBsinC
=sin(C+π3)+ 32sinC
= 32csC+ 32sinC+12
= 322cs2C22sinC2csC2+12
= 321tanC2+12，
由题意0