2024-2025学年云南民族大学附中高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年云南民族大学附中高一（下）期中数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|0≤x≤3}，B={x∈Z|−1≤x0)在区间[0,π2]上是单调函数，且g(−π)=g(0)=−g(π2)，则ω的值为2或23
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法.定义a↑b= a⋅a⋅a⋯⋯ab个a=ab，a↑↑b= a↑a↑a↑⋯↑ab个a(从右往左计算).已知可观测宇宙中普通物质的原子总数T约为1082，则下列各数中与5↑↑3T最接近的是(参考数据lg2≈0.3)( )
A. 102025B. 102055C. 102105D. 102125
8.在自然界中，对称性无处不在.从蝴蝶翅膀的美丽图案到雪花晶体的完美结构，对称性展现了自然界的和谐与平衡.数学作为描述自然规律的语言，同样充满了对称之美.函数图像的对称性，例如轴对称和中心对称，关于函数的相关对称性质是数学中研究的重要概念.已知函数f(x)=ex−1+e1−x+|x−1|，使得不等式f(2m+1)(sinA)2025+(sinB)2025
10.下列说法中正确的是( )
A. 已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，且a，b的夹角为π3，则|a−λb|(λ∈R)的最小值是 3
B. 已知A，B，C是不在同一直线上的三个点，O是平面ABC内一动点，若OP−OA=λ(AB+12BC)，λ∈[0,+∞)，则点P的轨迹一定过△ABC的重心
C. 已知x≠π2+kπ，(k∈Z)，则y=4sinxcsx+3cs2x的最大值为53
D. 平面向量a，b，c满足|a|=|b|=a⋅b=2，|a+b+c|=1，则(a+c)⋅(b+c)的最小值是3−2 3
11.已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且g(x)+f(−x+2)=1，f(x)−g(x+1)=1，若y=f(x)的图象关于直线x=1对称，则以下说法正确的是( )
A. g(x)为奇函数
B. g(−32)=0
C. ∀x∈R，f(x)=f(x+4)
D. 若f(x)的值域为[m,M]，则f(x)+g(x)=m+M−1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在边长为4的正方形ABCD中，AE=14AB，DF=FC，以F为圆心，1为半径作半圆与CD交于M，N两点，如图所示.点P为弧MN上任意一点，向量EP⋅EC最大值为______．
13.已知单位向量a，b满足|a+b|=|a−b|，则a与b的夹角为______．
14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,−π20，b>0，
由基本不等式，可得 66(a+b)≤(a+b2)2，
所以a+b≥2 63，当且仅当a=b= 63时取等号，
所以a+b的最小值为2 63．
16.解：(1)因为a=(1,2)，b=(4,−2)，
所以d(a,b)=|1×(−2)−2×4| 12+22× 42+(−2)2=10 5×2 5=1．
(2)因为角A的平分线AD与BC交于点D，所以BDCD=ABAC=12，即CD=2BD，
所以AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13(AC−AB)=23AB+13AC，
所以AD2=(23AB+13AC)2=49AB2+19AC2+49AB⋅AC，
即169=169+169+49AB⋅AC，解得AB⋅AC=−4，
又因为PA+PB+PC=0，所以点P为△ABC的重心，所以AP=13AB+13AC，
所以PA=−13AB−13AC，PB=PA+AB=23AB−13AC，
所以PA⋅PB=(−13AB−13AC)⋅(23AB−13AC)=−29AB2+19AC2−19AB⋅AC=43，PA2=(−13AB−13AC)2=19AB2+19AC2+29AB⋅AC=43，
PB2=(23AB−13AC)2=49AB2+19AC2−49AB⋅AC=163，
所以cs2=(PA⋅PB)2PA2PB2=14，
又因为cs2+d2(a,b)=(x1x2+y1y2)2(x12+y12)(x22+y22)+(x1y2−y1x2)2(x12+y12)(x22+y22)
=x12x22+y12y22+x12y22+y12x22(x12+y12)(x22+y22)=1，
所以d(PA,PB)=sin= 32．
17.解：(1)当t=7.5min时，游客甲转了14圆周．
摩天轮最高点距离地面高度为120m，摩天轮最低点距离地面高度为10m，
则甲的高度刚好为120+102=65m；
(2)设H=Asin(ωt+φ)+B(ω>0,|φ|≤π2)，
则ω=2πT=π15，
令t=0，sinφ=−1，φ=−π2，
又A+B=120−A+B=10⇒A=55B=65，
所以H=55sin(π15t−π2)+65，t∈[0.30]；
(3)如图，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，
则∠AOB=2π48=π24，
经过tmin后甲距离地面的高度为H1=55sin(π15t−π2)+65，
点B相对于点A始终落后π24rad，
此时乙距离地面的高度为H2=55sin(π15t−13π24)+65．
则甲、乙距离地面的高度差|H1−H2|=55|sin(π15t−π2)−sin(π15t−13π24)|=55|sin(π15t−π2)+sin(13π24−π15t)|，ℎ=|H1−H2|=55|sin(π15t−π2)+sin(13π24−π15t)|
=55|sin(π15t−π2+13π24−π15t2+π15t−π2−(13π24−π15t)2)+sin(π15t−π2+13π24−π15t2−π15t−π2−(13π24−π15t)2)|
=110|sinπ48sin(π15t−π48)|，0≤t≤30，
当π15t−π48=π2或π15t−π48=3π2，
即t=37548或t=109548时，ℎ的最大值为110sinπ48，
所以甲乙两人距离地面的高度差最大值为110sinπ48米．
18.解：(1)由已知当λ=13时，DE=13DC，
所以AE=AD+DE=AD+13AB,BF=AF−AB=12AD−AB，
所以AE⋅BF=(AD+13AB)⋅(12AD−AB)=12AD2−13AB2−56AB⋅AD，
因为AB=4,AD=6,∠BAD=π3，所以AB⋅AD=4×6×12=12，
AE⋅BF=18−163−56×12=83；
(2)当λ=12时，DE=12DC，即E为DC的中点，
因为F，N，B三点共线，
设FN=tFB，则AN=AF+FN=AF+tFB=AF+t(AB−AF)
=(1−t)AF+tAB=1−t2AD+tAB，
因为A，N，E三点共线，
设AN=μAE，则AN=μAE=μ(AD+DE)=μ(AD+12AB)=μAD+μ2AB，
又AD,AB不共线，
根据平面向量基本定理得μ=1−t2,12μ=t,解得t=15,μ=25,
所以AN=15AB+25AD，又AN=xAB+yAD，则x=15,y=25,
所以x−y=15−25=−15；
(3)因为BE=BA+AD+DE=−AB+AD+λDC=(λ−1)AB+AD,FE=FD+DE=12AD+λDC=λAB+12AD，
所以BE⋅FE=[(λ−1)AB+AD]⋅(λAB+12AD)
=(λ2−λ)AB2+12AD2+(32λ−12)AB⋅AD，
由(1)AD⋅AD=12，又AB=4，AD=6，
所以BE⋅FE=(λ2−λ)×42+12×62+(32λ−12)×12
=16(λ2−λ)+18+18λ−6=16λ2+2λ+12，
因为λ∈[−1,1]，所以当λ=−22×16=−116时，BE⋅FE取得最小值，且最小值为19116．
19.解：(1)不是，理由如下：
因为y=2x与y=x−2在R上单调递增，
所以函数f(x)=2x+x−2是实数集上的增函数，
因为f(0)f(1)=(−1)×1csπ3−12，
即g(0)g(1)>0，
所以函数g(x)=csx−12x在(0,1)上没有零点，不符合题中定义，
所以f(x)和g(x)不是“Z函数对”；
(2)由f(x)=0，得x=kπ，k∈Z，
f(f(kπ))=f(0)=0，
所以f(x)的零点是f(f(x))的零点，
由f(f(x))=0，得x=kπ，k∈Z，
当x=kπ时，0=kπ，
所以k=0，x=0为f(x)的零点，
而当x≠kπ时，必须使得x=kπ无解，
否则f(f(x))的一些零点不能使得f(x)=0，
所以x=|kπa|>1对∀k∈Z，k≠0成立，
所以πa>1，得a