高考数学二轮专题讲义——柯西不等式、反柯西不等式、权方和不等式

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\l "_Tc166662126" 01 方法技巧与总结 PAGEREF _Tc166662126 \h 2
\l "_Tc166662127" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc166662127 \h 2
\l "_Tc166662128" 题型一：柯西不等式之直接套公式型 PAGEREF _Tc166662128 \h 2
\l "_Tc166662129" 题型二：柯西不等式之根式下有正负型 PAGEREF _Tc166662129 \h 4
\l "_Tc166662130" 题型三：柯西不等式之高次定求低次型 PAGEREF _Tc166662130 \h 5
\l "_Tc166662131" 题型四：柯西不等式之低次定求高次型 PAGEREF _Tc166662131 \h 7
\l "_Tc166662132" 题型五：柯西不等式之整式与分式型 PAGEREF _Tc166662132 \h 8
\l "_Tc166662133" 题型六：柯西不等式之多变量型 PAGEREF _Tc166662133 \h 9
\l "_Tc166662134" 题型七：柯西不等式之三角函数型 PAGEREF _Tc166662134 \h 11
\l "_Tc166662135" 题型八：Aczel不等式 PAGEREF _Tc166662135 \h 12
\l "_Tc166662136" 题型九：权方和不等式之整式与分式综合型 PAGEREF _Tc166662136 \h 13
\l "_Tc166662137" 题型十：权方和不等式之三角函数型 PAGEREF _Tc166662137 \h 14
\l "_Tc166662138" 题型十一：权方和不等式之杂合型 PAGEREF _Tc166662138 \h 15
\l "_Tc166662139" 03 过关测试 PAGEREF _Tc166662139 \h 16
1、柯西不等式（Cauchy不等式）
（1）二元柯西不等式：对于任意的，都有．
（2）元柯西不等式： ，取等条件：或（）．
2、Aczel不等式（反柯西不等式）
设；均为实数，或，则有．当且仅当，成比例时取等．
3、权方和不等式
（1）二维形式的权方和不等式
对于任意的，都有．当且仅当时，等号成立．
（2）一般形式的权方和不等式
若，，，则，当时等号成立．
题型一：柯西不等式之直接套公式型
【例1】已知且则的最小值是（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【解析】由柯西不等式可得：
，
即
所以，
当且仅当即时取等号，
故的最小值为，
故选：B．
【变式1-1】若，则的最小值为（ ）
A．25B．8C．D．
【答案】C
【解析】由柯西不等式，得，
∴，
∴，
当且时，
即，且与异号时，
，
则的最小值为.
选：C.
【变式1-2】已知a，b，，满足，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】B
【解析】设，，，可得，
所以．
因为，
所以，
当且仅当，取得最大值6，
此时，
所以的最大值为．
故选：B.
题型二：柯西不等式之根式下有正负型
【例2】（2024·高三·山东青岛·期中）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（ ）
A．B．C．12D．20
【答案】A
【解析】由，解得，
所以函数的定义域为，
由柯西不等式得，，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为.
故选：A.
【变式2-1】柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量,,由得到,当且仅当时取等号.现已知,,,则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为,
令,又,,,
所以,
当且仅当即时等号成立,
即,
故选:D.
【变式2-2】（2024·浙江·模拟预测）已知，，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由可得，即.
由可知，所以.
由，可得，
由柯西不等式得
，
所以，当即时，取等号.
所以的最大值为.
故选：C.
题型三：柯西不等式之高次定求低次型
【例3】设a，b，c为正数，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解法一 根据题意，有
，
其中，令，
解得，
于是，
等号当时取得，因此所求最大值为．
解法二 令，其中，则
，
等号当时取得，因此所求最大值为．
解法三 根据题意，有
，
等号当，且即时取得，
因此所求最大值为．
故选：A.
【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakwsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ）
A．14B．12C．10D．8
【答案】A
【解析】由题干中柯西不等式可得，
所以的最大值为，当且仅当时取等号.
故选：A
【变式3-2】已知实数满足，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，
则条件为，所以
，
等号当且时取得，因此所求代数式的最大值为．
故选：D
题型四：柯西不等式之低次定求高次型
【例4】若实数a，b，c，d满足，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．以上答案都不对
【答案】B
【解析】根据题意，有，
而，当且仅从时等号成立.
同理，当且仅当式等号成立，
记题中代数式为M，于是
，
等号当时取得，因此所求代数式的最小值为2．
故选：B.
【变式4-1】已知空间向量，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【解析】因为，
所以
，
当且仅当时等号成立，即时等号成立.
所以，所以的最小值为.
故选：B
【变式4-2】已知，，为实数，且，则的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】C
【解析】由三维柯西不等式：
当且仅当时取等,
所以
所以，当且仅当时取等,
所以的最小值为：2
故选：C
题型五：柯西不等式之整式与分式型
【例5】（2024·高三·浙江台州·期末）已知正实数满足，则的最小值为 ．
【答案】/0.5
【解析】由柯西不等式
而，所以时等号成立，
故答案为：.
【变式5-1】已知、、，且满足，则的最小值为 .
【答案】
【解析】因为、、，且满足，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
【变式5-2】已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为且，
，，
因为
所以，
当且仅当时，的最小值为.
故选：D.
题型六：柯西不等式之多变量型
【例6】已知且，a，b，c为常数，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．前三个答案都不对
【答案】D
【解析】根据柯西不等式，有
，
等号当时取得，因此所求最小值为．
故选：D.
【变式6-1】已知实数a，b，c，d，e满足则e的取值范围是（ ）
A．B．C．D．以上答案都不对
【答案】D
【解析】根据柯西不等式，有，
从而，
因此e的取值范围是．
故选：D.
【变式6-2】已知，且，则的最小值是（ ）
A．B．
C．417D．以上答案都不对
【答案】A
【解析】由可得，
由对称性可设，则条件即即，
从而，
根据柯西不等式
，
等号当时取得．因此所求最小值为．
故选：A.
题型七：柯西不等式之三角函数型
【例7】函数的最大值为（ ）
A．B．
C．D．前三个答案都不对
【答案】D
【解析】题中代数式为
，
等号当时可以取得，因此所求最大值为．
故选：D.
【变式7-1】（2024·浙江·一模）若，则的最小值是（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【解析】由已知整理得
，
由柯西不等式得
，
当时取等号，
所以，即，
解得，所以的最小值为.
故选：C．
【变式7-2】函数的最大值为（ ）
A．B．5C．4D．
【答案】A
【解析】利用柯西不等式进行求最值.
当且仅当，即时，函数有最大值.
故选：A.
题型八：Aczel不等式
【例8】的最小值为 ．
【答案】
【解析】
当且仅当即时取等号，
故的最小值为．
【变式8-1】为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量时，有，即，当且仅当时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：，当且仅当时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当时，的最小值是 ．
【答案】
【解析】由题意得，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
即，则，
所以，最小值为，此时．
故答案为：.
题型九：权方和不等式之整式与分式综合型
【例9】已知正数，，满足，则的最小值为
【答案】
【解析】因为正数，满足，
所以，
当且仅当即时取等号.
故答案为：.
【变式9-1】权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）
A．16B．25C．36D．49
【答案】B
【解析】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立，
又，即，
于是得，当且仅当，即时取“=”，
所以函数的最小值为25.
故选：B
【变式9-2】已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 .
【答案】2
【解析】由权方和不等式，可知
==，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为2.
故答案为：2.
题型十：权方和不等式之三角函数型
【例10】已知正实数、且满足，求的最小值 .
【答案】
【解析】设，，，
由权方和不等式，可知，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
【变式10-1】已知为锐角，则的最小值为 .
【答案】
【解析】
当且仅当即，时取“”.
故答案为：
【变式10-2】（2024·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，，
则，
当且仅当，即时等号成立，所以．
故选：C．
题型十一：权方和不等式之杂合型
【例11】已知，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】由题意得，．
（权方和的一般形式为：,,当且仅当时等号成立）
当，即时，取得最小值．
故答案为：
【变式11-1】已知，求的最小值为
【答案】
【解析】
当且仅当时取等号
故答案为：60
【变式11-2】求的最大值为
【答案】
【解析】
当且仅当，即或时取等号
故答案为：.
1．（2024·吉林白山·一模）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数，，，，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（ ）
A．16B．25C．36D．49
【答案】D
【解析】因为，，，，则，当且仅当时等号成立，
又，即，于是得，
当且仅当，即时取“=”，
所以函数的最小值为49．
故选：D
2．已知a，b，c均大于1，，则的最小值为（ ）
A．243B．27C．81D．9
【答案】B
【解析】由得，
所以
，
当且仅当时取等，
所以，
所以，
即的最小值为27，
故选：B
3．（2024·福建·模拟预测）设、，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，因为，则且，
因为，构造数字式
，
所以，，故，
当且仅当，即当时，等号成立，
因此，的最小值是.
故选：B.
4．由柯西不等式，当时，求的最大值为（ ）
A．10B．4C．2D．
【答案】D
【解析】由柯西不等式，得，
当且仅当，即时，等号成立.
因为，所以，
则，故的最大值为.
故选：D
5．已知，则的取最小值时，为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】B
【解析】由柯西不等式得：
则．则根据等号成立条件知，，，
所以
故选：B
6．已知：，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】利用柯西不等式，可得,解不等式即可.解:利用柯西不等式，得,
，
解得.
故选:B
7．实数x、y满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】A
【解析】实数x、y满足，
，
，
，
当且仅当时取等号，
的最小值是.
故选：A.
8．已知a，，，则的最大值为（ ）
A．18B．9C．D．
【答案】C
【解析】由题意，，
当且仅当时等号成立，
当，时，
故的最大值为.
故选：C.
9．若实数，则的最小值为（ ）
A．14B．C．29D．
【答案】B
【解析】根据柯西不等式：，即，
当且仅当，，时等号成立.
故选：B.
10．函数的最小值是
A． B．C．D．
【答案】B
【解析】
根据柯西不等式，
得
当且仅当，即时等号成立.
此时，，
故选：B.
11．若，则的最大值（ ）
A．3B．6C．9D．27
【答案】A
【解析】根据柯西不等式可得：
，当且仅当，
即时，等号成立.
故选:A.
12．函数 的最大值是( )
A．B．C．3D．5
【答案】B
【解析】利用柯西不等式求解.因为
当且仅当，即时，取等号.
故选：B
13．已知 ， ，则 的最大值是( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】利用柯西不等式求解. ，
当且仅当 时取等号.
∴ 的最大值是
故选：A
14．函数 ，则 的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】将化为，利用柯西不等式即可得出答案.因为
所以
当且仅当时取等号.
故选：A
15．（2024·高三·河北衡水·期末）已知，，，且，则的最大值为（ ）
A．3B．C．18D．9
【答案】B
【解析】由柯西不等式得：
，所以，当且仅当时，等号成立，故选B.
16．已知x，y均为正数，且，则的最大值是（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】C
【解析】
当且仅当，即时，等式成立.
故选：C
17．（2024·广西南宁·二模）设实数满足关系：，，则实数的最大值为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据柯西不等式知：
，
当且仅当时等号成立，
所以，即，所以，
解得，即实数的最大值为.
故选：B.
18．（2024·山西·二模）柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号.现已知，，，则的最大值为 .
【答案】
【解析】令，
又，，，
所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为.
故答案为：
19．若不等式对任意正实数x，y都成立，则实数k的最小值为 .
【答案】/
【解析】由柯西不等式的变形可知，整理得，
当且仅当，即时等号成立，
则k的最小值为.
故答案为：
20．已知x，y，，且，则的最小值为 ．
【答案】36
【解析】由柯西不等式可得，
所以，即，
当且仅当即也即时取得等号，
故答案为:36.
21．（2024·高三·江苏苏州·开学考试）设角、均为锐角，则的范围是 ．
【答案】
【解析】因为角、均为锐角，所以的范围均为，
所以，
所以
因为，
所以，
，
当且仅当时取等，
令，，，
所以.
则的范围是：.
故答案为：
22．在锐角中，的最小值是 ．
【答案】
【解析】记题中代数式为M，我们熟知三角形中的三角恒等式：，
于是
，
等号当时取得，因此所求最小值为
故答案为：
23．函数的最大值与最小值之积为 ．
【答案】
【解析】函数的定义域为，
一方面，，
等号当时取得；
另一方面，，
当且仅当时等号成立，
于是最大值为，最小值为，所求乘积为．
故答案为：.
24．（2024·高三·天津南开·期中）已知正实数a，b满足，则的最小值为 .
【答案】/
【解析】由题设，，则，
又，
∴，当且仅当时等号成立，
∴，当且仅当时等号成立.
∴的最小值为.
故答案为：.
25．已知，则的最小值是 ．
【答案】8
【解析】令，
则，
当时，即时，两个等号同时成立，原式取得最小值8．
故答案为：8
26．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 .
【答案】
【解析】解法一：设，
可解得，
从而
，
当且仅当时取等号.
故答案为：．
解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：，
，
所以，当且仅当时取等号.
故答案为：．