初中数学•中考压轴题复习资料 专题25《全等三角形的存在性》 练习

这是一份初中数学•中考压轴题复习资料 专题25《全等三角形的存在性》 练习，共6页。试卷主要包含了 所以，y2）两点等内容，欢迎下载使用。
全等三角形的存在性问题的解题策略有：
（1）当有一个三角形固定时（三角形中所有边角为定值），另一个三角形会与这个固
定的三角形有一个元素相等；再根据全等三角形的判定，利用三角函数的知识（画图）或
列方程来求解．
（2）当两个三角形都不固定时（三角形中有角或边为变量），若条件中有一条边对应
相等时，就要使夹这条边的两个角对应相等，或其余两条边对应相等；若条件中有一个角
对应相等时，就要使夹这个角的两边对应相等，或再找一个角和一条边对应相等．
例题讲解
例1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴的一个交点为A（－2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x＝3，对称轴与x轴交于点B．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点M在y轴的正半轴上，连结MA，过点M作MA的垂线，交抛物线的对称轴于点N．问：是否存在点M，使以点M、A、N为顶点的三角形与△BAN全等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由题意可列方程组 ， 解得 ，
所以抛物线的表达式为．
（2）显然OA＝2， OB＝3， OC＝4． 所以．
若△P BD≌△PBC，则BD＝ BC＝5，PD＝PC
所以D为抛物线与x轴的左交点或右交点，点B，P在CD的垂直平分线上，
①若点D为抛物线与 x轴的左交点，即与点A重合．
如图1，取AC的中点E，作直线BE交抛物线于P1（x1，y1），P2（x2．y2）两点．
此时△P1BC≌△P1BD，△P2BC≌△P2 BD．
由A、C两点的坐标可得点E的坐标为（－1，2）．
所以直线BE的表达式为．
联立方程组，解得， ．
所以点P1，P2的坐标分别为（4一，）．（4＋，）．
②若D为抛物线与x轴的右交点，则点D的坐标为（8，0）．
如图2，取CD的中点F．作直线BF交抛物线于P3（x3，y3），P4（x4，，y4）两点．
此时△P3BC≌△P3BD，△P4BC≌△P4 BD．
由C、D两点的坐标可得点F的坐标为（4，2），
所以直线BF的表达式为y＝2x－6．
联立方程组，解得，
所以点P3，P4的坐标分别为（－1＋，－8＋2），（ －1－，－8－2），
综上可得，满足题意的点P的坐标为（4一，），（4＋，），
（－1＋，－8＋2）或（－1－，－8－2）．
（3）由题意可设点M（0，m），N（3，n），且m＞0，
则AM2＝4＋m2，MN2＝9＋（m－n）2，BN2＝n2． 而∠AMN＝∠ABN＝900，
所以△AMN与△ABN全等有两种可能：
①当AM＝AB，MN＝BN时，
可列方程组，解得；（舍），
所以此时点M的坐标为（0，）．
②当AM＝NB，MN＝BA时，可列方程组：·
解得，（舍）
所以此时点M的坐标为（0，）．
综上可得，满足题意的点M的坐标为（0，）或（0，）．
例2 如图，在平面直角坐标系xy中，△ABO为等腰直角三角形，∠ABO＝ 900，点A的坐标为（4．0），点B在第一象限．若点D在线段BO上，OD＝ 2DB，点E，F在△OAB的边上，且满足△DOF与△DEF全等，求点E的坐标．

图1 图2
解： 由题意可得OA＝4，从而OB＝AB＝．所以OD＝OB＝，BD＝OB＝．
①当点F在OA上时，
（ⅰ）若△DFO≌△DFE，点E在OA上．如图1．
此时DF⊥OA，所以OF＝OD＝，所以OE＝2OF＝，即点E的坐标为（，0）．
（ⅱ）若△DFO≌△DFE，点F在AB上，如图2．
此时ED＝OD＝2BD，所以sin∠BED＝＝；所以∠BED＝300，
从而BE＝BD＝，AE＝．
过点E作EG⊥OA于点G．则EG＝AG＝AE＝，
所以OG＝，即点E的坐标为（，）．

图3 图4
（ⅲ）若△DFO≌△FDE，点E在AB上，如图3．
此时DE∥OA，所以BD＝BE． 从而AE＝OD＝，
过点E作EG⊥OA于点G， 则EG＝AG＝AE＝，
所以OG＝，即点E的坐标为（，）．
②当点F在AB上时，只能有△ODF ≌△AFD，如图4．
此时DF∥0A．且点E与点A重合，
即点E的坐标为（4，0）．
综上可得，端足条件的点E的坐标为（，0），
（，），（，）或（4，0）．
进阶训练
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与y轴变于点C．
直线l；与抛物线的对称轴交于点E．连结CE，探究；抛物线上是否存在一点F，
使得△FOE≌△FCE．．若存在，请写出点F坐标；若不存在，请说明理由．
答案：
存在．点F的坐标为（，－4）或（，－4）
2． 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1过点A（1，0）且与y轴平行．直线l2过点B（0，2）且与x轴平行，直线l1与l2相交于点P．E为直线l2上一点，反比例函数（k＞0）的图象过点E且与直线l1相交干点F．
（1）若点E与点P重合，求k的值；
（2）是否存在点E及y轴上的点M，使得以点M，E，F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求点E的坐标：若不存在，请说明理由．

答案：
（1）k＝2
（2）存在．点E的坐标为（，2）或（，2）
【提示】（2）易得点E（，2），F（1，k）．①如图1，当k＜2时，只能有△MEF≌△PEF．过点F作FH⊥y轴于点H，易证△BME∽△HFM，用k表示相关线段的长度，从而得到BM＝，再解Rt△BME，得k＝，所以点E的坐标为（，2）；②如图2，当k＞2时，只能有△MEF≌△PFE． 过点F作FQ⊥y轴于点Q，同①可得点E的坐标为（，2）
3．如图，抛物线经过A（，0），B（，0），C（0，3）三点，线段BC与抛物线的对称轴交干D，该抛物线的顶点为P，连结PA，AD．线段AD与y轴相交于点E．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）在平面直角坐标系中是否存在一点Q．使以Q，C，D为顶点的三角形与△ADP全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：
（1）抛物线的表达式为
（2）存在．点Q的坐标为（，4），（，－2），（，1）或（0，7）．
【提示】（2）方法一：易求直线BC：，从而点D的坐标为（，2），可得CD＝PD，所以△QCD与△ADP全等有两种情况．设点Q坐标，通过两点间距离公式列出QC，QD，AP，AD的长．再分类讨论列方程组，从而求得点Q点坐标．
方法二：连接CP，易证△CDP为等边三角形，∠ADC＝60°，所以∠PDA＝120°．
△QCD与△ADP全等有两种情况，①如图1，∠DCQ＝120°，CQ＝DA＝4，此时点Q1的坐标为（0，7），点Q2的坐标为（，1）；
②如图2，∠CDQ＝120°，DQ＝DA＝4，此时点Q3的坐标为（，－2），点Q4的坐标为（，4）