初中数学•中考压轴题复习资料 专题13《“Y”形模型》 练习

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当图形具有邻边相等的这一特征时，可以把图形的某部分绕其邻边的公共端点旋转到另一位置，将分散的条件相对集中起来，从而解决问题．
因为正方形、正三角形的边长相等，所以在这两种图形中常常应用旋转变换．
（1）如图，等边△ABC内有一点P，连结AP，BP，CP，将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BP'A，则△BPP'是等边三角形；△APP'的形状由AP，BP，CP的长度决定．
（2）如图，正方形ABCD内有一点P，连结AP，BP，CP，将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△BP'A，则△BPP'是等腰直角三角形；△APP'的形状由AP，BP，CP的长度决定．
这类题目中不提旋转，而是通过旋转添加辅助线，从而解决问题．
例题讲解
例1已知：在△ABC中，∠BAC＝60°．
（1）如图1，若AB＝AC，点P在△ABC内，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的长；
【答案】解：（1）如图4，将△APC绕点A顺时针旋转60°，得到△AQB，连结PQ．
易证△PAQ是等边三角形．
从而在△PQB中，有∠PQB＝90°，PQ＝3，BQ＝4，
所以PB＝5
【答案】解：（1）如图4，将△APC绕点A顺时针旋转60°，得到△AQB，连结PQ．
易证△PAQ是等边三角形．
从而在△PQB中，有∠PQB＝90°，PQ＝3，BQ＝4，
所以PB＝5
（2）如图2，若AB＝AC，点P在△ABC外，且PA＝3，PB＝5，PC＝4，求∠APC的度数；
【答案】（2）如图5，将△APC绕点A顺时针旋转60°，得到△AQB，连结PQ．
易证△PAQ是等边三角形．
从而在△PQB中，有PQ＝3，BQ＝4，PB＝5，
所以∠PQB＝90°，从而∠APC＝∠AQB＝30°．
（3）如图3，若AB＝2AC，点P在△ABC内，且PA＝，PB＝5，∠APC＝120°，求PC的长；
【答案】
（3）如图6，作△AQC，使得AQ＝AP，CQ＝BP，连结PQ．
易证△ACB∽△AQP．
从而在△QPC中，有∠QPC＝90°，PQ＝，QC＝，
∴PC＝2
例2如图，正方形ABCD外有一点E，满足ED＝EC，且∠DEA＝15°，求证：△DEC为等边三角形．
证明如图，过点D作DF⊥DE，且DF＝DE，连结CF交AE于点G，连结EF．
易证△ADE≌△CDF，
所以∠DFC＝∠DEA＝15°，
从而∠FGE＝∠FDE＝90°，∠GFE＝30°．
所以GE＝EF＝DF＝CE，
所以∠GEC＝45°，∠DEC＝60°，
即△DEC为等边三角形．
进阶训练
1．（1）如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA＝，PB＝，PC＝1，则∠BPC的度数为________；
【答案】1．（1）135°；
【提示】如图，将△BPC旋转至△BP'A，连结PP'，证△AP'P是直角三角形即可．
（2）如图2，在正六边形ABCDEF内有一点P，PA＝2，PB＝4，PC＝2，则∠BPC的度数为________，正六边形ABCDEF的边长为________．
【答案】（2）120°；
2．（1）如图1，在等边△ABC中，AC＝7，点P在△ABC内，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面积；
（2）如图2，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝k·AB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）
（1）△APC的面积为7；
（2）BD＝
【提示】（1）如图，将△ABP绕点B顺时针旋转60°至△CBQ，连结PQ．易证△PQC为含30°的直角三角形．令BP＝m，则PQ＝m，从而AP＝CQ＝m，PC＝2m，然后解Rt△APC即可．
（2）如图，连结AC，显然AC＝AB，将△ABD绕点A逆时针旋转∠BAC的度数至△ACQ，连接DQ，则△ABC∽△ADQ，从而DQ＝k·BC＝4k．作AF⊥DQ于点F，则∠DAF＝∠BAE＝∠ADC，所以AF∥CD，即∠CDQ＝90°．
在Rt△CDQ中，由勾股定理可得BD＝CQ＝