内蒙古自治区巴彦淖尔市2023_2024学年高一数学下学期7月期末考试试题含解析

这是一份内蒙古自治区巴彦淖尔市2023_2024学年高一数学下学期7月期末考试试题含解析，共34页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教 A 版必修第二册．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 在复平面内对应的点位于（ ）
A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的几何意义判断即可.
【详解】 在复平面内对应的点为 ，位于第四象限.
故选：D
2. 在正 中，向量 在 方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正三角形的性质及投影向量的定义计算可得.
【详解】在正 中 ， ，
所以 ，
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所以向量 在 方向上的投影向量为 .
故选：C
3. 在 中，角 的对边分别是 ，若 ，则 （ ）
A. 或 B. 或 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由正弦定理代入计算，即可得到结果.
【详解】由正弦定理可得 ，即 ，
且 ，则 或 .
故选：A
4. 某商场评选金牌销售员，现将该商场所有销售员某月的销售额进行整理，得到如图所示的统计图，则该
商场这个月所有销售员销售额的平均数为（ ）
A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元
【答案】B
【解析】
【分析】根据平均数公式计算可得.
【详解】该商场这个月所有销售员销售额的平均数为：
（万元）.
故选：B
5. 已知 是三个不同 平面， 是两条不同的直线，则下列命题是真命题的是（ ）
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A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，判断平行或垂直.
详解】A.若若 ，则 或 ，故 A 错误；
B. 若 ，则 与 相交或平行，故 B 错误；
C.若直线 相交，若 ，则 ，若直线 平行，则 或相交，故 C
错误；
D.满足面面垂直的性质定理，故 D 正确.
故选：D
6. 某公司对员工的工作绩效进行评估，得到一组数据 ，后来复查数据时，又将 重复记
录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是（ ）
A. 平均数 B. 中位数 C. 极差 D. 众数
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由平均数，中位数，极差以及众数的定义，即可判断.
【详解】平均数是所有数据之和再除以这组数据的个数，故平均数有可能改变，
中位数是按照顺序排列 一组数据中居于中间位置的数，故中位数也可能改变，
极差表示一组数据中最大值与最小值之差，将 重复记录在数据中，最大值与
最小值并未改变，所以极差一定不变，
众数是一组数据中出现次数最多的数，有可能改变.
故选：C
7. 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ，则该
四棱锥外接球的表面积为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将四棱锥补形为长方体，则长方体的外接球即为该四棱锥的外接球，又长方体的体对角线即为外
接球的直径，求出外接球的半径，即可求出其表面积.
【详解】因为在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ，
如图将四棱锥补形为长方体，则长方体的外接球即为该四棱锥的外接球，
又 ，设长方体外接球的半径为 ，则 ，
所以外接球的表面积 .
故选：A
8. 已知四边形 的顶点都在半径为 2 的圆 上，且 经过圆 的圆心， ，四边
形 的面积为 ，则 （ ）
A. 2 B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将四边形 的面积转化为 ，利用三角形面积公式，结合两角差的正弦
公式进行化简，可得 ，结合 ，从而可求出 ，进而可求出 .
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【详解】连接 ，则 为等边三角形， ，
四边形 的面积为
，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
，
，
，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 或 ，
所以 ，或 ，
因为 ，所以 舍去，所以 ，
所以 为等腰直角三角形，所以 .
故选：C
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【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查三角形面积公式的应用，解题的关键
是将四边形的面积转化为 ，再利用三角形面积公式化简，结合三角函数恒等变换公式
可求得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知事件 两两互斥，若 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据互斥事件的概率加法公式计算可得.
【详解】因为事件 两两互斥，所以 ，故 D 正确；
，则 ，故 A 正确；
，则 ，故 B 错误；
，故 C 正确.
故选：ACD
10 已知复数 满足 ，则（ ）
A. B.
C. D.
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【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得 ，然后由复数的模长公式代入计算，逐一判断，即可得到结果
.
【详解】因为 ，则 ，所以 ，
则 ，故 A 正确；
当 时， ，
当 时， ，故 B 错误；
因为 ，则 ，故 C 错误；
因为 ，则 ，故 D 正确；
故选：AD
11. 在长方体 中， ，点 在线段 上，则直线 与平面
所成角的正弦值可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据线面角的定义，结合垂直关系，转化为求 的最值，再结合选项判断.
【详解】连结 ，
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因为 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，且平面 平面 ，
过点 作 ，连结 ，则 平面 ，
为 与平面 所成线面角，
因为 ， ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，且 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 ，
连结 ， ， ，
因为 ，当点 是 的中点时， ，此时 最短，
，
当点 在 或 时， 最长，最大值为 5，
所以 ，选项 AB 在范围内.
所以直线 与平面 所成角的正弦值可能为 或 .
故选：AB
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 复数 的虚部为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再判断其虚部即可.
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【详解】因为 ，
所以复数 的虚部为 .
故答案为：
13. 如图，四棱台 的侧棱长均相等，四边形 和四边形 都是正方形，
，则该四棱台的体积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出四棱台的高，再根据棱台的体积公式计算即可.
【详解】在四棱台 中， 分别是上下底面对角线的交点，即上下底面的中心， 为
四棱台的高，
过点 作 与 交于点 ，则 ，
四边形 和四边形 都是正方形，且 ，则
， ，则 ，
，
，即四棱台的高 .
又上底面积 ，下底面积 ，
则该四棱台的体积为 .
故答案为： .
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14. 已知 是 的外心，若 ，则内角 的最大值是__________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】取 的中点 ，连接 ，因为 是 的外心，所以 ，
根据平面向量加法的三角形法则和平面向量数量积的定义将 和 转化为边得到边之间的关
系，再利用余弦定理结合重要不等式即可求解.
【详解】取 的中点 ，连接 ，如图：
因为 是 的外心，所以 ，
设 中 对应边分别为 ，
则
，
同理可得 ，
因为 ，
所以 ，
根据余弦定理得： ，
当且仅当 时等号成立，
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因为函数 在 为减函数，且 ，
所以内角 的最大值是 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量 ， .
（1）若 ，求 ；
（2）若向量 ， ，求 与 夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用向量垂直的坐标结论求出 ，再用模公式求解即可；
（2）用向量平行的坐标结论求出 ，再用夹角的坐标公式求解即可；
【小问 1 详解】
因为 ， ，所以 .
由 ，可得 ，
即 ，解得 ，
所以 ，故 .
【小问 2 详解】
依题意得 .
因为 ，所以
解得 ，则 .
， ， ，
所以 ，
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所以 与 夹角的余弦值为 .
16. 某工厂计划对该工厂生产的某类产品进行深加工，以推进该类产品的升级．该工厂随机抽取某生产线上
一 段 时 间 内 生 产 的 100 件 产 品 ， 对 其 质 量 （ 单 位 ： g） 进 行 统 计 ， 并 将 样 本 数 据 分 为
六组，得到如下频率分布直方图．
（1）试估计样本数据的 分位数；
（2）从样本数据在 内的产品中采用分层随机抽样的方法抽取 5 件产品作为产品深加工方
案制定的分析样例，再从被抽取的这 5 件产品中随机抽取 2 件产品作为深加工的标准样例，求标准样例中
恰有 1 件产品的质量在 内的概率；
（3）若规定质量在 内的产品为优等品，用频率估计概率，从该生产线上随机抽取 2 件产品，求抽
取到的产品中至少有 1 件优等品的概率．
【答案】（1）73.75g
（2）
（3）0.1164
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图估计样本数据的 分位数.
（2）求出 5 件产品中两个指定区间内的产品数，再利用列举法求出古典概率.
（3）求出优等品率，再利用对立事件的概率公式计算即得.
【小问 1 详解】
由频率分布直方图知，样本数据在 的频率为 ，在 的频率为 ，
则样本数据的 分位数 ，于是 ，解得 ，
所以样本数据的 分位数约为 73.75g.
【小问 2 详解】
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样本数据在 内的产品被抽取的件数为 ，记为 ，
样本数据在 内的产品被抽取的件数为 ，记为
则从被抽取的这 5 件产品中随机抽取 2 件产品的情况有：
，共 10 种，
其中标准样例中恰有 1 件产品的质量在 内的情况有 6 种．
所以标准样例中恰有 1 件产品的质量在 内的概率为 ．
【小问 3 详解】
依题意，从该生产线上随机抽取 1 件产品，该件产品为优等品的概率为 ，
则抽取到的产品中至少有 1 件优等品的概率为 ．
17. 某校举办环保知识竞赛，初赛中每位参赛者有三次答题机会，每次回答一道题，若答对，则通过初赛，
否则直到三次机会用完.已知甲､乙､丙都参加了这次环保知识竞赛，且他们每次答对题目的概率都是 ，假
设甲､乙､丙每次答题是相互独立的，且甲､乙､丙的答题结果也是相互独立的.
（1）求甲第二次答题通过初赛的概率；
（2）求乙通过初赛的概率；
（3）求甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛的概率.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得；
（2）根据相互独立事件及对立事件的概率公式计算可得；
（3）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得.
【小问 1 详解】
记甲第二次答题通过初赛为事件 ，则 ；
【小问 2 详解】
记乙通过初赛为事件 ，则 ；
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【小问 3 详解】
依题意甲、乙、丙每人通过初赛的概率均为 ，
记甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛为事件 ，
则 .
18. 是直线 外一点，点 在直线 上（点 与 两点均不重合），我们称如下操作为“由点 对
施以视角运算”：若点 在线段 上，记 ；若点 在线段 外，记
．在 中，角 的对边分别是 ，点 在射线 上．
（1）若 是角 的平分线，且 ，由点 对 施以视角运算，求 的值；
（2）若 ，由点 对 施以视角运算， ，求 的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意可得 ，从而得到 ，即可得解；
（2）根据所给定义及条件得到 ，再由余弦定理求出 ，即可求出 ，从而求出三角形的周长；
【小问 1 详解】
因为 是角 的平分线，所以 且 在线段 上，
所以 ，
又 ，所以 ；
【小问 2 详解】
因为点 在射线 上， ，且 ，所以 在线段 外，且 ，
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所以 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，解得 （负值已舍去），
所以 ，
所以 的周长为 .
19. 在四棱锥 中， 平面 ，平面 平面
分别为 的中点．
（1）证明： 平面 ．
（2）证明： ．
（3）若二面角 的正切值为 ，求三棱锥 的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）48
【解析】
【分析】（1）连接 ，证明 ，由线线平行证线面平行即得；
（2）过 作 交 于 ，证 平面 得 ，由 平面 得
，可证 平面 ，即得 ；
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（3）过 作 交 于 ,证 平面 ，作 交 于 ，连接 ，证 即
为二面角 的平面角，由题设 ，通过两组三角形相似求出 即得.
【小问 1 详解】
如图，连接 ．
因为 分别为 的中点，所以 为 的中位线，则 ．
因为 平面 平面 ，所以 平面 ．
【小问 2 详解】
如图，过 作 交 于 ．
因平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，故 平面 ．
因为 平面 ，所以 ．
因为 平面 平面 ，所以 ．
因为 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ．
【小问 3 详解】
如图 3，过 作 交 于 ，过 作 交 于 ，连接 ．
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因 平面 ， 平面 ,则 ,
因 平面 ,故得 平面 .
因 平面 ,则 ．
因为 ， 平面 ,所以 平面 .
又 平面 ，则 ，则 即为二面角 的平面角，
依题意， ．
设 ，则 ．因为 ，所以 ．
由 ，得 ，即 ，则 ．
又由 ，得 ，即 ，解得 ．
因 ,则 的面积为 ，
故 ．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查线面垂直的判定和二面角的几何求法，属于难题.
解题关键在于充分利用面面垂直的性质和线面垂直的判定定理，结合图形执果索因即可；对于二面角的求
法，一般是先找到平面的垂线，再由垂足向棱作垂线,连线后即可证得其平面角.
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