初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）18.5 分式方程教案及反思

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）18.5 分式方程教案及反思，共13页。教案主要包含了知识技能类作业，综合拓展类作业等内容，欢迎下载使用。
分课时教学设计
18.5.1分式方程
课型
新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析
本节课是在学生已掌握了一元一次方程的解法、分式的四则运算等有关知识的基础上进行学习的。它既可看成是分式的有关知识在解方程中的应用；也可看成是进一步学习其它分式方程的基础，因此它有着承前启后的作用。
学习者分析
从认知状况来说，学生在此之前已学习了一元一次方程及二元一次方程组的解法，对分式方程也有了一定的初步认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于将分式方程转化为整式方程的理解，学生可能会产生一定的困难，所以教学中应给予简单明白、深入浅出的分析。
教学目标
1．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.
2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.
教学重点
解分式方程的基本思路和解法
教学难点
理解解分式方程时可能无解的原因.
学习活动设计
教师活动
学生活动
环节一：引入新课
教师活动1：
1．前面我们学习了什么方程？
一元一次方程，二元一次方程都是整式方程
2．什么是一元一次方程？
只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．
学生活动1：
认真读题，积极思考回答
活动意图说明：回顾旧知，引出新知
环节二：新知探究
教师活动2：
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
解：设江水的流速为x千米/时.
9030+x=6030−x
仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？
分母中含有未知数．
有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000kg和15000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg，分别求这两块试验田每公顷的产量.
解：设第一块试验田每公顷的产量为xkg，那么第二块试验田每公顷的产量是_________kg. 根据题意，可得方程：
______________ .
观察：9030+x=6030−x， 9000x=15000x+3000
方程的分母中含未知数 ，像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程．
注意：我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中．
1.分母中含有字母的方程不一定是分式方程，如关于x的xa−2=x（a为非零常数），分母中虽然含有字母a，但a不是未知数，所以该方程是整式方程.
2.整式方程和分式方程的根本区别在于分母中是否含有未知数，分母中含有未知数的是分式方程，分母中不含未知数的是整式方程.
学生活动2：
学生独立解答后，同桌讨论，归纳分式方程的概念
活动意图说明：从学生已有的知识出发，利用多媒体，激发学生强烈的好奇心和求知欲，使学生经历将实际问题转化为数学问题的建模过程.
环节三：新知讲解
教师活动3：
你能试着解分式方程 9030+v=6030−v吗？
解：方程两边同乘各分母的最简公分母(30+v)(30-v)
9030+v∙30+v30−v=6030−v(30+v)(30−v)
即90(30-v)=60(30+v)
解得v=6
检验：将v=6代入上述分式方程9030+v=6030−v 中，左边=52=右边，因此v=6是分式方程的解.
解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”.
“去分母法”解分式方程的步骤
1.在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程.
2.解这个整式方程.
3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去。
4.写出原方程的根.
简记为：“一化二解三检验”.
下面我们再解一个分式方程：
1x−5=10x2−25
解：方程两边同乘(x+5)(x-5)，得
x+5=10，
解得 x=5.
检验:将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程1x−5=10x2−25的解，实际上，这个分式方程无解.
上面两个分式方程中， 9030+v=6030−v 去分母后所得整式方程的解就是分式方程的解？
解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子（最简公分母）．方程①两边乘 (30＋v)(30－v)，得到整式方程，它的解是v＝6．当 v＝6 时， (30＋v)(30－v)≠0，这就是说，去分母时，分式方程两边乘了同一个不为 0 的式子，因此所得整式方程的解与分式方程的解相同．
为什么 1x−5=10x2−25去分母后所得整式方程的解却不是分式方程的解呢？
分式方程两边乘(x－5)(x＋5)，得到整式方程，它的解是x＝5．当x＝5时，(x－5)(x＋5)＝0，这就是说，去分母时，分式方程两边乘了同一个等于 0 的式子，这时所得整式方程的解使②出现分母为 0 的现象，因此这样的解不是分式方程的解．
检验分式方程的解时x使分母等于0，此时x不是原方程的解，叫方程的增根.
（1）分式方程的增根：将分式方程转化为整式方程，若整式方程的解使分式方程的最简公分母为0，则这个解叫做原分式方程的增根；
（2）产生增根的原因：分式方程本身就隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程的时候，未知数的取值范围扩大了，因此就有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原分式方程，会使原分式方程的分母为0.
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，因此应做如下检验：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
学生活动3：
学生先独立思考并完成解答，教师适当给予指导，最后进行统一讲解.
师生共同归纳解分式方程的步骤与产生增根的原因
活动意图说明：通过探究引发学生的思考，让学生在自主探究合作交流中归纳总结解分式方程的基本思路和步骤，在合作交流中获得成功的快乐.
环节四：典例精析
教师活动4：
例1 解方程2x−3＝3x ．
解：方程两边同乘 x(x－3)，得
2x＝3x－9．
解得 x＝9．
检验：当x＝9时，x(x－3)≠0 ．
所以，原分式方程的解为 x＝9．
例2 解方程xx−1－1＝3(x−1)(x+2)
解：方程两边同乘 (x－1)(x＋2)，得
x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3．
解得 x＝1．
检验：当x＝1时，(x－1)(x＋2)＝0，因此 x＝1不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解．
解分式方程的一般步骤
学生活动4：
活动意图说明：对解分式方程的演练题，提高学生的应用能力
板书设计
1.分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
“2.去分母法”解分式方程的步骤：
(1)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
(2)解这个整式方程.
(3)把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则原分式方程无解；
(4)写出原方程的根.
简记为：“一化二解三检验”.
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.下列方程①x−4y=x+y，②1x=5，③x−1π=x−3，④xa=1b−1中，是关于x的分式方程的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2.把分式方程1x−2−1−x2−x=1的两边同时乘以x−2，约去分母，得（ ）
A．1−1−x=1 B．1+1−x=1
C．1−1−x=x−2 D．1+1−x=x−2
3.下列说法：①5x+13x=2x是分式方程：②x=1或x=-1是分式方程x+1x2−1=0的解；③分式方程3x+4=2x转化成一元一次方程时，方程两边需要同乘x(x+4)；④解分式方程时一定会出现增根，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.如果方程1m+n=1，m+2x=1，那么x+2n=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
选做题：
5.若关于x的分式方程1−mx−1−1=21−x的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A.m−6且m≠3 B．m−6且m≠−3 D．m