2024-2025学年福建省漳州市华安一中高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年福建省漳州市华安一中高二（下）期中数学试卷（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.某物体沿直线运动，位移y(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为y(t)=1−2t+t2，则该物体在t=3s时的瞬时速度是( )
A. 2m/sB. 3m/sC. 4m/sD. 5m/s
2.已知A(2,1,1)，B(4,−1,m)，C(6,n,2)，若A，B，C三点共线，则m+n的值为( )
A. 32B. −32C. −3D. 3
3.已知a=(−1,2,2)，b=(1,1,1)，则a在b上的投影向量为( )
A. ( 33, 33, 33)B. (13,13,13)C. (1,1,1)D. (19,19,19)
4.某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)=90090,x>390−x3900+400x,0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( )
A. 150B. 200C. 250D. 300
5.如图，在三棱锥M−ABC中，MA⊥平面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，MA=2 3，F是MC的中点，则异面直线MB与AF所成角的余弦值是( )
A. 33
B. 34
C. 133
D. 58
6.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，满足f(x)+f′(x)>0(f′(x)为f(x)的导函数)，设a=ef(1)，b=e3f(3)，c=e2f(2)，则( )
A. a>b>cB. b>c>aC. b>a>cD. a>c>b
7.函数f(x)=2+lnx与函数g(x)=ex公切线的斜率为( )
A. 1B. ±eC. 1或eD. 1或e2
8.已知函数f(x)=alnx+12x2，在其图象上任取两个不同的点P(x1,y1)、Q(x2,y2)(x1>x2)，总能使得f(x1)−f(x2)x1−x2>4，则实数a的取值范围为( )
A. [4,+∞)B. [1,+∞)C. (4,+∞)D. (1,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题( )
A. −3是函数y=f(x)的极值
B. 函数y=f(x)有最小值无最大值
C. y=f(x)在区间(−3,1)上单调递增
D. y=f(x)在x=1处切线的斜率小于零
10.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 若{a,b,c}构成空间的一个基底，则a+b，a+b+c，c必共面
B. 若空间中任意一点O，有OP=13OA+16OB+12OC，则P，A，B，C四点共面
C. 若空间向量a、b满足a⋅b0，e2x−2lnx+(4−a)x≥2lna恒成立，则正数a的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1在x=−1及x=3处取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)在x=1处的切线方程．
16.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=2，AA1=4，AB⊥AC，BE⊥AB1交AA1于点E，D为CC1的中点．
(1)求证：BE⊥平面AB1C；
(2)求直线B1D与平面AB1C所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=alnx−12x2，a∈R．
(1)当a=1时，求f(x)的极值点；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)若函数f(x)在[1,e]上恒小于0，求a的取值范围．
18.(本小题17分)
图1是边长为 2的正方形ABCD，将△ACD沿AC折起得到如图2所示的三棱锥P−ABC，且PB= 2．

(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；
(2)棱PA上是否存在一点M，使得平面ABC与平面MBC的夹角的余弦值为5 39，若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降，但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性，函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点(即具有相同横坐标的点)的位置关系来描述定义如下：
设f(x)在区间D上连续，如果对D上任意两点x1，x2恒有f(x1+x22)f(x1)+f(x2)2，则称f(x)在区间D上的图形是凸的(图2)，区间D为f(x)凸的区间；
关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：
设f(x)在区间D上连续，在区间D上具有一阶和二阶导数，那么
①如果f(x)在D上恒有f″(x)>0，则f(x)在区间D上的图象是凹的；如果f(x)在区间D上的图象是凹的，则f(x)在D上恒有f″(x)>0；
②如果f(x)在D上恒有f″(x)390−x3900+400x,0≤x≤390，
∴总利润Q(x)=90090−20000−100x, x>390−x3900+400x−20000−100x, 0≤x≤390，即Q(x)=−100x+70090, x>390−x3900+300x−20000,0≤x≤390
①当0≤x≤390时，Q′(x)=−x2300+300，令Q′(x)=0得x=300，
由Q′(x)0)
则g′(x)=exf(x)+exf′(x)=ex[f(x)+f′(x)]>0，
所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，
因为3>2>1，所以b>c>a．
故选：B．
令g(x)=exf(x)，判断函数g(x)单调性后即可求解．
本题考查利用导数求解函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：因为f(x)=2+lnx，g(x)=ex，所以f′(x)=1x,g′(x)=ex，
设切点分别为(x1,2+lnx1)，(x2,ex2)，x1>0，x2>0，
则切线斜率为k=1x1=ex2=2+lnx1−ex2x1−x2，
所以x2=−lnx1，
所以1x1=2+lnx1−1x1x1+lnx1，
所以(x1−1)(lnx1+1)=0，
所以x1=1或x1=1e，
所以公切线的斜率为k=1x1=1或e．
故选：C．
设切点分别为(x1,2+lnx1)，(x2,ex2)，x1>0，x2>0，则根据题意可得切线斜率为k=1x1=ex2=2+lnx1−ex2x1−x2，从而可求解．
本题考查求公切线问题，属中档题．
8.【答案】A
【解析】解：由已知得x1>x2>0，则f(x1)−f(x2)x1−x2>4化为f(x1)−f(x2)>4x1−4x2，
即f(x1)−4x1>f(x2)−4x2，
令函数g(x)=f(x)−4x=alnx+12x2−4x，
有∀x1>x2>0，g(x1)>g(x2)，
则函数g(x)在(0,+∞)上为增函数，
等价于∀x∈(0,+∞)，g′(x)=ax+x−4≥0，即a≥−x2+4x，
当x>0时，−x2+4x=−(x−2)2+4≤4，当且仅当x=2时取等号，则a≥4，
所以实数a的取值范围是[4,+∞)．
故选：A．
等价变形给定不等式，构造函数，利用导数及函数单调性求出范围．
本题主要考查由函数的单调性求参数取值范围，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：根据导函数图象可知当x∈(−∞,−3)时，f′(x)