2024-2025学年黑龙江省绥化市安达高级中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年黑龙江省绥化市安达高级中学高一（下）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z=( 3−i)2，则|z−|=( )
A. 3B. 2C. 2 3D. 4
2.△ABC的直观图△A′B′C′如图所示，其中A′B′//x′轴，A′C′//y′轴，且A′B′=A′C′=2，则△ABC的面积为( )
A. 2 2 B. 2
C. 4 D. 4 2
3.下列选项正确的是( )
A. 空间三点确定一个平面
B. 如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
C. 如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
D. 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直
4.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2020石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得255粒内夹谷29粒，则这批米内夹谷约为( )
A. 222石B. 220石C. 230石D. 232石
5.若D是△ABC的边BC上的一点(不包含端点)，且AD=mAB+2nAC，则2m+1n的最小值是( )
A. 4B. 6C. 8D. 12
6.在△ABC中，(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，且AB|AB|⋅AC|AC|=−12，则∠ABC=( )
A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°
7.已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心，母线SA，SB互相垂直且△SAB的面积为2，直线SA与圆锥底面所成角为π6，则二面角S−AB−O的大小为( )
A. π12
B. π6
C. π4
D. π3
8.若正三棱柱ABC−A1B1C1既有外接球，又有内切球，记该三棱柱的内切球和外接球的半径分别为R1、R2，则R1R2=( )
A. 55B. 5C. 5D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量a=(1,csθ)，b=(−2,sinθ)，则( )
A. ∀θ∈R，a，b不垂直
B. ∃θ∈R，使得a，b共线
C. 当θ=π4时，|a+b|=3
D. 当θ=0时，a在b方向上的投影向量为−12b
10.在△ABC中，角A，B，C对边分别是a，b，c，且cs2B+cs2C−cs2A=1−sinCsinB，则下列说法正确的有( )
A. ∠A=2π3
B. 若bcsB=ccsC，则△ABC是等边三角形
C. 若△ABC的面积为9 34，则△ABC的外接圆半径的最小值为2 3
D. 若△ABC是锐角三角形，则bc的取值范围是(12,2)
11.如图，在多边形ABPCD中(图1).四边形ABCD为长方形，△BPC为正三角形，AB=3，BC=3 2，现以BC为折痕将△BPC折起，使点P在平面ABCD内的射影恰好是AD的中点(图2).若点E在线段PB上运动，Q点在AD上运动，则( )
A. AB⊥平面PAD
B. 平面PCD⊥平面PAB
C. Q到平面EBC的距离为2
D. 当PE=13PB时，三棱锥E−DCP的体积为32
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.有5人进行定点投篮游戏，每人投篮12次.这5人投中的次数形成一组数据，中位数为10，唯一众数为11，极差为3，则该组数据的第40百分位数是______．
13.已知i为虚数单位，如果复数z满足|z+2i|+|z−2i|=4，那么|z−1|的最小值是______．
14.祖暅(gèng)(5世纪—6世纪)，字景烁，祖冲之之子，范阳郡道县(今河北省涞水县)人，南北朝时期的伟大科学家.他在实践的基础上，于5世纪末提出了下面的体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”.这就是“祖暅原理”.用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，半径为R的半球与底面半径和高都为R的圆柱放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R，高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等.若球心到平面α的距离为23R，则平面α截半球所得的较小部分的几何体的体积等于______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段.为了解中国AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄(都在[15,65]内)，按照[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求m的值；
(2)估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数(各组数据以该组区间的中点值作代表)；
(3)求这500名中国AI大模型用户的年龄在[45,65]内的人数．
16.(本小题15分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为DD1的中点，F为CC1的中点．
(1)求证：BD1//平面AEC；
(2)求证：平面AEC//平面BFD1．
17.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且csC(acsB+bcsA)= 32c.
(1)求角C的大小；
(2)点D在边BC上，且CD=2，BD=AD=1，求△ABC的周长．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，AD=PD=2，PD⊥底面ABCD，E是棱PB的中点．
(1)证明：平面ACE⊥平面PBD．
(2)求PB与平面PCD所成角的余弦值．
(3)记过点E且与平面PAD平行的平面为α，求α截四棱锥P−ABCD所得截面的面积．
19.(本小题17分)
记斜△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(b2+c2−a2)sinBcsB= 32bccs(B+C)，且B