湖南长郡中学2026届高三上学期暑假作业暨开学模拟检测数学试卷

这是一份湖南长郡中学2026届高三上学期暑假作业暨开学模拟检测数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题 本大等内容，欢迎下载使用。
已知函数 f(x) = ln(ax + 2) 在区间(1,2) 上单调递减，则实数 a 的取值范围是 ()
A. a < 0B. - 1 ≤ a < 0C. - 1 < a < 0D. a ≥-1
将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 ()
A. 12 种B. 18 种C. 36 种D. 54 种
已知直线 l1:ax + (a + 2)y + 2 = 0 与 l2:x + ay + 1 = 0 平行，则实数 a 的值为
A. - 1 或 2B. 0 或 2C. 2D. - 1
已知在矩形 ABCD 中，AB = 2，AD = 4，E ，F 分别在边 AD，BC 上，且 AE = 1，BF = 3，如图所示，沿 EF 将四边形 AEFB 翻折成 ArEFBr ，设二面角 Br - EF - D 的大小为 α，在翻折过程中，当二面角 Br - CD - E 取得最大角，此时 sinα 的值为 ()
(本试卷共 4 页
分钟，满分 150 分
一、选择题 本大
8
分 在
项
3 5
4 5
2 2
3
1 3
已知实数 a，b ∈ (1，+∞)，且 2(a +b = e2a + 2lnb + 1，e 为自然对数的底数，则 ()
A. 1 < b < aB. a < b < 2aC. 2a < b < eaD. ea < b < e2a
若 a = lg2 3 ，b = lg4 6 ，c = lg63，则 ()
A. a = b = cB. a < b < cC. b < c < aD. c < b < a
已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn，对任意 n ∈ N *，“数列 Sn 为递增数列”是“数列 an
为递增数列”的 ()
充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5
已知四面体 ABCD 的顶点均在半径为积的最大值为 ()
的同一球面上，且 AB = 2CD = 4，则该四面体体
2
2
A. 2B. 3C. 4D. 3
二、 择题 本大3每分 共在每项 有多项符合题目要求 全部选对的得部分选对的得部分分 有选错的得分
过点 P(2，2) 作圆 C ：(x + 2) + (y + 2) = r2(r > 0) 的两条切线，切点分别为 A，B，下列论正确的是 ()
2
0 < r < 2B. 若△PAB 为直角三角形，则 r = 4
C. △PAB 外接圆的方程为 x2 + y2 = 4D. 直线 AB 的方程为 4x + 4y + 16 - r2 = 0
已知曲线 C :sin(x + 2y) = 2x - y，P (x0,y0
()
曲线 C 与直线 y = x + 1 恰有四个公共点
曲线 C 与直线 y = 2x - 1 相切
y0 是关于 x0 的函数
x0 是关于 y0 的函数
为曲线 C 上任一点，则下列说法中正确的有
已知曲线 C:x - 2 x + y2 = 0，下列结论正确的是 ()
曲线 C 关于直线 x = 1 对称
曲线 C 上恰好有 4 个整点(即横，纵坐标均是整数的点)
曲线 C 上存在一点 P，使得 P 到点(1,0) 的距离小于 1
曲线 C 所围成区域的面积大于 4
三、填空题 本题共 3 小题 每小题共
已知 5x y + y = 1(x,y ∈ R)，则 x + y2 的最小值是．
写出与圆 x2 + y2 = 1 和(x - 3)2 + (y - 4)2 = 16 都相切的一条直线的方程．
若实数 x，y 满足(x +x2 +4 ) (y +y2 +4 ) = 4，则 x2 + 2y 的最小值为．
四 解答题 本题共 5 小题 共分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤
(
已知函数 f(x) = lnx + λ 1 -x
x
(λ ∈ R).
4
当 x > 1 时，不等式 f (x < 0 恒成立，求 λ 的最小值；
n
设数列 a = 1
n
(n∈ N *
，其前 n 项和为 Sn，证明：S2n - Sn + an
ln2.
如图，在四棱锥 P - ABCD 中，△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，BC ⎳ AD，AB
⊥ AD，AD = 2AB = 2BC = 2，PC =2 ，E,F 分别为 PD,BE 的中点.
证明：P,A,C,F 四点共面；
求直线 DF 与平面 PAC 所成角的正弦值.
某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为
200，每局比赛，棋手胜加 100 分；平局不得分；棋手负减 100 分．当棋手总分为 0 时，挑战失
败，比赛终止；当棋手总分为 300 时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋
手胜、平、负的概率分别为 1 、1 、1
，且各局比赛相互独立.
442
求两局后比赛终止的概率；
在 3 局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率；
在挑战过程中，棋手每胜 1 局，获奖 5 千元．记 n(n≥10
局后比赛终止且棋手获奖 1 万
元的概率为 P(n
，求 P(n
的最大值．
正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 4，E、F 分别为 A1D1,C1B1 中点，CG = 3GC1．
求证：GF ⊥ 平面 FBE；
求平面 FBE 与平面 EBG 夹角的余弦值；
求三棱锥 D - FBE 的体积．
已知函数 f (x
= (x-1
lnx，
已知函数 f (x
= (x-1
lnx 的图象与函数 g(x
的图象关于直线 x =-1 对称，试求 g(x ；
证明 f (x ≥ 0；
设 x0 是 f (x
ex 的切线.
= x + 1 的根，则证明：曲线 y = lnx 在点 A(x0,lnx0
处的切线也是曲线 y =
2026 届高三暑假作业暨开学模拟检测数学
只有一项是符合题目要求的
已知函数 f(x) = ln(ax + 2) 在区间 (1,2) 上单调递减，则实数 a 的取值范围是 ()
A. a < 0B. - 1 ≤ a < 0C. - 1 < a < 0D. a ≥-1
【答案】B
【详解】令 t = ax + 2，则 y = lnt，
因为函数 f(x) = ln(ax + 2) 在区间(1,2) 上单调递减，且 y = lnt 在定义域内递增，
(本试卷共 4 页
分钟，满分 150 分
一、选择题 本大
8
分 在
项
所以a 0,f (x
在(0, +∞) 上单调递增，且 f (0
= 0，因为 b > 1 ⇒
lnb > 0 ⇒ f (lnb > 0
所以 f(2a) = 2f(lnb) > f(lnb)，所以 2a > lnb，即 b < e2a，
又 e2a - 2a - 1 > 2(ea - a - 1)，所以 f(2a) = 2f(lnb) > 2f(a)，所以 a < lnb，即 b < ea，综上，ea < b 6 ，∴ a > b，
2c =4lg3lg2 2b(lg3 +lg2)2
=4lg3lg2 lg23 +lg22 +2lg3lg2
S2 =-4,Sn 不是单调递增的，
所以“数列 an 为递增数列”不能推出“数列 Sn 为递增数列”，必要性不成立；
5
所以“数列 Sn 为递增数列”是“数列 an 为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选：D．
2
已知四面体 ABCD 的顶点均在半径为积的最大值为 ()
的同一球面上，且 AB = 2CD = 4，则该四面体体
2
2
【答案】C
3C. 4D. 3
【详解】因为 AB = 2CD = 4，四面体 ABCD 外接球的半径为 5 ，设球心为 O，设 E 为 AB 的中点，F为 CD 的中点，
则球心 O 到 AB 的中点 E 的距离 OE =( 5 2-22 = 1，
球心 O 到 CD 的中点 F 的距离 OF =( 5 2-12 = 2；
所以 VABCD = VC-ABF + VD-ABF ≤ 1 S△ABF ⋅ CF + 1 S△ABF ⋅ DF = 1 S△ABF ⋅ CD，
333
S△ABF ≤ 1 AB ⋅ EF ≤ 1 AB ⋅ (OE + OF)，
22
6
所以 VABCD ≤ 1 AB ⋅ CD ⋅ (OE + OF)，又 OE = 1，OF = 2，
6
所以 VABCD ≤ 1 × 2 × 4 × (1 +2 = 4，当且仅当 AB 与 CD 垂直，且均与 EF 垂直时取等号．
故选：C
二、 择题 本大3每分 共在每项 有多项符合题目要求 全部选对的得部分选对的得部分分 有选错的得分
过点 P(2，2) 作圆 C ：(x + 2) + (y + 2) = r2(r > 0) 的两条切线，切点分别为 A，B，下列论正确的是 ()
2
0 < r < 2B. 若 △PAB 为直角三角形，则 r = 4
C. △PAB 外接圆的方程为 x2 + y2 = 4D. 直线 AB 的方程为 4x + 4y + 16 - r2 = 0
【答案】BD
】
【详解
因为圆 C:(x + 2)2 + (y + 2)2 = r2(r > 0) 的圆心为(-2，-2)，半径为 r，当点 P 在圆 C 外时，才可以作 2 条切线，
所以PC =(2 +2 2+(2 +2 2 = 4 2 > r，即 0 < r < 4 2 ，故 A 错误；
△PAB 为直角三角形，则四边形 PACB 为正方形，
所以PC =(2 +2 2+(2 +2 2 = 4 2 = 2 r，解得 r = 4，故 B 正确；
△PAC 外接圆的圆心为 PC 的中点( -2 +2 ，-2 +2 ，
22
PC
即为(0，0)，半径为 2= 2 2 ，又 P，A，C ，B 四点共圆，
所以△PAB 外接圆的方程为 x2 + y2 = 8，故 C 错误；
将(x + 2)2 + (y + 2)2 = r2 和 x2 + y2 = 8 相减即得直线 AB 的方程，
所以直线 AB 的方程为 4x + 4y + 16 - r2 = 0，故 D 正确．故选:BD．
已知曲线 C :sin(x + 2y) = 2x - y，P (x0,y0
()
曲线 C 与直线 y = x + 1 恰有四个公共点
曲线 C 与直线 y = 2x - 1 相切
y0 是关于 x0 的函数
x0 是关于 y0 的函数
【答案】BD
为曲线 C 上任一点，则下列说法中正确的有
【详解】对于 A，由消元法可得 sin(x + 2x + 2) = 2x - x - 1，所以 sin(3x + 2) = x - 1，当 x > 2 或 x < 0 时，x - 1 1，故此时 sin(3x + 2) = x - 1 无解，
下面考虑0,2 上方程 sin(3x + 2) = x - 1 的解的个数，
设 s(x
= sin(3x+2
- x + 1，其中 sr (x
= 3cs(3x+2
- 1，
设 θ ∈ (0, π
且 csθ = 1 ，则 sr (x
= 0 的解为 x1 = 2π -θ -2 ，x2 = 2π +θ -2 ，
3333
而 sr (0 = 3cs2 - 1 < 0，
故当 0 < x < x1 或 x2 < x < 2 时，sr (x
< 0，当 x1 < x < x2 时，sr (x
> 0，
故 s(x
在(0,x1
，(x2,2
上为减函数，在 (x1,x2
(x3,2
上为增函数，
而 s(0
= sin2 + 1 > 0，x2 > 1 且 s(1
= sin5 < 0，
s( 9
= sin 37
- 4 ，而 7π
< 37
< 5π ，故 sin 37
4
3
4
0，
555
352
5525
(
故 s 9
5
0，s(2
= sin8 - 1 < 0，
故 s(x
在0,2
有 3 个不同的实数根，故 A 错误；
对于 B，由 (
y=2x-1
sin(x+2y
=2x-y 可得 sin(5x - 2) = 1，故 x =
2 + π +2kπ
2 5,k ∈ Z ，
对 sin(x + 2y) = 2x - y 两边求关于 x 的导数，
则 cs(x + 2y)(1 +2yr = 2 - yr ，
2 + π +2kπ
故当 x =2 5,k ∈ Z 时，有 cs(5x - 2)(1 +2yr
= 0 = 2 - yr ，
当 x =
2 + π +2kπ
2 5,k ∈ Z ，yr = 2，而直线 y = 2x - 1 的斜率为 2，
故曲线 C 与直线 y = 2x - 1 相切，故 B 正确.
对于 C ，取 x = π，考虑 sin(π + 2y) = 2π - y 即方程 y - sin2y = 2π 的解的个数，
设 s(x
= x - sin2x - 2π，则 s(5
= 5 - sin10 - 2π < 0，s 7π
(
4
= 7π
4
- 2π + 1 =- π
4
+ 1 > 0，
(
s 9π 4
= π - 1 < 0，s(3π 4
= π > 0，
故 s(x 至少有两个零点，故 y - sin2y = 2π 有两个不同的解，
故 y0 不是关于 x0 的函数，故 C 错误；
对于 D，u(x
= sin(x + 2y) - 2x + y，则 ur (x
= cs(x + 2y) - 2 < 0，
故 u(x
为 R 的减函数，且当 x →+∞时，u(x
→-∞，当 x →-∞时，u(x
→+∞，
故对任意 y ∈ R，方程 sin(x + 2y) - 2x + y = 0 即 sin(x + 2y) = 2x - y 有唯一解，故 x0 是关于 y0 的函数，故 D 正确；
故选：BD.
已知曲线 C:x - 2 x + y2 = 0，下列结论正确的是 ()
曲线 C 关于直线 x = 1 对称
曲线 C 上恰好有 4 个整点 (即横，纵坐标均是整数的点)
曲线 C 上存在一点 P，使得 P 到点 (1,0) 的距离小于 1
曲线 C 所围成区域的面积大于 4
【答案】BD
【详解】方法一：x - 2 x + y2 = 0，代入 (2 -x,y
1 对称，
则 2 - x - 2 2 -x + y2 ≠ 0，即曲线 C 不 关于 x =
( x - 1)2 + y2 = 1，整点 (0,0)，(1,1)，(1, -1)，(4,0) 共 4 个，B 对．
设 P(1 +2csθ +cs2θ,sinθ
，M (1,0),PM =
(2csθ +cs2θ 2+sin2θ =
cs2θ(csθ +1
(csθ +3
+1 ≥ 1，C 错．
如图 S△OBA = 4，∴ 曲线 C 所围成区域的面积大于 4，D 对，
方法二：对于 A，∵ P(0,0) 在曲线 C 上，P 关于 x = 1 的对称点 Pr(2,0)，而 2 - 2 2 + 0 ≠ 0 ∴ Pr(2,0)
不在曲线 C 上，
∴ 曲线 C 不关于直线 x = 1 对称，A 错．
对于 B，由 2 x - x ≥ 0 ⇒ 0 ≤ x ≤ 4，当 x = 0 时，y = 0；当 x = 1 时，y =±1；当 x = 2 时，y2 = 2 2 - 2 ∉ Z ，舍；当 x = 3 时，也舍，当 x = 4 时，y = 0
∴ 曲线 C 上恰有 4 个整点(0,0),(1, ±1) 及(4,0)，B 正确．对于 C ，设 P(x,y) 为曲线上的点，∴ x - 2 x + y2 = 0，
∴ P 到(1,0) 的距离 d =(x-1)2+y2 =(x-1)2+2 x -x =x2 -3x+2 x +1 =
x( x -1)2( x +2) +1 ≥ 1，C 错．
对于 D，曲线 C 关于 x 轴对称，考察曲线 C 在第一象限与 x 轴围成的面积，P(x,y) 为曲线 C 第一象限上任一点，M (1,1) 在曲线上，
A(0,0)，B(4,0) 也在曲线上，且 0 ≤ x ≤ 1 时，
y2 - x2 = 2 x - x - x2 = x (1 - x ) (2 + x + x ) ≥ 0 ⇒ y ≥ x，当且仅当 x = 0 或 1 时取“=”，
P 始终在 y = x 上方，即在直线 MA 上方；
且 1 < x ≤ 4 时，y2 - 1 (4 - x)2 = 2 x - x - 1 (4 - x)2 = 1 (2 - x ) ( x - 1) (x + 3 x + 8) ≥ 0 ⇒
999
y ≥ 1 (4 - x)，
3
2
当且仅当 x = 4 时取“=”，∴ P 始终在直线 MB 上方，∴ 曲线 C 所围区域面积 S围
× 4 = 4，D 正确，故选：BD．
三、填空题 本题共 3 小题 每小题共
已知 5x y2 + y = 1(x,y ∈ R)，则 x + y2 的最小值是．
【答案】4
5
【详解】∵ 5x2y2 + y4 = 1
2S△MAB = 2 × 1
∴ y ≠ 0
x2 = 1 -y4
且
5y2
∴ x2 + y2 = 1 -y4
+ y2 = 1
+ 4y2
≥ 2= 4
1= 4y2
x2 = 3
,y2 =
5y2
时取等号. 2
5y2
5
，当且仅当
1
5y2
⋅ 4y2
5
55y2
5 ，即10
∴ x2 + y2 的最小值为 4 .
5
故答案为：4 .
5
写出与圆 x2 + y2 = 1 和 (x - 3)2 + (y - 4)2 = 16 都相切的一条直线的方程．
【答案】y =- 3 x + 5 或 y = 7 x - 25 或 x =-1
44
【详解】[方法一]
2424
显然直线的斜率不为 0，不妨设直线方程为 x + by + c = 0，
1 +b2
于是 |c| = 1
|3 +4b +c|
1 +b2
，
= 4.
故 c2 = 1 + b2 ①，|3 + 4b + c| = |4c|. 于是 3 + 4b + c = 4c 或 3 + 4b + c =-4c，
再结合①解得
b =0

(c=1
b =- 24
(c=- 25
7

或
7
b = 4
(c=- 5
3

或，
3
所以直线方程有三条，分别为 x + 1 = 0，7x - 24y - 25 = 0，3x + 4y - 5 = 0.
(填一条即可) [方法二]
设圆 x2 + y2 = 1 的圆心 O(0,0)，半径为 r1 = 1，
圆(x - 3)2 + (y - 4)2 = 16 的圆心 C(3,4)，半径 r2 = 4，则|OC| = 5 = r1 + r2，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然 x + 1 = 0 符合题意；
又由方程(x - 3)2 + (y - 4)2 = 16 和 x2 + y2 = 1 相减可得方程 3x + 4y - 5 = 0，即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线 OC 的方程为 4x - 3y = 0，
(
直线 OC 与直线 x + 1 = 0 的交点为 -1,- 4 ，
3
3
设过该点的直线为 y + 4
3
= k(x + 1)，则
k- 4
k2 +1
= 1，解得 k =
7 ，
24
从而该切线的方程为 7x - 24y - 25 = 0.(填一条即可) [方法三]
圆 x2 + y = 1 的圆心为 O(0,0 ，半径为 1，
圆(x - 3)2 + (y - 4)2 = 16 的圆心 O1 为(3,4)，半径为 4，
两圆圆心距为 32 +42 = 5，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，
当切线为 l 时，因为 kOO = 4 ，所以 kl =- 3 ，设方程为 y =- 3 x + t(t > 0)
1344
O 到 l 的距离 d = |t| = 1，解得 t = 5 ，所以 l 的方程为 y =- 3 x + 5 ，
1 + 9
16
444
当切线为 m 时，设直线方程为 kx + y + p = 0，其中 p > 0，k < 0，
2
 p=1
k=- 7
7 25
由题意(
1 +k
，解得 (
24 ，y =x -
1 +k2
p =
 3k+4 + p =4
252424
24
当切线为 n 时，易知切线方程为 x =-1，
故答案为：y =- 3 x + 5 或 y = 7 x - 25 或 x =-1.
442424
若实数 x，y 满足 (x +x2 +4 ) (y +y2 +4 ) = 4，则 x2 + 2y 的最小值为．
【答案】-1.
，
【详解】由题意，实数 x，y 满足(x +x2 +4 ) (y +y2 +4 ) = 4，可得(x +x2 +4 ),2,(y +y2 +4 ) 构成成等比数列，
x+ x2 +4 = 2
x2 +4 =( 2 -x 2
x= 1 -q
设公比为 q，则
q ，整理得
q，解得 q
(y+ y2 +4 =2q
(y2 +4 =(2q -y)2
(y=q - q
1
可得 y =-x，所以 x2 + 2y = x2 - 2x = (x - 1)2 - 1 ≥-1，故 x2 + 2y 的最小值为-1．
故答案为：-1．
四 解答题 本题共 5 小题 共分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤
(
已知函数 f(x) = lnx + λ 1 -x
x
(λ ∈ R).
当 x > 1 时，不等式 f (x < 0 恒成立，求 λ 的最小值；
n
设数列 a = 1
n
(n∈N *
，其前 n 项和为 Sn，证明：S2n - Sn + an
ln2.
4
【答案】(1) 1 ；(2) 证明见解析.
2
(
【详解】(1) 因为 f(x) = lnx + λ 1 -x
x
(λ ∈ R)，故可得 fr(x) = -λx2 +x-λ
x2
当 λ ≥ 1
2
时，方程 -λx2 + x - λ = 0 的 Δ = 1 - 4λ2 ≤ 0，
故因式-λx2 + x - λ 在区间(1, +∞) 恒为负数，
故 x > 1 时，fr (x < 0 恒成立，故 f (x 单调递减，
又 f (1 = 0，故 f (x < 0 在 x > 1 时恒成立，满足题意；
当 0 < λ < 1
2
时，方程 -λx2 + x - λ = 0 有两个不相等的实数根，
且 x = 1 - 1 -4λ2 < 1 < x = 1 + 1 -4λ2 .
12λ22λ
故 fr (x > 0 在区间(1,x2 恒成立，此时 f (x 单调递增；
又 f (1 = 0，故 f (x > 0 在(1,x2 恒成立，不满足题意；
(
当 λ ≤ 0 时，f(x) = lnx + λ 1 -x
x
≥ lnx，
函数 y = lnx 在(1,+∞
2
综上所述，λ ∈ l 1 ,+∞
故 λ 的最小值为 1 .
2
恒为正值，故 f (x
，
0 在(1,+∞
恒成立，不满足题意.
(2) 由(1) 可知，当 x > 1 时，lnx