吉林省松原市五校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题（解析版）

这是一份吉林省松原市五校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了 直线的倾斜角为， 已知等差数列中，，则， 圆与圆的公切线条数是， 已知空间向量，则等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D. 不存在
【答案】A
【解析】因为直线方程为：，与轴平行，
所以直线的倾斜角为.
故选：A.
2. 已知等差数列中，，则（ ）
A. 13B. 16C. 15D. 14
【答案】D
【解析】由，得，
故，
所以.
故选：D.
3. 若两条直线与垂直，则实数的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】直线与直线垂直，
则，解得.
故选：B.
4. 三棱锥中，点分别是的中点，点为线段上靠近的三等分点，记，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意可作图如下：
由为上靠近的三等分点，则，
.
故选：C.
5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点作直线交于两点，则三角形的周长为（ ）
A. 14B. 12C. 10D. 8
【答案】D
【解析】由椭圆的定义得，
则的周长为.
故选：D.
6. 圆与圆的公切线条数是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】因为，所以，
化简得圆的标准方程为，圆心，半径，
由题意得圆的圆心为，半径，
由两点间距离公式得，
而
因为，所以两圆外切，
所以圆与圆的公切线有3条，故B正确.
故选：B.
7. 正三棱柱的所有棱长都为2，则到平面的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设分别是的中点，连接，
根据正三棱柱的几何性质可知，两两相互垂直，
建立如图所示空间直角坐标系，

则，
.
设平面的法向量为，则，
令，则，故可得.
由于平面平面，所以平面.
所以到平面的距离即到平面的距离，
即.
故选：C.
8. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右顶点分别为、，若该双曲线上存在点，使得的斜率之和为1，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】易知，设0），则，
所以，又，所以，即，
所以，即直线与双曲线有公共点.
联立与双曲线方程，有，
消去得：，
则要使方程有根，需使
故选：A.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知空间向量，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】对于A，因为，
所以，故A正确；
对于B，由向量模的公式得，故B错误；
对于C，因为，
所以，，
由向量夹角公式得，
，
故C正确，D错误.
故选：AC.
10. 设公比为的等比数列的前项和为，若数列满足，且，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】对于B，当时，，，又，，
或；
当时，，，与矛盾，，B正确；
对于A，，A错误；
对于C，，，，，
即，C正确；
对于D，，又，，D错误.
故选：BC.
11. 已知，分别为双曲线的左、右顶点，离心率为，为双曲线上位于第一象限内任意一点，设，，的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A. 的值随着的增大而减小
B. 是定值
C.
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】双曲线的左顶点为，右顶点为，渐近线为，在中，由正弦定理可知，
显然均为锐角且随着的增大分别减小与增大，
即随着的增大分别减小与增大且均为正数，
∴的值随着的增大而减小，故A正确；
因为，
由于，∴，∴为定值，故B正确；
因为，而，
∴，故C错误；
因为，
，
∴，
又，∴，解得，则，
又，∴，故D正确．

故选：ABD．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若抛物线上一点与焦点的距离等于2，则______.
【答案】
【解析】由得，所以准线方程为，
因为点与焦点的距离等于2，所以点与准线的距离等于2，
即，解得.
13. 已知定点，动点满足.设点的轨迹为，则轨迹的方程为__________.
【答案】
【解析】设动点，因为点，
则.
又.
化简得，即，
故动点的轨迹的方程为1.
14. 棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线所成的角的余弦值的取值范围为__________.
【答案】
【解析】首先，记在底面内的投影为，则底面，
因为平面，所以，
因为正四面体，所以是等边三角形，
由题意得，是的中心，
则，
由题意得，则，
所以的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，
建立如下图所示的空间直角坐标系：
设与轴正半轴所成的角为，则，，
所以，
设直线与直线所成的角为，
所以，
因为，
所以.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知圆心为的圆经过和，且圆心在直线上.
（1）求圆C的方程：
（2）若直线与圆的交点为两点，求.
解：（1）因，所以，
所以弦的垂直平分线的斜率为，又弦的中点坐标为，
所以弦的垂直平分线的方程为，即，
与直线联立解得：，所以圆心坐标为所以圆的半径，则圆的方程为：；
（2）由（1）知，圆心到直线的距离为
圆的半径.
16. 记为正项数列的前项和，已知.
（1）证明：数列为等比数列，并求其通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
（1）证明：由，得，
解得或，又，
所以，所以，
当时，，两式作差得，
即时，，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，
故.
（2）解：由（1）知，
所以，
则，
两式相减得.
所以.
17. 如图，四棱锥中，底面是正方形，是的中点，.
（1）证明：平面平面；
（2）若是棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的大小.
（1）证明：因为四边形为正方形，为的中点，，所以.
在中，由余弦定理得，
因为，所以，即.
因为，所以，所以.
又因为平面，所以平面.
又因为平面，所以平面平面.
（2）解：由（1）得两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，
于是.
设平面的法向量为，
则，即，
令，可得.
设直线与平面所成的角为，
则，解得，
故直线与平面所成的角为.
18. 已知是抛物线上三点，直线和均与抛物线相切.
（1）若，求；
（2）试判断直线与的位置关系，并给出证明.
解：（1）设经过点与相切的直线方程为，
由，得，
由，得，
因为直线都与抛物线相切，
所以它们的斜率是方程的两根.
由已知得，因此.
（2）直线与相切，证明如下：
设，由点在上，
得，所以，，
于是切线的方程为，
即，即，
由，得，
因为与相切，
所以，
即，同理，，
又因为，所以，
且，
故直线的方程为，
由得
则，
所以直线与抛物线相切.
19. 已知无穷数列中，，记.
（1）若为，是一个周期为4的数列（即），直接写出的值；
（2）若为周期数列，证明：，使得当时，是常数；
（3）设是非负整数，证明：的充分必要条件为为公差为的等差数列.
解：（1）因为，，
所以；
，，所以；
，，所以；
，，所以.
（2）不妨设的周期为（），
记，，
则当时，常数.
记，使得当时，是常数，结论正确.
（3）先证充分性：因为是公差为（为非负整数）的等差数列，
则.
所以，，
所以（）.
再证必要性：因为，所以，
因为，，所以，
于是有：，，因此.
故数列是公差为的等差数列.