初中数学沪教版（五四制）（2024）八年级上册（2024）第21章 一元二次方程21.5 一元二次方程的应用第1课时课时训练

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1．（上海市实验学校八年级期中）在实数范围内因式分解2x2﹣3xy﹣y2，下列四个答案中正确的是（ ）
A．（x﹣y）（x﹣y）
B．（x+y）（x+y）
C．2（x﹣y）（x﹣y）
D．2（x+y）（x+y）
【答案】C
【分析】首先解关于x的方程，进而分解因式得出即可．
【详解】解：当2x2﹣3xy﹣y2＝0时，
解得：x1＝y，x2＝y，
则2x2﹣3xy﹣y2＝2（x﹣y）（x﹣y）．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了实数范围内分解因式，正确解方程是解题关键．
2.将在实数范围内因式分解，正确的结果是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】关于的一元二次方程的根为，，
由此对应的二次三项式分解为，
即为，故选C．
【总结】考查二次三项式的因式分解，当做方程进行解题即可．
3.在实数范围内不能分解因式的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】二次三项式可分解因式的前提是方程有实数根，根据方程根的判别式与
0的大小关系判断方程是否有实数根，即是否可分解因式，
A：；B：；
C：；D：；
只有C选项小于0 ，故选C．
【总结】考查二次三项式是否可因式分解，判断方程是否有实数根即可．
4．（2021·上海民办华曜宝山实验学校八年级阶段练习）在实数范围内因式分解：x2﹣6x+1＝_____．
【答案】
【分析】将该多项式拆项为，然后用平方差公式进行因式分解．
【详解】
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，当要求在实数范围内进行因式分解时，分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．
5．（2021·上海市泗塘中学八年级阶段练习）实数范围内分解因式：x4+3x2﹣10＝___．
【答案】
【分析】先用十字相乘分解，再用平方差公式分解即可．
【详解】解：x4+3x2﹣10
=
=
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数范围内因式分解，解题关键是熟练运用因式分解的方法在实数范围内进行分解．
6．（2021·上海市民立中学八年级阶段练习）在实数范围内因式分解：x2﹣3＝___，3x2﹣5x+2＝___．
【答案】 (3x-2)(x-1)
【分析】前一个利用平方差公式分解；后一个利用十字相乘法因式分解即可．
【详解】解：x2-3= x2-；
3x2-5x+2=(3x-2)(x-1)．
故答案为：；(3x-2)(x-1)．
【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．
7．（上海·上外浦东附中八年级期中）在实数范围内分解因式： ________________ ．
【答案】
【分析】根据提公因式法，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案．
【详解】解：
【点睛】本题考查了因式分解，利用提公因式法得出平方差公式是解题关键．
8.在实数范围内分解因式：=__．
【答案】
【分析】按照平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：=
故答案为：．
【点睛】本题考查平方差公式分解因式，掌握平方差公式的结构是本题的解题关键．
9.在实数范围内分解因式：
【答案】
【分析】利用配方法将原式变形为，然后利用平方差公式进行因式分解.
【详解】解：
=
=
=
故答案为：
【点睛】本题考查配方法将代数式变形为完全平方式及平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是本题的解题关键.
10．（2022·上海浦东新·八年级期末）在实数范围内因式分解：2x2﹣4x﹣1＝_____．
【答案】2（x﹣）（x﹣）
【分析】令原式为0求出x的值，即可确定出因式分解的结果．
【详解】解：令2x2﹣4x﹣1＝0，
这里a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，
∵△＝16+8＝24，
∴
则原式＝2（x﹣）（x﹣）.
故答案为2（x﹣）（x﹣）.
【点睛】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11．（2022·上海市崇明区横沙中学八年级期末）在实数范围内因式分解：______.
【答案】
【分析】先在实数范围内提公因式得：，然后利用配方法以及平方差公式将括号里的进行因式分解变形得出答案
【详解】=====
故答案为
【点睛】本题主要考查了因式分解的基本方法，熟练掌握相关方法是关键
12．（2022·上海市南洋模范中学八年级期末）在实数范围内分解因式:______________
【答案】
【分析】根据完全平方公式，先加4，凑成完全平方公式的形式，再减去4，再利用平方差公式因式分解.
【详解】原式=
=
=.
【点睛】本题考查实数内因式分解，掌握公式法分解因式是解题的关键.
13．（2021·上海市蒙山中学八年级期中）在实数范围内分解因式：x2﹣3xy﹣y2＝___．
【答案】
【分析】先利用配方法，再利用平方差公式即可得．
【详解】解：
=
=
=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了用配方法和平方差公式法进行因式分解，因式分解的常用方法有：配方法、公式法、提取公因式法、十字相乘法等．
14．（2021·上海杨浦·八年级期中）在实数范围内分解因式：x2﹣3xy﹣y2＝___．
【答案】．
【分析】先利用配方法，再利用平方差公式即可得．
【详解】解：
=
=
=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了用配方法和平方差公式法进行因式分解，因式分解的常用方法有：配方法、公式法、提取公因式法、十字相乘法等．
15．（2021·上海市第四中学八年级阶段练习）在实数范围内因式分解3x2+6x﹣2＝____．
【答案】
【分析】对式子进行配方，然后利用平方差公式求解即可．
【详解】解：
故答案为
【点睛】此题考查了因式分解的方法，涉及了平方差公式，解题的关键是通过配方法将式子转化为平方差的形式．
16．（2021·上海市南洋模范中学八年级阶段练习）在实数范围内分解因式___．
【答案】
【分析】将原式变形为，再利用平方差公式分解即可得到答案．
【详解】解：原式＝
，
故答案为．
【点睛】本题考查了实数范围内分解因式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式．
17．（2021·上海·八年级期中）在实数范围内分解因式：_________．
【答案】（x-2+）（x-2-）
【分析】根据完全平方公式配方，然后再把5写成（）2利用平方差公式继续分解因式．
【详解】解：原式=x2-4x+4-5
=（x-2）2-5
=（x-2+）（x-2-）．
故答案为：（x-2+）（x-2-）．
【点睛】本题考查了实数范围内因式分解，主要利用了完全平方公式以及平方差公式，把5写成（）2的形式是解题的关键．
18．（2022·上海·八年级期末）在实数范围内分解因式：__________．
【答案】
【分析】根据完全平方式进行配方，再运用平方差公式在实数范围内因式分解．
【详解】=
故答案为：
【点睛】考核知识点：在实数范围内分解因式，运用配方法和平方差公式进行因式分解是关键．
19．（上海市曹杨第二中学附属学校八年级期中）在实数范围内因式分解：____________
【答案】
【分析】利用一元二次方程的解法在实数范围内分解因式即可.
【详解】令
∴，
∴
故答案为
【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，利用一元二次方程的解法即可解答，熟练掌握相关知识点是解题关键.
20.若二次三项式在实数范围内可分解因式为
，则一元二次方程的值分别为________________．
【答案】，
【解析】，∴，．
【总结】考查二次三项式的因式分解，也可以利用韦达定理进行求解．
21.在实数范围内分解因式：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；
（4）．
【解析】（1）原式；
原式，令，
解得：，，即得；
原式；
原式．
【总结】考查二次三项式的因式分解，十字相乘法即可，在实数范围内可分解为
．
22．（2021·上海市民立中学八年级阶段练习）在实数范围内因式分解：2x2﹣8x+5．
【答案】．
【分析】利用配方法把原式变成，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：2x2﹣8x+5
．
【点睛】本题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握配方法和乘法公式是解题的关键．
23.在实数范围内分解因式：
（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）令，解得：，，
即该式可分解为；
（2）令，解得：，，
即该式可分解为．
【总结】考查二次项系数为1的二次三项式的因式分解，即为．
24.在实数范围内分解因式：
（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）令，解得：，，
即该式可分解为；
（2）令，解得：，，
即该式可分解为．
【总结】考查二次三项式的因式分解，．
1.在实数范围内分解因式：
（1）；（2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）；
（3）．
【解析】（1）令，该方程即为，解得：，，
∴该式可分解为；
令，解得：，，
∴该式可分解为；
（3）令，该方程即为，解得：，，
∴该式可分解为．
【总结】考虑分解因式中整体思想，利用换元灵活变化应用．
2.在实数范围内分解因式：
（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）原式；
（2）原式为．
【总结】考查分解因式中的整体思想，注意分解要彻底．
3.在实数范围内分解因式：
（1）；（2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）；
（3）．
【解析】（1）令，解得：，，
则原式可分解为；
（2）令，解得：，，
则原式可分解为；
令，该方程即为，解得：，，
则原式可分解为．
【总结】主元法的思想，把一个字母当做未知数，另一个当做常数．
4.二次三项式，当a取何值时，
（1）在实数范围内能分解；
（2）能分解成两个相同的因式；
（3）不能因式分解 ．
【答案】（1）且；（2）；（3）．
【解析】原式是二次三项是，可知二次项系数，得：，
令，得，
（1）原式可分解因式，则有，得：且；
（2）原式可分解为两个相同的式子，则有，得：；
（3）原式不能分解因式，则有，得：．
【总结】考查二次三项式的因式分解与方程根的情况之间的关系，注意区分开各种情形之间的区别和联系．
5.已知可以分解得到，求实数的值．
【答案】，，．
【解析】，
由此可得：， 解得：．
【总结】考查二次三项式的因式分解，也可通过韦达定理进行求解．
6.多项式是完全平方式，求证：．
【解析】证明：是完全平方式，
关于的方程有两个相等的实数根，
，
．
【总结】考查可分解为完全平方式的二次三项式，即所对应的一元二次方程．