江西省南昌市南昌中学（三经路校区）2024_2025学年高二下册6月期末考试数学试卷【附解析】

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高二数学期末试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1.设全集，，，则等于（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用并集与补集的混合运算求解得答案．
【详解】全集，，
，又，
则．
故选：B．
2.设是等差数列的前n项和，若，则（ ）
A.15B.30C.45D.60
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列的性质求出，再根据等差数列前n项和公式即可得解.
【详解】由题意得，所以，
所以.
故选：C.
3.曲线在处的切线方程为（ ）
A.B. C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】先对函数求导，根据导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式可写出直线方程.
【详解】，则，根据导数的几何意义，切线的斜率为：，又，即切线过点，根据点斜式方程，切线为：，即.
故选：D
4.已知函数是定义在R上的增函数，且，则a的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数单调性解不等式即可.
【详解】因为函数是定义在R上的增函数，且，
所以，
故选：A
5.若数列满足，且，则（ ）
A.3B.4C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据通项确定数列的周期即可求解.
【详解】因且，则，
而，故数列为周期为的周期数列，
.
故选：B
6.若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】可知在区间上有解，,等价于在区间上有解，结合存在性问题分析求解即可.
【详解】因为，
若在区间上存在单调递减区间，
则在区间上有解，可得在区间上有解，
又因为在区间上单调递增，则，
可得，所以实数的取值范围是.
故选：A．
7.已知是定义在上且不恒为的连续函数，若，，则（ ）
A.B.为奇函数
C.的周期为D.的值域为
【答案】D
【解析】
【分析】对于A，B，C利用赋值法即可判断，对于D，令和，再结合函数的对称性即可判断.
【详解】令得，因为不恒为，所以，所以A错误；
令得，得，则为偶函数，所以B错误；
令得，
则，
则，得周期为，所以C错误；
令得，，即，
令得，即关于中心对称
，即，
所以，所以D正确.
故选：D.
8.已知定义在上的函数在上单调递减，且对任意的，总有，则实数的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数单调性可得,得出在上的最值解不等式即可得结果.
【详解】因为函数对称轴为，函数在上单调递减，则，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
因为，即，则，
若对任意的，都有，
则只要即可，即，
解得，又因为，则.
故选：D
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.下列命题中正确的是（ ）
A.函数且的图象恒过定点
B.命题：“”的否定是“”
C.函数既是偶函数，又在上单调递增
D.若函数，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据指数函数的性质令即可求解A；根据全称命题的否定为存在量词命题即可求解B；根据二次函数及偶函数的性质可判断C；利用换元法即可求解D.
【详解】对于A， 令，则，则，
则且的图象恒过定点，故A正确；
对于B，命题：“”的否定是“”，故B错误；
对于C，根据二次函数的性质可知，是偶函数且在上单调递增，故C正确；
对于D，令，则，则，
故，故D正确.
故选：ACD.
10.几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且，利润率.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（ ）
A.此时获得最大利润率B.再投入6万元研发经费才能获得最大利润
C.再投入1万元研发经费可获得最大利润率D.再投入1万元研发经费才能获得最大利润
【答案】BC
【解析】
【分析】结合题目中所给条件及自变量的实际意义，利用二次函数以及基本不等式进行求解.
【详解】当时，，
故当时，获得最大利润，为，故B正确，D错误；
，
当且仅当，即时取等号，此时研发利润率取得最大值2，故C正确，A错误.
故选：BC.
11.关于函数，下列判断正确的是（ ）
A.是的极大值点
B.函数有且只有1个零点
C.对不等式在上恒成立
D.对任意两个正实数，且，若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，直接对函数求导研究即可；对于B，构造函数，求导，利用单调性来判断即可；对于C，将问题转化为在上恒成立，构造函数，求其最大值即可；对于D，将问题转化为证明，，构造函数，利用导数求其最值可得答案.
详解】对于A，，，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
为的极小值点，A错误；
对于B，，
则，所以函数在上单调递减，
又，所以函数有且只有1个零点，B正确；
对于C，若在上恒成立，
得在上恒成立，
则，
令，则，
令，，
当时，，单调递减，
，即，
在上单调递减，
故函数，则，C正确；
对于D， 令，
，
则
在上单调递减，
则，即， ，
，，结合A选项可得，
，
，函数在上单调递增，
则，
即对任意两个正实数，且，若，则，D正确
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题难点在选项D，将问题转化为证明，是关键，然后构造出函数来解决问题.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知函数 ，则函数的值域为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数以及根式可得，进而可得结果.
【详解】令，可得，
所以函数的定义域为 ，
因为，当且仅当时，等号成立，
，则，
所以函数的值域为.
故答案为：.
13.已知的定义域为R，且，当时，，则_________．
【答案】1
【解析】
【分析】分析可知的一个周期为6，结合周期性运算求解即可.
【详解】因为，则，
可知的一个周期为6，
又因为当时，，
所以.
故答案为：1.
14.已知函数有两个不同的极值点，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】由是函数的两个不同的极值点可得，进而得到，然后构造函数，求出函数的值域后可得所求范围．
【详解】由题意可知：定义域为，且．
因为函数有两个不同的极值点，，
则，是方程的两个实数根，且，
可得，解得，
又因为
，
构建，则，
可知在上单调递增，则，
若不等式 恒成立，则，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.已知集合，或．
（1）当时，求；
（2）若，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）或．；
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用交集运算即可求解；
（2）利用充分不必要条件转化为，从而可得参数满足的不等式，即可求解.
【小问1详解】
当时，集合，又或．
∴或或．；
【小问2详解】
∵若，且是的充分不必要条件，，，
∴，则，
解得:，故的取值范围是．
16.设数列满足，．
（1）证明：数列为等差数列；
（2）若数列的前n项和为，证明：．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用已知的递推关系两边取倒数，即可构造数列的递推关系，从而问题得证；
（2）利用等差数列可求数列的通项公式，再由裂项法求和，利用单调性可证明不等式.
【小问1详解】
由可得：，
所以数列为等差数列，且首项为3，公差为3；
小问2详解】
由数列为等差数列，，可得,
所以，又因为，
所以，
因为，所以，故．
17.已知曲线在点处的切线的斜率为0，且当时，函数取得极值．
（1）求函数的极值；
（2）若存在，使得不等式成立，求m的取值范围．
【答案】（1）极大值为，极小值为；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义，函数极值与导数值为0的关系，可求解参数，再利用单调性可求出极值;
（2）利用存在性问题满足的条件是，则只需要利用单调性结合端点值可求最小值，即可得参数范围.
【小问1详解】
由题得：，结合题意可得:
，解得，
可得：，．
当，f′x=x−1x−3>0，所以在上单调递增，
当，，所以在上单调递减，
当，f′x=x−1x−3>0，所以在上单调递增，
所以当时，函数取得极大值，
当时，函数取得极小值，
故函数取得极大值为，极小值为
【小问2详解】
由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，
又因为，所以在时有最小值，
所以要使不等式能成立，则．所以
故取值范围是．
18.已知幂函数满足．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数，，且的最小值为0，求实数m的值；
（3）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为?若存在，求出实数n的取值范围，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）利用幂函数的定义即可求解参数，再利用幂函数的性质，进行检验参数值即可得解；
（2）利用分类讨论思想判断二次函数在闭区间上的最小值的取值情况，即可求解参数；
（3）利用函数单调性由定义域和值域对应关系组成方程组，再利用消元思想，得到的函数关系，最后通过研究定义域，即可求出的值域.
【小问1详解】
∵是幂函数，∴得，解得：或，
当时，，不满足，
当时，，满足，
∴故得，函数的解析式为；
【小问2详解】
由函数，即，令，
∵，∴，记，其对称轴在，
①当，即时，则，
解得：，此时满足，保留；
②当时，即，
则，解得：，此时不满足，舍去；
③当时，即时，
则，解得：，此时不满足，舍去；
综上所述，存在使得的最小值为0；
【小问3详解】
由函数在定义域内为单调递减函数，
若存在实数，使函数在上的值域为，
则，
由两式相减可得：
，
所以有，代入可得：
，令，
因为，，
即，，
所以，即，则，
而．故得实数的取值范围.
19.已知函数有两个零点．
（1）求a的取值范围；
（2）设是的两个零点，证明：．
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）等价于有两个零点，设，求出函数的最小值利用零点存在性定理分析即得解；
（2）不妨设，等价于证明，再利用极值点偏移的方法证明.
【小问1详解】
解：由，得，
设，则，，
因为，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
又因为，所以，
，
，
所以a的取值范围是．
【小问2详解】
证明：不妨设，
由（1）知，则，，，
又在上单调递增，
所以等价于，即．
设，
则．
设，则，
设，则，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，又因为，，，
所以存在，使得，当时，，即，
当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增．
又因为，，
所以当时，，当时，，
所以当时，，单调递减，
因为，所以，
所以，即原命题得证．
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是掌握极值点偏移的解题方法，对于这些典型题型，学生要理解并灵活掌握.