2025年河北省中考真题数学试题及答案解析

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1. 从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的加法的应用，根据题意计算得出温度，找到显示为该温度的即可求解。
【详解】解：
故选：B．
2. 榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查平行线性质的应用能力。平行线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。题中已知相关平行线和角的度数，利用平行线性质可推出所求角的度数。根据平行线的性质可得，结合题意，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
3. 计算：（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式直接计算，即可求解。平方差公式为(a+b)(a-b)=a²-b²，对于二次根式的运算，同样适用。本题可直接运用平方差公式计算得出结果。
【详解】解：
故选：B．
4. “这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查相似图形性质的应用能力，即相似图形的对应边成比例。照片中的笔和化石与实际的笔和化石是相似的，它们的长度成比例。设化石实际长度为x，根据照片上笔长与实际笔长的比等于照片上化石长与实际化石长的比，列出比例式根据题意得出，即可求解．
【详解】设该化石的实际长度为，依题意，
，
解得：
故选：C．
5. 一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左主视图视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查几何体左视图的判断能力，需要结合主视图和俯视图想象几何体的形状。由主视图和俯视图可知，该几何体下方是正方体，上方中间是圆柱。从左侧看，下方是长方形（正方体的侧面），上方中间是小正方形（圆柱的侧面投影），对应选项A的图形。
【详解】解：从左侧看下方是一个长方形，上面中间是一个小正方形，
故选：A．
6. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限。
【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式：
其中 ，，．
∴，．
∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限．
故选：C．
7. 抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有，，中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了根据概率求数量，根据题意得出数字1、2、3的个数，结合选项，即可求解。概率的计算公式为：某事件发生的概率=该事件包含的基本结果数÷总的基本结果数。正
【详解】解：正方体共6个面，向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，
∴数字有个，数字有2个，则数字只有个
选项A中数字有2个，符合题意
故选：A．
8. 若，则（ ）
A. B. C. 3D. 6
【答案】B
【解析】本题考查分式化简求值的能力。
先对分式进行化简，通过通分、约分等步骤将分式化为最简形式，再将已知条件代入化简后的式子计算得出结果。
【详解】解：
当时，原式
故选：B．
9. 如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当满足某些条件时，可证明相关角相等，进而判定三角形相似，据此可判断A、B、C；D中条件结合已给条件不能证明相似。即当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明．
【详解】解：A、∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故A不符合题意；
B、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故B不符合题意；
C、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故C不符合题意；
D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意；
故选：D．
10. 在反比例函数中，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数性质，将不等式转化为关于自变量的范围求解。
【详解】解：∵，，当时，随的增大而减小，
当时，，
当时，
∴当时，，
故选：B．
11. 如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查了矩形的折叠问题，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键；结合矩形的性质可得相关角的关系，进而根据折叠的性质得出角的度数，即可求解。结果矩形的性质的可得，，则，进而根据折叠的性质得出，，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴
∵折叠
∴
∴
∵，即
∴，故A不正确
∵
∴，故B不正确
∵折叠，
∴
∵，故C不正确，D选项正确
故选：D．
12. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了坐标与图象，一次函数的平移，待定系数法求得直线的解析式，根据选项判断平移方式，结合题意，即可求解。待定系数法求得直线的解析式为，根据选项判断平移方式，结合题意，即可求解．
【详解】解：设直线的解析式为，代入
∴
∴
∴直线的解析式为
∵，
A. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，
∴直线平移后的解析式为，此时经过原点，对应的经过整点，符合题意，
B. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，
∴直线平移后的解析式为，此时原点在下方，对应的在整点上方，不符合题意，
C. 当时，平移方式为向右平移个单位，，
∴直线平移后的解析式为，此时点在正方形内部，不符合题意，
D. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，
∴直线平移后的解析式为，此时点和在正方形内部，不符合题意，
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13. 计算：______．
【答案】
【解析】本题考查合并同类项的运算能力。合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变。本题中两项为同类项，将系数相加即可。
【详解】解：，
故答案为：．
14. 平行四边形的一组邻边长分别为，，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为______．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】本题考查平行四边形性质与三角形三边关系的综合应用能力。
平行四边形的对角线与两边构成三角形，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，可列出关于对角线长的不等式组，求出其整数解。
【详解】解：依题意，
∴，
∵为整数，
∴可以是，，，，
故答案为：（答案不唯一）．
15. 甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则______．
【答案】99
【解析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，一元一次方程的应用，由题意可知重叠部分的长度，设重叠部分的长度为未知数，根据重叠后的总长度为81列出方程，求解即可得出答案。由题意可知：重叠部分为： ，设叠部分的长度为k，则，，根据重叠后的总长度为81为等量关系列出关于k的一元一次方程，求解即可得出答案．
【详解】解：由题意可知：重叠部分为： ，
设重叠部分的长度为k，则，，
重叠后的总长度为：，即，
代入，得：，
解得：，
∴，，
∴，
故答案为：99．
16. 2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为______．（参考数据：，）
【答案】
【解析】如图所示，设数字0记为圆心O，找到那条特殊线段对应的两点，过圆心作该线段的垂线，利用圆心角和直角三角形的知识求解即可。数字6记为A，数字7记为B，过点O作于点D，首先得到线段的长与其他的都不相等，然后求出，解直角三角形求出，然后利用三线合一求解即可．
【详解】如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作于点D
由图可得，线段的长与其他的都不相等，
∵其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，
∴
∴相邻两个数字与圆心组成的圆心角为
∴
∴
∵
∴
∴，即
∴
∵，
∴．
∴这条线段的长为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了圆心角，解直角三角形，等边对等角，三线合一性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
17. （1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集；
（2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集；
（3）直接写出不等式组的解集．
【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3）
【解析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，求不等式组的解集，熟知解不等式和解不等式组的方法是解题的关键．
（1）把不等式两边同时除以2求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可；
（2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可；
（3）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示解集以及求不等式组解集的能力。
（1）解不等式时，根据不等式的性质，两边同时除以正数，不等号方向不变，求出解集后在数轴上表示，包括该点用实心点。
（2）解不等式时，通过移项、合并同类项、系数化为1求解，在数轴上表示不包括该点用空心圈。
（3）不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分，根据相应原则确定。
具体解题步骤为（1）
不等式两边同时除以2得，
数轴表示如下所示：
（2）
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
数轴表示如下所示：
（3）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为．
18. （1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程．
（2）计算：
【答案】（1）原计算第一步开始出错；；（2）
【解析】
【分析】本题考查了有理数混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键；
（1）第一步计算分配律时符号出错；
（2）按照实数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除．
解题时注意运算顺序和符号问题。
①有理数混合运算中，使用分配律时要注意符号的正确性，第一步出错在于符号处理，正确计算即可得出结果。
②实数混合运算按照先括号，再乘除，后加减的顺序进行计算。
【详解】解：（1）原计算第一步开始出错；
；
（2）
19. 如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质；
（1）先证明角相等，结合边相等，即可得到全等结论。即先证明，结合，，即可得到结论；
（2）先证明角相等，结合已知条件即可得到结论。即先证明，结合即可得到结论.
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，，
∴；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，即.
20. 某工厂生产，，，四种产品．为提升产品的竞争力，该工厂计划对部分种类的产品优化生产流程，降低成本；对其他种类的产品增加研发投入，提升品质．经研究，该工厂做出了甲、乙两种调整方案，这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响．下面是该工厂这四种产品的部分信息：a．调整前，各产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．b．各产品单件成本的核算情况统计表及说明．说明：对于统计表中的数据，方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同．根据以上信息，解答下列问题：
（1）求调整前产品的年产量；
（2）直接写出，的值；
（3）若调整后这四种产品的年产量均与调整前的相同，请通过计算说明甲、乙两种方案哪种总成本较低．
【答案】（1）万件
（2），
（3）甲种方案总成本较低
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，求平均数与中位数，从统计图表中获取信息是解题的关键；
（1）先求得总产量，然后求得的年产量，最后求得产品的年产量；
（2）根据方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同，即可求解；
（3）分别计算甲、乙两种方案的成本，比较大小，即可求解
涉及平均数、中位数的计算以及成本比较方法如下
（1）从扇形统计图得出总产量，结合条形统计图中其他产品的产量，求出目标产品的年产量。
（2）根据平均数和中位数的定义，结合调整前后的关系，求出m和n的值。
（3）根据总成本=单价×产量，分别计算两种方案的总成本并比较。
【小问1详解】
万件，
产品的年产量为：万件，
∴调整前产品的年产量为：万件
【小问2详解】
∵方案甲的平均数与调整前的相同，
∴
解得：，
∵方案乙的中位数与调整前的相同，调整前，中位数为
调整后为，
∴
【小问3详解】
解：方案甲的总成本为：（万元）
方案乙的总成本为：（万元）
∴甲种方案总成本较低
21. 如图1，图2，正方形的边长为5．扇形所在圆的圆心在对角线上，且不与点重合，半径，点，分别在边，上，，扇形的弧交线段于点，记为．
（1）如图1，当时，求的度数；
（2）如图2，当四边形为菱形时，求的长；
（3）当时，求的长．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据题意证明出四边形是正方形，得到圆心角，然后利用圆周角定理求解即可，即根据题意证明出四边形是正方形，得到，然后利用圆周角定理求解即可；
（2）首先证明出三角形是等边三角形，连接相关线段交于一点，求出相关线段长度，进而求解即可；即首先证明出是等边三角形，如图所示，连接交于点G，求出，，然后得到是等腰直角三角形，进而求解即可；
（3）分两种情况，根据弧长公式求解即可．
【小问1详解】
∵正方形的边长为5．
∴
∵当时
∴
∵
∴
∴四边形是菱形
∵
∴四边形是正方形
∴
∴；
【小问2详解】
∵四边形为菱形
∴
∵扇形所在圆的圆心在对角线上，
∴
∴是等边三角形
如图所示，连接交于点G
∴
∴
∴
∴
∵
∴是等腰直角三角形
∴
∴；
【小问3详解】
如图所示，当是劣弧时，
∵，半径
∴；
如图所示，当是优弧时，
∵，半径
∴
∴．
综上所述，的长为或．
【点睛】此题考查了正方形的性质，圆周角定理，求弧长，勾股定理，菱形的性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
22. 一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了．
（1）原长为铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）．
（2）求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量．
（3）将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量．
【答案】（1）
（2），
（3）
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键；
（1）根据，代入数据进行计算即可求解；
（2）根据定义求得铁的线膨胀系数，进而设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解；
（3）设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解．
【小问1详解】
解：，
答：该铜棒的伸长量．
【小问2详解】
解：，
解得：，
设该铁棒温度的增加量为，根据题意得，
，
解得：，
答：铁的线膨胀系数，该铁棒温度的增加．
【小问3详解】
解：设该铁棒温度的增加量为，根据题意得，
，
解得： ，
答：该铁棒温度的增加量为．
23. 综合与实践
［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图），需找到合适的切割线．
［模型］已知矩形（数据如图所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分．
［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题．
［探究］根据以上描述，解决下列问题．
［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题．
（1）图中，矩形的周长为______；
（2）在图基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）；
（3）根据淇淇的作图过程，请说明图中的直线符合要求．
（4）如图，若直线将矩形分成周长相等的两部分，分别交边，于点，，过点作于点，连接．
当时，求的值；
当最大时，直接写出的长．
【答案】（1）； （2）见解析；
（3）；
（4）；．
【解析】
【分析】根据矩形的周长公式计算即可；
以点为圆心为半径画弧，交于点，延长交于点，连接，由作图可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可证，根据矩形的性质可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可证直线把矩形分成了周长相等的两部分，所以线段即为所求；
根据矩形的性质可证四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可证，根据平行四边形的性质和矩形的性质可以证明书，，所以可以证明，所以直线把矩形分成了周长相等的两部分，从而可证直线符合要求；
过点作，连接交于点，过点作于点，过点作，根据矩形的性质可得：，，，根据勾股定理可以求出，利用可证，根据全等三角形的性质可得：，，从而可得：，，根据等腰直角三角形的性质可得：，，根据正切的定义可以求出的正切；
连接交于点，把矩形分成了周长相等的两部分，点为和的中点，利用勾股定理可以求出，，过点作，则，根据相似三角形的性质可以求出，，，在中，利用勾股定理可得：，在中，利用勾股定理即可求出的长度．
【小问1详解】
解：四边形矩形，
，
，，
，，
矩形的周长为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：如下图所示，
以点为圆心为半径画弧，交于点，延长交于点，线段即为所求，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
矩形的对角线交于点，
，
四边形是矩形，
，，
，
在和中，，
，
，
，
，
直线把矩形分成周长相等的两部分；
【小问3详解】
证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
直线是的垂直平分线，
，
，
，，
，
，
把矩形分成了周长相等的两部分，
直线符合要求；
【小问4详解】
解：如下图所示，过点作，连接交于点，过点作于点，过点作，
四边形是矩形，且直线将矩形分成周长相等的两部分，
则点是矩形的对角线与的交点，
点是的中点，
，
，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形矩形，
，
，
在和中，，
，
，，
，
，
，
于点，
，
是等腰直角三角形，
，，
；
解：如下图所示，连接交于点，
把矩形分成了周长相等的两部分，
点为和的中点，
，
点在以为直径的上，
当与相切时，最大，
，，
，
，
，
过点作，
，
四边形是矩形，
，
则，
，
，
，，
，
，
是的切线，
，
．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、中心对称图形的性质、圆的基本性质、切线的性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质，本题的综合性较强，难度较大，需要综合运用矩形、圆、切线等图形的性质，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形的性质求解．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，．
（1）求，的值及点的坐标．
（2）点在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由．
（3）直线交于点，点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半．
①若点与点重合，点恰好落在上，求的值；
②若点为直线与的唯一公共点，请直接写出的值．
【答案】（1），
（2）不能，理由见解析
（3）①；②
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的综合，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与二次函数交点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意得出，代入抛物线解析式得出或，而经过点和，即可得出结论；
（3）①先求得，和代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解；
②根据题意得出直线的解析式为，根据经过点，得出，联立直线解析式，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，将代入，得出①，根据点为直线与的唯一公共点，得出②，联立解得的值，即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，，顶点为
∴
解得：，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵点在（第一象限）上，到轴的距离为．则
∴当时，
解得：或
∴或
∵抛物线经过点，对称轴为直线
∴经过点和
∴不能经过点,
【小问3详解】
①∵，
当重合时，则
∵是的中点，
∴,
∵点恰好落在上，经过点
∴
解得：；
②∵直线交于点，，
∴，
∴直线的解析式为，
∵经过点，
∴，
∴，
∴
联立
消去得，
∴，则
∵点的横坐标是点横坐标的一半．
∴即，
将代入，
∴①
∵点为直线与的唯一公共点，
∴②
联立①②得：或，
当时，交点不在公共点不在第一象限，不符合题意，
∴．计算：．
解：
第一步
第二步
．第三步
产品
数据 类别
调整前单价成本（元/件）
调整后单价成本（元/件）
方案甲
方案乙
如图3，嘉嘉的思路如下：
①连接，交于点；
②过点作，分别交，于点，
……
如图4，淇淇的方法如下：
①在边上截取，连接；
②作线段的垂直平分线，交于点；
③在边上截取，作直线．