江苏省连云港市2025年中考真题数学试卷原卷＋解析

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1. 的绝对值是（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】A
【解析】，因此，的绝对值为5，
故选：A．
2. 2020年12月17日，“嫦娥五号”返回器携带月球样品顺利返回地球，我国科学家通过研究证明了月球在年前仍存在岩浆活动．数据用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，故选：C．
3. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在实数范围内有意义，∴，
解得：，
故选：D．
4. 下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（ ）
A. 1，2，3B. 2，3，4
C. 3，5，8D. 4，5，10
【答案】B
【解析】A． 1、2、3：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意；
B． 2、3、4：，满足条件，能构成三角形，符合题意；
C． 3、5、8：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意；
D． 4、5、10：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意；
故选：B．
5. 如图，在中，，垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴的周长为，
故选：C．
6. 《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设相遇时间为天，将南海到北海的距离看成单位1，
野鸭从南海到北海需7天，故其速度为（全程/天）；
大雁从北海到南海需9天，故其速度为（全程/天），
∴方程为，
故选：A
7. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】由图可知，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为，
∴点的横坐标为，
当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方，
即当时，取值范围是或，
故选：C．
8. 如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，，
∴，
设，则：，
∵平分，，
∴点到的距离相等均为的长，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即：，
∴，
∴；
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 计算：_______．
【答案】2a
【解析】.
10. 分解因式：_______．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
11. 如图，，直线与射线相交于点．若，则___．

【答案】
【解析】∵，，∴，
∴．
12. 如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为_______m．
【答案】
【解析】∵长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，
∴，
故答案为：．
13. 如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为_______．
【答案】
【解析】连接，如图所示：
∵，，∴，
∴劣弧．
14. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．当时，．则当时，________Pa．
【答案】16000
【解析】∵气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．
∴设这个反比例函数的解析式为，
把时，代入，得，
解得，∴，
把代入，
得．
15. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________．
【答案】
【解析】由题意，，得，
将代入，
得：，解得：，
∴，
令，得，
解得：，（舍去），
∴为，
故答案为：．
16. 如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵为线段上的动点，
∴可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动，
则如图，过点作的平行线，
过点作关于线段的对称点，
由对称性得，
∴，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，
此时如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点，
∵菱形中，，，
∴，，，
由题可得，
∴由对称性可得，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，
即的最小值为．
三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，作图过程需保留作图痕迹）
17. 计算．
解：原式．
18. 解方程．
解：去分母，得：，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
19. 解不等式组
解：解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集为．
20. 一只不透明的袋子中装有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是_______；
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．用画树状图或列表的方法，求2次都摸到白球的概率．
解：（1）由题意，共有个球，搅匀后从中任意摸出1个球，有4种等可能的结果，其中摸到红球的情况只有1种，
∴摸到红球的概率是；
（2）根据题意，红球用A表示，3个白球分别用B，C，D表示，画出如下的树状图：
由图可知，共有16种等可能结果，其中2次都摸到白球的结果有9种，
所以2次都摸到白球的概率为．
21. 为了解八年级学生的体重情况，某校随机抽取了八年级部分学生进行测量，收集并整理数据后，绘制了如下尚不完整的统计图表．
体重情况统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）_______，________；
（2）在扇形统计图中，类所对应的圆心角度数是_______°；
（3）若该校八年级共有名学生，估计体重在及以上的学生有多少人?
解：（1）由题意得被抽取的总人数为（人），
∴类的频数为（人），
∴类的频数为（人），
故答案为：，；
（2）类所对应的圆心角度数是，
故答案为：；
（3）估计体重在及以上的学生有（人）．
22. 如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等．
（1）现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个?
（2）如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片?
解：（1）制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，甲种需要1个正方形，4个长方形，乙种需要2个正方形，3个长方形，
设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个．
根据题意，得，得，
答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个．
（2）设制作乙种纸盒个，共需要张正方形硬纸片．
则．
则为关于的一次函数，斜率为1，所以w随m的增大而增大，
∴当最小时，有最小值．
根据题意乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，得，
解得，
其中需为整数，所以可取到的最小整数解为34．
即当时，取得最小值为．
答：至少需要134张正方形硬纸片．
23. 如图，港口位于岛的北偏西方向，灯塔在岛的正东方向，，一艘海轮在岛的正北方向，且、、三点在一条直线上，．
（1）求岛与港口之间的距离；
（2）求．
（参考数据：，，）
解：（1）如图，过点作，垂足为，
∵，∴，∴，
∴，
∵，，∴， 得：，
在中，由，
得．
答：岛与港口之间的距离为；
（2）在中，，
∵，
∴，
∴，
在中，．
24. 已知二次函数，为常数．
（1）若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围；
（2）若该二次函数的图像与轴有交点，求的值；
（3）求证：该二次函数的图像不经过原点．
解：（1）本题可先根据二次函数与直线的交点情况列出方程，再利用判别式求解的取值范围。
已知二次函数的图像与直线有两个交点，将代入二次函数可得：
移项化为一元二次方程的一般形式：
对于一元二次方程，当 时，方程有两个不同的实数根。
则，
解得，
（2）本题可根据二次函数与交点情况，利用判别式求解的值。
因为二次函数的图像与轴有交点，
即当 时，方程有实数根，
所以
即，
所以，
又因为，
所以，
解得．
（3）本题可根据原点坐标特点，将 代入函数解析式，判断方程是否有解。
证明：若二次函数的图像经过原点，
则将 代入函数可得，
，
即
对于一元二次方程，其判别式
所以方程无实数解，即二次函数的图像不经过原点．
25. 一块直角三角形木板，它的一条直角边长，面积为．
（1）甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大；
（2）丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值．
解：（1）∵，面积为，
∴，
∴．
设正方形的边长为，
如图1，∵四边形是正方形
∴，，
∵
∴
得，
即，
解得．
如图2，∵四边形是正方形
∴，
∴
∴，
得，
即，
因为 为正方形边长，所以
∴．
，
∵
∴，
得，
即，
解得．
∵，
∴图1的正方形面积较大．
（2）∵四边形是长方形，
如图3，∴，，
∵，
∴；得，
则，，
∴长方形的面积，
∵∴开口向下，
当时，长方形的面积有最大值为．
在图4中，同理得，得，
∴，，
同理得，得，
则，
∴长方形的面积，
∵，∴开口向下，
∴当时，长方形的面积有最大值为．
26. 已知是的高，是的外接圆．
（1）请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图2，若的半径为，求证：；
（3）如图3，延长交于点，过点的切线交的延长线于点．若，，，求的长．
解：（1）本题可根据外接圆的性质进行做图。
做 任意两边的垂直平分线，他们的交点即为外接圆的圆心 ,以为圆心， 为半径作圆，此圆即为的外接圆，如图所示，
（2）如图2，作的直径，连接，
∴，，
∵是的高，
∴．
∵，
∴．
∴，即，
∴．
（3）如图3，连接，
∵为的切线，∴．
∵，，
∴，
∴，．
∵，
∴是等边三角形，，
∴，，
∴．
在中，，，，
∴，，
在中，，
在中，，
代入，得，即．
27. 综合与实践
【问题情境】
如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、，且，交于点．连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点．
【活动猜想】
（1）与的数量关系是_______，位置关系是_______；
【探索发现】
（2）证明（1）中的结论；
【实践应用】
（3）若，，求的长；
【综合探究】
（4）若，则当_______时，的面积最小．
解：（1）相等，垂直；
（2）过点作于，过点作分别交、于、，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴四边形为矩形，四边形为正方形，
∴，，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）在正方形中，由，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
得，
由等面积法得，
即，
∴，
在中，，
由（2）可知，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴；
（4）如图，构造的外接圆，连接，，，过点作于点，设的半径为，过点作于，
由（2）可知，，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵正方形中，，是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴当最小时，的面积最小，
∴最小时，的面积最小，
∵，
∴当最小时，的面积最小，
由点到直线最短距离可得，当、、依次共线，且时，最小，
此时如图，点与重合，
则，
解得：，
∴，
∴．组别
体重
频数（人数）
类
类
类
类