【数学】吉林省普通高中G8教考联盟2024-2025学年高二上学期1月期末考试试题（解析版）

这是一份【数学】吉林省普通高中G8教考联盟2024-2025学年高二上学期1月期末考试试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为直线的斜率为，故该直线的倾斜角为.
故选：A.
2. 已知向量，，且，那么（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】C
【解析】由向量，，且，
得，则，则.
故选：C.
3. 在数列中，若，，则下列数不是中的项的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，，
所以，，，，…，
故是以为周期的周期数列，-1不是数列中的项，
故选：A．
4. 过点的直线与椭圆相交于两点，且恰为线段的中点，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】显然在椭圆内，
当直线的斜率不存在，即直线方程为时，可得，或，，此时不是线段的中点，
所以直线的斜率存在，设，，
则，两式相减并化简得，
又，，代入得，解得，
故选：D.
5. 已知为等差数列的前项和，公差为．若，则（ ）
A. B.
C. D. 有最小值
【答案】B
【解析】对于选项A：因为数列为等差数列，
则，即，
可得，则，故A错误；
对于选项B：因为，
则，所以，故B正确；
对于选项C：因为，所以，故C错误；
对于选项D：由选项B知，且，则，
当时，；当时，，所以当且仅当时取到最大值，故D错误.
故选：B.
6. 已知点为抛物线上一动点，点为圆：上一动点，点为抛物线的焦点，点到轴的距离为.若的最小值为3.则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】圆的圆心，半径，
抛物线的焦点为，准线方程为，
则由抛物线的定义知点到y轴的距离为，则，
由图知，当共线，且在线段上时，最短，
此时，而，
则，所以.
故选：B.

7. 已知数列满足，在之间插入个1，构成数列，则数列前100项的和为（ ）
A. 151B. 170C. 182D. 207
【答案】B
【解析】，
令得：，
所以数列的前100项中中的项有7项，1有93项，
的前7项的和为，
则的前100项和为77+93=170，
故选：B.
8. 已知双曲线的左右焦点分别为，，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的交点为，若的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】设双曲线的半焦距为c，则，
由对称性，不妨令与平行的渐近线为，则直线的方程为：，
即，设的内切圆与三边相切的切点分别为如图所示，
则
，
即，即轴，圆的半径为，
则，点到直线距离为，
整理得且，解得，所以双曲线的离心率.
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知空间中三点，则（ ）
A.
B. 方向上的单位向量是
C. 是平面的一个法向量
D. 在上的投影向量的模为
【答案】ACD
【解析】由题意：，，.
对A：因为，故A正确；
对B：因为，即方向上的单位向量是，故B错误；
对C：因为，，
所以成立，故是平面的一个法向量，故C正确；
对D：由，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，圆与的渐近线相切．为右支上的动点，过点作双曲线的两渐近线的垂线，垂足分别为，则以下结论中正确的有（ ）
A. 两渐近线夹角为B. 的离心率
C. 为定值D. 的最小值为
【答案】BCD
【解析】因为圆与的渐近线相切，所以圆心1,0到渐近线的距离等于圆的半径，
即，所以双曲线，
所以双曲线渐近线为，
所以两渐近线的倾斜角为和，则渐近线夹角为，则A错误；
因为，所以离心率，B正确；
设，则，所以，C正确；
因为由余弦定理可得
所以，
当且仅当时，等号成立，此时点为双曲线的顶点，
所以的最小值为，D正确.
故选：BCD.
11. 已知是数列的前项和，且，（），则下列结论正确的是（ ）
A. 数列为等比数列B. 数列为常数列
C. D.
【答案】AD
【解析】当时，，即，
又，故为等比数列，A正确；
时，，即，
故不为常数列，B错误；
由上知为等比数列，首项为2，公比为3，故，
故，，……，，
以上20个式子相加得：，C错误；
因为，所以，
两式相减得：，
当时，，，……，，
以上式子相加得：，
故，而也符和该式，故，
令得：，
当时，，，……，，
以上式子相加得：，
故，而也符号该式，故，
令得：，综上：，D正确.
故选：AD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆，直线过点且与圆相切，则直线的方程为________．
【答案】和
【解析】圆的圆心和半径分别为，
当直线无斜率时，此时：，与圆相切，符合题意，
当直线有斜率时，设，
此时圆心到直线的距离为，解得，
此时直线方程为，即，
综上可得和.
13. 已知数列的前项和为，则__________．
【答案】
【解析】由，可得，，
则是等比数列，又，则，.
14. 设分别是椭圆的左､右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为________.
【答案】- 4
【解析】如图，设，则，
因为是圆的直径，所以，所以，
即，
所以，，所以直线的斜率为.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F1,0，且经过点
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆相交于M，N两点，求线段MN的长．
解：（1）由题意得，解得，
故椭圆的标准方程为．
（2）由题意可得直线方程为，
与椭圆方程联立，得，
设Mx1,y1，Nx2,y2，则，
故
．
16. 已知数列的前n项和为，，．
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
（1）证明：由，则，
又，所以数列是首项、公差均为的等差数列，
则，
所以.
（2）解：由，
则，
所以，
所以.
17. 如图，在四棱锥中，平面，，，为的中点.

（1）若，证明：平面；
（2）已知，，，斜线和平面所成的角的正切值为2，求平面和平面的夹角的余弦值.
（1）证明：因为平面，，平面，
可知，，
在中，为的中点，则，
因为，所以，则，，
在中，，
即，
所以，即，
又因为，平面，平面，
所以平面．
（2）解：由题意可知：平面，
所以是斜线在平面上的射影，即为和平面所成的角，
在中，，所以．
又因为，故，，两两垂直，
以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，
可得，，，，
设平面的法向量为，
则，即，可取；
设平面的法向量为，
则，即，可取；
从而可知，
所以平面和平面的夹角的余弦值为.
18. 已知数列的前项和为，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列，
（ⅰ）求数列的前项和；
（ⅱ）若成等比数列，求数列中的最大项及此时的值．
解：（1）因为，所以当时，，
两式相减得，，整理得，
即，而当时，，
经检验满足此式，所以.
（2）（ⅰ）由（1）得，，
所以，
，，
所以.
（ⅱ）由（ⅰ）得，，所以，
因为成等比数列，所以，即，
所以，故，
由对勾函数性质得在上单调递减，在上单调递增，
则当时单调递增，当时单调递减，
，，
因此最大项为，此时或．
19. 已知动点（不与坐标原点O重合）在曲线上运动，为线段中点，记的轨迹为曲线．
（1）求的轨迹方程；
（2）P为不在x轴上的动点，过点作（1）中曲线的两条切线，切点为；直线与垂直(为坐标原点)，与x轴的交点为，与的交点为，
（ⅰ）求证：是一个定点；
（ⅱ）求的最小值．
解：（1）设，， N为线段OM中点，
，，又，
代入得．故点N的轨迹方程是．
（2）（ⅰ）设点，
设以为切点的切线方程为，
联立抛物线方程，可得，由，得，
所以切线AP：，同理切线BP：，
点P在两条切线上，则，
由于均满足方程，故此为直线AB的方程，
由于垂直即，则，
所以直线AB方程，恒过；
（ⅱ）由（ⅰ）知，则，直线
联立直线AB与直线OP的方程得，
而
.
因此，当且仅当时取等号.
即的最小值是.