【数学】广西部分学校2024-2025学年高二上学期12月阶段性考试试题（人教版）（解析版）

这是一份【数学】广西部分学校2024-2025学年高二上学期12月阶段性考试试题（人教版）（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，则（ ）
A. B. 18C. D.
【答案】A
【解析】因为向量，所以，
所以.
故选：A.
2. 已知直线与直线平行，则（ ）
A. 4B. C. 或5D.
【答案】D
【解析】由直线与直线平行，得，
所以.
故选：D.
3. 椭圆的两个焦点为，椭圆上有一点，则的周长为（ ）
A. B. 12C. D. 20
【答案】B
【解析】由题意，所以，
故的周长为.
故选：B.
4. 抛物线的焦点为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】的标准形式为，其焦点在轴负半轴上，坐标为.
故选：C.
5. 已知双曲线的焦距为，实轴长为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意知，所以.
因为，所以双曲线的渐近线方程为.
故选：B.
6. 过点作圆的两条切线，切点为、，若，则四边形（为圆的圆心）的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，
如下图所示：
由圆的几何性质可得，，，，
所以，，
所以，，
设，则，
因为。
易知为锐角，则，，
所以，，
因此，.
故选：C.
7. 在平行六面体中，点分别在棱上，且.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，
所以
，
因为，所以，故.
故选：A.
8. 已知是抛物线上的动点，是抛物线的准线上的动点，，则的最小值是（ ）
A. 5B. 4C. D.
【答案】A
【解析】抛物线的焦点为，准线的方程为，
当时，的值最小，此时，由抛物线的定义，可得PM=PF，
则.
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若点和点关于直线对称，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】由题意知，的中点，即在直线上，
则可得，解得，
则直线，斜率为，
又直线与直线垂直，
则可得，解得，
故选：AC.
10. 古希腊数学家阿基米德在2200多年前利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的面积为，则该椭圆的离心率可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】由题意可知，则.因为，且，
所以或或或或或
当或时，，离心率为；
当或时，，离心率为；
当或时，，离心率为.
故选：ABD.
11. 在正四棱锥中，，则（ ）
A.
B. 异面直线所成角的余弦值为
C. 向量在向量上的投影向量为
D. 直线与平面所成角的正弦值为
【答案】ABD
【解析】记，连接，以坐标原点，
的方向分别为，轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，
因为，
所以，
所以，，
由得，由得.
则，所以，故A正确.
因为，
所以，
，
所以，
所以异面直线所成角的余弦值为，故B正确.
向量在向量上的投影向量为，故C不正确.
设平面的法向量为n=x,y,z，因为，
所以令，得.又，
设直线与平面所成的角为，则，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在四面体中，空间的一个点满足，若四点共面，则______.
【答案】
【解析】在四面体中，因为四点共面，，
所以，解得.
13. 已知为坐标原点，双曲线的左，右焦点分别为，以线段为直径的圆与在第一象限内的交点为.若，则点到直线的距离为______.
【答案】
【解析】由题可知，，设，则由，得，，则.由，得，解得，
又点为的中点，则点到直线的距离.
14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，是满足的阿氏圆上的任意一点，则该阿氏圆的标准方程为________；若该阿氏圆在点处的切线与直线交于点，则的最小值为________.
【答案】
【解析】设点，依题意，，即，
则，整理得，
所以所求圆的标准方程为；
该阿氏圆的圆心为，半径，
点到直线的距离，
依题意，，当且仅当时取等号，所以的最小值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆的圆心在直线上，且点，在上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若倾斜角为的直线经过点，且与圆相交于D，E两点，求.
解：（1）设线段的中点为，则，
因为直线的斜率为，
所以线段垂直平分线的斜率为，
所以线段的垂直平分线所在的直线方程为，
由得，
所以圆心，半径为，
所以圆的标准方程为；
（2）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
又直线经过点，所以直线的方程为，
即，
所以点到直线的距离为，
所以.
16. 已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）直线与相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程.
解：（1）因为动点到点距离比它到直线的距离小2，
所以动点到点的距离比它到直线的距离相等，
由抛物线的定义知动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以轨迹的方程为.
（2）设Ax1,y1,Bx2,y2，则
两式相减得，整理可得.
因为线段的中点坐标为，所以，
所以直线的斜率，
故直线的方程为，即.
17. 如图，在多面体中，平面，平面平面，，，为等腰直角三角形，且，．
（1）证明：平面．
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
（1）证明：取的中点，连接，．
因为为等腰直角三角形，且，所以．
又平面平面，平面平面，
所以平面．
因为平面，平面，所以．
又平面，平面，所以平面．
因为，所以，
又，
所以四边形为平行四边形，则．
因为平面，平面，
所以平面．
又，平面，
所以平面平面．
因为平面，所以平面．
（2）解：由题可知，，两两垂直，故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则，，，，
，，．
设平面的法向量为，
则由得
令，得．
设平面的法向量为，
则由得
令，得．
所以，则平面与平面的夹角的余弦值为．
18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，△，△均为等边三角形，．
（1）证明：平面平面．
（2）若点到平面的距离为，求四棱锥的体积．
（1）证明：设，取的中点，连接，如图，
则，且，
在中，，
在中，有，所以，
又平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
（2）解：由（1）知，两两垂直，建立如图空间直角坐标系，
则，
由，得，
所以，解得，即，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
即，
所以点到平面的距离为，
解得，所以，
设平面的一个法向量为，
则，
令，得，所以，
所以点到平面的距离为，
又平行四边形的面积为，
所以四棱锥的体积为.
19. 已知椭圆的离心率是，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上的动点，是的内心，求的最大值.
解：（1）由题意可得解得，
故椭圆的标准方程为.
（2）设.
由等面积法得，则.
由题意可得F1-1,0，则直线的方程为，
即.
点到直线的距离.
因，
所以，
所以.
因为是椭圆上的动点，所以，所以，
所以，
整理得，即.
因为，所以.
因为，所以，即，
则.
故当时，取得最大值.