2024-2025学年河北省保定市六校联盟高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河北省保定市六校联盟高二（下）期中数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.函数f(x)=x−lnx的最小值为( )
A. 1B. e−1C. 0D. 1+1e
2.设随机变量X～N(2,σ2)，P(00，
所以f′(x)=1+f′(1)2x−3x2，
所以f′(1)=1+f′(1)2−3，解得f′(1)=−4；
(2)由(1)可知f(x)=x−2lnx+3x，x>0，
所以f′(x)=(x+1)(x−3)x2，
令f′(x)=0，解得x=−1(舍去)或x=3，
所以当x变化时，f(x)，f′(x)变化情况如下表所示：
所以f(x)仅有极小值为f(3)=4−2ln3，无极大值．
16.已知5名同学(3男2女)相约观看《哪吒之魔童降世》，他们的座位在同一排且连在一起，
(1)若男生必须坐在一起，女生必须坐在一起，
先将3名男生排在一起，有A33=6种排法，
再将2名女生排在一起，有A22=2种排法，
将排好的男生、女生分别视为一个整体，再进行排列，共有A22=2种排法，
由分步乘法计数原理可知，共有A33×A22×A22=6×2×2=24种排法．
(2)若所有男生互不相邻，且所有女生也互不相邻，
先将3名男生排好，共有A33=6种排法，
再在这3名男生中间的2个空位中插入2名女生，共有A22=2种排法，
再由分步乘法计数原理，共有A33×A22=6×2=12种排法．
(3)若同学甲和同学乙必须相邻，且他们都不与同学丙相邻，
先将甲乙丙以外的其余2人排好，共有A22=2种排法，
由于甲乙相邻，则有A22=2种排法，
最后将排好的甲乙这个整体与丙分别插入原先排好的2人的中间及两边共3个空位中，共有A32=6种排法，
由分步计数原理，共有A22×A22×A32=2×2×6=24种排法．
17.(1)投掷一枚质地均匀的骰子，每次掷得的点数是3的倍数时得2分，
掷得的点数不是3的倍数时得1分，
独立地重复掷一枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分，
投掷3次骰子，最终得分为X，
由题意得学生每次掷骰子得2分的概率为26=13，得1分的概率为1−13=23．
由题意学生投掷3次得分X的取值为3，4，5，6，
P(X=3)=(23)3=827，
P(X=4)=C31(13)1(23)2=1227=49，
P(X=5)=C32(13)2(23)1=627=29，
P(X=6)=(13)3=127，
∴X的分布列为：
∴E(X)=3×827+4×49+5×29+6×127=4．
(2)学生甲、乙各投掷4次骰子，甲前两次投掷后得了4分，
记Am=“甲最终得分为m分”，m=6，7，8，
B=“乙最终得分高于甲最终得分”，
P(A6)=C22(23)2=49，P(A7)=C2123×13=49，P(A8)=(13)2=19，
当甲最终得6分时，乙需要最终得7分或者8分，
则P(B|A6)=C44(13)4+C43(13)323=981；
当甲最终得7分时，乙需要最终得8分，则P(B|A7)=C44(13)4=181；
当甲最终得8分时，乙不会比甲得分高，则P(B|A8)=0，
∴P(B)=P(A6B)+P(A7B)+P(A8B)
=P(A6)×P(B|A6)+P(A7)×P(B|A7)+P(A8)×P(B|A8)
=49×981+49×181+19×0
=40729，
∴甲、乙4次投掷后，乙最终得分高于甲最终得分的概率为40729．
18.(1)趣味体操”参与人数超过30人的学校可评为“体育特色校”，
从这8所学校中随机选出3所，记可作为“体育特色校”的学校数量为随机变量X，
参加“趣味体操”人数在30人以上的学校共5所，则X所有可能取值为0，1，2，3，
则P(X=0)=C50C33C83=156，P(X=1)=C51C32C83=1556，
P(X=2)=C52C31C83=1528，P(X=3)=C53C30C83=528，
∴X的分布列为：
E(X)=156×0+1556×1+1528×2+528×3=10556=158．
(2)①由已知该同学在一轮测试中为“优秀”的概率为：
P=C32(25)2⋅35+C33(25)3=44125．
②该同学在n轮测试中获“优秀”次数X服从二项分布，
即满足X∼B(n,p)，P=44125，
∵E(X)=np=n×44125≥2，
∴n≥125×244≈5.68．
∴希望“优秀”总次数的期望达到2次，理论上至少需要进行6轮测试．
19.(1)∵f(x)=ke2x+(k+2)ex+x，
∴f′(x)=2ke2x+(k+2)ex+1=(kex+1)(2ex+1)，
①当k≥0时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增，
②当k0得x0，φ(x)=x2ex+lnx单调递增，
∵φ(1e)=e1ee2−10，
∴∃x0∈(1e,1)，使得φ(x0)=x02ex0+lnx0=0，即x0ex0=1x0ln1x0，
令t(x)=xex，则t(x0)=t(ln1x0)，
∵t′(x)=ex+xex=ex(x+1)>0，∴x>0时t(x)单调递增，
∴x0=ln1x0=−lnx0，即ex0=1x0，①
x∈(0,x0)时，φ(x)0，ℎ(x)单调递增，
故ℎ(x)在x=x0处取得最小值ℎ(x0)，
结合①可得ℎ(x0)=x0ex0−lnx0−1x0=x01x0−lnx0−1x0=1+x0−1x0=1，
∴ℎ(x)min=1≥m2，解得m∈(−∞,2]．X
0
1
2
3
P
0.3−q
0.12
0.9−2q
0.16
学校
A
B
C
D
E
F
G
H
参加趣味体操人数(人)
45
53
23
37
33
18
24
48
x
(0,3)
3
(3,+∞)
f′(x)
−
0
+
f(x)
单调递减
4−2ln3
单调递增
X
3
4
5
6
P
827
49
29
127
X
0
1
2
3
P
156
1556
1528
528