陕西省安康市汉滨区七校联考2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份陕西省安康市汉滨区七校联考2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某班有男生32人，女生24人，现在要用分层随机抽样的方法从该班中抽取14人参加跳绳比赛，则女生被抽取的人数为（ ）
A．4B．6C．8D．10
2．复数满足，则复数的虚部是（ ）
A．1B．C．D．
3．已知直线l、m、n与平面α、β，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，，则
4．已知且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．已知圆锥的轴截面是三角形，如图，是水平放置的三角形的直观图，若平行于轴，且，则圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
6．小张同学为测量学校紫阳楼的高度，在地面上选取，两点，从两点测得建筑物顶端的仰角分别为，且两点间的距离为10m，则紫阳楼的高度为（ ）m．

A．B．C．D．
7．在正四棱台中，，点为底面的中心，则异面直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
8．如图是某个闭合电路的一部分，每个元件的可靠性是，则从A到B这部分电路畅通的概率为（ ）

A．B．C．D．
二、多选题
9．某项比赛共有10个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是（ ）
A．极差B．45百分位数C．中位数不变D．众数
10．已知为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．复数的共轭复数为
C．若复数为纯虚数，则
D．若，为复数，则
11．在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且，点是棱的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．三棱锥的体积为
C．当是棱的中点时，平面
D．直线与平面所成的角的正切值最大为
三、填空题
12．已知是相互独立事件，且，，则 ．
13．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则 ．
14．已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的表面积是 ．
四、解答题
15．设，，向量，，，且，．
(1)求；
(2)求向量与夹角的余弦值．
16．如图，在正三棱柱中，已知，，D是棱的中点.

(1)求证：平面；
(2)该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积.
17．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组的人数为4.
(1)求第七组的频率，并估计该校800名男生身高的平均数（同组中的数据都用该组区间的中点值代替）；
(2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名，求抽取的两名男生在同一组的概率.
18．已知中，角，，所对的边分别为，，，.
(1)求；
(2)若，，求的面积；
(3)若平分交于点，，，求.
19．在三棱柱中，，，，，分别为的中点.
(1)证明：平面∥平面；
(2)证明：平面⊥平面；
(3)若为线段上的动点，求二面角的平面角的余弦值的取值范围．
陕西省安康市汉滨区七校2024-2025学年高一下学期期末联考数学试卷参考答案
1．B
【详解】女生被抽取的人数为.
故选：B
2．C
【详解】，则的虚部为.
故选：C
3．B
【详解】对于A选项：若，，则与可能平行、相交或异面．像墙角三条线，所以不能得出平行，A错．
对于B选项：，则内有直线与平行，又，所以，在内，能推出，B对．
对于C选项：且时，与位置不确定，可在内等，不能得出，C错．
对于D选项：，交线为，，则可以在内，可以与平行，或与相交但不垂直，位置不定，D错．
故选：B．
4．A
【详解】向量在向量上的投影向量为.
故选：A.
5．B
【详解】由轴，得是圆锥轴截面边上的高，由，
得，则圆锥的母线，
所以圆锥的侧面积为.
故选：B
6．A
【详解】如图所示，设，
因为从两点测得建筑物顶端的仰角分别为，
可得，且，
因为，且，
在中，由正弦定理得，可得，
所以，解得m.
故选：A.

7．C
【详解】如图所示，连接，则，连接，因为，
所以．易知四边形为平行四边形，则，且，
所以或其补角为异面直线与所成的角，
同理知，又，所以为等边三角形，所以，
故选：C．

8．A
【详解】上半部分电路畅通的概率为：，
下半部分电路畅通的概率为，上下两部分并联，
畅通的概率为：.
故选:A．
9．BC
【详解】某项比赛共有10个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，
对于A选项，若每个数据都不相同，则极差一定变化，故A选项错误；
对于B选项，由，所以将10个数据从小到大排列，45百分位数为第5个数据，
从10个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到8个有效评分，，
所以45百分位数为8个数据从小到大排列后第4个数据，即为原来的第5个数据，数据没变，故B选项正确；
对于C选项，由，所以将10个数据从小到大排列，中位数为第5个和第6个数据的平均数，
从10个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到8个有效评分，，
中位数为第4个和第5个数据的平均数，即为原来的第5个和第6个数据的平均数，数据没变，故C选项正确；
对于D选项，去掉一个最高分一个最低分，众数可能变化，故D选项错误．
故选：BC.
10．ABD
【详解】对于A，，A正确：
对于B，，其共复数为，B正确；
对于C，取，则，，C错误；
对于D，设，，，，，，则，
，D正确.
故选：ABD.
11．ACD
【详解】对于A选项，因为四边形为菱形，则，
因为，，，故为等边三角形，
所以，，则，故，同理可得，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，故，A对；
对于B选项，易知为等边三角形，，
因为点在上，且，则，
故，B错；
对于C选项，连接交于点，连接，取线段的中点，连接、，
因为四边形为菱形，，则为的中点，
因为点在上，且，为的中点，则，
所以为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为为的中点，为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，、平面，所以平面平面，
因为平面，故平面，C对；
对于D选项，如下图所示：
由A选项可知，平面，所以直线与平面所成角为，
因为平面，所以，则，
因为是边长为的等边三角形，故，
因为平面，平面，所以，
又因为，故为等腰直角三角形，则，
当时，取最小值，且最小值为，
此时，取最大值，且最大值为，D对.
故选：ACD.
12．0.426
【详解】因为是相互独立事件，所以，
所以．
故答案为：0.426
13．
【详解】令，，，
由余弦定理可得.
故答案为：.
14．/
【详解】在中，，则，，
由正弦定理得外接圆半径，设球半径为，
于是，解得，所以球的表面积是.
故答案为：
15．(1)
(2)
【详解】（1）向量，，，且，，
可得且，解得，，
即，，则，
则；
（2）因为，，
所以，，
设向量与夹角为，
则，
即向量与夹角的余弦值为．
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接，交于点，则为中点，连接，如图所示，

在中，因为分别为的中点，所以，
又因为面，且面，所以平面；
（2）解：在正三棱柱中，因为，且，
可得正三棱柱的体积为,
又由三棱锥的体积为，
所以剩余部分的体积为.
17．(1)0.06，174.1
(2)
【详解】（1）第六组的频率为，
所以第七组的频率为；
由直方图得，身高在第一组的频率为，
身高在第二组的频率为，
身高在第三组的频率为，
身高在第四组的频率为，
身高在第五组的频率为，
身高在第八组的频率为，
估计该校的800名男生的身高的平均数为；
（2）第六组有4人，记为a，b，c，d，
第八组的人数为，记这2人分别为A，B，
因此样本空间可记为，共包含15个样本点，
记事件E：随机抽取的两名男生在同一组，
则，包含7个样本点，
所以，所以抽取的两名男生在同一组的概率为.
18．(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）由正弦边角关系有，且，
所以，又，则；
（2）由余弦定理有，则，
所以，又，则，
所以的面积；
（3）由为角平分线且，则，故，
由，
所以，
所以，则.
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）三棱柱中，四边形为平行四边形，分别为的中点，所以，且，
又因为，且，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又由于面，面，所以面，
在中，，且，同理，且，
所以，又由于面，面，所以面，
又面，，平面，
所以平面∥平面；
（2）连接 ， ，
因为 ，所以 ，又因为 ，且，所以 ，
因为 ， 平面 ，且 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，
所以 ，在 中， ， ，
，
由余弦定理求得 ，
则 ， ，
因为，所以 ，解得 ，
在，， ，可知，又，
在中，，因此 ．
由（1）知， ，且 ， 平面 ，且 ，
所以 平面，
因为 平面 ，因此平面 平面 ．
（3）设，，，
所以到平面的距离为，
在平行四边形中，计算得，
在中可得，
在平行四边形中，计算得，
在中可得，
在中，，
所以到的距离为，
设二面角的平面角为，.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
B
A
B
A
C
A
BC
ABD
题号
11









答案
ACD