2026年新高考数学专题复习学案 29. 三角恒等变换备考中务必熟练的十大类型

这是一份2026年新高考数学专题复习学案 29. 三角恒等变换备考中务必熟练的十大类型，共14页。试卷主要包含了同角三角函数的基本关系，同角三角函数的三大应用，已知正切求齐次式的值等内容，欢迎下载使用。
1.同角三角函数的基本关系
（1）平方关系:.
（2）商数关系:.
（3）
（4）
2.同角三角函数的三大应用
2.1正弦，余弦，正切知二求一，与切弦互化
2.2已知正切求齐次式的值
2.3
应用1.正弦，余弦，正切知二求一，与切弦互化
例1．若，且为第三象限角，则（ ）
A．B．C．D．
解析：∵，且为第三象限角，∴，∴．故选:D．
应用2.
例2．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
解析：，，，，
.故选：D.
应用3.已知正切求齐次式的值
例3．已知方程，则（ ）
A．B．C．D．
解析：因为方程，
所以，
即，则或（舍去），
所以，所以，
，故选：B
小结：已知，我们可计算如下齐次式：（约定分母不为0）
（1）
（2）
（3）
二．万能公式：（齐次式切弦互化）
作为齐次切弦互换的一个应用典例，推导出的万能公式及应用也是非常常见常考的问题.
，，
例4．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．或
解析：由，所以，则，由，则.故选：A
例5．已知第二象限角满足，则（ ）
A．B．C．D．
解析：∵，∴，解得或（舍去），所以.故选：D
例6．已知为锐角，且，，则（ ）
A．B．C．D．
分析：显然，解出参数的值是关键，这自然想到了万能公式.
解析：∵，解得，
∴，∵，∴，∴，
∴，故选：B．
三．诱导公式
诱导公式记不住，就利用两角和差公式现场推导即可，例如
例7．已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
解析：（1）由可得，
即；
（2）.
四.两角和与差与二倍角公式
1.两角和差公式
（1）;
（2）;
（3）;
（4）;
（5）.
（6）.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）;
（2）;
（3）.
3.常见角的拆分与组合:
例8．（ ）
A．B．C．D．
解析：
．故选：B．
下面讨论常见的三类应用
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
例9．（给值求值）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
解析：，
因为，所以，则在第二或第三象限，
因为，当在第三象限时，由于，
又在上递增，且，所以当在第三象限时，，与矛盾，所以在第二象限，因为，所以．
因为，所以，则．因为，所以．所以，
即．故选：A．
例10．（给值求角）若，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
解析：，符号相同，又，，，由可得，又，，，所以，，
，由，，得，，故选：A．
例11．（给值求角）已知，且，，则的值___________
解析：，
，
，，，.故答案为：.
例12．已知，，，则___________
解析：因为，所以，若，则，
所以，因为，所以，若，则，所有，故
.故答案为：.
注：在给值求角过程中，一定要注意“缩角”，即已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数，若角的范围是，则选正、余弦函数皆可；若角的范围是，则选余弦函数较好；若角的范围为，则选正弦函数较好．
五．辅助角公式
辅助角公式:形如的式子可做如下变换:
--------(1)
令
(1)式=,其中.
例13．已知函数.
（1）当时，求的取值范围；
（2）若锐角，满足，，求.
【详解】（1）,
因为，则，所以，所以.
（2）由第（1）问知，所以，
因为，所以，因为，为锐角，所以，因为，所以，所以
.
例14．已知函数在处取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．
【详解】因为，其中，当时，取得最大值，
即，所以，所以故选：A
六．和差化积与积化和差公式
和差化积与积化和差
，
例14．已知，，则_________
【详解】因为，所以.①因为，所以.②
因为，，所以由得，即.
故答案为：.
例15.（2022新高考2卷）
已知函数的定义域为，且，则
解析：由余弦函数积化和差公式可得，考虑函数，则满足题意.
于是，周期为6，且，进一步，故选A.
七．二次函数型
（1）把形如或的三角函数最值问题看成与或有关的二次函数解析式，再将其解析式变形转化为或，最后根据已知变量的范围求最值.
（2）或.
对于,由二倍角公式,得
,令,则问题转化为关于的二次函数问题.
类似地,对于,用二倍角公式,使其转化为二次函数问题.
例16．函数的定义域为，值域为，则α的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
解析：由，令，得：，二次函数开口向下，对称轴为，因为，所以函数为递增函数，因为当时，，当时，，所以，即时，，使函数的值域为，所以由余弦函数图象与性质可知，，所以的取值范围是：．故选：A
八.和差与乘积结合型函数
如求三角函数的最值，可将看作，则原函数可变形为，该函数是我们熟悉的二次函数，可求它的最值.
例17．已知函数，则的最大值为（ ）．
A．B．C．D．
解析：，
令，
即，由，则.故选：A.
九．三倍角公式：
例18．函数的值域为____________．
解析：，设，，则，
，令，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，又，，，，所以值域为.
其他
例19..
【详解】
.
例20.（1）；
（2）.
【详解】（1）
.
（2）
.
习题演练
1．若，则（ ）
A．B．C．D．
【详解】将式子进行齐次化处理得：
．故选：C．
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】，，，，解得，，.故选：A.
3．已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【详解】因为，而，因此，
则，
所以.故选：B
4．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】，得，
即，解得或（舍去），又.故选：A.
5．若函数在上为增函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【详解】
，令，得，∴函数在，单调递增，由题知在上单调递增，∵，
∴，解得.故选：B.
6．已知.求的单调递增区间.
【详解】化简得
，
令，，解得，
所以单调递增区间为，.
7．当时，函数取得最小值，则 ．
【详解】由函数，其中，且为锐角，当时，函数取得最小值，所以，即，
所以，令，即，
故
.
8．当时，函数取得最大值，则 .
【详解】利用辅助角公式，其中当时，函数取得最大值，则，所以，所以又，所以故答案为：.
9．已知函数．
（1）求函数的单调增区间；
（2）函数在区间上的最大值和最小值．
【详解】（1），
则由，得，
所以函数的单调递增区间为
（2）因为，所以，所以，
所以，所以当，即时，取的最小值，
当，即时，取的最大值；
习题演练
1．（2024年新课标全国Ⅰ卷）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【详解】因为，所以，
而，所以，
故即，
从而，故，
故选：A.
2．（2024年新课标全国Ⅱ卷）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 .
【详解】法一：由题意得，
因为，，
则，，
又因为，
则，，则，
则，联立 ，解得.
法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则,
，，
则
故答案为：.
3．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．0B．C．D．
【详解】因为，即，即角的终边经过点，所以，，所以.
故选：D
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【详解】展开得，两边同平方有，即，解得，
故选：B.
5．已知非零向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【详解】因为，为非零向量，所以，即
因为，所以，则，即，
即，由于，所以两边同除，
可得：，解得：tanα=13或(舍去),
所以.故选：D
6．若，则（ ）
A．B．C．D．
【详解】由条件等式可知，，整理为，则，
又，，
所以，，
所以.
故选：D
7．若，则 ．
【详解】由可得：，即，解得：.
故答案为：