2026年新高考数学专题复习学案 59. 空间垂直的证明的常见模型

这是一份2026年新高考数学专题复习学案 59. 空间垂直的证明的常见模型，共7页。
平面四边形中的一些重要垂直关系
1.等腰梯形：如图1，我们可以证得，这是底边为等腰梯形的四棱锥中常出现的垂直情形.

图1 图2
2.内角为的菱形，如图2，，为中点，则.
3.内角为的平行四边形，如图3，，，则.

图3 图4
4.如图4，正方形中（边长为1:1的矩形），为中点，则.
5.如图5，边长为2:3的矩形，可以看做是4的推广，有.
图5
例1.(2022年全国甲卷)·第18题)
在四棱锥中，底面．
（1）证明：；
（2）求PD与平面所成的角的正弦值．
解析：考察图1
（1）证明：在四边形中，作于，于，因为
，所以四边形为等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因为平面，平面，所以，又，所以平面，又因平面，所以.
例2．(2021年高考浙江卷）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，
，M，N分别为的中点，．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
解析：考察图3
解析:（1）在中，，，，由余弦定理可得，
所以，．由题意且，平面，而平面，所以，又，所以．
例3．(2021年高考全国甲卷理科·第19题)已知直三棱柱中，侧面
为正方形，，E，F分别为和中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?
解析：考察图4.
因为，所以．
又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示，过E作的平行线分别与交于其中点，连接，因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点，
易证，则．
又因为，所以．
又因为，所以平面．
又因为平面，所以．
例4．如图，在三棱柱中，已知底面，，，，D为的中点，点F在棱上，且，E为线段上的动点.
（1）证明：；
（2）若直线与所成角的余弦值为，求二面角的余弦值.
解析：考察图5
解析：在三棱柱中，底面，所以三棱柱是直三棱柱，则，因为，所以，又因为， D为的中点，
所以,又，所以平面，则，
易知，则，因为，
三条，则，即，又，
所以平面，所以；
二．一些常见的空间垂直模型
模型1.“筝形翻折模型”
结论：如图，，设为中点，则，故面，则.
模型2. 面面垂直找交线，找到交线引垂线.
下面的例6-例8均考察上述模型1：“筝形翻折模型”
例6.(2022年全国乙卷数学)
如图，四面体中，，为的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）设，点在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
解析：（1）因为，E为的中点，所以；在和中，因为，所以，所以，又因为E为的中点，所以；又因为平面，，所以平面，因为平面，所以平面平面．
例7．(2021年新高考Ⅰ卷)如图，在三棱锥中，平面平面，，
为的中点．
（1）证明：；
（2）若是边长为1等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．
解析：（1）因为AB=AD,O为BD中点，所以AO⊥BD，因为平面ABD平面BCD,平面ABD⊥平面BCD，平面ABD，因此AO⊥平面BCD，因为平面BCD，所以AO⊥CD
（2）作EF⊥BD于F, 作FM⊥BC于M,连FM，因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD, AO⊥CD，所以EF⊥BD, EF⊥CD, ,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC，因为FM⊥BC，,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥MF则为二面角E-BC-D的平面角, ，因为,为正三角形,所以为直角三角形，因为,，从而EF=FM=，平面BCD,所以
例8．（2017新课标3卷）如图，四面体中，是正三角形，是直角三
角形，，．
（1）证明：平面⊥平面；
（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值．
解析：（1）由题设可得，，从而.又是直角三角形，所以.取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO.
又由于是正三角形，故.所以为二面角的平面角.在中，.又，所以，故.所以平面ACD⊥平面ABC.
下面的例9考察了面面垂直模型：面面垂直找交线，找到交线引垂线
例9.如图，边长为的正方形所在平面与半圆弧所在的平面垂直，是弧
上异于的点．
（1）证明：平面平面；
（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．
证明：由题设知，平面平面，交线为因为，平面，所以平面，故因为为上异于的点，且为直径，所以又，所以平面而平面，故平面平面