湖南省常德市汉寿县2024_2025学年高一数学下学期3月月考试题含解析

这是一份湖南省常德市汉寿县2024_2025学年高一数学下学期3月月考试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数除法运算化简复数，由虚部定义可得结果.
【详解】，的虚部为.
故选：A.
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式，得到，从而求出交集.
【详解】因为，，所以
故选： A.
3. 在中，点是边AC上靠近点A的三等分点，点是的中点．若，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题首先由平面向量的线性运算分解向量，进而结合平面向量基本定理得到和的取值，计算得到结果.
【详解】如图，由题意可得
，
因为，
所以由平面向量基本定理可得：，
所以.
故选：B.
4. 若为第四象限角，且，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由三角函数的诱导公式和同角的三角函数关系计算得出.
【详解】①，
因为，
又因为为第四象限角，由可知，
所以①，
故选：A
5. 我国南宋著名数学家秦九韶（约1202—1261）提出“三斜求积”求三角形面积的公式．以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上．余四约之，为实．一为从隅开方得积．如果把以上这段文字写成公式，就是：．在中，已知角A、B、C所对边长分别为，其中为方程的两根，，则的面积为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由根与系数关系及三角形面积公式求的面积即可.
【详解】由题意，则.
故选：C
6. 在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则的形状是（ ）
A. 等腰直角三角形B. 直角三角形
C. 腰与底不相等的等腰三角形D. 等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦定理化角为边，然后求出的关系可判断．
【详解】因为，由正弦定理得，所以，化简得，所以，，即，是等边三角形．
故选：D．
7. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】解出不等式，然后可得答案.
【详解】由可得，然后可得
因为由可以推出，反之不成立
所以“”是“”的充分不必要条件
故选：A
8. 已知函数，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先分析函数的单调性，再根据单调性解不等式即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴函数在上单调递减，
∵，
∴，
∴，或，
解得，或，
∴原不等式的解集是，
故选：A．
【点睛】本题主要考查分段函数的单调性解不等式，属于基础题．
二、多选题
9. 已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
C. 若与共线，则为或
D. 存在，使得
【答案】AB
【解析】
【分析】根据得到，即可得到，即可判断A选项；根据投影向量得到，即可得到，即可判断B选项；根据与共线和得到，解得，根据可得，即可得到的坐标，即可判断C选项；假设成立，可得到，与矛盾，即可判断D选项.
【详解】对于A，若，则有，即，A正确；
对于B，，，在上的投影向量为，所以，∵，∴，B正确；
对于C，若与共线，设，所以有，解得，
因为，，∴，所以，C不正确；
对于D，若成立，则与反向，所以，，，解得，即有，
则，与矛盾，故D不正确．
故选：AB.
10. 已知函数，则（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的最小值为-1
C. 是函数的图象的一条对称轴
D. 不是奇函数
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据正弦型三角函数的性质，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】易知，故A正确；
，则，
，故B错误；
当时，则，由正弦函数的对称轴为，故C正确；
对于D，不是奇函数，故D正确．
故选：ACD．
11. 下列函数为偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据偶函数的定义判断四个选项即可.
【详解】对于A选项，定义域为，关于原点对称，
，所以为偶函数，故A正确；
对于B选项，定义域为，关于原点对称，
，所以为奇函数，故B错误；
对于C选项，定义域为，关于原点对称，
，所以为非奇非偶函数，故C错误；
对于D选项，定义域为，关于原点对称，
，所以为偶函数，故D正确，
故选：AD.
三、填空题
12. 已知复数，那么_________．
【答案】
【解析】
【分析】由复数的运算法则计算可得结果.
【详解】∵，
∴，
故答案为：
13. 在中，角所对的边分别为，，角平分线交于点，，则的面积为_____.
【答案】
【解析】
【分析】由余弦定理解得AD，由正弦定理解得∠ABD，从而得∠ABC，根据三角形内角和得∠C，再正弦定理解得BC即可求得面积.
【详解】
中，由余弦定理可得，
即，解得AD=2，
再由正弦定理得，显然是锐角，
则，
∴，
又是锐角，所以，
故，
由正弦定理得，
所以，
故答案为：
14. 函数是定义在上的偶函数，并且当时，，那么__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，结合对数的运算，以及，即可求解.
【详解】由函数是定义在上的偶函数，且时，，
又由.
故答案为：.
四、解答题
15. 已知为单位向量.
（1）若，求的夹角；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由得，两边同时平方得到，从而求解的夹角即可；
（2）由得，求，先平方再开方即可求解.
【小问1详解】
由于，所以，
两边平方得，又为单位向量，
所以，设的夹角为，则，
所以，故的夹角为.
【小问2详解】
因为，所以，
由，故，
所以
故.
16. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，以a，b，c为边长的三个等边三角形的面积依次为，，．已知，．
（1）求角B：
（2）若的面积为，求c．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
分析】（1）由已知可得，结合余弦定理可得，结合已知可得，进而求得；
（2）由（1）可求得，进而由正弦定理可得，，从而由面积可求得.
【小问1详解】
因为，所以
由余弦定理，
可得，
因为，所以，
从而，
又因为，即，且，所以．
【小问2详解】
由（1）可得，，，
从而，，
而，
由正弦定理有，
从而，，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为
，
由已知的面积为，可得，
所以．
17. 为了丰富市民业余生活，推进美丽阜阳建设，市政府计划将一圆心角为，半径为米的扇形空地如图改造为市民休闲中心，休闲中心由活动场地和绿地两部分组成，其中活动场地是扇形的内接矩形，其余部分作为绿地，城建部门给出以下两种方案：
方案让矩形的一个端点位于上，其余端点位于，上．
方案让矩形的两个端点位于上，其余端点位于，上．
请你先选择一种方案，并根据此方案求出活动场地面积的最大值．

【答案】答案见解析
【解析】
【分析】方案，如图所示，设，将，都用表示，再根据矩形的面积公式结合三角恒等变换化简，再根据三角函数得性质即可得出结论
方案，如图所示，过点作的垂线分别交，于，，设，将，都用表示，从而可将矩形的面积表示成的函数，最后由三角函数的性质即可得解．
【详解】解：选择方案，
如图所示，矩形内接于扇形，
在直角中，设，则，
在直角中，可得，
所以，
设矩形的面积为，
则
由，可得，
当，即时，
平方米
所以，当时，活动场地面积取得最大值，最大值为平方米．

选择方案，
如图所示，矩形内接于扇形，
过点作的垂线分别交，于，
由对称性可知，平分，
在直角中，设，则，
在直角中，可得，
所以，
设矩形的面积为，
则
，
由，可得，
当，即时，平方米，
因此，当时，活动场地面积取得最大值为平方米．

18. 已知，函数是上的奇函数.
（1）求的值：
（2）判断的单调性并用定义证明：
（3）若关于的不等式对一切实数都成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）4 （2）单调递增，证明过程见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意得到，求出，验证后得到答案；
（2）定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，判号，下结论；
（3）求出，结合（2）中函数单调性得到不等式，求出的取值范围.
【小问1详解】
因为是上的奇函数，所以，
即，解得，经验证，满足要求；
【小问2详解】
在R上单调递增，证明如下：
任意，且，
则，
因为在R上单调递增，所以，
，即，
故在R上单调递增；
【小问3详解】
在R上单调递增，，
，
由于在R上单调递增，故，解得，
实数的取值范围是.
19. 对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在使得，则称具有性质．
（1）判断是否具有性质；
（2）若，且具有性质，求的值；
（3）若具有性质，求证：且当时，．
【答案】（1）具有性质
（2）4 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据集合新定义判断即可；
（2）在中取，根据数量积坐标表示，求出可能的，再根据求出符合条件的值即可；
（3）取，，由，化简可得，所以异号，而是中的唯一的负数，所以中之一为，另一个为1，从而得到，最后通过反证法得出时，.
【小问1详解】
具有性质.
因为，
所以，
若对任意，存在使得，
所以具有性质
小问2详解】
因为，且具有性质，
所以可取，
又中与垂直的元素必有形式中的一个，
当时，由，可得，不符合题意；
当时，由，可得，符合题意；
当时，由，可得，不符合题意；
所以.
小问3详解】
证明：取，设，满足，
所以，所以异号，
因为是中的唯一的负数，
所以中之一为，另一个为1，
所以，
假设，其中，则，
选取，并设，满足，
所以，则异号，从而之中恰有一个为，
若，则，显然矛盾；
若，则，矛盾，
所以当时，，
综上，得证.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于理解集合的新定义，并用向量的数量积为零时坐标表示出所求的参数值.