【数学】重庆市渝中区2024-2025学年九年级上学期期末考试试卷（解析版）

这是一份【数学】重庆市渝中区2024-2025学年九年级上学期期末考试试卷（解析版），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
参考公式：抛物线的顶点公式为，对称轴为．
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的．
1. 我国航天领域发展迅速，从“天宫一号”到“天和”核心舱的发射，正式迈入“空间站时代”．下列与中国航天相关的图标中可以看作是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A.不是中心对称图形，不符合题意；
B.不是中心对称图形，不符合题意；
C.是中心对称图形，符合题意；
D.不是中心对称图形，不符合题意；
故选C．
2. 已知的半径为，，则点P与的位置关系是（ ）
A. 点P在外B. 点P在上C. 点P在内D. 不能确定
【答案】A
【解析】∵的半径为，，且，
∴点在外，
故选：A．
3. 已知双曲线经过点，下列各点也在该双曲线上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】将点代入双曲线得：，
则．
A、当时，，则点不在该双曲线上，此项不符合题意；
B、当时，，则点在该双曲线上，此项符合题意；
C、当时，，则点不在该双曲线上，此项不符合题意；
D、当时，，则点不在该双曲线上，此项不符合题意；
故选：B．
4. 二次函数的图象如图所示，则c的值可能是（ ）
A. B. C. 0D. 3
【答案】D
【解析】∵抛物线交y轴的正半轴，
∴，
∵只有D符合题意，
故c的值可能是3，
故选：D．
5. 若是方程的根，则的值为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】A
【解析】若是方程的根，
∴，
解得，，
故选：A ．
6. 某林业局将一种树苗移植成活情况绘制成如图所示的统计图，由此可估计移植这种树苗，成活的概率约为（ ）
A. 1B. 0.95C. 0.9D. 0.85
【答案】C
【解析】这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.9．
故选：C．
7. 从，，1，2这四个数中，任选两个数的积作为k的值，使反比例函数的图象位于第二，四象限的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】要使反比例函数的图象位于第二，四象限，则，
由题意，画出树状图如下：
由图可知，从这四个数中，任选两个数共有12种等可能的结果，其中，选取的两个数的积为负数的结果共有8种，
则所求的概率为，
故选：D．
8. 如图，在平面直角坐标系中，绕旋转中心顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知，线段和的垂直平分线的交点即为旋转中心．
∵如图，线段的垂直平分线为直线，线段的垂直平分线是边长为3的正方形的一条对角线所在直线，其与轴的交点为，

∴旋转中心的坐标是，
故选：B．
9. 如图，是半圆O的直径，D是的中点，连接交于点E，E为的中点，若，则的长为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】如图，连接，
∵是的中点，是半径，
∴是的中位线，
∵为的中点，
在和中，
，
故选：C．
10. 已知是直线l上互不重合的三个点，，，，其中，，下列说法正确的个数是（ ）
①当时，点C在之间；
②当时，点A在之间；
③至少存在一个m的值，使点B在之间．
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】①当时，，，
当点C在之间时，恒成立，方程有实数解．
整理方程得，解得，，
∴当时，点C在之间，正确，符合题意；
②当点A在之间时，恒成立，即方程有实数解，
整理方程得，
，
当时，由解得（负值已舍去），
当时，，方程无解，即点A不之间；
当时，，方程有实数解，点A在之间，
综上，当时，点A不一定在之间，
故②说法错误，不符合题意；
③当点B在之间时， 恒成立，即方程有实数解，
整理方程得，
，
当时，由解得（负值已舍去），
当时，，方程无解，即不存在一个m值，使得点B在之间；
当时，，方程有解，而方程的两个之和为，即原方程不存在两个正根，不满足，即不存在一个m值，使得点B在之间，
所以不存在一个m的值，使点B在之间，故③说法错误，不符合题意，
综上，说法正确的只有①，
故选：B．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）．
11. 反比例函数，当，y随x的增大而________
【答案】减小
【解析】∵，
∴当，y随x的增大而减小，
故答案为：减小．
12. 化学课上，小明为了验证氧气的助燃性，将一根带火星的木条伸入充满氧气的集气瓶中，该木条复燃是________．（填“必然事件”、“不可能事件”或“随机事件”）
【答案】必然事件
【解析】由题可知，将一根带火星的木条伸入充满氧气的集气瓶中，该木条复燃是必然事件．
故答案为：必然事件．
13. 如图，将绕点A按逆时针方向旋转后得到，若，则________．
【答案】
【解析】绕点A按逆时针方向旋转后得到，
，
故答案为：．
14. 如图是一枚汉朝时期的五铢钱，其“外圆内方”的造型表达了“天圆地方”的人文观念、已知方孔的边长是，面积是整个圆面积的，若设五铢钱的半径是，则可列方程为________．
【答案】
【解析】由题意，可列方程为，
故答案为：．
15. 如图，正方形的边长为2，分别以A，C为圆心，，为半径画弧，分别交于点E，点F，则阴影部分的面积为________．
【答案】
【解析】由题知，
∵四边形为正方形，且边长为2，
∴，
∴．
故答案为：．
16. 酶是一种生物催化剂，其催化能力称为活性，活性越高，催化反应越快，研究发现酶的活性与温度有密切关系．已知某种酶在一定温度范围内，其活性y（单位：U）与温度x（单位：）的关系可以近似用函数表示，要使其催化反应最快，则温度应保持在________．
【答案】30
【解析】∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，值最大，即当温度保持在时，酶的活性最高，催化反应最快；
故答案为：30．
17. 如图是函数的图象，则其图象与y轴的交点坐标为________．若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是________．

【答案】①. ②. 或
【解析】∵，
∴当时，，
∴图象与y轴的交点坐标为，
∵，
∴，
∵方程有2个实数根，
∴函数的图象与直线有2个交点，
由图象可知：当，即时，方程有2个实数根；当过函数图象的最低点时，方程也有2个实数根，
∵，
∴当时，，
∴的顶点坐标为，
∴当，即时，方程也有两个实数根，
综上：或．
故答案为：，或．

18. 如图，矩形中，，，以为圆心，为半径画弧交于点，为上一动点，连接，．，分别为，的中点，连接，为的中点，连接．当与相切时，________；在点运动过程中，的最小值为________．
【答案】①. ②.
【解析】连接，
∵矩形中，，，以为圆心，为半径画弧交于点，为上一动点，
∴，
当与相切时，
即，，
∴在中，；
如图：以点B为平面直角坐标系的原点，分别以所在的直线为轴，轴，
∵矩形中，，，
∴，
∵以为圆心，为半径画弧交于点，为上一动点，
∴设，
则
∵，分别为，的中点，
∴
∵为的中点，
∴
即，
则
∵在点运动过程中，要得出的最小值，
即有最小值，
∴，
令
∴，
即，
有且仅当时，则，
即，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）．
19. 解方程：
（1）；
（2）．
（1）解：，
移项得：，
因式分解得：，
∴，，
解得：或．
（2）解：，
，，，
∴，
∴，
解得：，．
20. 央视《诗画中国》节目充分展现了中华历史之美、山河之美、文化之美．年6月，央视连续播出了第三、四、五、六期节目．某班每位同学在以上四期节目中任选一期观看．
（1）小亮选择第六期节目的概率是________；
（2）请用列表法或画树状图法，求小颖和小敏观看同一期节目的概率．
（1）解∶由题意知，共有4种等可能的结果，其中小亮选择第六期节目的结果有1种，
小亮选择第六期节目的概率是．
故答案为∶ ．
（2）解：列表如下
共有16种等可能的结果，其中小颖和小敏观看同一期节目的结果有4种，
∴小颖和小敏观看同一期节目的概率为．
21. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器体积V（单位：）变化时，气体密度ρ（单位：）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，其图象如图所示．
（1）求密度ρ关于体积V的函数解析式；
（2）当时，求二氧化碳的密度ρ；
（3）当时，求V的取值范围．
解：（1）设，把代入得：；
∴；
（2）∵，
当时，，
∴二氧化碳的密度；
（3）当时，；
当时，；
∴当，
∴．
22. 国庆期间，某博物馆展出的珍贵文物吸引了众多游客．通过这些文物，人们仿佛穿越时空，与历史对话，这不仅丰富了精神生活，也促进了文化的传承与发展．据统计，博物馆10月1日接待的人数比9月30日的2倍多万人，这两天共接待万人．
（1）求博物馆10月1日接待游客的人数；
（2）10月2日、3日游客继续增加，据统计10月3日接待游客2.88万人，预计10月4日游客数量将达到高峰．为使游客有较好的体验效果，规定人数达到3.5万人时，将会采取临时限流措施．按10月2日、3日的日平均增长率计算，10月4日是否需要临时限流？
（1）解：设9月30日接待游客的人数为万人，则10月1日接待游客人数为万人，根据题意得：
，
解得：，
∴，
答：博物馆10月1日接待游客的人数为万人；
（2）解：设10月2日、3日的日平均增长率为，根据题意得：
，
解得：，（不合题意，舍去），
∴，
答：10月4日不需要临时限流．
23. 如图，和是的内接三角形，是直径．
（1）若，求的度数；
（2）过点C作直线，若，求证：是的切线．
（1）解：∵是直径，∴，
∵，∴；
（2）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
24. 如图，为正方形中边上一点，，．动点P，Q同时从点B出发，以相同的速度分别沿，向点A，点C移动，连接，，．设点P运动的路程为x，的面积为，的面积为．
（1）分别写出，关于x的函数解析式及x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出，的函数图象，并分别写出，的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出时，x的取值范围．
（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，，
∴，
；
（2）解：画
列表：
描点，连线得，如图：
画
列表：
描点，连线得，如图；
性质：当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小；
（3）解：由函数图象知，当时，x的取值范围为．
25. 如图，一次函数与二次函数交于点和点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点为直线下方抛物线上一动点，轴交于点，，垂足为，求的最大值，及此时点的坐标；
（3）将二次函数图象向某个方向平移，平移后（2）中求得的点的对应点为，且新抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），交轴于点．为新抛物线位于第四象限上的一动点，过作轴，垂足为，连接，．若，直接写出新抛物线的解析式和点的坐标．
（1）解：把点代入一次函数得，，∴，
把点，代入二次函数解析式得，，解得，，
∴二次函数解析式为；
（2）解：如图所示，设直线分别与轴交于点，
当时，，当时，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵点为直线下方抛物线上一动点，
∴设，则，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴，
∴；
（3）解：∵点经过平移得到，
∴图象向左平移2个单位，向下平移2个单位，
∴二次函数平移后二次函数解析式为，
当时，，则，
当时，，
解得，，
∴，
如图所示，设与轴交于点，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∴，
解得，，（另一组解不合题意，舍去）
∵点在第四象限，
∴．
26. 已知，中，，，于点D，点E为直线上一动点，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，点G在直线上，（点G与点C不重合）．
（1）如图1，点F在边上，连接．若，求的长；
（2）如图2，点E在线段上，连接，，求证：；
（3）连接，当是以为底边的等腰三角形时，直接写出的值．
（1）解：，，，
，，
线段绕点E顺时针旋转得到线段，
，，
等边三角形，
，
，
在中，，
∴．
（2）证明：延长至点使得，连接、，
由（1）得，，，，
，
，，
是的中位线，
，，
，，
，
，，
，
，，
，
又，
，
，
又，
，
即．
（3）解：设，
在中，，
，
，
是以为底边的等腰三角形，
；
①若点在直线上方，作交于点，如图：
由（1）得，是等边三角形，
，
，，
设，则，
，，
在中，，
，
解得：，（舍去负值），
，
，
；
②若点在直线下方，作交于点，如图：

由（1）得，是等边三角形，
，
，，
设，则，
，，
在中，，
，
解得：，（舍去负值），
，
，
；
综上所述，值为或．
x
⋯
0
2
4
6
8
⋯
y
⋯
0
6
8
6
0
⋯
x
⋯
0
8
⋯
y
⋯
12
0
⋯