【数学】内蒙古自治区通辽市科尔沁区2024-2025学年九年级下学期期末质量监测试题（解析版）

这是一份【数学】内蒙古自治区通辽市科尔沁区2024-2025学年九年级下学期期末质量监测试题（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项符合题意
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符题意
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符题意
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项不符题意
故选：A．
2. 若关于x的方程有一个根为则另一个根为
A. B. 2C. 4D.
【答案】D
【解析】∵方程x2+mx﹣6=0有一个根为2．
将x=2代入方程得,m=1,
∴原方程为x2+x﹣6=0
解得：x1=-3，x2=2
∴方程另一个根是-3,
故选D,
3. 已知二次函数，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】抛物线的对称轴为直线，∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，∴，解得：．故选D．
4. 如图所示，⊙O的直径为20，弦AB的长度是16，ON⊥AB，垂足为N，则ON的长度为（ ）

A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】B
【解析】由题意可得，
OA=10，∠ONA=90°，AB=16，
∴AN=8，
∴ON=＝6，
故选B．
5. 二次函数的最大值为（ ）
A. 3B. 4
C. 5D. 6
【答案】C
【解析】y=﹣（x﹣1）2+5，
∵a=﹣1＜0，
∴当x=1时，y有最大值，最大值为5．故选C．
6. 如图，⊙A，⊙B，⊙C的半径都是2cm，则图中三个扇形(即阴影部分)面积之和是( )
A. 2πB. πC. D. 6π
【答案】A
【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴阴影部分的面积==2π．
故选A．
7. 已知点在反比例函数的图象上，其中，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
在各自象限内，y随x的增加而增加
点在第四象限，点和点在第二象限，且，则，
，故选：B．
8. 设，是方程+5x﹣3=0的两个根，则的值是（ ）
A. 19B. 25C. 31D. 30
【答案】C
【解析】根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求得x1与x2的和与积，所求的代数式可以用两根的和与积表示出来，即可求解．∵，是方程x2+5x﹣3=0的两个根，∴+=﹣5，·=﹣3，
∴==25+6=31．
9. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据二次函数及一次函数的图象及性质可得，
当a＜0时，
二次函数图象开口向上，顶点在y轴负半轴，
一次函数经过一、二、四象限；
当a＞0时，
二次函数图象开口向上，顶点在y轴正半轴，
一次函数经过一、二、三象限．
符合条件只有选项C，
故选：C．
10. 对称轴为直线抛物线（a，b，c为常数且）如图所示，以下结论：①，②，③，④，⑤当时，随的增大而减小，其中结论正确的个数为（ ）

A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴，，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
，故①正确；
由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不同交点，
，
，故②错误；
对称轴为直线，
∴当和时的函数值相等，且都小于0，
，故③错误；
④当时，，
∴， 故④正确；
⑤由图象可知，当时，y随x的增大而减小，故⑤正确，
正确的有①④⑤，共3个；
故选B．
二、填空题（共6个小题，每题3分，共18分）
11. 关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是_______．
【答案】k＜2且k≠1
【解析】∵关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，
∴k－1≠0且∆=（－2）2－4（k－1）＞0，
解得：k＜2且k≠1．
故答案为：k＜2且k≠1．
12. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
若两点都在该函数的图象上，当m满足范围_____时，．
【答案】
【解析】由表中数据可知，抛物线过点（0，5）和（4，5），且当时，随的增大而增大，
∴抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口向上，
∵，
∴点A比点B离对称轴更近，
又∵，
∴点A在对称轴的右侧，点B在对称轴的左侧，
∴，
∴．
即当时，．，
故答案为：．
13. 在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中白球可能有____个．
【答案】12
【解析】设白球个数为：个，
∵摸到红色球的频率稳定在左右，
∴口袋中得到红色球的概率为，
∴，
解得：，
经检验是方程的解，
故白球的个数为12个．
故答案为：12．
14. 如图，已知△ABC和△AED均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AB相交于点F，如果AC=12，CD=4，那么BF的长度为__．
【答案】
【解析】△ABC和△AED均为等边三角形，∴ , ,, ∴
∴~∆ACD,又 ,∴,∴,∴,∴,∴ 即，所以BF= 故答案为
15. 如图，点A是反比例函数y=的图象上﹣点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，线段AB交反比例函数y=的图象于点C，则△OAC的面积为___．
【答案】2
【解析】∵AB⊥x轴，
∴S△AOB=×|6|=3，S△COB=×|2|=1，
∴S△AOC=S△AOB﹣S△COB=2．
故答案为2．
16. 如图，在△ABC中，∠ACB 90，AC3，CB5，点D是CB边上的一个动点，将线段AD绕着点D 顺时针旋转90，得到线段DE，连结BE，则线段BE的最小值等于__________．
【答案】
【解析】过E作EF⊥BC于F，
∵∠C=∠ADE=90°，
∴∠EFD=∠C=90°，∠FED+∠EDF=90°，∠EDF+∠ADC=90°，
∴∠DEF=∠ADC，
在△EDF和△DAC中，，
∴△EDF≌△DAC（AAS），
∴DF=AC=3，EF=CD，
设CD=x，则BE2=x2+（2-x）2=2（x-1）2+2，
∴BE2的最小值是2，
∴BE的最小值是.
故答案为：．
三、解答题（共7个小题，共52分）
17. 计算下列各题：
（1）；
（2）．
解：（1）由得，，
所以，∴原方程解为；
（2）由得，，即，
所以，∴原方程的解为．
18. 如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，每个小正方形的边长为1．
（1）在图1中画出△AOB关于x轴对称的△A1OB1，并写出点A1，B1的坐标；
（2）在图2中画出将△AOB绕点O顺时针旋转90°的△A2OB2，并求出线段OB扫过的面积．
解：（1）如图所示：
A1（﹣1，﹣2），B1（2，﹣1）；
（2）将△AOB绕点O顺时针旋转90°的△A2OB2如图所示：

线段OB扫过的面积为：
19. 某中学举行了中华传统文化节活动．本次文化节共有五个活动：A-书法比赛、B-国画竞技、C-诗歌朗诵、D-汉字大赛、E-古典乐器演奏．活动结束后，某班数学兴趣小组开展了“我最喜爱的活动”的抽样调查（每人只选一项），根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次随机抽取的初三学生共______人，______，并补全条形统计图；
（2）初三年级准备在五名优秀的书法比赛选手中任意选择两人参加学校的最终决赛，这五名选手中有三名男生和两名女生，用树状图或列表法求选出的两名选手正好是一男一女的概率是多少．
（1）解：根据扇形统计图可知，选A的学生所占百分比为：，
则抽取的学生总数为：（人），
选择E的学生所占百分比为：，即，
选择B的学生人数为：（人），
条形图如下：
故答案为100，10；
（2）解：树状图如下：
∵有20种可能等结果，其中符合条件的有12种，
∴选出的两名选手正好是一男一女的概率是：．
20. 如图，某一时刻，电线杆在阳光下的影子是，同一时刻，身高的小超来回调整自己的位置，使得自己影子的顶端与电线杆影子的顶端刚好重合，此时，此时测得小超的影长是，小超离电线杆底部的距离是，求电线杆的高度．

解：由题意可得：，，，
，
，
，
，即，
，
电线杆的高度为．
21. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2，求：
（1）一次函数的解析式；
（2）的面积；
（3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围．
（1）解：令反比例函数中，则，
点的坐标为；
反比例函数中，则，解得：，
点的坐标为．
一次函数过、两点，
，解得：，
一次函数的解析式为；
（2）解：设直线与轴交于，如图所示．
令为中，则，
点的坐标为，
．
（3）解：观察函数图象发现：
当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时的取值范围为或．
22. 如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．
（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积．（结果保留π和根号）
解：（1）∵∠B=60°，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠1=∠2=60°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OA∥BD，
∴∠BDM=90°，
∴∠OAM=90°，
∴AM是⊙O的切线；
（2）∵∠3=60°，OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC=60°，
∵∠OAM=90°，
∴∠CAD=30°，
∵CD=2，
∴AC=2CD=4，
∴AD=，
∴S阴影=S梯形OADC﹣S扇形OAC
=（4+2）×﹣
=．
23. 如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，OB=OA，且∠AOB=120°．
(1)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
(2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△OBC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点M为抛物线上一点，点N为对称轴上一点，是否存在点M、N使得A、O、M、N构成四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D,
∵点A的坐标为（-2，0），OB=OA，
∴OB=OA=2，
∵∠AOB=120°，
∴∠BOD=60°，
在Rt△OBD中,∠ODB=90°，
∴∠OBD=30°，
∴OD=1,DB=，
∴点B的坐标是(1, )，
设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
由已知可得：
，
解得：
∴所求抛物线解析式为；
(2)存在.
如图所示，
∵△BOC的周长=OB+BC+CO，
又∵OB=2，
∴要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小，
∵点O和点A关于对称轴对称，
∴连接AB与对称轴的交点即为点C，
由对称可知，OC=OA，
此时△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+AC；
点C为直线AB与抛物线对称轴的交点，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
将点A(−2,0),B(1,)分别代入，得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为y=x+，
当x=−1时,y=，
∴所求点C的坐标为(−1,)；
(3)如图所示，
①当以OA为对角线时，
∵OA与MN互相垂直且平分，
∴点M1(−1,−)，
②当以OA为边时，
∵OA=MN且OA∥MN，
即MN=2,MN∥x轴，
设N(−1,t)，
则M(−3,t)或(1,t)
将M点坐标代入，
解得，t=，
∴M2(−3,)，M3 (1,)
综上：点M的坐标为：（－1，－），或（－3，）或（1，）．
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
10
5
2
1
2
5
…