浙江省丽水市2024_2025学年高二数学上学期1月期末教学质量监控试题含解析

这是一份浙江省丽水市2024_2025学年高二数学上学期1月期末教学质量监控试题含解析，共21页。
注意事项：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答
题卷规定的位置上.
2．答题时，请按照答题卷上“注意事项”的要求，在答题卷相应的位置上规范作答，在本试题
卷上的作答一律无效.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，求得直线的斜率，得出 ，结合倾斜角的定义，即可求解.
【详解】由直线 ，可得直线的斜率为 ，
设直线 倾斜角为 ，可得 ，
因为 ，所以 .
故选：A.
2. 预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是 ，其中 为预测期
人口数， 为初期人口数，k 为预测期内人口年增长率，n 为预测期间隔年数，如果在某一时期
，那么在这期间人口数（ ）
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A. 呈上升趋势 B. 呈下降趋势 C. 摆动变化 D. 不变
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，可知 为预测期内年增长率，当 ，可知年增长率为负，由此即可求出结果.
【详解】由题意， 为预测期内年增长率，如果在某一时期有 ，即年增长率为负，故这期间人口
数呈下降趋势.
故选:B.
3. 已知 ，若 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求导，根据 求解.
【详解】解： ，
所以 ，
即 ，
故选：C.
4. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标
系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点 是阴影部分（包部边界）的动点．则 的最小
值为（ ）
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A. -1 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】 表示点 与点 连线的斜率，求出过 点且与以 为圆心的半圆相切的切线
斜率即可得．
【详解】 表示点 与点 连线的斜率，
由图可知过 点且与以 为圆心 半圆相切的一条切线的斜率最小，设切线方程为 ，即
，
由 ，解得 或 ，
所以 的最小值是 ．
故选：B．
5. 是从点 P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为 ，那么直线 与平面 所成角
的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作图，找到直线 在平面 上的投影在构建多个直角三角形，找出边与角之间的关系，继而
得到线面角；也可将 三条射线截取出来放在正方体中进行分析.
【详解】解法一：
如图，设直线 在平面 的射影为 ，
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作 于点 G， 于点 H，连接 ，
易得 ，又 平面 ，则 平面 ，又 平面 ，
则 ，
有
故 ．
已知 ，
故 为所求．
解法二：
如图所示，把 放在正方体中， 的夹角均为 ．
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为 1，
则 ，
所以 ，
设平面 的法向量 ，则
令 ，则 ，所以 ，
所以 ．
设直线 与平面 所成角为 ，所以 ，
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所以 ．
故选 B．
6. 已知函数 的图象如图所示，不等式 的解集是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数图象的单调性确定导函数 的符号，结合 的符号即可判断.
【详解】由图可得：当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 .
则不等式 的解集是 .
故选：B.
7. 记抛物线 的焦点为 为抛物线上一点， ，直线 与抛物线另一交
点为 ，则 （ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】先求出抛物线方程及直线方程，联立，求出交点进而可得答案.
【详解】 ，由拋物线定义可知 到准线距离为 ，即 ，解得 ，
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即抛物线方程为 ，不妨取 ，又 ，
所以 ，
联立 ，消去 整理得 ，
解得 ，即 ，
则 .
故选：C
8. 已知双曲线 的右焦点为 ，过 的直线 （ 为常数）与
在第一象限交于点 .若 （ 为原点），则 的离心率是（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】先利用直线过右焦点，简化直线方程，设点 ，分别根据点 在双曲线上和
建立方程组 ，通过①化简得出 ，代入②，化成 的齐
次式，解方程即得离心率.
【详解】
如图，由直线 过右焦点 ，可得 ，即直线方程为 ，
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不妨设点 ，依题意，
由①化简得： ，解得 或 ，
因当 时，点 ，显然不合题意，舍去；把 代入②，可得： ，
化简得： ，用 代入计算可得： ，
即 ，解得 或 （舍去），故 的离心率是 5.
故选：D.
【点睛】方法点睛：本题主要考查双曲线的离心率问题，属于难题.
求圆锥曲线的离心率一般有以下两种方法：
（1）直接法：通过求出 的值，直接求得；
（2）齐次方程法：利用条件构造关于 的齐次方程，解方程可得.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知圆 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. 当 时，圆 与圆 相离
B. 当 时， 是圆 与圆 的一条公切线
C. 当 时，圆 与圆 相交
D. 当 时，圆 与圆 的公共弦所在直线方程是
【答案】ABD
【解析】
【分析】通过计算两圆的圆心距，再与两圆半径之和、半径之差比较来判断位置关系；对于公切线，需要
判断两圆圆心到直线的距离是否等于半径；对于公共弦，可通过两圆方程相减得到.
【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径 ；圆 的圆心坐标为 ，半径为 .
则两圆的圆心距 .
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对于 A，当 时， . ，知圆 与圆 相离，A 正确；
对于 B，当 时， ，由 可得两圆相离.
因圆心 到 的距离为 ；圆心 到 的距离为 ，
故 是圆 与圆 的一条公切线，B 正确；
对于 C，当 时， ，因为 ，两圆相离，C 错误；
对于 D，当 时，将两圆方程相减得： ，
整理得 ，即圆 与圆 的公共弦所在直线方程是 ，D 正确.
故选：ABD.
10. 已知等比数列 的公比为 q，前 n 项和 ，设 ，记 的前 n 项和为 ，则
下列判断正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】BD
【解析】
【分析】先求得 的取值范围，根据 的取值范围进行分类讨论，利用差比较法比较出 和 的大小关系.
【详解】由于 是等比数列， ，所以 ，
当 时， ，符合题意；
当 时， ，即 ，上式等价于 ①或 ②.解②得
.解①，由于 可能是奇数，也可能是偶数，所以 .
综上所述， 的取值范围是 .
，所以 ，所以
，而 ，且 .
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所以，当 ，或 时， ，即 ，故 BD 选项正确，C 选项错误.
当 时， ，即 .
当 或 时， ，A 选项错误.
综上所述，正确的选项为 BD.
故选：BD
【点睛】本小题主要考查等比数列的前 项和公式，考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数学思想
方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
11. 已知正方体 的棱长为 ，点 为 中点，动点 在正方形 内（包括边界），
则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 的长度是
B. 若 平面 ，则 的最小值是
C. 若 ，则点 的轨迹长度是
D. 若 平面 ，则点 的位置唯一
【答案】BCD
【解析】
【分析】连接 ，取其中点 ，由中位线定理得 ，可判断 A；建立空间直角坐标系并得出各点
坐标，设 ，其中 ，利用坐标法分别判断选项 BCD.
【详解】选项 A：连接 ，取其中点 ，在 中， 为中位线，所以 ，
由于 ，所以 ，A 错误；
选项 B：
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如图，以 D 为原点分别以 DA、DC、 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， ，
， ，
由于动点 F 在正方形 内，可设 ，其中 ， ，
， ，
设平面 的一个法向量为 ．则 ，
令 ，得 ， ，故 ，
而 ，若 平面 ，则 ，
则 ，即 ，所以 ，
此时 ，则 ，
当 时， 取最小值 ，故选项 B 正确；
选项 C： ，
因为 ，所以 ，
得 ，则点 的轨迹如图线段 ，其中 都为中点，
则 ，C 正确；
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选项 D：若 平面 ，则 ， ．
由于 ， ， ，
则 ，解得： 或 （舍去），
此时 ，即点 F 的位置唯一，故选项 D 正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 若 ， ，且 ，则实数 的值是________
【答案】
【解析】
【分析】根据空间向量垂直，则数量积为零，以及向量的线性运算，列式计算即可.
【详解】因为 ， ，
故可得 .
因为 ，
故可得 ，
即 ，解得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查空间向量的线性运算，数量积运算，以及向量垂直的坐标公式，属综合基础题.
13. 如图是一座抛物线型拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 ，水面宽 ．当水位下降，水面宽为 时，
拱顶到水面的距离是______ ．
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【答案】 ##
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为 ，求出抛物线的方程，再代点的坐标可
得答案．
【详解】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为 ，
当水面未下降时，水面与拱桥的交点 ，
将 代入抛物线方程 ，
得 ，所以 ．
当水面下降后与拱桥的交点为 ，设 ，代入 ，
得 ，解得 ，
所以拱桥到水面的距离为 ．
故答案为： ．
14. 已知 的定义域是 ，且 ，则不等式 的解是_______.
【答案】
【解析】
【分析】变形不等式，构造函数并利用导数确守单调性。进而求解不等式.
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【详解】依题意，不等式 ，
令函数 ，求导得 ，由 ，
得 ，函数 在 上单调递增，原不等式为 ，
因此 ，解得 或 ，
所以原不等式的解集为 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：利用同构的思想变形，再构造函数是露头角问题的关键.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，若 ，且 ， ， 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设数列 的公差为 ，根据已知求出 ，即得解；
（2）利用分组求和结合等差及等比求和公式计算求和即可.
【小问 1 详解】
设数列 的公差为 ，则有 ，
解得： ，
.
【小问 2 详解】
由（1）知 ，
.
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16. 已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调递减区间；
（2）求函数 在 上的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当 时，利用函数的单调性与导数的关系可求出函数 的单调递减区间；
（2）对实数 的取值进行分类讨论，利用导数分析函数 在 上的单调性，即可求得函数 在
上的最小值.
【小问 1 详解】
当 时， ，该函数的定义域为 ，
则 ，由 得 ，
所以，函数 的单调递减区间为 .
【小问 2 详解】
，其中 ，
当 时，对任意的 ， ， 在 上单调递增，
此时， ；
当 时，对任意的 ， ， 在 上单调递减，
此时， ；
当 时，令 ，可得 ，列表如下：
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减 极小值 增
所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
此时， .
综上所述， .
17. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 与平面 所成角的正弦值为 ，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取 中点为 ，连接 ，由题意得 ，故有 ，再
由 平面 得 ，从而 平面 ，即可得平面 平面 ；
（2）作 ，垂足为 ，证明 平面 ，得 即为 与平面 所成角，由之
求出 长，建系后求出相关点坐标，继而求得两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求得二面角
的余弦值.
【小问 1 详解】
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如图，取 中点为 ，连接 ，则 ，又 ，
所以 ，所以 ，即 ，且 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面
又 平面 ，所以平面 平面
【小问 2 详解】
作 ，垂足为 ，由（1）知：平面 平面 ，
因 平面 ，且平面 平面 ，则 平面 ，
故 即为 与平面 所成角，
则 ，解得 .在 中，由 ，
可得 ，故 ，
以 为坐标原点，以 分别为 轴建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， .
， ， ，
设平面 的一个法向量为
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则 ，得 ，取 ，
设平面 的一个法向量为
则 ，得 ，取 ，
所以 ，由图知，二面角 锐二面角，
所以二面角 的余弦值为 .
18. 已知椭圆 的焦距为 ，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设 为 的左焦点， 为直线 上任意一点，过 作 的垂线交 于点 ， .
（i）证明： 平分线段 （其中 为坐标原点）；
（ii）设线段 的中点为 ，若 与 面积之积是 ，求点 的纵坐标.
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】
分析】（1）根据题意求 ，即可得椭圆方程；
（2）（i）设 的方程为 ，联立方程可得线段 的中点为 ，可知 过 的中点，即可知
平分线段 ；（ii）根据题意求 与 的面积，列式求解即可.
【小问 1 详解】
由题意可知： ，即 ，
且 ，则 ，可得 ，
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所以椭圆 的标准方程 .
【小问 2 详解】
椭圆方程化为 ，显然直线 的斜率不为 0，且与椭圆必相交，
（i）设 的方程为 ，代入椭圆方程得： .
设 ， 的中点为 ，
则 ，
可得 ，
又 的方程为 ，则 得 ，
所以 ，即 过 的中点，即 平分线段 ；
（ii）因为 ，
可得 ，解得 或 （舍去），
所以 ，点 的纵坐标为 .
【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法
1.涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与
系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解；
2.面积问题常采用 底 高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选
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择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积
问题，常转化为三角形的面积后进行求解；
3.在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应
用．
19. 已知数表 ，其中 表示数表中第 行第 列的实数，
互不相同，且满足下列条件：① ；② .
（1）对于数表 ，若 ，写出所有满足条件的数表 ；
（2）对于数表 ，当 取最小值时，求证：存在正整数 ，使得 ；
（3）对于数表 ，当 n 为偶数时，求 的最大值.
【答案】（1） ， ，
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题意写出满足条件的 所有数表即可；
（2）用反证法证明，假设对任意的正整数 ， ，可得 ，可知 必定为偶数，
分 和 讨论证明；
（3）结合定义条件可得 ，
，两式相加可得
，即 ，结合 ，
可得 ，得解.
【小问 1 详解】
根据题意，因为 ， ，且 ， ，
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则满足条件的数表 可以是 ， ， .
【小问 2 详解】
当 时，显然成立，
当 时，用反证法证明如下：
假设对任意的正整数 ， ，则由条件①必存在正整数 ，使得 ，
由条件②可知 必定为偶数 ， ，
i）若 ，则交换 和 位置，此时，新数表仍然符合条件①②，但新数表第一行之和变小，
与 是最小值矛盾；
ii）若 ，则交换 和 的位置，此时，新数表仍然符合条件①②，又返回到第 i）种情形.
所以当 取最小值时，数表中一定存在一项 .
【小问 3 详解】
设 ，则 ，则
，
所以 ，
又
则 ，
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所以 ，
设 ， ，
则 ，又 ，
所以 ，
，
所以 的最大值是 ，
当数表 为如下形式时， ，
综上可知，当 为偶数时， 的最大值为 .
【点睛】关键点点睛：本题考查数列相关的新定义问题，意在考查学生的理解能力，转化能力和综合应用
能力，第二问当正面证明不好处理时，利用反证法可以简化证明过程，是解题的关键.