山东省淄博市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份山东省淄博市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．复数的虚部是（ ）
A．B．1C．D．
2．按从小到大排列的一组数据90，92，92，93，93，94，95，96，99，100的80%分位数为（ ）
A．96B．96.5C．97D．97.5
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．在中，，点平分线段．设，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，高为4，则该圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
6．在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A＝（ ）
A．B．C．D．或
8．已知函数，若将曲线向左平移个单位长度后，再向上平移个单位长度得到曲线，若关于的方程在有两个不相等实根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知向量，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的值为2
B．若，则的值为
C．若与的夹角为锐角，则
D．若，则与的夹角的余弦值为
10．已知一组样本数据的方差，则（ ）
A．这组样本数据的平均数为2
B．数据的方差为
C．若的平均数为1，方差为10，的平均数为3，方差为6，则的方差为9
D．现构造新的样本数据，则该组样本数据的方差大于原样本数据的方差
11．已知正方体的棱长为4，，分别是棱，上的点（不包括端点），且，则下列说法正确的是（ ）
A．正方体的外接球的表面积为
B．若平面与平面的交线为，则
C．若平面与平面所成的二面角为，的面积为，则
D．若，则平面截正方体所得截面的面积为
三、填空题
12．已知向量，，则在上的投影向量的坐标为 .
13．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为 .
14．在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，，则的中线的最大值为 .
四、解答题
15．随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位： cm），按照区间[160，165），[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示.
(1)求频率分布直方图中x的值及身高在170 cm及以上的学生人数；
(2)将身高在[170，175），[175，180），[180，185]区间内的学生依次记为A，B，C三个组，用分层随机抽样的方法从这三个组中抽取6人，求这三个组分别抽取的学生人数.
16．已知函数的部分图像如图所示，
(1)求解析式；
(2)求函数的最大值.
17．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”中，.
(1)求证：平面
(2)求二面角的正切值.
18．如图，平面内四点，，，，满足，，.

(1)若，，
（i）求的面积；
（ii）求；
(2)若，，求.
19．如图，在三棱锥中，，，，，，，，的中点分别为，，，，，
(1)证明：平面；
(2)证明：平面，并求与平面所成的角的正弦值；
(3)若，求三棱锥的体积.
1．B
直接由复数的乘法运算把给出的复数化简为的形式，则复数的虚部可求．
【详解】因为，虚部为.
故选：B.
2．D
根据百分位数的定义计算.
【详解】这组数据共10个数，，
所以80%分位数为第8个、第9个数据的平均数，即.
故选：D.
3．A
由诱导公式和二倍角的余弦公式化简可得结果.
【详解】.
故选：A.
4．D
根据平面向量基本定理，，再由，化简即可求解.
【详解】因为，即，
又点平分线段，
所以.
故选：D.
5．D
先求出圆台的母线长，再由圆台侧面积公式计算即得.
【详解】由圆台上下底面圆的半径分别为高为，
可求得母线长为.
则 .
故选：D.
6．B
取的中点，连接，设正方体棱长为，则为异面直线与所成角或其补角，利用余弦定理求解.
【详解】

取的中点，连接，设正方体棱长为，
因为，所以四边形为平行四边形，
所以，则为异面直线与所成角或其补角，
由
所以.
故选：B
7．B
利用正弦定理化角为边，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为，由正弦定理得，整理得，
由余弦定理得，
又因为，所以．
故选：B．
8．C
先对进行化简，再根据三角函数的平移规律得到的表达式，结合函数图象分析在上有两个不相等实根时的取值范围.
【详解】
则
将向左平移个单位，得：
再向上平移个单位，得
当时， 令，则
方程即
作出函数在的图象：
要使有两个解，结合图象可知，解得，
因此，当时，有两个不等实根.
故选：C.

9．ABD
由向量的坐标运算可逐项判断.
【详解】对于A，，则，故A正确；
对于B，若，则，故B正确；
对于C，与的夹角为锐角，所以，
又时，与的夹角为0，
所以与的夹角为锐角，，故C错误；
对于D，，，，故D正确；
故选：ABD.
10．ABC
根据方差意义可求平均数，即可对A判断；由方差的性质可对B判断；根据分层的方差再结合总体方差的求法即可对C判断；利用方差变形公式求出新的方差，即可对D判断.
【详解】A：由题知根据方差的求解公式，可得，故A正确；
B：由数据的方差为，根据方差的性质可得数据的方差为，故B正确；
C：由A知总体平均数为，若的平均数为1，方差为10，的平均数为3，方差为6，
则由公式，可得，故C正确；
D：原数据的平均数为，设新数据的平均数为，并设新数据的方差为，
则由方差公式可得
，故D错误；
故选：ABC.
11．BCD
对于A，根据正方体的体对角线长即外接球的直径计算即可排除；对于B，先证平面，再由线面平行的性质易得结论；对于C，取的中点，的中点，由得到，，即得即为平面与平面所成二面角的平面角，计算即可判断；对于D，连接，，证明四边形为菱形，且为平面截正方体所得的截面，即可计算判断.
【详解】正方体的外接球的半径，∴正方体的外接球的表面积为，故A错误；
在正方体中，∵，，
∴四边形为平行四边形，∴.
又因平面，平面，∴平面.
因平面，平面平面，∴，故B正确；
取的中点，的中点，连接，易得，∴，.
又，∴，，∴即为平面与平面所成二面角的平面角.
∵分别为的中点，∴，则有平面.
又平面，∴，∴，故C正确；
连接，.∵，分别是棱的中点，
∴.易得与全等，
故，，∴，，
∴四边形为菱形，且为平面截正方体所得的截面，
故截面面积为，故D正确.
故选：BCD.
12．
根据投影向量公式直接计算即可.
【详解】因为，，所以，
所以在上的投影向量为.
故答案为：
13．
根据正弦型函数的单调性即可求解.
【详解】，
又函数在单调递增，
所以，解得.
故答案为：.
14．/
根据题意可得，，利用向量的模长公式可求，根据二次型函数求最值即可
【详解】
，
即，即，又，所以，
又的中线，所以，
，
又为锐角三角形，所以，，
即时，.
故答案为：
15．(1)x＝0.06，60
(2)A组3人；B组2人；C组1人
（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1求解x；求出身高在170cm及以上的频率，利用频数=样本容量×频率可得.
（2）根据分层抽样的相关运算进行求解即可.
【详解】（1）由频率分布直方图可知5×（0.07＋x＋0.04＋0.02＋0.01）＝1，
解得x＝0.06，
身高在170 cm及以上的学生人数为100×5×（0.06＋0.04＋0.02）＝60.
（2）A组人数为100×5×0.06＝30，B组人数为100×5×0.04＝20，C组人数为100×5×0.02＝10，
由题意可知A组抽取人数为30×＝3，B组抽取人数为20×＝2，C组抽取人数为10×＝1，
故A，B，C三个组分别抽取的学生人数为3，2，1.
16．(1)
(2)
（1）由图可知，根据即可求解的值.再结合函数图象过和的范围即可求解解析式；
（2）由（1）知，根据二倍角公式及两角和差的余弦公式、辅助角公式化简可得，即可求解.
【详解】（1）由图可知，∴，∴，∴.
又，∴，∴，∴.
又，∴，，∴.
（2）由（1）知，∴
.
∴当，即时，函数的最大值，最大值为.
17．(1)证明见详解；
(2).
（1）根据“堑堵”定义可得，然后利用线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理可证；
（2）记的中点为，证明为二面角的平面角，然后可得.
【详解】（1）因为，且为直角三角形，所以，
由直三棱柱定义可知，平面，因为平面，所以，
又因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以.
（2）因为平面，因为平面，所以，，
因为，所以，
记的中点为，则，
所以为二面角的平面角，
因为平面，因为平面，所以，
因为，
所以，即二面角的正切值为.
18．(1)（i）（ii）
(2)
（1）（i）在直角中，可求，，再得到，利用三角形面积公式即可求解；（ii）根据余弦定理可解；
（2）由可得，求得，在利用余弦定理可求，再用余弦定理的推论可求，即可得到的值.
【详解】（1）（i），，，
，又，所以，，
.
（ii），
所以.
（2），，，
在中，，，
所以
，，
，
.
19．(1)证明见详解
(2)证明见详解；
(3)
（1）根据重心的性质可证，再利用线面平行的判定即可证明；
（2）根据边长，利用勾股定理可证，，根据线面垂直的判定即可证平面，由线面角的定义可知就是与平面所成的角，接着求正弦值即可；
（3）过作交延长线于，先证平面，再证平面，即为三棱锥的高，根据锥体体积公式计算即可.
【详解】（1）证明：设相交于点，相交于点，
，，，的中点分别为，，，，
所以分别为的重心，
所以，，同理可得，
又平面，平面，所以平面.
（2）证明：由（1）知分别为的重心，
在中，，，所以，
，，
，，即，
在中，，
，即，又，所以，
又平面，
所以平面，
即平面，所以就是与平面所成的角，
，
即与平面所成的角的正弦值.
（3）过作交延长线于，
是中点，，，
又是中点，所以，
又，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，
又，平面，
所以平面，即为三棱锥的高，
，，
.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
A
D
D
B
B
C
ABD
ABC
题号
11









答案
BCD